Révision Algèbre Linéaire

— Révision de l’algèbre de Sup : Matrices, Ev, bases, projections, morphismes, noyaux ,. . .
— Somme et somme directe de n sev, projecteurs associés. Sev stables.
On considère l’ensemble H des polynômes de la forme aX 3+(b−2a)X2−2bX +3a. (a,bréels). Montrez
que c’est un plan. (muni des lois usuelles). Précisez une base.
Soit A6= 0∈Mn(R) et ϕtq ϕ(M)=M−tr(M)A. Montrez ϕest automorphisme ssi tr A6= 1.
Calculez noyau et image de f∈L(R2[X]) donné dans la base canonique par M=
−1−1 2
0 1 −1
1 2 −3
Montrez flinéaire, puis calculez noyau et image de f∈L(Rn[X]) donné par f(P)=P0−4P
Montrez ϕendomorphisme de C0¡[0,1] , C¢puis calculez noyau et image de ϕ(f)(x)=Zx
0
f
Soit la Matrice A=
1 2
2 4
et fl’endomorphisme de M2(R) défini par f(M)=AM.
Déterminez Ker f.
fest-il surjectif ?
Trouvez une base de Ker fet de Im f.
Soit Dune matrice diagonale à coefficients diagonaux distincts et ϕ:M∈Mn(C)−→ MD −DM. Détermi-
nez Kerϕet Imϕ.
Soit f∈L(E). Ede dimension finie.
Montrez Ker f⊂Ker f2, puis dim Ker f≤dim Ker f2≤2dim Ker f.
Montrez Im fp+1⊂Im fpet Ker fp⊂Ker fp+1, pour pentier naturel.
Montrez il existe qentier tels que Ker fq=Ker fq+1. En déduire Im fq+1=Im fq
Etablir qu’alors, ∀p≥q, Ker fp=Ker fp+1. Montrez on peut prendre q=n
Montrez, pour tout f, Ker fn⊕Im fn=E
soit J=³011
101
110´. Calculez J2. Montrez Jinversible et exprimez J−1
Soient A,B∈Mn(R) telless que A+B=AB. Montrez Aet Bcommutent. (Se généralise dans un anneau)
Construire une matrice Mréelle de taille paire quelconque telle que M2= −Id. (on la construira par blocs).
Justifiez que c’est impossible si l’ordre est impair. Que pensez-vous du cas complexe ?
Soient f,g∈L(E) avec Ede dimension finie. Montrez rg(g◦f)=rg(g)⇐⇒ Im f+Ker g=E.
Soient u,vdeux endomorphismes tq u◦v=v◦u. Etablir que Keruet Imusont stables par v.
soit Eun K-ev et f∈L(E). Montrez Af={g∈L(E)/f◦g◦f=0} est un K-espace vectoriel.

Soit fet gdeux endomorphismes de ER-ev. On suppose f◦g◦f=fet g◦f◦g=g.
Etablir Ker f⊕Im g=Eet Ker g⊕Im f=E
Soit J=³001
100
010´. Montrez que C(J), le commutant de J(cad l’ensemble des matrices Mtq J M =M J) est un
R-ev et en donnez une base.
Existe-t-il une inclusion entre C(J) et D(J)={Y∈M3(R)/Y2=J} ? Trouvez D(J).
Montrez que ¡Xi(X−1)¢0≤i≤n−1est une base du R-ev Fdéfini par F={P∈Rn[X]/P(1) =0}. Puis montrez
que ¡(X−1)i¢1≤i≤nen est une autre.
Soit D∈Mn(K) une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont distincts. Montrez que (In,D,D2, ... ,Dn−1)
est une base de l’ensemble des matrices diagonales de Mn(K).
Soit f∈L(E) nilpotent, cad ∃k∈N,fk=0. Ede dimension finie n. On appelle indice de nilpotence
p=min{k∈N∗,fk=0}. Montrez l’existence de p.
Montrez qu’un endomorphisme nilpotent n’est pas inversible.
Soit xtel que fp−1(x)6= 0. Montrez que (x,f(x),.. ., fp−1(x)) est libre.
Montrez p≤net enfin fn=0.
L’ensemble des endomorphismes nilpotents est-il un ev ?
Soit n∈N. Résoudre l’équation An=¡0 1
0 0 ¢d’inconnue A∈M2(C). (Utilisez l’exo précédent).
Soit A∈Mn(R) une matrice nilpotente. Etablir In−Aest inversible.
Soit A=
1a a2... an
0 1 a an−1
.
.
....1....
.
.
.
.
.......a
0 ... ... 0 1
∈Mn+1(C). Montrez Ainversible et calculez A−1.
Soit M=1
3
1 2 6
1
21 3
1
6
1
31
montrez matrice de projection. Donnez ses éléments caractéristiques.
On se donne n−1 réels a2, .. ., an. On considère la matrice Mde coefficients Mi j =Qj
k=1ak/Qi
k=1ak, en
convenant a1=1. Mêmes questions que plus haut avec M0=1
nM.
Soient B∈Mn(R) et A=
InB
B In
.
Trouvez une condition nécessaire et suffisante sur Bpour que Asoit inversible. Explicitez alors l’inverse de A.
Soit pun projecteur. Etablir rgp=tr p.
Soit u∈L(R2,R3) et v∈L(R3,R2) tels que u◦vsoit un projecteur de rang 2 de R2. Montrez que Im(u◦v)=
Imupuis que v◦u=I dR2.
Soit u,vdeux endomorphismes. Etablir |rgu−rg v| ≤ rg(u+v)≤rgu+rg v
Soit f∈L(E) de rang 1. Etablir, il existe une forme linéaire ϕet a∈Etels que f(x)=ϕ(x).a.
Soit A∈Mn(R) telle que rg A=1 et tr A=1. Montrez A2=A.

Montrez une matrice Mest de rang 1 ssi il existe 2 matrices colonnes X,Y6= 0 tels que M=XtY.
Soient A,Bdeux matrices carrées de même ordre. Etablir rg(AB)≤inf(rg A, rgB)
Montrez que deux matrices A,B∈Mn(R) semblables dans Mn(C) sont semblables dans Mn(R).
Pour n≥2, et (E) : M+tM=2( tr M)In,avec M∈Mn(R). Montrez que Sol(E) est un sous-espace de Mn(R)
et déterminez sa dimension.
Soit Eun K-ev de dimension finie net Vun sous-ev de Ede dimension p. On pose L={u∈L(E)/V⊃
Imu}. Montrez que Lest un ev de dim. finie et donnez sa dimension.
On se place dans le R-ev des fonctions numériques réelles.
Etablir que la famille (x→cosh x,x→ex,x→sinh x) est liée. (On se place dans l’ev ?)
Soient a1,. .., an,b1,...,bndes réels. Montrez que la famille de vecteurs (U1, ... ,Un) de Rndéfinie par Ui=
(1 +a1bi,1 +a2bi,. .. ,1 +anbi) est liée Indication : montrez qu’elle est contenue dans un plan.
Soit f∈RRtq f(R) est infini. On pose fn=f× · · · × f(n fois) Montrez (fn)n∈N∗est libre.
Montrez que la famille (ha)a∈Rest libre avec ha(x)= |x−a|
Soit Eun K-ev et ϕune forme linéaire sur E. On définit f(x)=ϕ(x)uoù uest un vecteur de E.
C.N.S. pour que fsoit un projecteur ? Précisez ses éléments caractéristiques.
Soit Pun polynôme de C[X] de degré n+1. Etablir Cn[X]⊕P(X)C[X]=C[X]
où, usuellement , P(X)C[X] désigne l’ensemble des polynômes {P(X)Q(X) / Q(X)∈C[X]}.
Montrez que M, complexe et à diagonale strictement dominante, X
1≤j≤n j 6=i¯
¯Mi j ¯
¯<Mii est inversible
Soient A=(ai j ),B=(bi j )∈Mn(R) . Etablir tr ¡tAB¢=X
1≤i,j≤n
ai j bi j .
Montrez que l’inverse d’une matrice symétrique (inversible !) est aussi symétrique. et que l’inverse d’une
matrice triangulaire (inversible !) est aussi triangulaire.
Soit Eun C-espace vectoriel de dimension finie.
Soit u∈L(E). On suppose que pour tout x∈E, la famille (x,u(x)) est liée. Montrez que uest une homothétie.
Soit v∈L(E) de trace nulle. Montrez il existe une base dans laquelle la matrice de vn’a que des 0 sur la
diagonale.
Soient fet gdeux endomorphismes de Equi commutent. On note Dl’ensemble des vecteurs invariants
par get on suppose que c’est une droite de E. Montrez que f(x) est colinéaire à x, pour x∈D.
Soit Dune matrice diagonale de coefficients λ1.. .λn2 à 2 distincts.
Etablir qu’une matrice commute avec D ssi elle est diagonale.
Montrez que le résultat est faux si on ne suppose pas les coeffs 2 à 2 distincts.
Etablir que toute matrice commutant avec D peut s’écrire a0In+a1D+a2D2+ · · · + an−1Dn−1.
Ede base (e1...en), Gi=Vect(ek)k6=i)Hi={f∈L(E)/ Ker f⊃Gi}. Etablir L(E)=
n
M
i=1
Hi