Révision Algèbre Linéaire

Classe de PSI
Feuille
d'Exercices
1
Thèmes des semaines du 5 et 12 Septembre 2016 :
— Révision de l’algèbre de Sup : Matrices, Ev, bases, projections, morphismes, noyaux ,. . .
— Somme et somme directe de n sev, projecteurs associés. Sev stables.
Ex 1
On considère l’ensemble H des polynômes de la forme a X 3 + (b − 2a)X 2 − 2bX + 3a. (a, b réels). Montrez
que c’est un plan. (muni des lois usuelles). Précisez une base.
Ex 2
Ex 3
Ex 4
Soit A 6= 0 ∈ Mn (R) et ϕ tq ϕ(M ) = M − tr (M )A. Montrez ϕ est automorphisme ssi tr A 6= 1.
Calculez noyau et image de f ∈ L (R2 [X ]) donné dans la base canonique par


−1 −1 2


M =
1 −1
0

1
2 −3
Montrez f linéaire, puis calculez noyau et image de f ∈ L (Rn [X ]) donné par f (P ) = P 0 − 4P
Z x
¡
¢
0
Ex 5 Montrez ϕ endomorphisme
de C [0, 1] , C puis calculez noyau et image de ϕ( f )(x) =
f


0
1 2
 et f l’endomorphisme de M2 (R) défini par f (M ) = AM .
Ex 6 Soit la Matrice A = 
2 4
1 ) Déterminez Ker f .
2 ) f est-il surjectif ?
3 ) Trouvez une base de Ker f et de Im f .
Ex 7
Soit D une matrice diagonale à coefficients diagonaux distincts et ϕ : M ∈ Mn (C) −→ M D − D M . Détermi-
nez Ker ϕ et Im ϕ.
Ex 8
Soit f ∈ L (E ) . E de dimension finie.
1 ) Montrez Ker f ⊂ Ker f 2 , puis dim Ker f ≤ dim Ker f 2 ≤ 2 dim Ker f .
2 ) Montrez Im f p+1 ⊂ Im f p et Ker f p ⊂ Ker f p+1 , pour p entier naturel.
3 ) Montrez il existe q entier tels que Ker f q = Ker f q+1 . En déduire Im f q+1 = Im f q
Etablir qu’alors, ∀ p ≥ q, Ker f p = Ker f p+1 . Montrez on peut prendre q = n
4 ) Montrez, pour tout f , Ker f n ⊕ Im f n = E
Ex 9
soit J =
³0 1 1´
101
110
. Calculez J 2 . Montrez J inversible et exprimez J −1
Ex 10
Soient A, B ∈ Mn (R) telless que A + B = AB . Montrez A et B commutent. (Se généralise dans un anneau)
Ex 11
Construire une matrice M réelle de taille paire quelconque telle que M 2 = −I d . (on la construira par blocs).
Justifiez que c’est impossible si l’ordre est impair. Que pensez-vous du cas complexe ?
H Ex 12
Ex 13
Ex 14
Soient f , g ∈ L (E ) avec E de dimension finie. Montrez rg (g ◦ f ) = rg (g ) ⇐⇒ Im f + Ker g = E .
Soient u, v deux endomorphismes tq u ◦ v = v ◦ u. Etablir que Ker u et Im u sont stables par v.
soit E un K-ev et f ∈ L (E ) . Montrez A f = {g ∈ L (E ) / f ◦ g ◦ f = 0} est un K-espace vectoriel.
Ex 15
Soit f et g deux endomorphismes de E R-ev. On suppose f ◦ g ◦ f = f
Etablir Ker f ⊕ Im g = E
et g ◦ f ◦ g = g .
Ker g ⊕ Im f = E
et
Ex 16
³0 0 1´
1 ) Soit J = 1 0 0 . Montrez que C (J ), le commutant de J (cad l’ensemble des matrices M tq J M = M J ) est un
010
R-ev et en donnez une base.
2 ) Existe-t-il une inclusion entre C (J ) et D(J ) = {Y ∈ M3 (R) /Y 2 = J } ? Trouvez D(J ).
Ex 17
¡
¢
Montrez que X i (X − 1) 0≤i ≤n−1 est une base du R-ev F défini par F = {P ∈ Rn [X ]/P (1) = 0}. Puis montrez
¡
¢
que (X − 1)i 1≤i ≤n en est une autre.
Ex 18
Soit D ∈ Mn (K) une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont distincts. Montrez que (I n , D, D 2 , . . . , D n−1
est une base de l’ensemble des matrices diagonales de Mn (K) .
Ex 19
Soit f ∈ L (E ) nilpotent, cad ∃ k ∈ N, f k = 0. E de dimension finie n. On appelle indice de nilpotence
p = min{k ∈ N∗ , f k = 0}. Montrez l’existence de p.
1 ) Montrez qu’un endomorphisme nilpotent n’est pas inversible.
2 ) Soit x tel que f p−1 (x) 6= 0. Montrez que (x, f (x), . . . , f p−1 (x)) est libre.
3 ) Montrez p ≤ n et enfin f n = 0.
4 ) L’ensemble des endomorphismes nilpotents est-il un ev ?
Ex 20
Soit n ∈ N. Résoudre l’équation A n =
Ex 21
Soit A ∈ Mn (R) une matrice nilpotente. Etablir I n − A est inversible.

2
n 
1 a a
Ex 22
...
¡0 1¢
00
d’inconnue A ∈ M2 (C) . (Utilisez l’exo précédent).
a
n−1
a

0 1 a
 .. . .
. . .. 
Soit A =  . . 1 . .  ∈ Mn+1 (C) . Montrez A inversible et calculez A −1 .

.
.. ..
..
. . a
0 ... ...
Ex 23

0
1

1
2
6
1
1 ) Soit M = 3 
2
1

3
 montrez matrice de projection. Donnez ses éléments caractéristiques.
1

1
6
1
3
1
2 ) On se donne n − 1 réels a 2 , . . . , a n . On considère la matrice M de coefficients M i j =
Qj
k=1
ak /
Qi
k=1
a k , en
convenant a 1 = 1. Mêmes questions que plus haut avec M 0 = n1 M .

In
B

Ex 24
Soient B ∈ Mn (R) et A = 
Ex 25
Soit p un projecteur. Etablir rg p = tr p.
.
B In
Trouvez une condition nécessaire et suffisante sur B pour que A soit inversible. Explicitez alors l’inverse de A.
H Ex 26
Soit u ∈ L (R2 , R3 ) et v ∈ L (R3 , R2 ) tels que u◦v soit un projecteur de rang 2 de R2 . Montrez que Im (u◦v) =
Im u puis que v ◦ u = I d R2 .
Ex 27
Soit u, v deux endomorphismes. Etablir | rg u − rg v| ≤ rg (u + v) ≤ rg u + rg v
Ex 28
Soit f ∈ L (E ) de rang 1. Etablir, il existe une forme linéaire ϕ et a ∈ E tels que f (x) = ϕ(x).a.
Ex 29
Soit A ∈ Mn (R) telle que rg A = 1 et tr A = 1. Montrez A 2 = A.
Ex 30
Montrez une matrice M est de rang 1 ssi il existe 2 matrices colonnes X , Y 6= 0 tels que M = X tY .
Ex 31
Soient A, B deux matrices carrées de même ordre. Etablir rg (AB ) ≤ inf( rg A, rg B )
Ex 32
Montrez que deux matrices A, B ∈ Mn (R) semblables dans Mn (C) sont semblables dans Mn (R) .
Ex 33
Pour n ≥ 2, et (E ) : M + t M = 2( tr M )I n ,avec M ∈ Mn (R) . Montrez que Sol(E) est un sous-espace de Mn (R)
et déterminez sa dimension.
Ex 34
Soit E un K-ev de dimension finie n et V un sous-ev de E de dimension p. On pose L = {u ∈ L (E ) /V ⊃
Im u}. Montrez que L est un ev de dim. finie et donnez sa dimension.
H
H
Ex 35
On se place dans le R-ev des fonctions numériques réelles.
1 ) Etablir que la famille (x → cosh x, x → e x , x → sinh x) est liée. (On se place dans l’ev ?)
2 ) Soient a 1 , . . . , a n , b 1 , . . . , b n des réels. Montrez que la famille de vecteurs (U1 , . . . ,Un ) de R n définie par Ui =
(1 + a 1 b i , 1 + a 2 b i , . . . , 1 + a n b i ) est liée
Indication : montrez qu’elle est contenue dans un plan.
3 ) Soit f ∈ RR tq f (R) est infini. On pose f n = f × · · · × f (n fois) Montrez ( f n )n∈N∗ est libre.
4 ) Montrez que la famille (h a )a∈R est libre avec h a (x) = |x − a|
Ex 36
Soit E un K-ev et ϕ une forme linéaire sur E . On définit f (x) = ϕ(x)u où u est un vecteur de E .
C.N.S. pour que f soit un projecteur ? Précisez ses éléments caractéristiques.
Ex 37
Soit P un polynôme de C[X ] de degré n+1. Etablir
Cn [X ] ⊕ P (X ) C[X ] = C[X ]
où, usuellement , P (X ) C[X ] désigne l’ensemble des polynômes {P (X )Q(X ) / Q(X ) ∈ C[X ]}.
H Ex 38
Ex 39
X
Montrez que M , complexe et à diagonale strictement dominante,
¯
¯
¯M i j ¯ < M i i est inversible
1≤ j ≤n j 6=i
Soient A = (a i j ), B = (b i j ) ∈ Mn (R) . Etablir tr
¡t
¢
AB =
X
ai j bi j .
1≤i , j ≤n
Ex 40
Montrez que l’inverse d’une matrice symétrique (inversible !) est aussi symétrique. et que l’inverse d’une
matrice triangulaire (inversible !) est aussi triangulaire.
H Ex 41
Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie.
1 ) Soit u ∈ L (E ) . On suppose que pour tout x ∈ E , la famille (x, u(x)) est liée. Montrez que u est une homothétie.
2 ) Soit v ∈ L (E ) de trace nulle. Montrez il existe une base dans laquelle la matrice de v n’a que des 0 sur la
diagonale.
Ex 42
Soient f et g deux endomorphismes de E qui commutent. On note D l’ensemble des vecteurs invariants
par g et on suppose que c’est une droite de E . Montrez que f (x) est colinéaire à x, pour x ∈ D.
Ex 43
Soit D une matrice diagonale de coefficients λ1 . . . λn 2 à 2 distincts.
1 ) Etablir qu’une matrice commute avec D ssi elle est diagonale.
2 ) Montrez que le résultat est faux si on ne suppose pas les coeffs 2 à 2 distincts.
3 ) Etablir que toute matrice commutant avec D peut s’écrire a 0 I n + a 1 D + a 2 D 2 + · · · + a n−1 D n−1 .
H Ex 44
E de base (e 1 . . . e n ), G i = Vect (e k )k6=i ) Hi = { f ∈ L (E ) / Ker f ⊃ G i }. Etablir L (E ) =
n
M
i =1
Hi