14Fonction inverse, fonction homographique

14Fonction inverse, fonction homographique
Hyperbole 2010 p.82 et 102.
Objectifs :
– D´ecouvrir la fonction inverse et ses premi`eres propri´et´es
– D´ecouvrir les expressions rationnelles (fonctions homographiques)
Aper¸cu historique :
Nous avons d´ej`a ´etudi´e plusieurs ”fonctions de r´ef´erence” : les fonctions affines (de degr´e 1) au Chapitre 10,
puis la fonction carr´e et les fonctions polynˆomes du second degr´e au Chapitre 12. Nous allons ici nous
int´eresser `a la fonction inverse, d´efinie pour x6= 0 par f:x7→ 1
x.
La repr´esentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole ; c’est la ”trace” d’un plan qui couperait
un cone parall`element `a son axe ; on peut en avoir un aper¸cu en pla¸cant un spot lumineux pr`es d’un mur : le
mur vertical ”coupe” le cˆone de lumi`ere selon une hyperbole.
1. La fonction inverse
D´ efinition 14.1 La fonction inverse est la fonction qui, ` a tout r´ eel non nul associe son inverse.
Pour x6= 0, f (x) = 1
x
Propri´ et´ e 14.1 La fonction inverse est d´ ecroissante sur R∗
−et sur R∗
+.
D´ emonstration Soit aet bdeux r´ eels strictement n ´ egatifs tels que a < b.´ Etudions le signe de 1
a−1 b:
1
a−1 b=b ab −a ab =b−a ab . Or aet bsont n´
egatifs donc ab > 0. De plus a < b donc b−a > 0. Donc 1
a−1 best
´
egal au quotient de deux r´ eels positifs ; c’est donc un r ´ eel positif. Donc 1
a−1 b>0; ainsi, 1 a>1 b. Les nombres
aet bet leurs images sont donc rang´ es dans l’ordre inverse : la fonction inverse est d´ ecroissante sur R∗
−.
On d´ emontrerait de mˆ eme que la fonction inverse est d´ ecroissante sur R∗
+.
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Remarque :
Attention ! La fonction inverse n’est pas d´ecroissante sur R∗.
En effet, on a : −2<2 et 1
−2<1 2: les images de −2 et 2 sont rang´es dans le mˆeme ordre que −2 et 2.
Tableau de variations :
x−∞ 0 +∞
f
0&&0
Courbe repr´esentative :
~
i
~
j
La courbe repr´esentative de la fonction inverse est une hyperbole de centre Oet d’asymptotes (Ox) et (Oy).
2. Expressions rationnelles
Exemple Soit fla fonction d ´ efinie par f(x) = 3x−5
x−2. On note Cfsa courbe repr´
esentative dans un rep` ere
(O;~ i,~ j).
1. D´ eterminer l’ensemble de d´ efinition de f.
2. Montrer que pour x∈Df, on a f(x) = 3 + 1
x−2.
3. D´ eterminer les coordonn ´ ees des points d’intersection de Cfavec les axes du rep` ere.
4. ´ Etudier les variations de fsur ]− ∞ ; 2[ puis sur ]2 ; +∞[.
5. En se limitant ` a l’ensemble [−3 ; 2[ ∪]2 ; 7], dresser le tableau de variations de f, puis un tableau de
valeurs et enfin la courbe repr´ esentative de fdans un rep` ere.
1. f(x)existe pour x−26= 0 soit x6= 2 :x= 2 est une valeur interdite pour f.
Donc Df=] − ∞ ; 2[ ∪]2 ; +∞[.
2. On a : 3 + 1
x−2=3(x−2) x−2+1 x−2=3x−6+1 x−2=3x−5 x−2=f(x).
3. Le point d’intersection Ade Cfavec l’axe des ordonn´ ees a pour abscisse xA= 0 et donc pour
ordonn´ ee yA=f(0) = 5
2. Donc A 0; 5 2.
Les points d’intersection de Cfavec l’axe des abscisses ont pour ordonn´ ee 0. On r´ esout donc l’´ equation
f(x) = 0. Un quotient est nul si et seulement si son d´ enominateur n’est pas nul et son num´ erateur est
nul. Donc pour x6= 2,f(x) = 0 si et seulement si 3x−5 = 0 soit x=5
3. Donc Cfcoupe (Ox)en un seul
point : B 5
3; 0.
4. Pour ´ etudier les variations de f, on utilise l’expression de f(x)trouv ´ ee ` a la question 2.
Soit aet bdeux r´ eels tels que a < b < 2.
On a : a < b < 2On soustrait 2 :
Donc : a−2< b −2<0La fonction x7→ 1
xest d´
ecroissante sur R∗
−
Donc : 1
a−2>1 b−2On ajoute 3 :
Donc : 3 + 1
a−2>3 + 1 b−2
D’o` u : f(a)> f(b)
Donc la fonction fest strictement d ´ ecroissante sur ]− ∞ ; 2[.
De mˆ eme, soit aet bdeux r´ eels tels que 2< a < b.
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On a : 2< a < b On soustrait 2 :
Donc : 0< a −2< b −2La fonction x7→ 1
xest d´
ecroissante sur R∗
+
Donc : 1
a−2>1 b−2On ajoute 3 :
Donc : 3 + 1
a−2>3 + 1 b−2
D’o` u : f(a)> f(b)
Donc la fonction fest strictement d ´ ecroissante sur ]2 ; +∞[.
5. On en d´ eduit le tableau de variations :
Tableau de variations :
x−3 2 7
f
2,8&&3,2
Tableau de valeurs :
x−3 0 1 3 4 7
f(x)2,8 5
22 4 7 23,2
Courbe repr´ esentative :
~
i
~
j
Cf
D´ efinition 14.2 Une fonction fest dite homographique s’il existe des r ´ eels a,b,c, et d, avec c6= 0, tels
que fpuisse s’´ ecrire sous la forme f(x) = ax+b
cx+dpour tout r´
eel xn’annulant pas le d´ enominateur.
Exemple La fonction fd´
efinie par f(x) = 3x−5
x−2vue `
a l’exemple pr´ ec´ edent est une fonction homographique.
Son domaine de d´ efinition est Df=R− {2}.
Remarque :
Soient fd´efinie par f(x) = ax+b
cx+d, et Dfson domaine de d´efinition.
Pour tout x∈Df, on a :
ax +b=a
c(cx +d) + (b−ad c), donc :
ax+b
cx+d=
a
c(cx+d)
cx+d+(b−ad
c)
cx+d, d’o`u :
f(x) = a
c+(b−ad
c)
cx+d, c’est-`a-dire :
f(x)−a
c=(b−ad
c)
cx+dEn posant α=b−ad c,X=cx +det Y=f(x)−a c, cette derni`ere ´egalit´e devient Y=α X;
l’allure et le sens de variation seront donc les mˆemes que ceux d’une fonction inverse, ´eventuellement
multipli´ee par une constante.
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