Angles orientés et trigonométrie

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AB
I. Une nouvelle unité de mesure des angles : Le radian (rad)
1. Pourquoi une nouvelle unité d’angle ?
Problème de la mesure des arcs de cercle
il est clair que la longueur de l’arc dépend à la fois du rayon r du
cercle et de l’angle au centre 
 .
Pour un cercle de rayon r donné , il y a proportionnalité entre la longueur de l’arc
et la mesure de l’angle au centre .
D’où la relation = 
avec  en degré
Dans cette relation la quantité 
 ne dépend que de l’angle au centre (   n’est qu’un coefficient numérique
de proportionnalité) On choisit donc de nommer cette quantité  ( lire « thêta » , t minuscule en grec) et de
dire que c’est la mesure de l’angle au centre mesuré en radian (rad)
On a donc la nouvelle relation :
=  avec  en radian
Par le même raisonnement , pour l’aire du secteur circulaire , on obtient :
 avec  en radian
 Dans la suite , on prendra le cas encore plus simple où le rayon du cercle devient l’unité de mesure des
longueurs , on aura donc r = 1 et donc une relation directe entre l’angle au centre en radian et l’arc :
=  avec  en radian
2. Valeurs usuelles à connaître :
Il y a ,bien sur , proportionnalité entre la mesure en degré et la mesure en radian d’un angle , 
 est le
coefficient de proportionnalité permettant de passer du premier au second .
On a donc naturellement le tableau suivant (à compléter ):
fabrication d’un rapporteur gradué en radian
Correspondances à
savoir par cœur
Une valeur approchée au degré prés de 1 radian est :
1 rad = …………°
Angle
( en degré)
Arc
(unité du rayon)
360
Angle
( en degré)
Angle
( en radian)
360
2
180
90
60
30
45
120
150
135
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Angles orientés et trigonométrie
AB
AB
AB

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II. Angle orienté de vecteurs
1. Orientation du plan
On définit une orientation du plan ( on parle alors de plan orienté ) :
Le sens positif ou sens trigonométrique direct est le sens inverse des aiguilles d’une montre .
Le sens négatif ou sens anti-trigonométrique est donc celui des aiguilles d’une montre .
2. Cercle trigonométrique :
C’est le cercle de rayon 1 dans le plan orienté
Le repère (O ; ; ) est alors un repère orthonormé direct car l’angle orienté
entre les vecteurs  et  est de +
3. angle orienté de 2 vecteurs :
a. Une idée de l’angle orienté de 2 vecteurs
Etant donnés 2 vecteurs non-nuls  et  ,on définit les points A et B tels
que  =  et  =  puis les points A’ et B’ intersections des
demi-droites [OA) et [OB) avec le cercle trigonométrique .
Une mesure de l’angle orienté entre les vecteurs  et  est donnée par la
mesure de l’angle orienté 
Dans la pratique on confond l’angle et sa mesure et on les note de la même
manière
L’angle orienté entre les vecteurs  et  est noté 
 mais ,par
commodité , on le note traditionnellement ( ; )
 Par rotation de la figure on peut amener le point A sur l’axe des abscisses et donc le point A’ en I , le
point B’ se retrouve en M et une mesure de ( ; ) s’obtient donc sur le cercle trigonométrique .
En fait , cela revient à poser un rapporteur sur l’angle 
 pour le mesurer .
b. Mesures de l’angle orienté de 2 vecteurs
Sur le cercle trigo placer les points définis dans le tableau ci dessous :
(calculs au verso SVP)
Points P
( ;
)
A
B
C
D
E
F
G
H
K
L
+

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propriété
Il existe donc une infinité de mesure d’un angle orienté de 2 vecteurs , elles ne diffèrent entre elles que d’un
nombre entier de tours complets , dans un sens ou dans l’autre .
Mathématiquement : si  est une mesure de ( ; ) alors  pour  en est une autre
On note : ( ; ) =  ( )
ou ( ; )   [2 ( se lit « ( ; ) congru à  modulo  » )
Mesure principale
Parmi toutes les mesures d’un angle orienté , il n’en existe qu’une seule dans ], on l’appelle mesure
principale de l’angle orienté .
La mesure principale de ( ; ) correspond au « déplacement minimum » pour aller du
point I au point M ( dans le sens direct ou indirect ).
La valeur absolue de cette mesure principale donne la longueur de l’arc géométrique
Ainsi que la mesure de l’angle géométrique 
Si la mesure principale de ( ; ) est  alors 
 et = 
 Exercice
Donner les mesures principales des angles suivants :
4. Propriétés des angles orientés de vecteurs .
a. Angle orienté de 2 vecteurs non-nuls colinéaires :
 Si  et  sont deux vecteurs non-nuls , colinéaires et de même sens , alors : ( ; ) = 0 
 Si  et  sont deux vecteurs non-nuls , colinéaires et de sens opposés , alors : ( ; ) =  
 Les réciproques sont également vraies .
De manière générale , on a donc :
et  sont deux vecteurs non-nuls , colinéaires si et seulement si ( ; ) = 
IM
IM

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b. Relation de Chasles
Si une mesure de ( ;) est  et si une mesure de ( ; ) est 
alors une mesure de ( ; ) est  + 
On note souvent ( ;) + ( ; ) = ( ; )
Conséquences
 Dans notre figure du début
( ;) = ( ; ) = ( ; )  ( ; )
et  sont deux vecteurs non-nuls , tels que une mesure de ( ;) soit  .
on a
 Une mesure de ( ; ) est   on note ( ; ) = ( ; )
 Une mesure de ( ; ) est  +  on note ( ; ) = ( ; ) + 
 Une mesure de ( ; ) est  +  on note ( ; ) = ( ; ) + 
 Une mesure de ( ; ) est  on note ( ; ) = ( ; )
Attention !
Dans les résultats précédents si  est une mesure principale  et  + n’en sont plus !!
Démonstrations ( avec Chasles )

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III. Trigonométrie
1. Définitions
Etant donné un point M sur le cercle trigonométrique tel que une mesure de
( ; ) soit  On appelle respectivement cos() et sin() les abscisse et
ordonnée du point M dans le repère orthonormé direct (O ; ; ) .
Donc si M(x ;y) on a 
et 
 dans la base orthonormée directe ( ; ) .
C’est-à-dire    + 
2. Valeurs usuelles des lignes trigonométriques à connaître
 Compléter le tableau suivant après avoir placer les angles sur le
cercle trigo:
3. Premières propriétés
a. Encadrement
   IR  et 
b. Propriété du rayon
cos²() +  = …..
c. Périodicité  =  et  = 
On dit que les fonctions cos et sin sont des fonctions périodiques de période 2
d. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
 = …………
et  = ………….
e. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
 = …………
et  = ………….
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