Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie
I.
Une nouvelle unité de mesure des angles : Le radian (rad)
1. Pourquoi une nouvelle unité d’angle ?
Problème de la mesure des arcs de cercle
il est clair que la longueur de l’arc AB
dépend à la fois du rayon r du
̂
cercle et de l’angle au centre 𝐴𝑂𝐵 .
Pour un cercle de rayon r donné , il y a proportionnalité entre la longueur de l’arc
et la mesure de l’angle au centre .
Angle
Arc
( en degré)
(unité du rayon)
360
2𝜋 𝑟
AB = 2𝜋 𝑟 𝛼
D’où la relation
360
𝛼
avec 𝛼 en degré
Dans cette relation la quantité
2𝜋 𝛼
360
2𝜋
ne dépend que de l’angle au centre ( 360 n’est qu’un coefficient numérique
de proportionnalité) On choisit donc de nommer cette quantité 𝜃 ( lire « thêta » , t minuscule en grec) et de
dire que c’est la mesure de l’angle au centre mesuré en radian (rad)
On a donc la nouvelle relation :
AB = 𝒓 𝜽 avec 𝜽 en radian
Par le même raisonnement , pour l’aire 𝒜 du secteur circulaire , on obtient :
𝓐=
𝟏
𝟐
𝜽 𝒓²
avec
𝜽 en radian
 Dans la suite , on prendra le cas encore plus simple où le rayon du cercle devient l’unité de mesure des
longueurs , on aura donc r = 1 et donc une relation directe entre l’angle au centre en radian et l’arc :
AB = 𝜽
avec
𝜽 en radian
2. Valeurs usuelles à connaître :
Il y a ,bien sur , proportionnalité entre la mesure en degré et la mesure en radian d’un angle ,
2𝜋
360
est le
coefficient de proportionnalité permettant de passer du premier au second .
On a donc naturellement le tableau suivant (à compléter ):
Angle
( en degré)
360
180
90
60
30
45
120
150
135
fabrication d’un rapporteur gradué en radian
Angle
( en radian)
2𝜋
Correspondances à
savoir par cœur
1
Une valeur approchée au degré prés de 1 radian est :
1 rad = …………°
1
II.
Angle orienté de vecteurs
1. Orientation du plan
On définit une orientation du plan ( on parle alors de plan orienté ) :
Le sens positif ou sens trigonométrique direct est le sens inverse des aiguilles d’une montre .
Le sens négatif ou sens anti-trigonométrique est donc celui des aiguilles d’une montre .
2. Cercle trigonométrique :
C’est le cercle de rayon 1 dans le plan orienté
+
Le repère (O ;𝑖⃗ ;𝑗⃗ ) est alors un repère orthonormé direct car l’angle orienté
𝜋
entre les vecteurs 𝑖⃗ et 𝑗⃗ est de +
2
3. angle orienté de 2 vecteurs :
a. Une idée de l’angle orienté de 2 vecteurs
Etant donnés 2 vecteurs non-nuls 𝑢
⃗⃗ et 𝑣⃗ ,on définit les points A et B tels
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣⃗ puis les points A’ et B’ intersections des
que 𝑂𝐴
⃗⃗ et 𝑂𝐵
demi-droites [OA) et [OB) avec le cercle trigonométrique .
Une mesure de l’angle orienté entre les vecteurs 𝑢
⃗⃗ et 𝑣⃗ est donnée par la
̂
mesure de l’angle orienté 𝐴’𝑂𝐵’
Dans la pratique on confond l’angle et sa mesure et on les note de la même
manière
L’angle orienté entre les vecteurs 𝑢
⃗⃗ et 𝑣⃗ est noté (𝑢
⃗̂
⃗ ; 𝑣⃗) mais ,par
commodité , on le note traditionnellement (𝑢
⃗⃗ ; 𝑣⃗)

Par rotation de la figure on peut amener le point A sur l’axe des abscisses et donc le point A’ en I , le
point B’ se retrouve en M et une mesure 𝛼 de (𝑢
⃗⃗ ; 𝑣⃗) s’obtient donc sur le cercle trigonométrique .
̂ pour le mesurer .
En fait , cela revient à poser un rapporteur sur l’angle 𝐴’𝑂𝐵’
b. Mesures de l’angle orienté de 2 vecteurs
Sur le cercle trigo placer les points définis dans le tableau ci dessous :
Points P
A
B
C
D
E
F
G
H
K
L
⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
(𝑖⃗ ;𝑂𝑃
𝜋
3
𝜋
−
6
𝜋
5
3
𝜋
13
3
𝜋
−17
3
𝜋
22
12
𝜋
−15
4
𝜋
−19
3
𝜋
33
4
𝜋
34
6
(calculs au verso SVP)
2
propriété
Il existe donc une infinité de mesure d’un angle orienté de 2 vecteurs , elles ne diffèrent entre elles que d’un
nombre entier de tours complets , dans un sens ou dans l’autre .
Mathématiquement : si 𝛼 est une mesure de (𝑢
⃗⃗ ; 𝑣⃗) alors 𝛼 + 2𝑘 𝜋 pour 𝑘 ∈ ℤ en est une autre
On note : (𝑢
⃗⃗ ; 𝑣⃗) = 𝛼 + 2𝑘 𝜋 (𝑘 ∈ ℤ )
ou (𝑢
⃗⃗ ; 𝑣⃗) ≡ 𝛼 [2𝜋]
( se lit « (𝑢
⃗⃗ ; 𝑣⃗) congru à 𝛼 modulo 2𝜋 » )
Mesure principale
Parmi toutes les mesures d’un angle orienté , il n’en existe qu’une seule dans ]−𝜋; 𝜋], on l’appelle mesure
principale de l’angle orienté .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) correspond au « déplacement minimum » pour aller du
La mesure principale de (𝑖⃗ ;𝑂𝑀
point I au point M ( dans le sens direct ou indirect ).
La valeur absolue de cette mesure principale donne la longueur de l’arc géométrique IM
̂
Ainsi que la mesure de l’angle géométrique 𝐼𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) est 𝛼 alors 𝐼𝑂𝑀
̂ = |𝛼|
Si la mesure principale de (𝑖⃗ ;𝑂𝑀
et
IM = |𝛼|
 Exercice
Donner les mesures principales des angles suivants :







7𝜋
3
−9𝜋
6
−8𝜋
3
17𝜋
6
−35𝜋
4
5𝜋
13𝜋
3
23𝜋
6
3𝜋
+
6
−
2
4. Propriétés des angles orientés de vecteurs .
a. Angle orienté de 2 vecteurs non-nuls colinéaires :
 Si 𝑢
⃗⃗ et 𝑣⃗ sont deux vecteurs non-nuls , colinéaires et de même sens , alors : (𝑢
⃗⃗ ; 𝑣⃗) = 0 + 2𝑘 𝜋
 Si 𝑢
⃗⃗ et 𝑣⃗ sont deux vecteurs non-nuls , colinéaires et de sens opposés , alors : (𝑢
⃗⃗ ; 𝑣⃗) = 𝜋 + 2𝑘 𝜋
 Les réciproques sont également vraies .
De manière générale , on a donc :
𝑢
⃗⃗ et 𝑣⃗ sont deux vecteurs non-nuls , colinéaires si et seulement si (𝑢
⃗⃗ ; 𝑣⃗) = 𝒌 𝝅
3
b. Relation de Chasles
Si une mesure de (𝑢
⃗⃗ ;𝑣⃗) est 𝛼 et si une mesure de (𝑣⃗ ;𝑤
⃗⃗⃗) est 𝛽
alors une mesure de (𝑢
⃗⃗ ;𝑤
⃗⃗⃗) est 𝛼 + 𝛽
On note souvent
(𝑢
⃗⃗ ;𝑣⃗) + (𝑣⃗ ;𝑤
⃗⃗⃗) = (𝑢
⃗⃗ ;𝑤
⃗⃗⃗)
Conséquences

Dans notre figure du début
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;𝑂𝐵′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = (𝑖⃗ ;𝑂𝐵′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) − (𝑖⃗ ;𝑂𝐴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
(𝑢
⃗⃗ ;𝑣⃗) = (𝑂𝐴′
𝑢
⃗⃗ et
on a




𝑣⃗ sont deux vecteurs non-nuls , tels que une mesure de (𝑢
⃗⃗ ;𝑣⃗) soit 𝛼 .
⃗⃗ ;𝒖
⃗⃗) est −𝜶
Une mesure de (𝒗
⃗⃗ ;−𝒗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗) est 𝜶 + 𝝅
Une mesure de (𝒖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;𝒗
⃗⃗) est 𝜶 + 𝝅
Une mesure de (−𝒖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;−𝒗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗) est 𝜶
Une mesure de (−𝒖
on note
on note
on note
on note
⃗⃗ ;𝒖
⃗⃗) = − (𝒖
⃗⃗ ;𝒗
⃗⃗)
(𝒗
⃗⃗ ;−𝒗
⃗⃗) = (𝒖
⃗⃗ ;𝒗
⃗⃗) + 𝝅
(𝒖
⃗⃗ ;𝒗
⃗⃗) = (𝒖
⃗⃗ ;𝒗
⃗⃗) + 𝝅
(−𝒖
⃗⃗ ;−𝒗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = (𝒖
⃗⃗ ;𝒗
⃗⃗)
(−𝒖
Attention !
Dans les résultats précédents si 𝛼 est une mesure principale −𝛼 et 𝛼 + 𝜋 n’en sont plus !!
Démonstrations ( avec Chasles )
4
III.
Trigonométrie
1. Définitions
Etant donné un point M sur le cercle trigonométrique tel que une mesure de
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) soit 𝛼 On appelle respectivement cos(𝛼) et sin(𝛼) les abscisse et
(𝑖⃗ ;𝑂𝑀
ordonnée du point M dans le repère orthonormé direct (O ;𝑖⃗ ;𝑗⃗ ) .
Donc si M(x ;y) on a {
𝑥 = cos(𝛼)
𝑦 = sin(𝛼)
(𝛼)
et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 (cos
) dans la base orthonormée directe (𝑖⃗ ;𝑗⃗ ) .
sin(𝛼)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = cos(𝛼) 𝑖⃗ + sin(𝛼) ⃗⃗𝑗
C’est-à-dire
2. Valeurs usuelles des lignes trigonométriques à connaître
𝛼
0
cos(𝛼)
1
sin(𝛼)
0
𝜋
6
√3
2
1
2
𝜋
4
√2
2
√2
2
𝜋
3
1
2
√3
2
𝜋
2
0
1
 Compléter le tableau suivant après avoir placer les angles sur le
cercle trigo:
𝜋
𝜋
𝜋 4𝜋
3𝜋
4𝜋
5𝜋
−𝜋
−
−
−
𝛼
−
−
−
2
3
4
4
3
3
6
cos(𝛼)
sin(𝛼)
3𝜋
4
5𝜋
6
𝜋
3. Premières propriétés
a. Encadrement
∀ 𝛼 ∈ IR
−1 ≤ cos(𝛼) ≤ 1
et
−1 ≤ sin(𝛼) ≤ 1
b. Propriété du rayon
cos²(𝛼) + sin²(𝛼) = …..
c. Périodicité
cos(𝛼 + 2𝑘 𝜋) = cos(𝛼) et
sin(𝛼 + 2𝑘 𝜋) = sin(𝛼)
On dit que les fonctions cos et sin sont des fonctions périodiques de période 2𝝅
d. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
cos(−𝛼) = …………
et
sin(−𝛼) = ………….
e. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
cos(𝜋 − 𝛼) = …………
et
sin(𝜋 − 𝛼) = ………….
5
f. Symétrie par rapport à l’origine du repère
cos(𝛼 + 𝜋) = …………
et
sin(𝛼 + 𝜋) = ………….
g. Symétrie par rapport à la première bissectrice du repère .
…………………=………………………….
et …………………= …………………………..
h.
rotation d’un quart de tour
……………………..= ……………………………..
et ………………………..= …………………………….
4. Equations trigonométriques simples
a. Equations du type cos(x) = cos(a)
On utilise la propriété suivante
𝑥 = 𝑎 + 𝑘 × 2𝜋
cos(x) = cos(a) ⇔ {
𝑥 = −𝑎 + 𝑘 × 2𝜋
Exemple 1.
√3
⇔ cos(x)
2
5𝜋
𝑥 = + 𝑘 × 2𝜋
6
{
5𝜋
𝑥 = − 6 + 𝑘 × 2𝜋
cos(x) = –
⇔
5𝜋
= cos( 6 )
5𝜋
car cos( 6 ) = –
√3
2
 L’équation a donc une infinité de solutions dans IR:
Tous les nombres de la forme
5𝜋
6
+ 𝑘 × 2𝜋 ou de la forme −
 Dans ]–π ; π ] l’équation n’a que 2 solutions :
5π
6
5𝜋
6
et –
+ 𝑘 × 2𝜋
5π
6
( k∈ ℤ)
.
Exemple 2
𝜋
𝜋
√2
⇔ cos(2x) = cos( 4 )
car cos (4
2
𝜋
𝜋
𝑥 = 8+𝑘×𝜋
2𝑥 = 4 + 𝑘 × 2𝜋
⇔ {
{
𝜋
𝜋
2𝑥 = − 4 + 𝑘 × 2𝜋
𝑥 = −8 +𝑘 ×𝜋
cos(2x) = +
⇔
)=
√2
2
 L’équation a donc une infinité de solutions dans IR:
𝜋
𝜋
Tous les nombres de la forme 8 + 𝑘 × 𝜋 ou de la forme − 8 + 𝑘 × 𝜋
( k∈ ℤ)
 Quelles sont les solutions dans ]–π ; π ] ? les représenter sur le cercle trigonométrique .
6
b. Equations du type sin(x) = sin(a)
On utilise la propriété suivante
𝑥 = 𝑎 + 𝑘 × 2𝜋
sin(x) = sin(a) ⇔ {
𝑥 = 𝜋 − 𝑎 + 𝑘 × 2𝜋
Exemple 1.
sin(x) =
√3
2
𝜋
𝜋
⇔ sin(x) = sin(3 )
𝜋
3
𝑥 = + 𝑘 × 2𝜋
⇔ {
𝜋
𝑥 = 𝜋 − 3 + 𝑘 × 2𝜋
car sin(3 ) =
𝜋
3
2𝜋
3
√3
2
𝑥 = + 𝑘 × 2𝜋
⇔ {
𝑥=
+ 𝑘 × 2𝜋
 L’équation a donc une infinité de solutions dans IR:
𝜋
3
Tous les nombres de la forme + 𝑘 × 2𝜋 ou de la forme
 Dans ]–π ; π ] l’équation n’a que 2 solutions :
π
3
2𝜋
3
+ 𝑘 × 2𝜋
et
2π
3
( k∈ ℤ)
.
Exemple 2
sin(2x) = –
√2
2
⇔ sin (2x) = sin(−
𝜋
𝜋
4
)
𝜋
car sin (− 4 ) = –
𝜋
𝜋
𝑥 = −8 +𝑘×𝜋
2𝑥 = − 4 + 𝑘 × 2𝜋
2𝑥 = − 4 + 𝑘 × 2𝜋
√2
2
⇔ {
⇔ {
⇔ {
𝜋
5𝜋
5𝜋
2𝑥 = 𝜋 − (− 4 ) + 𝑘 × 2𝜋
2𝑥 = 4 + 𝑘 × 2𝜋
𝑥 = 8 +𝑘×𝜋
 L’équation a donc une infinité de solutions dans IR:
𝜋
Tous les nombres de la forme − 8 + 𝑘 × 𝜋 ou de la forme
5𝜋
8
+𝑘×𝜋
( k∈ ℤ)
 Quelles sont les solutions dans ]–π ; π ] ? les représenter sur le cercle trigonométrique .
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