algèbre générale

algèbre générale
Groupes.
1. Montrer que si aet bsont deux éléments d’un groupe Gd’ordre pet qavec pet qpremiers
entre eux et ab =ba, alors ab est d’ordre pq. Montrer que le résultat est en défaut si on ne
suppose plus que aet bcommutent ou si on enlève l’hypothèse pet qpremiers entre eux.
2. Groupes Z/nZ.
(a) Montrer que Z/aZ×Z/bZest cyclique ssi aet bsont premiers entre eux.
(b) Soit le groupe (Z/nZ,+). Soit dun diviseur de n. Montrer que le groupe Z/nZadmet un
unique sous-groupe d’ordre d.
(c) Soit dun diviseur de n. Montrer qu’il y a exactement ϕ(d)éléments d’ordre ddans Z/nZ.
En déduire, en utilisant le théorème de Lagrange que
n=X
d|n
ϕ(d)
(d) On cherche à déterminer tous les morphismes de groupes de Z/8Zdans Z/12Z.
i. Montrer que deux morphismes sont égaux ssi ils prennent la même valeur en 1.
ii. Montrer que l’ordre de l’image de 1doit être un diviseur de 8et de 12.
iii. En déduire qu’il y a exactement 4morphismes de groupes de Z/8Zdans Z/12Zet les
expliciter.
iv. Montrer qu’il y a exactement m∧nmorphismes de groupes de Z/nZdans Z/mZ.
Les expliciter.
(e) Les groupes (Z/7Z)∗et (Z/9Z)∗sont-ils isomorphes ?
3. On note Unle groupe des racines nde l’unité dans C∗.
(a) Soit Gun sous-groupe fini de (C∗,∗). Montrer que tout élément de Gest une racine de
l’unité. En déduire que les seuls sous-groupes finis de C∗sont les groupes de la forme Un.
(b) Montrer l’équivalence
n|m⇐⇒ Un⊂Um
(c) Montrer que l’intersection de Unet Umest égal à Udavec d=m∧n. Montrer que l’ensemble
UnUmdes produits zz0avec zdans Unet z0dans Umest égal à Uravec r=m∨n.
4. Soit ϕ:G→G0un morphisme de groupe et Gest de cardinal fini.
(a) Soit y∈Imϕ et x0∈ϕ−1(y). Montrer que ϕ−1(y) = x0Kerϕ. En particulier, |Kerϕ|=
|ϕ−1(y)|.
(b) En déduire que |G|=|Kerϕ||Imϕ|.
5. Théorème de Lagrange.
Soit Gun groupe et Hun sous-groupe de G.
(a) Montrer que la relation x∼yssi x−1y∈Hest une relation d’équivalence sur G.
(b) Montrer que la classe de xest l’ensemble xH (classes à gauche).
(c) En déduire que si Gest fini, alors le cardinal de Hdivise celui de G.
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(d) En déduire que si Gest fini et g∈G, l’ordre de gdivise le cardinal de G.
6. Soit pun nombre premier et
Up∞={z∈C∃n∈Nzpn= 1}
(a) Montrer que Up∞est un sous-groupe infini de (C∗,∗).
(b) Montrer que les sous-groupes propres de Up∞sont exactement les Upn.
(c) Le résultat de (b)subsiste-t-il si l’on considère U(pq)∞?
7. On appelle caractère d’un groupe abélien fini Gtout morphisme de groupes χde Gdans (C∗,∗).
(a) Montrer que l’ensemble b Gest un groupe pour la loi (χχ0)(g) = χ(g)χ0(g).
(b) Montrer que l’application χ→χ(1) est un isomorphisme de \ Z/nZsur Z/nZ.
Arithmétique.
8. Soit pun nombre premier et k∈ {1, . . . , p −1}. Montrer que pdivise le coefficient binomial
p
k.
9. Soit pun nombre premier et k∈ {1, . . . , p2−1}. Montrer que pdivise le coefficient binomial
p2
k. Montrer que p2divise le coefficient p2 ksi et seulement si kn’est pas un multiple de p.
10. Soit P∈Z[X]de la forme a0+···+anXnavec a0an6= 0. On suppose que Padmet une racine
rationnelle de représentant canonique p/q. Montrer que pdivise a0et qdivise an.
11. Soit A∈Mn(Z). Montrer que A∈GLn(Z)ssi det(A) = ±1. Généraliser au cas de matrices à
coefficients dans un anneau commutatif.
12. Résoudre le système de congruences : 
x≡1[7]
x≡3[8]
x≡2[9]
13. Déterminer le reste de
(1000)(20003000)
modulo 19.
14. (a) Résoudre dans Z/7Zl’équation x2+x+ 1 = 0.
(b) Résoudre dans Z/101Zl’équation x2+x+ 1 = 0.
On pourra utiliser la question 16c
(c) Résoudre dans Z/143Zl’équation x2+x+ 11 = 0.
Utiliser le Théorème chinois.
15. (a) Montrer que le cardinal de GLn(Z/pZ)est
|GLn(Z/pZ)|=
n−1
Y
k=0
(pn−pk)
On montrera que l’on a pn−1choix pour la première colonne, pn−pchoix pour la deuxième
colonne,...
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(b) Déterminer le cardinal de SLn(Z/pZ).
16. Carrés dans Z/pZ.
Soit p≥3un nombre premier.
(a) En considérant l’application f:x→x2de (Z/pZ)∗dans lui-même, montrer qu’il y a
exactement (p+ 1)/2carrés dans Z/pZ.
(b) Pour x∈(Z/pZ)∗, on note x
p=x(p−1)/2. Montrer que x p∈ {−1,1}.
(c) Montrer que xest un carré de (Z/pZ)∗ssi x
p= 1.
(d) Montrer que X
x∈(Z/pZ)∗x
p= 0
(e) Montrer que −1est un carré dans Z/pZssi p≡1[4].
(f) Montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers congrus à −1modulo 4.
Raisonner par l’absurde en supposant qu’il n’y en a qu’un nombre fini p1, . . . , pret intro-
duire l’entier 4p1. . . pr−1.
17. Fonction de Möbius.
On définit µ:N∗→ {0,1,−1}comme suit : µ(1) = 1,µ(n)=0si contient un facteur carré,
µ(p1. . . pr) = (−1)rsi les pisont des nombres premiers distincts.
(a) Montrer que la fonction µest multiplicative au sens de l’arithmétique : si met nsont
deux entiers premiers entre eux, on a µ(mn) = µ(m)µ(n).
(b) Montrer que pour tout entier n≥2on a Pd|nµ(d) = 0.
(c) Soit f:N∗→Aune application où Adésigne un groupe abélien noté additivement. On
pose : g(n) = Pd|nf(d). Démontrer la formule d’inversion de Möbius :
f(n) = X
d|n
µ(n/d)g(d)
(d) En déduire la formule
ϕ(n) = X
d|n
µ(n/d)d
Anneaux.
18. Montrer que toute suite croissante d’idéaux de Zest stationnaire. Cela est-il encore vrai dans
K[X]?
19. Soit Aun anneau commutatif. On note
Nil(A) = {a∈A, ∃n∈N, an= 0}
(a) Montrer que Nil(A)est un idéal de A.
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(b) Si Iest un idéal de A, on note
√I={a∈A, ∃n∈N, an∈I}
Montrer que √Iest un idéal de A. Vérifier que Nil(A) = p(0).
(c) Si A=Zet n≥1, déterminer √nZ.
20. On pose Z[√2] = {a+b√2∈R,(a, b)∈Z2}.
(a) Montrer que Z[√2] est un sous-anneau de R.
Pour z=a+b√2∈Z[√2], on pose ¯z=a−b√2et N(z) = z¯z
(b) Montrer que Nest multiplicative.
(c) Montrer que zest inversible dans Z[√2] ssi N(z) = ±1.
(d) Montrer que Z[√2] et Z[√3] sont isomorphes en tant que groupes mais non isomorphes
en tant qu’anneaux.
Polynômes.
21. Soit n≥2et P= 1 + X+··· +Xn/n!. Le polynôme Pa-t-il une racine multiple dans C?
22. Déterminer les n≥3tels que (X−1)n−(Xn−1) ait au moins une racine multiple dans C.
23. Factoriser (X+ 1)n−(X−1)ndans C. En déduire, en posant n= 2p+ 1 et en testant en 0,
l’égalité : p
Y
k=1
cotan kπ
2p+ 1 =1
√2p+ 1
24. On cherche à déterminer les polynômes à coefficients complexes vérifiant la relation :
P(X2) = P(X)P(X+ 1)
(a) Soit Pun polynôme non constant vérifiant la relation. Montrer que si zest racine de Pil
en est de même de z2. En déduire que toute racine de Pest de module 0ou 1.
(b) Montrer que si zest racine de Palors z−1est de module 0ou 1. En déduire que les
seules racines possibles pour Psont 0,1,−j, −j2.
(c) Montrer alors que les polynômes solutions sont 0,1et les polynômes de la forme (X2−X)n
avec n≥1.
25. Soit met ndeux entiers supérieurs ou égaux à 1. On note d=m∧n. Montrer que
Xm−1∧Xn−1 = Xd−1
Si Kest un sous-corps de C, on peut raisonner en termes de racines. Sinon, appliquer l’algo-
rithme d’Euclide.
26. Soit Kun sous-corps de C. Déterminer les polynômes tels que P0|P.
Introduire les racines de Psur Cavec leur multiplicité.
27. Soit P∈C[X]non constant.
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(a) Déterminer la décomposition en éléments simples de P0/P .
(b) En déduire que les racines de Psont dans l’enveloppe convexe des racines de P.
28. Soit n≥1,a0∈R∗
+,(a1, . . . , an−1)∈(R+)net P=Xn−Pn−1
k=0 akXk.
(a) Montrer que dans R∗
+,Padmet un zéro unique r.
(b) Montrer que toute racine complexe de Pest de module inférieur ou égal à r.
(c) Démontrer les inégalités :
r≤max(1,
n−1
X
k=0
ak)
et
r < 1 + max0≤k≤n−1ak
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