algèbre générale Groupes. 1. Montrer que si a et b sont deux éléments d’un groupe G d’ordre p et q avec p et q premiers entre eux et ab = ba, alors ab est d’ordre pq. Montrer que le résultat est en défaut si on ne suppose plus que a et b commutent ou si on enlève l’hypothèse p et q premiers entre eux. 2. Groupes Z/nZ. (a) Montrer que Z/aZ × Z/bZ est cyclique ssi a et b sont premiers entre eux. (b) Soit le groupe (Z/nZ, +). Soit d un diviseur de n. Montrer que le groupe Z/nZ admet un unique sous-groupe d’ordre d. (c) Soit d un diviseur de n. Montrer qu’il y a exactement ϕ(d) éléments d’ordre d dans Z/nZ. En déduire, en utilisant le théorème de Lagrange que X n= ϕ(d) d|n (d) On cherche à déterminer tous les morphismes de groupes de Z/8Z dans Z/12Z. i. Montrer que deux morphismes sont égaux ssi ils prennent la même valeur en 1. ii. Montrer que l’ordre de l’image de 1 doit être un diviseur de 8 et de 12. iii. En déduire qu’il y a exactement 4 morphismes de groupes de Z/8Z dans Z/12Z et les expliciter. iv. Montrer qu’il y a exactement m ∧ n morphismes de groupes de Z/nZ dans Z/mZ. Les expliciter. (e) Les groupes (Z/7Z)∗ et (Z/9Z)∗ sont-ils isomorphes ? 3. On note Un le groupe des racines n de l’unité dans C∗ . (a) Soit G un sous-groupe fini de (C∗ , ∗). Montrer que tout élément de G est une racine de l’unité. En déduire que les seuls sous-groupes finis de C∗ sont les groupes de la forme Un . (b) Montrer l’équivalence n|m ⇐⇒ Un ⊂ Um (c) Montrer que l’intersection de Un et Um est égal à Ud avec d = m∧n. Montrer que l’ensemble Un Um des produits zz 0 avec z dans Un et z 0 dans Um est égal à Ur avec r = m ∨ n. 4. Soit ϕ : G → G0 un morphisme de groupe et G est de cardinal fini. (a) Soit y ∈ Imϕ et x0 ∈ ϕ−1 (y). Montrer que ϕ−1 (y) = x0 Kerϕ. En particulier, |Kerϕ| = |ϕ−1 (y)|. (b) En déduire que |G| = |Kerϕ||Imϕ|. 5. Théorème de Lagrange. Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. (a) Montrer que la relation x ∼ y ssi x−1 y ∈ H est une relation d’équivalence sur G. (b) Montrer que la classe de x est l’ensemble xH (classes à gauche). (c) En déduire que si G est fini, alors le cardinal de H divise celui de G. 1/5 (d) En déduire que si G est fini et g ∈ G, l’ordre de g divise le cardinal de G. 6. Soit p un nombre premier et n Up∞ = {z ∈ C ∃n ∈ N z p = 1} (a) Montrer que Up∞ est un sous-groupe infini de (C∗ , ∗). (b) Montrer que les sous-groupes propres de Up∞ sont exactement les Upn . (c) Le résultat de (b) subsiste-t-il si l’on considère U(pq)∞ ? 7. On appelle caractère d’un groupe abélien fini G tout morphisme de groupes χ de G dans (C∗ , ∗). b est un groupe pour la loi (χχ0 )(g) = χ(g)χ0 (g). (a) Montrer que l’ensemble G \ sur Z/nZ. (b) Montrer que l’application χ → χ(1) est un isomorphisme de Z/nZ Arithmétique. 8. Soit p un nombre premier et k ∈ {1, . . . , p − 1}. Montrer que p divise le coefficient binomial p . k 9. Soit p un nombre premier et k ∈ {1, . . . , p2 − 1}. Montrer que p divise le coefficient binomial 2 p2 . Montrer que p2 divise le coefficient pk si et seulement si k n’est pas un multiple de p. k 10. Soit P ∈ Z[X] de la forme a0 + · · · + an X n avec a0 an 6= 0. On suppose que P admet une racine rationnelle de représentant canonique p/q. Montrer que p divise a0 et q divise an . 11. Soit A ∈ Mn (Z). Montrer que A ∈ GLn (Z) ssi det(A) = ±1. Généraliser au cas de matrices à coefficients dans un anneau commutatif. 12. Résoudre le système de congruences : x ≡ 1[7] x ≡ 3[8] x ≡ 2[9] 13. Déterminer le reste de 3000 ) (1000)(2000 modulo 19. 14. (a) Résoudre dans Z/7Z l’équation x2 + x + 1 = 0. (b) Résoudre dans Z/101Z l’équation x2 + x + 1 = 0. On pourra utiliser la question 16c (c) Résoudre dans Z/143Z l’équation x2 + x + 11 = 0. Utiliser le Théorème chinois. 15. (a) Montrer que le cardinal de GLn (Z/pZ) est |GLn (Z/pZ)| = n−1 Y (pn − pk ) k=0 n On montrera que l’on a p −1 choix pour la première colonne, pn −p choix pour la deuxième colonne,... 2 (b) Déterminer le cardinal de SLn (Z/pZ). 16. Carrés dans Z/pZ. Soit p ≥ 3 un nombre premier. (a) En considérant l’application f : x → x2 de (Z/pZ)∗ dans lui-même, montrer qu’il y a exactement (p + 1)/2 carrés dans Z/pZ. (b) Pour x ∈ (Z/pZ)∗ , on note xp = x(p−1)/2 . Montrer que xp ∈ {−1, 1}. (c) Montrer que x est un carré de (Z/pZ)∗ ssi xp = 1. (d) Montrer que X x =0 p ∗ x∈(Z/pZ) (e) Montrer que −1 est un carré dans Z/pZ ssi p ≡ 1[4]. (f) Montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers congrus à −1 modulo 4. Raisonner par l’absurde en supposant qu’il n’y en a qu’un nombre fini p1 , . . . , pr et introduire l’entier 4p1 . . . pr − 1. 17. Fonction de Möbius. On définit µ : N∗ → {0, 1, −1} comme suit : µ(1) = 1, µ(n) = 0 si contient un facteur carré, µ(p1 . . . pr ) = (−1)r si les pi sont des nombres premiers distincts. (a) Montrer que la fonction µ est multiplicative au sens de l’arithmétique : si m et n sont deux entiers premiers entre eux, on a µ(mn) = µ(m)µ(n). P (b) Montrer que pour tout entier n ≥ 2 on a d|n µ(d) = 0. (c) Soit f : N∗ →P A une application où A désigne un groupe abélien noté additivement. On pose : g(n) = d|n f (d). Démontrer la formule d’inversion de Möbius : f (n) = X µ(n/d)g(d) d|n (d) En déduire la formule ϕ(n) = X µ(n/d)d d|n Anneaux. 18. Montrer que toute suite croissante d’idéaux de Z est stationnaire. Cela est-il encore vrai dans K[X] ? 19. Soit A un anneau commutatif. On note N il(A) = {a ∈ A, ∃n ∈ N, an = 0} (a) Montrer que N il(A) est un idéal de A. 3 (b) Si I est un idéal de A, on note √ I = {a ∈ A, ∃n ∈ N, an ∈ I} p √ Montrer que I est un idéal de A. Vérifier que N il(A) = (0). √ (c) Si A = Z et n ≥ 1, déterminer nZ. √ √ 20. On pose Z[ 2] = {a + b 2 ∈ R, (a, b) ∈ Z2 }. √ (a) Montrer que Z[ 2] est un sous-anneau de R. √ √ √ Pour z = a + b 2 ∈ Z[ 2], on pose z̄ = a − b 2 et N (z) = z z̄ (b) Montrer que N est multiplicative. √ (c) Montrer que z est inversible dans Z[ 2] ssi N (z) = ±1. √ √ (d) Montrer que Z[ 2] et Z[ 3] sont isomorphes en tant que groupes mais non isomorphes en tant qu’anneaux. Polynômes. 21. Soit n ≥ 2 et P = 1 + X + · · · + X n /n!. Le polynôme P a-t-il une racine multiple dans C ? 22. Déterminer les n ≥ 3 tels que (X − 1)n − (X n − 1) ait au moins une racine multiple dans C. 23. Factoriser (X + 1)n − (X − 1)n dans C. En déduire, en posant n = 2p + 1 et en testant en 0, l’égalité : p Y 1 kπ =√ cotan 2p + 1 2p + 1 k=1 24. On cherche à déterminer les polynômes à coefficients complexes vérifiant la relation : P (X 2 ) = P (X)P (X + 1) (a) Soit P un polynôme non constant vérifiant la relation. Montrer que si z est racine de P il en est de même de z 2 . En déduire que toute racine de P est de module 0 ou 1. (b) Montrer que si z est racine de P alors z − 1 est de module 0 ou 1. En déduire que les seules racines possibles pour P sont 0, 1, −j, −j 2 . (c) Montrer alors que les polynômes solutions sont 0, 1 et les polynômes de la forme (X 2 −X)n avec n ≥ 1. 25. Soit m et n deux entiers supérieurs ou égaux à 1. On note d = m ∧ n. Montrer que Xm − 1 ∧ Xn − 1 = Xd − 1 Si K est un sous-corps de C, on peut raisonner en termes de racines. Sinon, appliquer l’algorithme d’Euclide. 26. Soit K un sous-corps de C. Déterminer les polynômes tels que P 0 |P . Introduire les racines de P sur C avec leur multiplicité. 27. Soit P ∈ C[X] non constant. 4 (a) Déterminer la décomposition en éléments simples de P 0 /P . (b) En déduire que les racines de P sont dans l’enveloppe convexe des racines de P . Pn−1 28. Soit n ≥ 1, a0 ∈ R∗+ , (a1 , . . . , an−1 ) ∈ (R+ )n et P = X n − k=0 ak X k . (a) Montrer que dans R∗+ , P admet un zéro unique r. (b) Montrer que toute racine complexe de P est de module inférieur ou égal à r. (c) Démontrer les inégalités : r ≤ max(1, n−1 X ak ) k=0 et r < 1 + max0≤k≤n−1 ak 5