M33 L2

Licence Sciences et Techniques
L2 MATH & MASS
M33
Analyse numérique
Recueil d’exercices corrigés et aide-mémoire.
Gloria Faccanoni
ihttp://faccanoni.univ-tln.fr/enseignements.html
Année 2013 – 2014
Dernière mise-à-jour
Jeudi 5 juin 2014

Ce fascicule est un support au cours d’analyse numérique en deuxième année d’une Licence de Mathématiques. Il
aborde : la recherche de racines d’une fonction réelle de variable réelle, l’interpolation polynomiale, l’intégration numé-
riques, l’intégration d’équations différentielles et la résolution de systèmes linéaires. Les applications se font avec le lan-
gage Python dont la documentation et les sources peuvent être téléchargées à l’adresse http://www.python.org. Les
notions supposées connues correspondent au programme des cours de Mathématiques (Analyse mathématique des fonc-
tions réelles d’une variable réelle et Algèbre Linéaire) et Informatiques (Initiation à l’algorithmique et au langage Python)
de la première année de Licence.
L’objet de ce aide-mémoire est de proposer une explication succincte des concepts vu en cours. De nombreux livres,
parfois très fournis, existent. Ici on a cherché, compte tenu des contraintes de volume horaire, des acquis des étudiants
à la première année et des exigences pour la suite du cursus, à dégager les points clés permettant de structurer le travail
personnel de l’étudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Ce polycopiée ne dispense pas des séances de cours
et de TD ni de prendre des notes complémentaires. Il est d’ailleurs important de comprendre et apprendre le cours au fur
et à mesure. Ce polycopié est là pour éviter un travail de copie qui empêche parfois de se concentrer sur les explications
données oralement mais ce n’est pas un livre auto-suffisant (il est loin d’être exhaustif) ! De plus, ne vous étonnez pas si
vous découvrez des erreurs (merci de me les communiquer).
On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigés. Ceux-ci, de difficulté variée, répondent à une double nécessitée.
Il est important de jongler avec les différents concepts introduits en cours et même de faire certaines erreurs une fois
pour bien identifier les pièges. Les exercices permettent d’orienter les raisonnements vers d’autres domaines (physique,
économie, etc.), cela afin d’exhiber l’intérêt et l’omniprésence de l’analyse numérique au sens large (modélisation, analyse
mathématique, discrétisation, résolution numérique et interprétation des résultats). Cependant, veuillez noter que vous
n’obtiendrez pas grande chose si vous vous limitez à choisir un exercice, y réfléchir une minute et aller vite voir le début de
la correction en passant tout le temps à essayer de comprendre la correction qui va paraitre incompréhensible. Pour que
la méthode d’étude soit vraiment efficace, il faut d’abord vraiment essayer de chercher la solution. En particulier, il faut
avoir un papier brouillon à coté de soi et un crayon. La première étape consiste alors à traduire l’énoncé (pas le recopier),
en particulier s’il est constitué de beaucoup de jargon mathématique. Ensuite il faut essayer de rapprocher les hypothèses
de la conclusion souhaitée, et pour cela faire quelques calculs ou transformer les hypothèses pour appliquer un théorème
dont on aura vérifier que les hypothèses sont bien satisfaites. C’est ici que l’intuition joue un grand rôle et il ne faut pas
hésiter à remplir des pages pour s’apercevoir que l’idée qu’on a eu n’est pas la bonne. Elle pourra toujours resservir dans
une autre situation. Quand finalement on pense tenir le bon bout, il faut rédiger soigneusement en s’interrogeant à chaque
pas sur la validité (logique, mathématique) de ce qu’on a écrit. Si l’étape précédente ne donne rien, il faut chercher de l’aide
(voir le début de la correction, en parler à un autre étudiant, etc.).
Gloria FACCANONI
IMATH Bâtiment U-318 T0033 (0)4 94 14 23 81
Université du Sud Toulon-Var
Avenue de l’université [e-mail]
83957 LA GARDE - FRANCE ihttp://faccanoni.univ-tln.fr
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Table des matières
Notations 5
Introduction au calcul scientifique 7
1. Résolution d’équations non linéaires 11
1.1. Étape ¬: localisation des zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Étape : construction d’une suite convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1. Méthodes de dichotomie (ou bissection), de LAGRANGE (ou Regula falsi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2. Méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3. Méthodes de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Interpolation 61
2.1. Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.1. Méthode directe (ou “naïve”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.2. Méthode de LAGRANGE ............................................... 62
2.1.3. Stabilité de l’interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.1.4. Méthode de NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2. Polynôme d’HERMITE ou polynôme osculateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3. Splines : interpolation par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.1. Interpolation linéaire composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3. Quadrature 93
3.1. Principes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2. Exemples de formules de quadrature interpolatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3. Approximation de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4. Équations différentielles ordinaires 129
4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.1. Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.2. Condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.3. Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.1.4. Théorème d’existence et unicité, intervalle de vie et solution maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2. Schémas numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.1. Schémas numériques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.2. Schémas numériques d’ADAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2.3. Schémas multi-pas de type predictor-corrector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3. Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4. Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4.1. A-Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5. Systèmes linéaires 163
5.1. Systèmes mal conditionnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2. Méthode (directe) d’élimination de GAUSS et factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3. Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A. Python : guide de survie pour les TP 189
A.1. Obtenir Python et son éditeur IDLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A.1.1. Utilisation de base d’IDLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A.2. Notions de base de Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
A.3. Fonctions et Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
A.3.1. Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
A.3.2. Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
A.4. Structure conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
A.5. Boucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3

Notations
Ensembles usuels en mathématiques
On désigne généralement les ensemble les plus usuels par une lettre à double barre :
Nl’ensemble des entiers naturels
N∗l’ensemble des entiers strictement positifs
Zl’ensemble des entiers relatifs (positifs, négatifs ou nuls)
Z∗l’ensemble des entiers 6=0
Ql’ensemble des nombres rationnels ³p
q,p∈Z,q∈Z∗´
Rl’ensemble des réels
R∗l’ensemble des réels autres que 0
Cl’ensemble des nombres complexes
Rn[x] l’espace vectoriel des polynômes en xde degré inférieur ou égal à n
Intervalles
Inégalité Notation ensembliste Représentations graphique
a≤x≤b[a,b]a b a b
a<x<b]a,b[a b a b
a≤x<b[a,b[a b a b
a<x≤b]a,b]a b a b
x≥a[a,+∞[aa
x>a]a,+∞[aa
x≤b]−∞,b]bb
x<b]−∞,b[bb
|x|≤ aavec a≥0 [−a,a]−a a −a a
|x|< aavec a≥0 ]−a,a[−a a −a a
|x|≥ aavec a≥0 ]−∞,−a]∪[a,+∞[−a a −a a
|x|> aavec a≥0 ]−∞,−a[∪]a,+∞[−a a −a a
∀x∈R]−∞,+∞[
x6=a]−∞,a[∪]a,+∞[=R\{a}a a
Symboles utilisés dans le document
définition
théorème, corollaire, proposition
propriété(s)
astuce
attention
remarque
5