Polynômes

Polynômes
Marc SAGE
18 décembre 2005
Table des matières
1 En apéritif 2
2 Un corps …ni n’est jamais algébriquement clos 3
3 Invariance des pgcd et ppcm par extension de corps 3
4 Les fonctions trigonométriques ne sont pas des polynômes 3
5 Le polynôme tronqué de l’exponentielle à un ordre pair n’a pas de racines réelles 3
6 Un exercice d’interpolation 4
7 Tout polynôme réel positif est somme de deux carrés 4
8 Calculer sans se fatiguer 5
9 Une fonction localement polynomiale est un polynôme 5
10 Deux équations polynomiales : PX2=P(X)P(X1) 5
11 Sommes de Newton et fonctions symétriques élémentaires 6
12 Sur les opérateurs de dérivation et le caractère scindé 8
13 Polynômes et polygones 9
14 Polynômes symétriques et fonctions symétriques élémentaires 10
1

Pro…tons de cette feuille d’exercice sur les polynômes pour rappeler que l’adjectif "polynomial" ne prend
pas d’accent circon‡exe, contrairement au nom associé...
1 En apéritif
a)Calculer le reste de la division euclidienne de ((sin )X+ cos )npar X2+ 1.
b)Soit Pun polynôme unitaire non constant scindé simple sur Z. Montrer que P1est irréductible
sur Z[X].
c)Soit a1; :::; anet b1; :::; bndes réels tous distincts. On met dans un tableau nnle nombre ci;j =ai+bj
à l’intersection de la i-ième ligne et de la j-ième colonne. Montrer que si le produit Qjci;j des ci;j sur une
ligne donnée ne dépend pas de la ligne choisie, alors il en est de même pour le produit Qici;j sur une colonne
quelconque.
Solution proposée.
a)Soit aX +ble reste cherché :
((sin )X+ cos )n=X2+ 1() + aX +b.
Évaluant en ion obtient eni =ai +b, d’où a= sin n
b= cos n .
b)Par hypothèse, P1s’écrit sous la forme Qn
i=1 (Xai)1où les aisont entiers et distincts.
Supposons par l’absurde que P1se casse en un produit AB de deux polynômes à coe¢ cients entiers de degré
< n. On a alors
A(ai)B(ai) = AB (ai) = 1,
et comme A(ai)et B(ai)sont entiers, ils valent chacun 1et sont opposés, ce qui montre que A+Bs’annule
en les ai, d’où A+B= 0 en prenant les degrés (trop de racines). On en déduit P= 1 + AB = 1 A2dont
le coe¢ cient dominant est négatif si deg A1, ce qui contredit l’uniatarité de P. Il en résulte Aconstant et
P= 1 A2constant, absurde.
c)Notons =Qjci;j le produit commun sur une colonne. En introduisant le polynôme
P=
n
Y
j=1
(X+bj),
les hypothèses montrent que les aisont racines de P, et on les a toutes puisque les aisont distincts et deg P=n.
On en déduit P=Qn
i=1 (Xai), ce qui évalué en X=bjdonne
0=
n
Y
i=1
(bjai)
(1)n+1 =
n
Y
i=1
ci;j ,
d’où le résultat puisque jest pris quelconque.
Remarque. L’hypothèse "les aisont tous distincts" est vitale pour le troisième point : considérer le
contre-exemple a1=a2=b1= 0 et b1= 1, qui donne le tableau
0 1
0 1 .
2

2 Un corps …ni n’est jamais algébriquement clos
On rappelle qu’un corps Kest algébriquement clos si tout polynôme non constant de K[X]admet au moins
une racine dans K.
Montrer qu’un corps …ni n’est jamais algébriquement clos.
Solution proposée.
Soit K=f1; :::; ngun tel corps. Le polynôme
n
Y
i=1
(Xi)+1
de K[X]n’a alors aucune racine dans K: il vaut 1partout.
3 Invariance des pgcd et ppcm par extension de corps
Soit Aet Bdeux polynômes de K[X]où Kest un corps. On considère KLune extension de K, et on
note e Aet e Bles polynômes Aet Bplongés dans L[X](penser à RC).
Montrer que les pgcd A^Bet e A^e Bcoïncident, au sens où
e
A^e B=^ A^B
De même pour les ppcm.
Solution proposée.
Le pgcd s’obtenant par l’algorithme d’Euclide qui est une suite de divisions euclidiennes, il su¢ t de montrer
que le quotient et le reste d’une division euclidienne A=BQ +Rsont inchangés par extension de corps. Or,
ceci découle de leur unicité : si A=BQ +Rdans K[X], on plonge le tout dans L[X], ce qui fournit l’unique
e
Q; e Rde la division euclidienne e A=e Be Q+e R.
Pour le ppcm, on remarque que (A^B) (A_B) = AB et on applique ce qui précède.
4 Les fonctions trigonométriques ne sont pas des polynômes
Montrer que les fonctions cos,sin et tan ne sont pas des polynômes.
Solution proposée.
Sthûsss : on dérive.
Si cos vaut un certain P, alors P6= 0 car cos n’est pas nul partout, donc P6=P0000 ; or cos0000 = cos... Idem
pour sin. Pour tan, le polynôme Phypothétique devrait véri…er P0= 1+P2, ce qui commence à poser problème
quand on prend les degrés.
5 Le polynôme tronqué de l’exponentielle à un ordre pair n’a pas
de racines réelles
Montrer que le polynôme 1 + X+X2
2! +X3 3! +::: +X2n (2n)! n’a pas de racines réelles.
Solution proposée.
Le terme dominant étant positif, on demande en fait de montrer que notre polynôme Preste strictement
positif. En notant ml’in…mum de P, il s’agit de montrer m > 0.
3

Un truc sympathique avec l’exponentielle, c’est son comportement lorsqu’on la dérive ; cela doit nous inciter
à dériver P, ce qui donne
P=P0+X2n
(2n)!.
Ainsi, si mest atteint en un réel a, on aura
Pm=P(a) = P0(a)
|{z}
=0
+a2n
(2n)!
|{z}
0
0
avec égalité seulement a= 0, mais alors P0(a) = P0(0) = 1 (ce qui est exclu), d’où le résultat. Il s’agit donc de
montrer que mest atteint.
Pétant de degré pair, il a pour limite 1en 1, donc il y a segment [A; A]en-dehors duquel jPj> m + 1 ;
l’in…mum de Ppeut par conséquent être pris sur le segment [A; A], où l’on sait que toute application continue
(a fortiori P) va atteindre ses bornes. Ploum.
6 Un exercice d’interpolation
Soit Pun polynôme de degré ntel que P(i) = 1
(n+1
i)pour tout i= 0; :::; n. Calculer P(n+ 1).
Solution proposée.
On utilise la formule d’interpolation de Lagrange
P(x) =
n
X
i=0
P(i)Y
j6=i
xj
ij
que l’on évalue en x=n+ 1. On a déjà
Y
j6=i
(n+ 1) j
ij=n+ 1 i
n
i1::: ni+ 2 1ni 1
ni1
2::: 1 (ni)
=(n+ 1)!
ni+ 1
(1)ni
i! (ni)! = (1)nin+ 1 i,
d’où
P(n+ 1) =
n
X
i=0
(1)ni=0si npair
1si nimpair .
7 Tout polynôme réel positif est somme de deux carrés
Soit Pun polynôme à coe¢ cients réels qui est toujours positif. Montrer que Ps’écrit comme la somme
A2+B2de deux carrés de polynômes.
Solution proposée.
L’idée est que, Pne changant pas de signe, tout facteur Xle divisant doit apparaître un nombre pair
de fois (sinon Pchange de signe autour de ). Quant aux racines complexes, elles sont deux à deux conjuguées
car Pest à coe¢ cients réels. On peut donc casser Pdans Csous la forme
P=Y(Xi)2YXjXj.
Un oeil aguerri (ou pas) réécrira cela sous la forme
P=QQ avec Q=P=Y(Xi)YXj.
Il su¢ t de faire apparaître les parties réelle et imaginaire de Q=A+Bi pour conclure :
P=QQ = (A+iB) (AiB) = A2+B2.
4

8 Calculer sans se fatiguer
On se donne quatre réels a; b; c; d véri…ant
(a=p4p5a
b=p4 + p5b(c=p4p5 + c d=p4 + p5 + d.
Calculer le produit abcd.
Solution proposée.
L’idée est d’introduire un polynôme dont a; b; c; d seraient les racines, et de prendre son terme constant (qui
vaut abcd).
Les nombres aet bsont racines de X242= 5 X, ce qui se réécrit X48X2+X+ 11. De même, cet
dsont racines de X48X2X+ 11. La di¤érence entre les deux polynômes ne tenant qu’à un signe devant
l’unique puissance impaire X, il su¢ t de changer cet den leurs opposés, ce qui fournit les quatre racines du
polynôme X48X2+X+ 11, d’où le produit cherche abcd = 11.
Il reste toutefois à véri…er que a; b; c; dsont distincts. Si jamais a=b, alors
4p5a=a2=b2= 4 + p5b= 4 + p5a
=)a= 5 =)a=q4p55,absurde.
Les autres cas se traitent de manière analogue.
9 Une fonction localement polynomiale est un polynôme
Soit f:R! Rune application localement polynomiale, i.e. véri…ant
8a2R;9" > 0;9P2R[X]; f =Psur ]a"; a +"[.
Montrer qu’en fait fest un polynôme.
Solution proposée.
On sait déjà que fvaut un certain polynôme Psur un [0; "[avec " > 0. L’idée est de pousser le plus loin
possible le "tout en conservant f=Psur [0; "[. On introduit par conséquent
= sup f" > 0 ; f=Psur [0; "[g 2 R+[ f1g
et on va montrer que nécessairement =1.
Si ce n’est pas le cas, 2R, et par hypothèse fvaut un certain polynôme Qsur ];  +[pour un
 > 0. Comme de plus f=Psur 0;  
2, on en déduit P=Qsur ;   2et donc que le polynôme
PQa une in…nité de racines, i.e. PQ= 0. Ainsi, f=Psur [0;  +[, ce qui contredit la maximalité de .
Remarque. On peut généraliser l’énoncé aux polynômes à plusieurs indéterminées, cf. seconde feuille
sur les polynômes.
10 Deux équations polynomiales : PX2=P(X)P(X1)
Trouver tous les polynômes à ceo¢ cients complexes tels que
PX2=P(X)P(X+ 1) .
Trouver tous les polynômes à ceo¢ cients réels tels que
PX2=P(X)P(X1) .
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