recurrence

Σ
X
i=7
X
i=2
ai
i2 7 ai
i=7
X
i=2
ai=a2+a3+a4+a5+a6+a7
i=5
X
i=1
i2= 12+ 22+ 32+ 42+ 52= 55
2+4+6+· · · + 30 =
i=15
X
i=1
2i
•2 7
i=n2
X
i=n
ai=an+an+1 +an+2 +· · · +an2
−1+an2
•i
i j k
•

i=n
X
i=2
a= (n−1)a
•
i=n
X
i=0
axi=a
i=n
X
i=0
xi
•
i=n
X
i=0
ai+bi=
i=n
X
i=0
ai+
i=n
X
i=0
bi
•
i=n
X
i=0
ai=
i=p
X
i=0
ai+
i=n
X
i=p+1
ai
•
i=n
X
i=1
ai=
j=n−1
X
j=0
aj+1 j=i−1
i=n
X
i=0
aibi
Pnn
•Pn
•P0
•Pnn
Pn+1
•Pn
n
• ∀n∈N
i=n
X
i=0
i=n(n+ 1)
2
• ∀n∈N
i=n
X
i=0
i2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6
• ∀n∈N
i=n
X
i=0
i3=n2(n+ 1)2
4= i=n
X
i=1
i!2
• ∀q6= 1 ∀n∈N
k=n
X
k=0
qk=1−qn+1
1−q
•Pn
i=n
X
i=0
i=n(n+ 1)
2
n

•n= 0
i=n
X
i=0
i= 0 0(0 + 1)
2= 0 P0
•Pnn
i=n
X
i=0
i=n(n+ 1)
2
n+1
X
i=0
i=
i=n
X
i=0
i+n+1 = n(n+ 1)
2+n+1 = n(n+ 1) + 2(n+ 1) 2=
(n+ 1)(n+ 2)
2Pn+1
• ∀n∈N
i=n
X
i=0
i=n(n+ 1)
2
Pn
i=n
X
i=0
i2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6n= 0
i=n
X
i=0
i2= 02= 0 0(0 + 1)(2 ×0 + 1)
6= 0 P0
Pnn
i=n+1
X
i=0
i2=
i=n
X
i=0
i2+ (n+ 1)2=
n(n+ 1)(2n+ 1)
6+ (n+ 1)2=n(n+ 1)(2n+ 1) + 6(n+ 1)2 6=(n+ 1)(n(2n+1)+6n+ 6) 6=
(n+ 1)(2n2+ 7n+ 6)
6=(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3) 6=(n+ 1)((n+ 1) + 1)(2(n+ 1) + 1) 6Pn+1
Pn
n
Pn
i=n
X
i=0
i3=n2(n+ 1)2
4n= 0
i=n
X
i=0
i3= 03= 0 02(0 + 1)2
4= 0 P0Pn
n
i=n+1
X
i=0
i3=
i=n
X
i=0
i3+ (n+ 1)3=n2(n+ 1)2
4+ (n+ 1)3=
n2(n+ 1)2+ 4(n+ 1)3
4=(n+ 1)2(n2+ 4n+ 4) 4=(n+ 1)2(n+ 2)2 4Pn+1
Pnn
Pn
k=n
X
k=0
qk=1−qn+1
1−qn= 0
k=n
X
k=0
qk=q0= 1 1−q1
1−q= 1 P0Pnn
k=n+1
X
k=0
qk=
k=n
X
k=0
qk+qn+1 =1−qn+1
1−q+qn+1 =1−qn+1 +qn+1 −qn+2 1−q=
1−qn+2
1−qPn+1 Pn
n

•Pnn>n0n0
n0
•n
P0
P1Pn+2 PnPn+1
•
Pn∀k6n
Pnk
n
u0= 1 u1= 3 ∀n>2
un+2 = 3un+1 −2unPnun=
2n+1 −1
•n= 0 21−1 = 1 = u0n= 1 22−1 = 3 = u1P0
P1
•n PnPn+1
un= 2n+1 −1un+1 = 2n+2 −1un+2 = 3(2n+2 −1) −2(2n+1 −1) =
3×2n+2 −3−2n+2 + 2 = 2 ×2n+2 −1 = 2n+3 −1Pn+2
• ∀n∈Nun= 2n+1 −1
S=
i=n
X
i=1
1
i(i+ 1)
1
i−1 i+ 1 =i+ 1 −i i(i+ 1) =1 i(i+ 1)
i=n
X
i=1
1
i(i+ 1) =
i=n
X
i=1
1
i−
i=n
X
i=1
1
i+ 1 =
i=n
X
i=1
1
i−
j=n+1
X
j=2
1
j= 1 +
i=n
X
i=2
1
i−
j=n
X
j=2
1
j−1 n+ 1 = 1 −1 n+ 1
i=n
X
i=1
1
i−1 i+ 1 = 1 −1 2+1 2−1 3+· · · +1 n−1 n+ 1 = 1 −1 n+ 1

i=n
X
i=1
j=n
X
j=1
ipj=
j=n
X
j=1
i=n
X
i=1
ipj=X
16i,j6n
ipj n2
n n
j=n
X
j=1
i=n
X
i=1
ipj=
j=n
X
j=1 pj i=n
X
i=1
i!=
j=n
X
j=1 pj×n(n+ 1)
2=n(n+ 1) 2
j=n
X
j=1 pj
Q
i=5
Y
i=1
i= 1 ×2×3×4×5 = 120
n n!n! =
i=n
Y
i=1
i
i=n
Y
i=1
a=an(n+ 1)!
n!=
i=n+1
Y
i=1
i
i=n
Y
i=1
i
=n+ 1
•
i=n
Y
i=1
ai×
i=n
Y
i=1
bi=
i=n
Y
i=1
aibi
•
i=n
Y
i=1
ai=
i=p
Y
i=1
ai×
i=n
Y
i=p+1
ai
•
i=n+1
Y
i=2
ai=
j=n
Y
j=1
aj+1
i=n
Y
i=1
(ai+bi)
P=
i=n
Y
i=1
3i=
i=n
Y
i=1
3×
i=n
Y
i=1
i= 3nn!