Facultés Universitaires Notre-Dame de la Paix `a Namur Second

Facultés Universitaires Notre-Dame de la Paix à Namur
Second Baccalauréat en Sciences Mathématiques
Notes de Cours
Topologie
Frank Callier
31 mai 2006
Préface
i
Préface
Le cours de topologie traite la géométrie de l’analyse en termes d’ensembles abstraits
appelés ouverts et fermés. Par exemple, on y généralise les notions de limite et de continuité,
et on y accède à la notion de compacité.
Ces notes de cours forment un surensemble d’introduction (améliorable) aux notions et
résultats essentiels de la topologie. Pour plus de détail voir les sommaires des chapitres, dont
les pages sont indiquées par la table des matières, qui comprend huit chapitres : ouverts
et fermés, bases et sous-bases, fonctions continues, dénombrabilité et séparation, compacité, espaces produit, espaces métriques : propriétés fondamentales, et espaces métriques :
informations complémentaires. Des remarques finales sont données en guise de conclusion.
Parmi les résultats importants citons a) les Théorèmes de Continuité numérotés 3.7 et 4.4
(Continuité Séquentielle), 3.12 (Topologie Engendrée), et 6.5 (Continuité Produit) ; b) les
Théorèmes de Convergence numérotés 4.5 (Limite Unique) et 6.6 (Convergence Produit) ;
et c) les Théorèmes de Compacité numérotés 5.2 (Alexander), 5.3 (Heine-Borel), 5.13 et
7.11 (Compacité Séquentielle), 6.9 (Compacité Produit de Tychonoff), et 7.18 (Fermé et
Totalement Borné).
Une bibliographie succincte contient :
1. J.L. Kelley, ” General Topology ”, Van Nostrand, New-York,1955.
2. H.L. Royden, ” Real Analysis ”, MacMillan, New-York,1968, (esp. Chap. 8 and 9).
3. S. Lipschutz, ” Theory and Problems of General Topology ”, Shaum Publishing Co.,
New-York, 1965.
4. L. Schwartz, ” Analyse I : Théorie des Ensembles et Topologie ”, Hermann, Paris,
1992.
L’ouvrage de Lipschutz de la Collection Shaum est spécialement recommandé aux étudiants
débutants (existe en traduction française) (exercices résolus !). Il est la source d’inspiration
principale de l’auteur.
Les livres de Laurent Schwartz et de Royden sont écrits à l’ intention de l’étudiant avancé.
Tandis que le livre de Kelley est la bible (historique) des experts en topologie. Finalement
beaucoup d’ouvrages récents existent ainsi que des informations complémentaires : utiliser
l’excellent moteur de recherche http ://www.google.com .
Table des matières
1 Propriétés fondamentales
1
2 Bases et sous-bases
14
3 Fonctions continues
22
4 Dénombrabilité et séparation
33
5 Compacité
40
6 Espaces produit
51
7 Espaces métriques : propriétés fondamentales
63
8 Espaces métriques : informations complémentaires
83
En guise de conclusion
97
Avis aux lecteurs : ”s.p.d.g.” veut dire ”sans perte de généralité ” (similaire à ”w.l.g.”
i.e. ”without loss of generality”). Les raisonnements mathématiques se font à l’aide d’un
système de références locales aux équations concernées. Les erreurs éventuelles sont dûes
à l’auteur, qui aimerait bien en être informé.
Chapitre 1
Propriétés fondamentales
Sommaire
• Espace topologique – ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
2
Définition [Topologie] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Définition [Moins Fine, Plus Faible] . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Théorème [Intersection de Topologies] . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Définition [Voisinage] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Théorème [Ouverts] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.6
Définition [Point d’ Accumulation] . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Définition [Fermé] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.8
Théorème [Axiomes des Fermés] . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.9
Théorème [Fermés] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
• Fermeture d’ une partie A de (X, T ) . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.7
1.10 Définition [Fermeture] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.11 Proposition [Fermeture] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.12 Proposition [Point de fermeture] . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.13 Proposition [Fermeture et accumulation] . . . . . . . . . . . .
9
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.14 Définition [Dense] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
• Intérieur d’ une partie A de (X, T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.15 Définition [Intérieur]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
10
2
Chapitre 1. Propriétés fondamentales
1.16 Proposition [Intérieur]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.17 Proposition [Point intérieur] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.18 Définition [Frontière] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Convergence, Sous-espace, Topologie relative . . . . . . . . . . . .
11
11
1.19 Définition [Convergence dans (X, T )] . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.20 Définition [Topologie Relative, Sous-Espace] . . . . . . . . . .
12
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Topologie usuelle Tu sur IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.21 Définition [Topologie Usuelle] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
12
13
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Espace topologique – ouverts et fermés
1.1
Définition [Topologie]
Soit X un ensemble non vide. Une classe T ⊂ P(X) est une topologie sur X si et
seulement si
O1 )
∅ et X ∈ T ;
O2 )
∀ (Gi )i∈I ⊂ T :
O3 )
Si G1 et G2 ∈ T ,
S
i∈I
Gi ∈ T ;
alors G1
T
G2 ∈ T .
On dit alors que (X, T ) est un espace topologique et les éléments de T sont appelés
des ouverts notés par G.
3
Chapitre 1. Propriétés fondamentales
Exemples
1.
(X, P(X)) = espace topologique discret ;
2.
(X, {∅, X}) = espace topologique indiscret ou grossier.
3.
(IR, T )
T = {(a, ∞) : a ∈ IR} ( il est sous-entendu que ∅ et IR ∈ T ).
où
Par la suite il est important de savoir les faits suivants.
(Ai )i∈I ⊂ P(X)
1. Convention :
Par définition,
[
i∈I
où I = ∅ ;
\
Ai = ∅ ,
Ai = X .
i∈I
2. Les axiomes O1 ) , O2 ) et O3 ) sont équivalents à :
S
O1′ ) Si (Gi )i∈I ⊂ T , alors
Gi ∈ T ;
i∈I
T
O2′ ) Si (Gi )i∈I ⊂ T
où I est fini, alors
Gi ∈ T .
i∈I
Preuve :
⇒ :
O2) ⇒ O1′ )
⇐ :
O1′ ) ⇒ O2 ) et
En outre, avec
et
O3 ) ⇒ O2′ ) .
O2′ ) ⇒ O3 ) .
(Gi )i∈I ⊂ T
[
i∈I
où I = ∅ ,
\
Gi = ∅ ∈ T ,
i∈I
|
Gi = X ∈ T
O2′
O1′
1.2
|
Définition [Moins Fine, Plus Faible]
Soient T1 et T2 deux topologies sur X .
On dit que T1 est moins fine (plus faible) que T2 si et seulement si
T1 ⊂ T2
i.e.
G ∈ T1
⇒
G ∈ T2 .
4
Chapitre 1. Propriétés fondamentales
N.B. On peut avoir plusieurs topologies sur un ensemble X .
1.3
Théorème [Intersection de Topologies]
Soit (Ti )i∈I une famille de topologies sur X .
T
Alors,
Ti est une topologie sur X .
i∈I
N.B. Si (Ti )i∈I est la famille de toutes les topologies sur X , alors
T
i∈I
la moins fine sur X ( i.e. la topologie indiscrète).
Preuve :
O1 )
O2 )
O3 )
1.4
Ti est la topologie
contrôler les axiomes d’une topologie :
∀ i ∈ I , ∅ ∈ Ti
⇒
∅∈
∀ i ∈ I , X ∈ Ti
⇒
X∈
(Gj )j∈J ⊂ Ti , ∀ i ∈ I ,
G1 , G2 ∈ Ti , ∀ i ∈ I ,
⇒
⇒
T
i∈I
[
j∈J
Ti ,
T
i∈I
Ti .
Gj ∈ Ti , ∀ i ∈ I ,
G1 ∩ G2 ∈ Ti , ∀ i ∈ I ,
⇒
⇒
[
j∈J
Gj ∈
\
i∈I
G 1 ∩ G2 ∈
Ti .
\
i∈I
Ti .
Définition [Voisinage]
Si p ∈ (X, T ), alors V ∈ P(X) est un voisinage de p (i.e. V ∈ V(p) ) ssi il existe un ouvert
contenant p , noté Gp , contenu dans V , i.e. p ∈ Gp ⊂ V .
'
&
r
p
Gp
$
V
“ V contient
%
toujours un voisinage ouvert”
5
Chapitre 1. Propriétés fondamentales
1.5
Théorème [Ouverts]
Soit (X, T ) donné.
G∈T
⇔
[ G est ouvert ]
∀p∈G
∃ Gp ∈ T tel que p ∈ Gp ⊂ G
“ G est voisinage de chacun de ses points”
Preuve :
⇒ :
⇐ :
prendre Gp = G .
Noter que pour tout p ∈ G , il existe Gp ∈ T tel que {p} ⊂ Gp ⊂ G .
S
S
S
Prendre alors
, et on obtient G =
{p} ⊂
Gp ⊂ G ,
p∈G
tel que G =
S
p∈G
∈ T .
Gp
p∈G
|
∈T
1.6
p∈G
|
O2 )
Définition [Point d’ Accumulation]
Soit A ⊂ (X, T ) .
A'
q r
&
$
G
p
r p
%
p est un point d’accumulation de A ⊂ X ssi,
pour tout Gp ∈ T :
\
(Gp \ {p})
A 6= ∅
[tout voisinage de p contient un point q de A autre que p ]
On appelle ensemble dérivé de A l’ensemble noté A′ de ses points d’accumulation.
Exemple
Considérer X = IR , T = {(a, ∞) : a ∈ IR} , et A = (0, 1) .
Alors A′ = (−∞, 1] .
6
Chapitre 1. Propriétés fondamentales
Il suffit de noter que Gp = (p − ǫ, ∞) où ǫ > 0 , tel que Gp \ {p} = (p − ǫ, p) ∪ (p, ∞).
Ainsi
p ∈ A′
⇔
⇔
⇔
⌈
1.7
∀ ǫ > 0 : [(p − ǫ, ∞) \ {p}] ∩ (0, 1) 6= ∅
[
∀ ǫ > 0 : [(p − ǫ, p) ∩ (0, 1)] [(p, ∞) ∩ (0, 1)] 6= ∅
p≤1.
Etudier les cas
p≤0,
0 < p ≤ 1 , et 1 < p
Définition [Fermé]
Soit (X, T ) un espace topologique. F ⊂ X est fermé ssi F c ∈ T .
L’ensemble des fermés est noté F et les fermés sont notés par F .
Exemple
T = {(a, ∞) : a ∈ IR} ,
X = IR ,
(a, ∞)c = (−∞, a] ∈ F .
Rappel : Lois de de Morgan Soit (Ai )i∈I ⊂ P(X) , alors
"
#c
"
#c
[
\
\
[
Ai =
Aci et
Ai =
Aci .
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
Ainsi, par les définitions, on obtient les deux théorèmes suivants.
1.8
Théorème [Axiomes des Fermés]
Soit (X, T ) donné et soit F la classe de ses fermés.
On a :
F1 )
∅ et X ∈ F ;
F2 )
Si
F3 )
Si
(Fi )i∈I ⊂ F ,
F1 , F2 ∈ F ,
T
Fi ∈ F ;
S
alors F1
F2 ∈ F .
alors
i∈I
⌋
7
Chapitre 1. Propriétés fondamentales
Remarque On peut construire une topologie à partir des fermés en utilisant leurs propriétés ci-dessus comme axiomes.
1.9
Théorème [Fermés]
Soit A ⊂ (X, T ) .
Alors,
A∈F
A′ ⊂ A
⇔
“ A contient ses points d’accumulation”
A∈F
Preuve :
⇔
Pour tout p ∈
/A,
⇔
Ac ∈ T .
il existe Gp ∈ T
'
p r
⇔
Pour tout p ∈
/A,
⇒
⇐
⇔
p∈
/ A′
&
tel que
Gp ⊂ Ac
G$
p
A
%
évident : (Gp \ {p}) ∩ A ⊂ Gp ∩ A = ∅
Comme p ∈
/ A, {p} ∩ A = ∅. Comme p ∈
/ A′ , il existe un Gp ∈ T tel que
(Gp \ {p}) ∩ A = ∅. Il suit qu’il existe un Gp ∈ T tel que Gp ∩ A = ∅, i.e. il
existe Gp ∈ T tel que Gp ⊂ Ac .
Ac ⊂ (A′ )c
⇔
A′ ⊂ A .
Fermeture d’une partie A de (X, T )
“Approximation extérieure de A par ses fermés”.
8
Chapitre 1. Propriétés fondamentales
1.10
Définition [Fermeture]
A := fermeture de A :=
p∈A
1.11
déf
⇐⇒
\
{F ∈ F : F ⊃ A}
p est un point de fermeture
Proposition [Fermeture]
Soit A la fermeture de A .
Alors,
i)
A∈F ,
A⊂A.
ii)
F ∈F ,
A⊂F
A∈F
iii)
⇔
A⊂F .
⇒
A=A.
Preuve :
i)
ii)
iii)
suit par la définition et par F2 ).
suit par la définition de A .
⇐: A=A∈F
⇒ : A ∈ {F ∈ F : F ⊃ A} d’où A ⊂ A ⊂ A
|
déf.
1.12
|
⇒
ii)
Proposition [Point de fermeture]
p∈A
⇔
∀ Gp ∈ T
Gp ∩ A 6= ∅
A=A
9
Chapitre 1. Propriétés fondamentales
Preuve :
'
F
&
p∈A
$
A
⇔
p∈
/A
r p
%
∀F ∈F ,
⇔
F ⊃A,
∃F ∈F :
⇔
F ⊃A,
∃ Gp ∈ T :
⇒:
⇐:
p∈F
p∈
/F
Gp ∩ A = ∅
prendre Gp = F c
prendre F = Gcp d’ où
F ∈F ,
F ⊃A,
p∈
/F .
(Gp ⊂ Ac )
1.13
Proposition [Fermeture et accumulation]
A = A ∪ A′
Preuve :
'
p r
&
G$
p
%
c
A
⇔
p∈A
∃ Gp ∈ T :
⇔
p∈
/A
et
∃ Gp ∈ T :
⇔
p∈
/A
et
p∈
/ A′
Gp ∩ A = ∅
[Gp \ {p}] ∩ A = ∅
⇔
0n obtient que
c
A = Ac ∩ [A′ ]c
A = A ∪ A′ .
⇔
Exemple
X = IR ,
T = {(a, ∞) : a ∈ IR} ,
A′ = (−∞, 1] ,
1.14
A = (0, 1) ,
A = (−∞, 1] .
Définition [Dense]
Soit A ⊂ (X, T ),
alors A est dense dans X ssi
A = X.
p ∈ Ac ∩ [A′ ]c
10
Chapitre 1. Propriétés fondamentales
Intérieur d’une partie A de (X, T )
“Approximation intérieure de A par des ouverts”
1.15
Définition [Intérieur]
◦
A := intérieur de A :=
◦
déf
[
{G ∈ T : G ⊂ A}
p ∈ A ⇐⇒ p est un point intérieur de A
1.16
Proposition [Intérieur]
◦
Soit A l’intérieur de A ⊂ (X, T )
◦
◦
i)
A∈T ,
A⊂A.
ii)
G∈T ,
G⊂A
A∈T
iii)
⇔
◦
◦
⇒
G⊂A.
A=A.
Preuve :
i)
ii)
suit par la définition et par O2 ).
par définition.
◦
iii)
⇐: A=A∈T
◦
◦
⇒ : A ∈ {G ∈ T : G ⊂ A} d’où A ⊂ A ⊂ A
|
ii)
|
déf.
⇒
A=A
11
Chapitre 1. Propriétés fondamentales
1.17
Proposition [Point intérieur]
◦
p∈A
⇔
∃ Gp ∈ T : Gp ⊂ A
Preuve :
◦
⇒:
prendre
Gp = A .
⇐:
Gp ∈ {G ∈ T : G ⊂ A}
◦
⇒
p ∈ Gp ⊂ A .
|
ii)
1.18
Définition [Frontière]
◦
Soit A ⊂ (X, T ). Alors, ∂A := A \ A
est la frontière de A.
Exemple
X = IR ,
A = (0, 1) ,
T = {(a, ∞) : a ∈ IR} ,
A′ = (−∞, 1] ,
◦
A = A ∪ A′ = (−∞, 1] ,
A=∅
◦
⌈p∈A
⇔ ∃ Gp :
⇔ ∃ǫ>0:
Gp ⊂ A
(p − ǫ, ∞) ⊂ (0, 1) :→← ⌋
◦
∂A = A \ A = (−∞, 1]
Convergence, topologie relative, sous-espace
12
Chapitre 1. Propriétés fondamentales
1.19
Définition [Convergence dans (X, T )]
Considérons une suite (xn )∞
1 ⊂ (X, T ) et un point p ∈ X .
Alors,
xn → p (n → ∞) ou
⇔ ∀ Gp ∈ T ,
lim xn = p
n→∞
∃ N(Gp ) :
n>N
⇒
xn ∈ Gp .
p est un point de convergence de (xn )∞
1 .
Exemple
Exercice : Considérer (IR, T ) où T := {(a, ∞) : a ∈ IR}.
Alors ∃ p ∈ IR : xn → p (n → ∞) ssi x∗ := lim inf xn ∈ IR ∪ {∞}
n→∞

p ≤ x
si x∗ ∈ IR ,
∗
et alors
p ∈ IR
si x∗ = ∞ .
1.20
Définition [Topologie Relative, Sous-Espace]
Soit A ⊂ (X, T ) .
TA est la topologie relative à A si et seulement si
TA = {H ⊂ X :
∃G∈T :
H = G ∩ A}
= {intersections d’ouverts avec A}
(A, TA ) est un sous-espace topologique de (X, T ) .
Exemple
X = IR ,
T = {(a, ∞) : a ∈ IR} ,
A = IR+ = [0, ∞) ,
TA = {(a, ∞) ∩ IR+ :
a ∈ IR}
Topologie usuelle Tu sur IR
13
Chapitre 1. Propriétés fondamentales
N.B.
par la suite Ip est un intervalle ouvert de IR contenant p .
1.21
Définition [Topologie Usuelle]
Soit X = IR. G ⊂ IR est un ouvert usuel de IR, i.e. G ∈ Tu : = topologie usuelle de IR
ssi
∀ p ∈ G ∃ Ip ⊂ G ,
i.e.
G = réunion d’intervalles ouverts de IR .
Exemples
(0, 1) = ouvert
[0, 1] = [(−∞, 0) ∪ (1, ∞)]c = fermé
Rappels
Q
I = {rationnels} est dense dans IR
tout ouvert est une réunion dénombrable d’intervalles ouverts
Remarques
1. L’intersection de deux intervalles ouverts Ip1 et Ip2 contient un Ip
Il suit que l’ intersection de deux ouverts de IR est ouverte.
2. Topologie usuelle sur IRn : définir les boules ouvertes, i.e.
B(c, r) = {x ∈ IRn :
|x − c|2 < r}
et
Bp := boule ouverte contenant p
Alors,
déf
G ∈ Tu ⇐⇒ ∀ p ∈ G ∃ Bp : Bp ⊂ G
[
⇔ G = {boules ouvertes}
Chapitre 2
Bases et sous-bases
Sommaire
• Définitions et théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1
Définitions [Base et Sous-Base] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2
Théorème [Bases]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3
Théorème [Sous-bases] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Exemples [Bases : boules, cubes, losanges] . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Exemple [Sous-base : bandes] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
• Bases locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4
Définition [Bases Locales] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.5
Proposition [Localisation] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.6
Théorème [Définitions simplifiées]
20
. . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple [boules centrées] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
21
15
Chapitre 2. Bases et sous-bases
Définitions et théorèmes
Notation Un élément de B contenant p est noté Bp .
2.1
Définitions [Base et Sous-Base]
Soit (X, T ) donné et soient B, S ⊂ T .
1. B est une base de T ssi
B1 )
⇔
B1′ )
S
∀G∈T
G=
∀ G∈T,
∀p∈G
Bi
∀i∈I
où
i∈I
Bi ∈ B.
∃ Bp ∈ B tel que Bp ⊂ G
(“tout p ∈ G admet un voisinage fondamental”).
2. S est une sous-base de T ssi
B := {B ⊂ X :
B=
\
Si ,
I finie,
i∈I
est une base de T .
∀i∈I
Si ∈ S}
Proposition
B1 )
Preuve :
⇒:
⇐:
p∈G=
S
Bi
i∈I
∀p∈G:
(Bi ∈ B)
{p} ⊂ Bp ⊂ G
[
⇒
p∈G
d’où
G=
S
p∈G
Bp
⇔
B1′ )
∃ Bi = Bp tel que Bp ⊂ G .
⇒
G⊂
[
p∈G
Bp ⊂ G ,
où tout Bp ∈ B .
“ B et S forment les fondations d’une topologie”
16
Chapitre 2. Bases et sous-bases
2.2
Théorème [Bases]
B ⊂ P(X) est base d’une topologie T sur X
S
⇔
i) X = i∈I Bi où ∀ i ∈ I Bi ∈ B .
ii)
∀ B1 , B2 ∈ B
B1 ∩ B2 =
[
où ∀ i ∈ I
Bi
i∈I
⇔ ∀ p ∈ B1 ∩ B2 ,
Bi ∈ B
∃ Bp ∈ B :
Bp ⊂ B1 ∩ B2 .
En outre T est unique. On dit que B définit T .
Preuve :
⇒ : suit par la définition d’une base comme X ∈ T et B1 ∩ B2 ∈ T .
⇐ : T := {G ⊂ X :
G=
S
i
Bi
On vérifie les axiomes :
O1 ) : X ∈ T par i) ,
O2 ) : (Gj )j∈J ⊂ T
∅ (=union vide) ∈ T .
S
⇒
Gj ∈ T (par la définition de T ).
j∈J
O3 ) : G1 et G2 ∈ T
p ∈ G1 ∩ G2
(Bi ∈ B)} est une topologie sur X .
⇒ ∃ B1 , B2 ∈ B :
ii)
p ∈ B1 ∩ B2 ⊂ G1 ∩ G2
⇒ ∃ Bp ∈ B :
Bp ⊂ B1 ∩ B2 ⊂ G1 ∩ G2
[
⇒ G1 ∩ G2 =
{Bp : p ∈ G1 ∩ G2 } ⇒
G1 ∩ G2 ∈ T .
On montre que T est unique.
Soit T ∗ une topologie admettant la base B. Alors
S
G∈T
⇒ G=
Bi où pour tout i Bi ∈ B ⊂ T ∗
i∈I
Il suit que T ⊂ T ∗ et, par symétrie, T ∗ ⊂ T , d’où T = T ∗ .
⇒
G ∈ T ∗.
17
Chapitre 2. Bases et sous-bases
2.3
Théorème [Sous-bases]
Soit A ⊂ P(X). Alors,
i)
ii)
A est sous-base d’une seule topologie T sur X .
T
T = {Ti : Ti ⊃ A}
i∈I
= intersection des topologies contenant A
Il suit que
T = topologie la moins fine contenant A
=: topologie engendrée par A
Preuve :
i) B = {B ⊂ X : B =
2.2. En effet,
T
f
[A ∈ A]} est base d’une topologie T sur X par le Théorème
a) X ∈ B (car on admet l’intersection vide).
b) B1 , B2 ∈ B
⇒
B1 ∩ B2 ∈ B : donc réunion d’éléments de B .
On montre que T est unique. Soit T ∗ une topologie admettant la sous-base A .
Alors,
G∈T
⇒
G=
[ \
{ [A ∈ A ]} ∈ T ∗
f
par O3 ) et O2 )
∈T∗
Il suit que T ⊂ T ∗ , et par symétrie, T ∗ ⊂ T .
T
ii)
{Ti : Ti ⊃ A} est une topologie par le Théorème 1.3. Comme T ⊃ A , il suit que
i
T
{Ti : Ti ⊃ A} ⊂ T . Le converse est vrai : si G ∈ T , alors
i
G=
[ \
{ [A ∈ A ]} ∈ Ti
f
et donc T ⊂
T
i
{Ti : Ti ⊃ A} .
∈ Ti
∀i,
18
Chapitre 2. Bases et sous-bases
Exemples [Bases : boules, cubes, losanges]
1. X = IRn . Soit B := {B(c, ε) : c ∈ IRn , ε > 0}
=: {boules ouvertes de centre c et de rayon ε}
où B(c, ε) = {x ∈ IRn : |x − c|2 < ε}
1
P
où, avec x = (xi )i∈n ∈ IRn , |x|2 := { ni=1 |xi |2 } 2 est la norme Euclidienne.
B est base d’une topologie par le Théorème 2.2 :
S
(a) X =
B(0, ε)
ε>0
(b) Soient Bi = B(ci , εi ) , i = 1, 2 , et p ∈ B1 ∩ B2 . Prendre ε < εi − |ci − p| ,
i = 1, 2. On obtient qu’il existe un ε > 0 tel que B(p, ε) ⊂ B1 ∩ B2 (voir
Figure).
'$
B1'$
B2
r c2
p
r rh
c1 &%
&%
B(p, ε)
La topologie définie par B est notée T2 := Tu (la topologie induite par | · |2 est
la topologie usuelle). Noter que pour
n=1:
n=2:
B = {intervalles ouverts} .
B = {disques ouverts} .
2. X = IRn . Considérons
C(c, ε) := cube ouvert de centre c et de paramètre ε
=
{x ∈ IRn :
|x − c|∞ < ε}
où, avec x = (xi )i∈n ∈ IRn , |x|∞ := supi∈n |xi | est la norme sup.
(voir Figure pour n = 2).
ε
ε
c
Considérons alors B := {C(c, ε) : c ∈ IRn , ε > 0} .
B est base d’une topologie sur IRn notée par T∞ .
19
Chapitre 2. Bases et sous-bases
3. X = IRn . Considérons
L(c, ε) := losange ouvert de centre c et de paramètre ε > 0
{x ∈ IRn : |x − c|1 < ε}
P
où, avec x = (xi )i∈n ∈ IRn , |x|1 := ni=1 |xi | est la norme somme.
(voir Figure pour n = 2).
@
=
ε @@
ε @
c
@
@
@
@
Considérons alors B := {L(c, ε) : c ∈ IRn , ε > 0} .
B est base d’une topologie sur IRn notée par T1 .
Exemple [Sous-base : bandes]
Soit X = IRn . Considérons A = {A ∈ A} = {bandes ouvertes} où
A = {x = (xi )i∈n ∈ IRn : ∃! j ∈ n : xj ∈ (a, b) ⊂ IR
(voir Figure pour n = 2).
∀ i 6= j , xi ∈ IR } .
et
6x2
-
x1
La topologie engendrée par A est T∞ (définie par les cubes ouverts).
Exercice : (IR, Tu ) est engendrée par A := { (a, ∞) , (−∞, b) : a ∈ IR , b ∈ IR }.
Bases locales
2.4
Définition [Bases Locales]
Soit p ∈ (X, T ) . Une base locale en p est une classe Bp de voisinages ouverts de p ,
notés Bp , telle que
∀ Gp ∈ T , ∃ Bp ∈ Bp : Bp ⊂ Gp .
20
Chapitre 2. Bases et sous-bases
⌈
“ Bp système fondamental de voisinages ouverts”.
“Tout voisinage ouvert contient un voisinage fondamental”. ⌋
2.5
Proposition [Localisation]
Soit B une base de (X, T ) .
Alors,
△
△
{éléments de B contenant p} = {Bp ∈ B} = Bp
est une base locale en p .
Preuve :
par B1′ ) ∀ Gp ∈ T ,
∃ Bp ∈ B :
Bp ⊂ Gp .
Une base locale sert à simplifier les définitions.
2.6
Théorème [Définitions simplifiées]
Soit (X, T ) donné et soient A ∈ P(X) , (an ) ⊂ X , p ∈ X .
Bp est base locale en p . Alors
p∈A
i)
ii)
p ∈ A′
iii)
an → p
⇔
∀ Bp ∈ Bp
Bp ∩ A 6= ∅
⇔
∀ Bp ∈ Bp
[Bp \ {p}] ∩ A 6= ∅
⇔
∀ Bp ∈ Bp ∃ N[Bp ] :
n > N ⇒ an ∈ Bp
Preuve :
⇒ : évident car tout Bp est un Gp .
⇐ : tout Gp contient un Bp
i)
ii)
iii)
Gp ∩ A ⊃ Bp ∩ A 6= ∅
[Gp \ {p}] ∩ A ⊃ [Bp \ {p}] ∩ A 6= ∅
tout Gp ⊃ Bp tel que ∃ N[Bp ] : n > N ⇒ an ∈ Bp
Prendre N[Gp ] = N[Bp ]. Il suit que pour tout Gp ∈ T , il existe N[Gp ] tel que
n > N ⇒ an ∈ Gp .
21
Chapitre 2. Bases et sous-bases
Exemple [boules centrées]
Considérons (IRn , Tu ) . On a que
Bp := {B(p, ε) : ε > 0}
=: {boules centrées en p} = base locale en p
En effet, par la Proposition 2.5, les boules ouvertes Bp contenant p forment une base
locale en p et tout Bp contient une boule ouverte B(p, ε) centrée en p (voir Figure).
Il suit que pour tout Gp , il existe B(p, ε) tel que B(p, ε) ⊂ Bp ⊂ Gp .
'
Bp
'
B(p, ε)
&
&
$
$
Gp
rp
%
%
Conséquences : Par le Théorème 2.6 il suit que :
i) p ∈ A
ii) p ∈ A′
⇔
∀ε>0,
∃a∈A:
⇔
∀ε>0,
∃ a ∈ A , a 6= p :
n
iii) (an )∞
1 ⊂ IR
an → p
⇔
|a − p|2 < ε .
|a − p|2 < ε .
∀ ε > 0 , ∃ N(ε) :
n > N ⇒ |an − p|2 < ε .
Chapitre 3
Fonctions continues
Sommaire
• Continuité globale, locale et séquentielle . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.1
Définitions [Continuités] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.2
Proposition [par une Sous-base ou les Fermés] . . . . . . . . .
23
3.3
Proposition [Composition] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.4
Proposition [Bases Locales] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Application [Continuité ”epsilon-delta”] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.5
Théorème [Continu partout] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.6
Proposition [Base locale dénombrable emboı̂tée] . . . . . . . .
26
3.7
Théorème [Continuité locale et séquentielle] . . . . . . . . . .
27
• Espaces topologiques équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.8
Définitions [Espaces Equivalents] . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.9
Théorème [Bijection entre espaces] . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.10 Corollaire [Topologies identiques] . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.11 Définition [Propriété Topologique] . . . . . . . . . . . . . . . .
29
n
Proposition [Topologies identiques sur IR ] . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Topologie engendrée par une classe de fonctions . . . . . . . . . .
3.12 Théorème [Topologie engendrée] . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
30
31
31
23
Chapitre 3. Fonctions continues
Continuité globale, locale et séquentielle
3.1
Définitions [Continuités]
Considérons la fonction f telle que
f:
f est continue ssi ∀ G∗ ∈ T ∗
(X, T ) → (Y, T ∗ ) :
x 7→ f (x) .
f −1 [G∗ ] ∈ T .
f est continue en p ssi ∀ G∗f (p) ∈ T ∗ f −1 [G∗f (p) ] ∈ V(p),
i.e. il existe Gp ∈ T tel que Gp ⊂ f −1 [G∗f (p) ] .
f est séquentiellement continue en p ∈ X ssi ∀ (an ) ⊂ X tel que an → p
f (an ) → f (p) .
Notes
1. continu =
le réciproque de tout ouvert est ouvert.
2. (localement) continu en p =
le réciproque de tout voisinage (ouvert) est un voisinage .
3. Le réciproque f −1 commute avec
c
,∪,∩.
4. Le réciproque d’une composition est tel que (g ◦ f )−1 [A] := f −1 [g −1 (A)] .
3.2
Proposition [par une Sous-base ou les Fermés]
Soit f une fonction f : (X, T ) → (Y, T ∗ ) , et soient S ∗ une sous-base de T ∗ et F ∗
la classe de ses fermés.
Alors, f est continue ssi
a) ∀ S ∗ ∈ S ∗ f −1 [S ∗ ] ∈ T ,
ou
b) ∀ F ∗ ∈ F ∗ f −1 [F ∗ ] ∈ F .
24
Chapitre 3. Fonctions continues
Preuve :
S∗ ⊂ T ∗ .
a) ⇒ : par la définition car
⇐ : pour tout G∗ ⊂ T ∗ ,
G∗ =
[ n\
f
d’où
f
−1
∗
(G ) =
[ n\
f
(utiliser O3 ) et O2 )).
o
(S ) : S ∈ S ] ∈ T .
{z
}
∗
∗
∗
∈T
. . . [f −1 [F ∗ ]]c = f −1 [F ∗c ] . . . .
b)
3.3
[f
|
−1
o
[S ∗ ∈ S ∗ ] ,
Proposition [Composition]
Soient f et g deux fonctions continues telles que
f : (X, T ) → (Y, T ∗ ) et
g : (Y, T ∗ ) → (Z, T ∗∗ ) ,
Alors
g ◦ f : (X, T ) → (Z, T ∗∗ )
est continue.
Preuve :
pour tout G∗∗ ∈ T ∗∗ , [g ◦ f ]−1 [G∗∗ ] = f −1 [g −1 [G∗∗ ]] ∈ T .
| {z }
∈T ∗
25
Chapitre 3. Fonctions continues
3.4
Proposition [Bases Locales]
Soient Bp et Bf∗(p) des bases locales en p de (X, T ), respectivement en f (p) de
(Y, T ∗ ).
Alors
f est continue en p
⇔
tout réciproque d’un voisinage fondamental de f (p)
contient un voisinage fondamental de p ,
i.e.
∀ Bf∗(p) ∈ Bf∗(p)
∃ Bp ∈ Bp :
Bp ⊂ f −1 [Bf∗(p) ] .
Preuve :
⇒ : Un Bf∗(p) est un G∗f (p) . Il existe donc un Gp ∈ T tel que Gp ⊂ f −1 [Bf∗(p) ] .
Comme Bp est base locale de p , il existe un Bp ∈ Bp tel que Bp ⊂ Gp ⊂ f −1 [Bf∗(p) ] .
⇐ : Pour tout G∗f (p) il existe un Bf∗(p) ⊂ G∗f (p) , pour lequel il existe un Bp ∈ T tel que
Bp ⊂ f −1 [Bf∗(p) ] ⊂ f −1 [G∗f (p) ] .
Application [Continuité “epsilon-delta”]
Considérer (X, T ) = (IRn , Tu ) et (Y, T ∗ ) = (IR, Tu ),
avec Bf∗(p) = {(f (p) − ε, f (p) + ε) : ε > 0} et Bp = {B(p, δ) : δ > 0}.
Alors f est continue en p
ssi
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : B(p, δ) ⊂ f −1 [f (p) − ε, f (p) + ε)] ,
i.e.
∀ε>0 ∃δ>0:
|x − p|2 < δ ⇒ |f (x) − f (p)| < ε .
26
Chapitre 3. Fonctions continues
3.5
Théorème [Continu partout]
f est continue
⇔ ∀p∈X
f est continue en p
Preuve :
⇒ : Prendre G∗f (p) ∈ T ∗ arbitraire, alors p ∈ f −1 [G∗f (p) ] ∈ T .
Ainsi il existe Gp = f −1 [G∗f (p) ] ∈ T tel que Gp ⊂ f −1 [G∗f (p) ].
⇐ : Prendre G∗ ∈ T ∗ arbitraire. On montre que f −1 [G∗ ] est voisinage de chacun de ses
points. En effet, avec p ∈ f −1 [G∗ ] on obtient que G∗ est un G∗f (p) , et ainsi il existe
Gp ∈ T tel que Gp ⊂ f −1 [G∗ ].
3.6
Proposition [Base locale dénombrable emboı̂tée]
Si p ∈ (X, T ) est tel qu’il existe une base locale dénombrable Bp en p , alors
a) S.p.d.g. (sans perte de généralité), Bp est emboı̂tée, i.e.
Bp est telle que Bp = (Bpn )n∈IN :
b) Si
Bp = (Bpn )n∈IN
alors,
Bp1 ⊃ Bp2 ⊃ · · ·
est emboı̂tée, et (an ) ⊂ X : an ∈ Bpn pour tout n,
an → p ( n → ∞ ).
Preuve :
e n := Tn B j .
a) Si Bp = (Bpn )n∈IN n’est pas emboı̂tée, on définit pour tout n ∈ IN, B
p
j=1 p
n
1
2
e
e
e
e
Alors Bp = (Bp )n∈IN est une base locale emboı̂tée, car Bp ⊃ Bp ⊃ · · · , et pour tout
e n tel que B
e n ⊂ B n ⊂ Gp .
Gp il existe B
p
p
p
b) Pour tout n
an ∈ Bpn . Dès lors ∀ BpN
∃ N tel que n > N ⇒ an ∈ Bpn ⊂ BpN .
27
Chapitre 3. Fonctions continues
3.7
Théorème [Continuité locale et séquentielle]
a)
f est continue en p
⇒
f est séq. continue en p .
b) Si (X, T ) admet en p une base locale dénombrable,
alors
f est séq. continue en p
⇒
f est continue en p .
Preuve :
a) Soit (an ) ⊂ X tel que an → p. On montre que f (an ) → f (p) . Soit G∗f (p) ∈ T ∗ . Alors
il existe Gp ⊂ f −1 [G∗f (p) ]. En outre il existe N[Gp ] tel que ∀n > N ,
an ∈ Gp ⊂ f −1 [G∗f (p) ]. Ainsi il existe N[G∗f (p) ] := N[Gp ] tel que ∀n > N ,
f (an ) ∈ G∗f (p) . Il suit que f (an ) → f (p).
b) Soient Bp = (Bpn )n∈IN une base locale dénombrable en p et Bf∗(p) une base locale en
f (p) ; on a que s.p.d.g. Bp est emboı̂tée. On a les assertions A := {f séq. continue en
p } et B := { f continue en p }. On montre que ¬B implique ¬A, d’ où A implique
B (ce qu’il faut démontrer). Notons que
B = {∀ Bf∗(p) , ∃ Bpn ∈ Bp :
Bpn ⊂ f −1 [Bf∗(p) ]} ,
tel que ¬B donne
∃ Bf∗(p) :
∀ Bpn ∈ Bp
Bpn 6⊂ f −1 [Bf∗(p) ]
d’ où
∃ Bf∗(p) :
∀ n ∃ an ∈ Bpn
et f (an ) ∈
/ Bf∗(p) .
Par la Proposition 3.6, il suit qu’il existe une suite (an ) tel que an → p. En outre
on a que f (an ) 6→ f (p). On obtient ¬A.
28
Chapitre 3. Fonctions continues
Espaces topologiques équivalents
3.8
Définitions [Espaces Equivalents]
Soient (X, T ) et (Y, T ∗ ) deux espaces topologiques.
a) Une fonction f : (X, T ) → (Y, T ∗ ) est un homéomorphisme (est bicontinue)
ssi f est bijective et f et f −1 sont continues.
b) (X, T ) et (Y, T ∗ ) sont équivalents ssi il existe une fonction f bicontinue telle que
f : (X, T ) → (Y, T ∗ ) .
3.9
Théorème [Bijection entre espaces]
Si f est bicontinue, alors f induit une fonction d’ensembles :
f:
T →T∗:
G 7→ f [G] =: G∗
qui est une bijection.
f
Preuve :
correspondances
(X, T )
G
−→
←−
−1
f
(Y, T ∗ )
G∗
x
y
On montre que f : T → T
est a) bien définie, b) surjective, et c) injective.
On utilise : si l’inverse f −1 existe, alors l’image réciproque est l’image par l’inverse.
∗
a) bien définie : vrai car f est bijective et f −1 est continue. En effet, pour tout G ∈ T ,
avec l’image directe donnée par le réciproque de l’image par l’ inverse, il suit que
f [G] = [f −1 ]−1 [G] ∈ T ∗ .
b) surjective : vrai car f est bijective et continue. En effet, pour tout G∗ ∈ T ∗ , il
existe G := f −1 [G∗ ] ∈ T telle que f [G] = f ◦ f −1 [G∗ ] = G∗ .
| {z }
identité
29
Chapitre 3. Fonctions continues
c) injective : vrai car f est bijective. En effet, soient G, H ∈ T ,
telles que f [G] = f [H] , alors G = f −1 ◦ f [G] = f −1 ◦ f [H] = H .
| {z }
identité
Le corollaire suivant est immédiat en vue de la preuve précédente.
3.10
Corollaire [Topologies identiques]
Soient T et T ∗ deux topologies sur l’ ensemble X.
Alors T = T ∗ i.e. (X, T ) = (X, T ∗ ) ,
ssi (X, T ) et (X, T ∗ ) sont équivalents sous f = id .
Notes
1. L’équivalence est une relation d’équivalence, car
réflexive :
(X, T ) → (X, T )
où l’identité est bicontinue
f =id.
f
symétrique :
transitive :
(X, T )
−→
←−
−1
f
(Y, T ∗ )
f
où f et f −1 sont bicontinues
g
(X, T ) → (Y, T ∗ ) → (Z, T ∗∗ )
g◦f
6
où g ◦ f est bicontinue
2. L’équivalence permet de partitionner les espaces topologiques en classes
d’équivalence, engendrant l’idée de proprieté topologique définie ci-après.
3.11
Définition [Propriété Topologique]
Une propriété P est dite topologique ssi elle est valable pour tout membre d’une classe
d’équivalence,
i.e.
si (X, T ) possède P et (X, T ) est équivalent à (Y, T ∗ ) par f ,
alors (Y, T ∗ ) possède P sous f .
30
Chapitre 3. Fonctions continues
Les propriétés “ouvert”, “fermé”, “point intérieur”, “point de fermeture”, “convergence”
et “compact” sont topologiques.
Proposition [Topologies identiques sur IRn ]
Sur IRn
Tu := T2 = T1 = T∞ ,
i.e. les espaces topologiques correspondants sont équivalents sous f = id .
Preuve :
Utiliser la continuité locale dans les deux sens où f (p) = p
Utiliser des bases locales centrées
Par exemple considérer :
T = T2 ,
T ∗ = T∞
Considérer : f = id : (IRn , T2 ) → (IRn , T∞ ) : équivalents car f = id est bicontinue ?
f = id est continue en p ,
i.e.
∀ Bp∗ ∈ Bp∗ , ∃ Bp ∈ Bp :
'$
p
r
Bp ⊂ Bp∗ ?
Vrai car tout cube centré
contient une boule centrée.
&%
f −1 = id est continue en p
i.e.
∀ Bp ∈ Bp , ∃ Bp∗ ∈ Bp∗ :
'$
p
r
Bp∗ ⊂ Bp ?
Vrai car toute boule centrée
contient un cube centré.
&%
31
Chapitre 3. Fonctions continues
Topologie engendrée par une classe de fonctions
3.12
Théorème [Topologie engendrée]
Soit (fi )i∈I une classe de fonctions telles que, pour tout i ∈ I :
fi :
Considérer
X → (Yi , Ti∗ ) .
S, T ⊂ P(X) telles que
S := {fi−1 [G∗i ] : G∗i ∈ Ti∗ , i ∈ I} ,
T := topologie engendrée par S (admettant S comme sous-base).
Alors,
i) Pour tout i ∈ I
fi : (X, T ) → (Yi , Ti∗ ) est continue.
ii) Soit (Tj )j∈J la classe des topologies rendant (fi )i∈I continue, i.e.
pour tout j ∈ J
alors,
pour tout i ∈ I fi : (X, Tj ) → (Yi , Ti∗ ) est continue (C) ,
T =
\
j∈J
Tj ,
i.e. T est la topologie la moins fine qui rend (fi )i∈I continue.
Remarque Théorème important utilisé pour définir la topologie produit et la topologie
faible (cours d’Analyse Supérieure).
Preuve :
i) pour tout G∗i ∈ Ti∗ , fi−1 [G∗i ] ∈ S ⊂ T , tel que fi est continue pour tout i .
ii) T rend (fi )i∈I continue, d’ où T appartient à la classe des Tj admettant la propriété
T
(C). Il suit que
Tj ⊂ T . Pour le converse, noter que si G ∈ T (avec T admettant
j∈J
la sous-base S ), on obtient que
G=
[ \
{ [fi−1 [G∗i ]]}
f
32
Chapitre 3. Fonctions continues
où fi−1 [G∗i ] ∈ Tj par la propriété (C). Ainsi, il suit que G ∈ Tj par O3 ) et O2 ) .
T
T
j ∈ J étant arbitraire, on obtient G ∈
Tj . Ainsi T ⊂
Tj .
j∈J
j∈J
Chapitre 4
Dénombrabilité et séparation
Sommaire
• Axiomes et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.1
Axiomes de dénombrabilité [“Countability”] . . . . . . . . . .
34
4.2
Définitions [Séparable, Régulier, Normal] . . . . . . . . . . . .
34
4.3
Axiomes de séparation [“Trennung”] . . . . . . . . . . . . . . .
35
Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
• Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.4
Théorème [Continuité séquentielle] . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.5
Théorème [Limite Unique] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Théorème [Identification] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.6
Théorème [Fermeture séquentielle] . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.7
Théorème [Normal] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.8
Théorème [Régulier] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
33
34
Chapitre 4. Dénombrabilité et séparation
Axiomes et définitions
4.1
Axiomes de dénombrabilité [“Countability”]
Soit (X, T ) un espace topologique. (X, T ) est de type
C1 ) (“first countable”) ssi (X, T ) admet en tout point p ∈ X une base locale
dénombrable.
C2 ) (“second countable”) ssi (X, T ) admet une base dénombrable.
4.2
Définitions [Séparable, Régulier, Normal]
Soit (X, T ) un espace topologique.
• (X, T ) est séparable ssi (X, T ) admet un ensemble dénombrable dense dans X .
• (X, T ) est régulier ssi, pour tout p ∈ X et pour tout F ∈ F tels que p ∈
/ F , il existe
Gp ∈ T et GF ∈ T ( F ⊂ GF ) tels que
'
p r
&
GP ∩ GF = ∅ .
$
'
G
p
%
&
$
G
F
F
%
• (X, T ) est normal ssi, pour tout F1 , F2 ∈ F disjoints, il existe GFi ( Fi ⊂ GFi ), i = 1, 2,
tels que
GF 1 ∩ GF 2 = ∅ .
'
'
G$
G$
F1
F2
F1
F2
&
%
&
%
Chapitre 4. Dénombrabilité et séparation
4.3
35
Axiomes de séparation [“Trennung”]
Soit (X, T ) un espace topologique. (X, T ) est de type
T1 ) ssi Pour tout p ∈ X :
{p} ∈ F .
T2 ) (Espace séparé ou de Hausdorff )
ssi Pour tout p, q ∈ X , p 6= q , il existe Gp , Gq tels que Gp ∩ Gq = ∅ .
T3 ) ssi (X, T ) est régulier et de type T1 .
T4 ) ssi (X, T ) est normal et de type T1 .
Relations
a)
C2 ⇒ C1
b)
T4 ⇒ T3 ⇒ T2 ⇒ T1
1)
Cfr. Localisation d’une base, Proposition 2.5.
2)
3)
En effet pour
1) prendre
F1 = {p} ,
2) prendre
F = {q} .
F2 = F .
3) {p}c voisinage de chacun de ses points : si q ∈ {p}c , alors
T2 ⇒ ∃ Gp , Gq ∈ T tels que Gp ∩ Gq = ∅ ⇒ Gq ⊂ {p}c .
Notes
a) (IRn , Tu ) est séparable (car Q
I n dense dans IRn ).
b) (IRn , Tu ) est C2 (base des boules ouvertes B(c, r) où c ∈ Q
I n et r > 0 tel que r ∈ Q
I )
( n = 1 : base des intervalles (a, b) où a, b ∈ Q
I ).
Notes
• Les propriétés-clef sont C1 et T2
• Ne pas confondre séparable et séparé.
Chapitre 4. Dénombrabilité et séparation
36
Théorèmes
Par le Théorème 3.7, nous obtenons :
4.4
Théorème [Continuité séquentielle]
Soit (X, T ) de type C1 et f : (X, T ) → (Y, T ∗ ) .
Alors, pour tout p ∈ X , f est continue en p ssi f est séq. continue en p.
Notes
1. (IRn , Tu ) est (de type) C1 ,
prendre
B = (B(p, n−1 ))n∈IN .
2. La propriété C1 est héréditaire,
i.e. si (X, T ) est C1 ,
4.5
alors tout sous-espace (A, TA ) est C1 .
Théorème [Limite Unique]
Si (X, T ) est séparé, i.e. T2 ,
alors, toute suite convergente converge vers un seul point.
Preuve : On procède par l’absurde. Supposons qu’il existe une suite (an ) ⊂ X tel que
an converge vers p et q , où p 6= q . Comme (X, T ) est séparé, il existe des voisinages ouverts
Gp et Gq tels que Gp ∩ Gq = ∅ . Noter alors que par la convergence, il existe Np = N(Gp )
tel que n > Np ⇒ an ∈ Gp , et il existe Nq = N(Gq ) tel que n > Nq ⇒ an ∈ Gq . En
posant N := max{Np , Nq }, on obtient que pour tout n > N an ∈ Gp ∩ Gq = ∅, ce qui
est absurde.
37
Chapitre 4. Dénombrabilité et séparation
Notes
1. (IRn , Tu ) est séparé.
2. (IR, T ) où T = {(a, ∞) : a ∈ IR} n’est pas séparé. En outre toute suite (xn )∞
1 ⊂ IR,
où ∀n ∈ IN xn ≥ 0 , converge vers tout point p ≤ 0 : la limite n’est pas unique.
Théorème [Identification]
Soit (X, T ) de type T1 et soient p et q des points de X .
Alors,
q ∈ Gp ∀ Gp
=⇒
q=p.
Preuve :
4.6
Si q 6= p , alors q ∈
/ {q}c voisinage ouvert de p, ce qui est absurde.
Théorème [Fermeture séquentielle]
Si (X, T ) est C1 et A ⊂ X ,
alors
A = {points de convergence d’une suite (an ) ⊂ A} .
Preuve :
⊂ : Soit p ∈ A. On a qu’en p il existe une base locale dénombrable emboitée Bp = (Bpn )n∈IN .
Comme p ∈ A, on a que pour tout n ∈ IN , Bpn ∩ A 6= ∅ . Ainsi pour tout n , il
existe un point an ∈ Bpn ∩ A . Dès lors il existe une suite (an ) ⊂ A tel que, par la
Proposition 3.6, an → p .
⊃ : Soit p ∈ X tel qu’il existe une suite (an ) ⊂ A qui converge vers p. Soit Bp une base
locale en p ayant des voisinages fondamentaux Bp . Par la convergence on obtient
que pour tout Bp , il existe N[Bp ] tel que pour tout n > N, an ∈ Bp . Il suit que
∀ Bp ∈ Bp Bp ∩ A 6= ∅, d’ où p ∈ A.
Note De façon analogue on montre que si (X, T ) est C1 et A ⊂ X, alors, p est un point
d’ accumulation de A, i.e. p ∈ A′ , ssi
il existe une suite (an ) ⊂ A telle que, pour tout n an 6= p
et
an → p .
38
Chapitre 4. Dénombrabilité et séparation
Les résultats suivants montrent que les propriétés “ Normal” et “Régulier” reviennent à
“tout voisinage ouvert contient un voisinage fermé”.
4.7
Théorème [Normal]
Soit (X, T ) un espace topologique.
Alors, (X, T ) est normal
⇐⇒
∀ F ∈ F , ∀ voisinage ouvert VF de F ,
∃ GF ∈ T tel que GF ⊂ VF .
Preuve :
(voir Figure)
⇒ : Prendre F1 := F ∈ F , et F2 := VFc ∈ F , tel que F1 ∩ F2 = ∅. Comme l’espace est
normal, il existe des voisinages ouverts GF1 et GF2 de F1 et F2 tel que GF1 ∩ GF2 = ∅.
On a que GF1 ⊂ GcF2 ∈ F . Prendre GF := GF1 ∈ T .
Il suit que GF ⊂ GcF2 ⊂ F2c = VF .
VF$
'
GF , GF $
'
&
&
F
%
%
⇐ : Soient F1 et F2 ∈ F tels que F1 ∩ F2 = ∅. Il suit que F1 ⊂ F2c ∈ T . Prendre
VF1 = F2c ∈ T . Alors il existe un voisinage ouvert GF1 de F1 tel que GF1 ⊂ GF1 ⊂ F2c .
c
c
Ainsi F2 ⊂ GF1 ∈ T . Prendre GF2 := GF1 ∈ T . Alors GF1 ⊂ (GF2 )c tel que
GF1 ∩ GF2 ⊂ (GF2 )c ∩ GF2 = ∅ , d’où GF1 ∩ GF2 = ∅ . Il suit que (X, T ) est normal.
Chapitre 4. Dénombrabilité et séparation
4.8
Théorème [Régulier]
Soit (X, T ) un espace topologique.
Alors, (X, T ) est régulier
⇐⇒
∀ p ∈ X, ∀ voisinage ouvert Vp de p ,
∃ Gp ∈ T tel que Gp ⊂ Vp .
Preuve :
similaire à celle du Théorème 4.7.
39
Chapitre 5
Compacité
Sommaire
• Compacité par les ouverts et les fermés . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.1
Définitions [Compact] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.2
Théorème [Alexander] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.3
Théorème [Heine-Borel] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.4
Théorème [Heine-Borel dans IR ] . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.5
Proposition [Propriété d’espace]
. . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.6
Théoréme [Compacité par les fermés] . . . . . . . . . . . . . .
44
• Propriétés importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.7
Théorème [Fermé dans un compact] . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.8
Proposition [Compacité et séparation] . . . . . . . . . . . . . .
46
5.9
Théorème [Compact et fermé] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.10 Théorème [Image continue d’un compact] . . . . . . . . . . . .
47
n
Corollaire [Propriété topologique] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11 Théorème [Fermé et borné]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corrolaire [Image continue dans IR d’ un espace compact] . . . . . . .
n
• Compacité séquentielle et précompacité . . . . . . . . . . . . . . .
48
48
49
49
5.12 Définitions [Séquentiellement - , Pré - compact] . . . . . . . .
49
5.13 Théorème [Séquentiellement compact] . . . . . . . . . . . . . .
50
40
41
Chapitre 5. Compacité
Compacité par les ouverts et les fermés
5.1
Définitions [Compact]
Soit (X, T ) , un espace topologique.
Une classe C = (Ci )i∈I ⊂ P(X) est un recouvrement de A ⊂ X ssi A ⊂
Le recouvrement est dit ouvert ssi, pour tout i ∈ I , Ci ∈ T .
On parle aussi de T -recouvrement.
S
Ci .
i∈I
Une classe C = (Ci )i∈I ⊂ P(X) admet la propriÈtÈ d’intersections finies non vides
(P.I.F.) ssi toute sous-classe finie (Cij )j∈n admet une intersection non vide,
T
i.e. nj=1 Cij 6= ∅ .
L’espace topologique (X, T ) est compact ssi tout T -recouvrement de X admet un
sous-recouvrement fini.
Une partie A ⊂ X est compacte ssi tout T -recouvrement de A admet un
sous-recouvrement fini.
Avec B une base de (X, T ), on obtient sans peine que (X, T ) est compact ssi tout Brecouvrement de X admet un sous-recouvrement fini . En outre
5.2
Théorème [Alexander]
Soit S une sous-base de (X, T ) . Alors,
(X, T ) est compact ssi tout S-recouvrement de X admet un sous-recouvrement fini.
Preuve :
La nécessité suit de la définition car S ⊂ T .
On montre la suffisance par contraposition i.e. on montre :
42
Chapitre 5. Compacité
Si X n’est pas compact, alors
∃ un S-recouvrement de X qui n’admet pas de sous-recouvrement fini.
(I)
En effet par le principe de maximalité de Hausdorff, on obtient :
si X n’est pas compact, alors il existe un T -recouvrement Γ = (Gi )i∈I de X tel que
1) Γ n’admet pas de sous-recouvrement fini.
2) Γ est maximal par rapport à la propriété 1),
i.e. pour tout G ∈ T tel que G ∈
/ Γ , Γ ∪ {G} admet un sous-recouvrement fini.
e = Γ ∩ S et on obtient (voir plus bas)
On considère alors Γ
e est un recouvrement de X ,
(a) Γ
e n’ admet pas de sous-recouvrement fini,
(b) Γ
ce qui implique (I).
En effet (b) suit de 1). En outre (a) suit par le raisonnement par l’absurde suivant :
e ne recouvre pas X . Alors, il existe x ∈ X tel que Γ
e ne recouvre pas
Supposons que Γ
x . Comme Γ recouvre
X, il existe
un ouvert Gj de Γ tel que x ∈ Gj . Comme S est une
(
)
T
sous-base, B =
[S ∈ S] est une base.
f
B1′ )
T
Donc, x ∈ Gj ∈ T
=⇒ ∃ Sk ∈ S , k ∈ n , tel que x ∈ nk=1 Sk ⊂ Gj .
e ne recouvre pas x , pour tout k ∈ n Sk ∈
e,
Comme Γ
/Γ
e = Γ ∩ S , pour tout k ∈ n Sk ∈
d’où avec Γ
/Γ.
Par 2), on a alors (comme Sk est ouvert) :
∀k∈n,
Γ ∪ {Sk } admet un sous-recouvrement fini,
i.e., pour tout k ∈ n , il existe une réunion finie d’ouverts de Γ , notée Uk , telle que
X = Uk ∪ Sk . Ainsi,

 

[
[ \
X =  Uk   Sk  ,
k∈n
k∈n
S
car si x ∈ X est tel que x ∈
/
Uk , alors x ∈ Sk pour tout k .
k∈n
T
Ainsi, comme
Sk ⊂ G j ,
k∈n

X ⊂
[
k∈n

Uk 
[
Gj ,
43
Chapitre 5. Compacité
où l’ensemble à droite est une réunion finie d’ouverts de Γ . Ainsi Γ admet un souse recouvre X .
recouvrement fini, ce qui est absurde en vue de 1). Donc Γ
5.3
Théorème [Heine-Borel]
Considérons (IR, Tu ) et [a, b] ⊂ IR .
Alors [a, b] est compact.
Ce Théorème est un cas particulier du Théorème qui suit.
5.4
Théorème [Heine-Borel dans IRn]
Soit donné (IRn , Tu ).
Alors tout cube fermé borné du type [a, b]n ⊂ IRn est compact.
Preuve :
Noter [a, b]n =: C1 . Il faut montrer que tout Tu -recouvrement (Gi )i∈I du
cube C1 admet un sous-recouvrement fini.
On procède par l’ absurde par la technique de bissection des côtés.
Supposons que C1 n’admet pas de sous-recouvrement fini.
En bissectant les côtés, on obtient qu’ un des 2n sous-cubes fermés de côté moitié, n’admet
pas de sous-recouvrement fini, (sinon C1 admet un sous-recouvrement fini) . Appelons ce
cube C2 et continuons la bissection de façon récursive.
On obtient alors de façon récursive :
Etant donné le cube Cj n’admettant pas de sous-recouvrement fini, il existe un souscube Cj+1 de Cj tel que Cj+1 n’admet pas de sous-recouvrement fini et côté(Cj+1 ) =
côté(Cj )/2 .
Ainsi on obtient une suite de cubes emboı̂tés (Cj )∞
j=1 telle que a) pour tout j ∈ IN Cj
n’admet pas de sous-recouvrement fini, et b) côté(Cj ) ց 0 .
Noter que, pour chaque côté, on obtient une suite d’intervalles fermés-bornés (Ij )∞
j=1
emboités . Ainsi en appliquant n fois le Théorème des intervalles emboités, on obtient
∞
T
qu’il existe un point p ∈
Cj .
j=1
Alors, avec (Gi )i∈I le recouvrement ouvert de C1 = [a, b]n et p ∈ C1 , il existe un i ∈ I
tel que p ∈ Gi ∈ Tu . En outre, comme la classe {B(p, δ) : δ > 0} des boules ouvertes
44
Chapitre 5. Compacité
centrées en p est une base locale en p , il existe δ > 0 tel que B(p, δ) ⊂ Gi . Ainsi, comme
√
côté(Cj ) ց 0 , il existe j ∈ IN tel que côté(Cj ) < δ/ n .
Il suit que ∀ q ∈ Cj avec p ∈ Cj
|q − p| ≤
√
n côté(Cj ) < δ
⇒
q ∈ B(p, δ) ,
tel que finalement Cj ⊂ B(p, δ) ⊂ Gi .
Donc Cj admet un sous-recouvrement fini, ce qui est absurde. Il faut donc que C1 = [a, b]n
admette un sous-recouvrement fini.
5.5
Proposition [Propriété d’espace]
Soit
A ⊂ (X, T ) . Alors,
A est compact
Preuve :
⇔
(A, TA ) est compact.
A est compact
⇔ pour tout T -recouvrement, (Gi )i∈I de A , il existe un sous-recouvrement
fini (Gij )j∈n .
⇔ pour tout TA -recouvrement (Gi ∩ A)i∈I de A , il existe un sous-recouvrement
fini (Gij ∩ A)j∈n .
⇔ (A, TA ) est compact.
5.6
Théoréme [Compacité par les fermés]
Soit (X, T ) un espace topologique et F la classe de ses fermés.
Alors, (X, T ) est compact
⇔
toute classe (Fi )i∈I ⊂ F admettant la P.I.F., admet une intersection totale non
T
vide i.e.
i∈I Fi 6= ∅ .
Remarque Il s’agit d’une généralisation du Théorème des intervalles emboités.
45
Chapitre 5. Compacité
Preuve :
(X, T ) est compact
⇔ tout T -recouvrement de X admet un sous-recouvrement fini,
S
i.e. ∀ (Gi )i∈I ⊂ T tel que X =
Gi ,
i∈I
∃ (Gij )j∈n
c
tel que
X=
S
Gij .
j∈n
⇔ ∀ (Fi )i∈I ⊂ F
tel que
∃ (Fij )j∈n
tel que
∅=
∅=
T
Fi ,
i∈I
T
Fij .
j∈n
¬
⇔ ∀(Fi )i∈I ⊂ F ,
T
∀ (Fij )j∈n : ∅ =
6
Fij ,
j∈n
T
alors ∅ =
6
Fi ,
si
i∈I
i.e. toute classe (Fi )i∈I ⊂ F admettant la P.I.F. admet une intersection totale non
vide.
46
Chapitre 5. Compacité
Propriétés importantes
5.7
Théorème [Fermé dans un compact]
Soit (X, T ) un espace topologique, A une partie compacte, F ∈ F et F ⊂ A.
Alors F est une partie compacte.
Preuve : (A, TA ) est un espace compact et A \ F = A ∩ F c est un TA -ouvert. Soit alors
(Gi )i∈I un T -recouvrement de F . Alors (Gi ∩ A)i∈I est un TA -recouvrement de F . Alors
(Gi ∩ A)i∈I ∪ (A \ F ) est un TA -recouvrement de l’espace (A, TA ) qui est compact : admet
un sous-recouvrement fini de la forme (Gij ∩ A)j∈m ∪ (A \ F ) , i.e. A = ∪j∈m (Gij ∩ A) ∪
(A \ F ) . Intersecter avec F donne alors : F = ∪j∈m (Gij ∩ F ) = ∪j∈m Gij ∩ F , d’
où F ⊂ ∪j∈m Gij . Donc (Gi )i∈I admet un sous-recouvrement fini. Donc F est une partie
compacte.
5.8
Proposition [Compacité et séparation]
Soit (X, T ) un espace topologique séparé et soit A ⊂ X une partie compacte.
Alors, pour tout p ∈
/ A , il existe Gp ∈ T et GA ∈ T tels que
Gp ∩ GA = ∅ .
Preuve :
(voir Figure). Pour tout a ∈ A a 6= p . Ainsi, comme X est séparé, il
existe Ga , Gap ∈ T tels que Ga ∩ Gap = ∅. On obtient que (Ga )a∈A est un T -recouvrement
S
de A qui est compact : admet un sous-recouvrement fini (Gaj )j∈n , i.e. A ⊂ j∈n Gaj .
'
'
$
$
Gp
GA
A
r
p
&
On peut ainsi définir GA :=
%
&
S
j∈n
Gaj
et
Gp :=
%
T
a
j∈n
Gp j ,
qui sont des voisinages
47
Chapitre 5. Compacité
ouverts de A et de p . En outre on a que GA ∩ Gp = ∅, car
[
GA ∩ Gp ⊂
[Gaj ∩ Gpaj ] = ∅ .
| {z }
j∈n
=∅
On a aussi
Exercices
1. Si (X, T ) est séparé et si A, B ⊂ X sont compacts tels que A ∩ B = ∅ , alors, il existe
GA , GB ∈ T tels que GA ∩ GB = ∅ .
2. Si (X, T ) est compact, alors (X, T ) est normal.
5.9
Théorème [Compact et fermé]
Soit (X, T ) séparé et soit A ⊂ X compact.
Alors, A est fermé.
Preuve :
Ac est voisinage de chacun de ses points. En effet, par la Proposition 5.8 ,
pour tout p ∈ Ac , il existe GA , Gp ∈ T tels que Gp ∩ GA = ∅ . Donc, pour tout p ∈ Ac , il
existe Gp ⊂ GcA ⊂ Ac .
5.10
Théorème [Image continue d’un compact]
Soit f : (X, T ) → (Y, T ∗ ) une fonction continue.
Alors, l’image par f d’un compact est compacte, i.e.
A ⊂ X compact
⇒
f [A] ⊂ Y est compact.
48
Chapitre 5. Compacité
Corollaire [Propriété topologique]
Si f est bicontinue, alors
A ⊂ X compact
⇔
f [A] ⊂ Y est compact,
i.e. la compacité est une propriété topologique.
Preuve du Théorème 5.10 : soit (G∗i )i∈I un T ∗ -recouvrement de f [A] . Alors A admet
le T -recouvrement (f −1 [G∗i ])i∈I . A Ètant compact, il existe un sous-recouvrement fini,
d’o ?
[
[
f −1 [G∗ij ] = f −1 [ G∗ij ] .
A⊂
j∈n
j∈n
Ainsi, f [A] ⊂
est compact.
5.11
S
j∈n
G∗ij
.
(G∗i )i∈I
admet donc un sous-recouvrement fini . Il suit que f [A]
Théorème [Fermé et borné]
Soit donné (IRn , Tu ), et soit A ⊂ IRn .
Alors,
A est compact ⇔
A est fermé et borné.
Preuve :
⇐ A est borné : il existe R > 0 tel que A ⊂ [−R, R]n := C ( cube fermé). Noter que
C est compact par le Théorème 5.4 et A est une partie fermée de C . Il suit par le
Théorème 5.7 que A est compact.
⇒ : Noter que (IRn , Tu ) est séparé.
Ainsi, par le Théorème 5.9, A compact
⇒
A est fermé.
Considérons alors le T -recouvrement emboité ((−i, +i)n )i∈IN de A compact : il admet un sous-recouvrement fini , et il existe i0 ∈ IN tel que A ⊂ (−i0 , i0 )n ) : A est
contenu dans un cube borné ⇒ A est borné.
49
Chapitre 5. Compacité
Corrolaire [Image continue dans IRn d’un espace compact]
Soit (X, T ) un espace topologique compact. Soit f : (X, T ) → (IRn , Tu ) continue.
Alors, f [X] est fermé et borné.
Si n = 1 , f atteint son supremum et son infimum.
Preuve :
par les Théorèmes 5.10 et 5.11 : f [X] ⊂ IRn est compact donc fermé et
borné. En outre si n = 1 , le supremum et l’infimum de f [X] sont des points de fermeture
(exercice).
Exercice Soit A ⊂ IR borné. Alors,
sup(A) ∈ A
et
inf(A) ∈ A .
En effet soit s = sup(A) . Alors pour tout ε > 0 , (s − ε, s] ∩ A 6= ∅. Ainsi pour tout ε > 0 ,
(s − ε, s + ε) ∩ A 6= ∅. Il suit que s ∈ A
Compacité séquentielle et précompacité
5.12
Définitions [Séquentiellement - , Pré - compact]
Soit (X, T ) un espace topologique et soit A ⊂ X .
A est séquentiellement compact ssi de toute suite (an )∞
n=1 ⊂ A , on peut extraire une
∞
sous-suite (anj )j=1 ⊂ (an ) (nj ≥ j) telle que
anj → a ∈ A ( j → ∞ ) .
A est précompact ssi A est compact.
Note
: tout borné de (IRn , Tu ) est précompact.
On a aussi
50
Chapitre 5. Compacité
5.13
Théorème [Séquentiellement compact]
Si (X, T ) est un espace topologique de type C1 et A ⊂ X ,
alors
A compact
⇒
A séquentiellement compact.
Preuve :
(A, TA ) est compact et C1 (propriété héréditaire).
∞
Soit (an )n=1 ⊂ A . Considérons les j-queues de suite Aj = {an : n ≥ j}, et leurs TA fermetures Aj . Noter que A est un TA -fermé.
Ainsi
A ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ Aj ⊃ · · ·
implique
A ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ Aj ⊃ · · · .
∞
On a que la famille des TA -fermÈs Aj n=1 admet la P.I.F. En effet pour toute sous-famille
m
m
T
Ajk = Ajm 6= ∅ .
finie Ajk k=1 on a s.p.d.g. j1 ≤ j2 ≤ · · · ≤ jm , d’ où
k=1
Comme (A, TA ) est compact, il suit par le Théorème 5.6 qu’il existe un a ∈ A tel que a ∈
∞
T
Aj . Comme (A, TA ) est de type C1 , (A, TA ) admet en a une base locale dénombrable
j=1
emboitée Ba = (Baj )j∈IN . Comme pour tout j ∈ IN , a ∈ Aj ( TA -fermeture de Aj ), on
obtient pour tout j ∈ IN Aj ∩ Baj 6= ∅ .
Donc pour tout j ∈ IN , il existe anj ∈ Baj avec nj ≥ j . En outre, comme les Baj sont emboités, par la Proposition 3.6, anj → a ∈ A ( j → ∞) . Donc (an )∞
n=1 admet une sous∞
suite (anj )j=1 (nj ≥ j) telle que anj → a ∈ A ( j → ∞) . A est séquentiellement
compact .
Chapitre 6
Espaces produit
Sommaire
• Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.1
Définitions [Produit Cartésien, Projection] . . . . . . . . . . .
52
6.2
Définitions [Cylindres, Topologie Produit]
. . . . . . . . . . .
52
• Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
6.3
Proposition [Produit fini] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Application [Pavés ouverts de IRn] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
6.4
Proposition [Caractère C1 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
6.5
Théorème [Continuité] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
6.6
Théorème [Convergence] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Application [Convergence simple de fonctions] . . . . . . . . . . . . . . .
58
6.7
Théorème [Topologie relative] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
6.8
Théorème [Caractère séparé] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
6.9
Théorème [de Compacité de Tychonoff ] . . . . . . . . . . . . .
60
6.10 Théorème [Parties compactes] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Application [Pavés fermés bornés de IR ] . . . . . . . . . . . . . . . . .
n
51
62
52
Chapitre 6. Espaces produit
Définitions
6.1
Définitions [Produit Cartésien, Projection]
Soient (Xi )i∈I , une famille d’ensembles et X :=
Q
Xi , leur produit cartésien.
i∈I
Alors, p ∈ X ssi p = (pi )i∈I , où, pour tout i ∈ I, pi ∈ Xi est la i-ième coordonnée de
p.
La fonction πi :
6.2
X → Xi :
πi (p) 7→ pi est appelée la i-ième projection.
Définitions [Cylindres, Topologie Produit]
Soient (Xi , Ti )i∈I , une famille d’espaces topologiques et X :=
cartésien.
Q
Xi , leur produit
i∈I
On appelle
1. i -ième espace coordonné, l’espace (Xi , Ti ) .
2. cylindre engendré par Gi ∈ Ti :
πi−1 [Gi ] = {p ∈ X : pi ∈ Gi }
=
Y
Gj
j∈I

G si j = i ,
i
où Gj ∈ Tj tel que Gj =
Xj si j 6= i .
3. espace produit , l’espace topologique noté
Y
(X, Tπ ) =
(Xi , Ti )
i∈I
où Tπ (la topologie produit) est la topologie engendrée par la sous-base
définissante des cylindres
S = {πi−1 [Gi ] : Gi ∈ Ti , i ∈ I} ,
53
Chapitre 6. Espaces produit
Note Tπ est la topologie engendrée par la classe des projections (πi )i∈I , i.e. (Théorème
3.12) Tπ est la topologie la moins fine sur X qui rend toute projection
πi :
X → (Xi , Ti ) ,
i∈I.
continue
Note Tπ est telle que
a) Tπ admet la base définissante :
B=
(
\
cylindres
f
)
.
Donc,
B∈B
ssi
B=
\
πi−1
[Gij ]
j
(A)
j∈n
où les Gij ∈ Tij et s.p.d.g. les ij sont distincts,
i.e.
Y
B=
Gi
(B)
i∈I
où pour tout i ∈ I
⌈
Gi ∈ Ti où , sauf pour un nombre fini d’indices, Gi = Xi .
(A) : noter que, si G1 , G2 ∈ Ti , alors
πi−1 [G1 ] ∩ πi−1 [G2 ] = πi−1 [G1 ∩ G2 ] où G1 ∩ G2 ∈ Ti .
⌋
b) [localisation d’une base, Proposition 2.5]
Si p ∈ X , alors Tπ admet en p une base locale Bp , qui est telle que, avec p = (pi )i∈I ,
Bp ∈ Bp
ssi
Bp =
Y
Gp i
(C)
i∈I
où pour tout i ∈ I
⌈
Gpi ∈ Ti où , sauf pour un nombre fini d’indices, Gpi = Xi .
les voisinages cernent un nombre fini de coordonnées.
⌋
54
Chapitre 6. Espaces produit
Propriétés
6.3
Proposition [Produit fini]
Si #I = n < ∞ ,
alors,
Q
1. B =
Ti , i.e.
i∈I
B∈B
⇔
B=
Y
où ∀ i ∈ n
Gi
i∈n
Gi ∈ Ti .
2. Si pour tout i ∈ n , Bi est une base de Ti ,
Q
alors Be =
Bi est une base de Tπ .
i∈n
Preuve :
1. par (B) ,
B⊂
Q
i∈n
Ti .
Le converse est vrai, car si #I = n , alors
\
\
Y
Gi =
{cylindres} =
πi−1 [Gi ] ∈ B .
i∈n
i∈n
f
e ∈ Be tel que B
e = Q Bi , où pour tout i ∈ n, Bi ∈ Bi ,
2. si B
i∈n
alors il suffit que
e ∈ Be
tout B ∈ B est réunion d’éléments B
e
car alors, tout G ∈ Tπ est réunion d’éléments de B.
(D)
Noter que
(D) vrai
⇔
où
ep =
B
∀p∈B
Y
i∈n
Bpi
ep ∈ Be tel que B
ep ⊂ B
∃B
( ∀ i ∈ n Bpi ∈ Bi ).
(E)
55
Chapitre 6. Espaces produit
On a (E) car, si p ∈ B =
alors, pour tout i ∈ n
( Bi base)
Q
Gi ,
i∈n
pi ∈ Gi ∈ Ti
∀ i ∈ n ∃ Bpi ∈ Bi tel que Bpi ⊂ Gi ∈ Ti
=⇒
ep = Q Bp ∈ Be tel que B
ep ⊂ Q Gi = B ∈ B .
∃B
i
=⇒
i∈n
i∈n
Application [Pavés ouverts de IRn ]
Considérons (Xi , Ti ) = (IR, Tu ) , i = 1, 2 .
Ti admet la base des intervalles ouverts.
Par la Proposition 6.3 : (IR2 , Tπ ) admet la base des rectangles ouverts.
(IR2 , Tu ) admet aussi la base des rectangles ouverts.
Donc sur IR2 : Tu = Tπ .
Résultat similaire : (IRn , Tu ) = (IRn , Tπ ) en utilisant la base des pavés ouverts.
6.4
Proposition [Caractère C1 ]
(X, Tπ ) est C1
⇔
1. pour tout i ∈ I ,
(Xi , Ti ) est de type C1 .
2. pour tout i ∈ I ,
Ti = {∅, Xi } (topologie indiscrète)
sauf pour un nombre dénombrable d’indices.
Remarques (admettre que pour tout i ∈ I
Ti 6= {∅, Xi} ).
1. Les conditions reviennent à 1) I est dénombrable, et 2) pour tout i ∈ I
est C1 .
(Xi , Ti )
2. Si p = (pi )i∈I ∈ X et Bpi est une base locale dénombrable en pi ∈ (Xi , Ti ) ,
alors Tπ admet en p une base locale dénombrable B̃p , ayant des éléments B̃p de la
forme
Y
B̃p =
Bpi ,
i∈I
où pour tout i ∈ I, Bpi ∈ Bpi
où sauf pour un nombre fini d’indices, Bpi = Xi .
56
Chapitre 6. Espaces produit
⌈
B̃p est une base locale, car tout voisinage fondamental Bp ∈ Bp (voir (C))
contient un voisinage B̃p ∈ B̃p . En outre B̃p est dénombrable, car sousQ
ensemble de
Bpi , qui est dénombrable.
i∈I
6.5
⌋
Théorème [Continuité]
Soit (X, T ) un espace topologique et soit (Yi, Ti∗ )i∈I une famille d’espaces topologiques.
Q
Soit (Y, Tπ∗ ) = (Yi , Ti∗ ) leur espace produit.
i∈I
Soit f : (X, T ) → (Y, Tπ∗ ) une fonction, où pour tout i ∈ I
fonction coordonnée
f
πi
fi = πi ◦ f : X −→ Y −→
Yi .
f définit la i-ième
Alors,
f est continue ssi ∀ i ∈ I
fi : (X, T ) → (Yi , Ti∗ ) est continue.
Preuve :
⇒ : vrai car fi est composée des fonctions continues f et πi .
⇐ : par la Proposition 3.2, il suffit que ∀ S ∗ ∈ S ∗ f −1 [S ∗ ] ∈ T , où S ∗ est la sous-base
définissante de (Y, Tπ∗ ) telle que S ∗ = {πi−1 [G∗i ] : G∗i ∈ Ti∗ , i ∈ I} .
Prenons S ∗ arbitraire. Alors, S ∗ = πi∗ [G∗i ] , d’où
f −1 [S ∗ ] = f −1 [πi−1 (G∗i )] = fi−1 [G∗i ]
où G∗i ∈ Ti∗ et fi : (X, T ) → (Yi , Ti∗ ) est continue.
Ainsi
fi−1 [G∗i ] ∈ T ,
d’où
f −1 [S ∗ ] ∈ T .
57
Chapitre 6. Espaces produit
6.6
Théorème [Convergence]
Soient donnés l’espace produit (X, Tπ ) =
Noter que
Q
i∈I
pn = (pni )i∈I
où pour tout i ∈ I
Alors,
(Xi , Ti ), (pn )∞
n=1 ⊂ X et p ∈ X .
et
p = (pi )i∈I
pni et pi ∈ Xi .
pn → p dans (X, Tπ )
⇔
pn i → pi
|{z}
|{z}
∀i∈I :
dans (Xi , Ti ) .
=πi (p)
=πi (pn )
Preuve :
⇒ : vrai car pour tout i , πi est continue, donc continue partout, et finalement (Théorème
3.7) séquentiellement continue en p .
⇐ : on montre que pn → p en utilisant la base locale définie en (C) .
Rappel : si p = (pi )i∈I , alors, par (C) , Bp ∈ Bp ssi
Y
Bp =
Gp i
i∈I
où pour tout i Gpi ∈ Ti est égale à Xi , sauf pour un nombre fini d’indices ij ,
j ∈ m, où alors Gpij ∈ Tij , voisinage ouvert de pij .
Par la convergence des coordonnées,
∀j∈m
∃ Nj := N(Gpij ) tel que n > Nj
⇒
pnij ∈ Gpij .
Prendre N := max Nj . Avec cet N ,
j∈m
n>N
⇒
pnij ∈ Gpij
et
∀j∈m,
p n i ∈ G p i = Xi
∀ i 6= ij .
Ainsi, en prenant le produit cartésien,
n>N
⇒
pn ∈ Bp .
Bp étant arbitraire, on obtient qu’il existe un N = N(Bp ) tel que pour tout n > N,
pn ∈ Bp . Ainsi par le Théorème 2.6 pn → p.
58
Chapitre 6. Espaces produit
Application [Convergence simple de fonctions]
Prendre t ∈ [0, 1] =: I
Q
(Xt , Tt ) .
et pour tout t ∈ I
(Xt , Tt ) = (IR, Tu ) . Considérer (X, Tπ ) =
t∈[0,1]
Remarquer que f ∈ X ssi ∀ t ∈ [0, 1] f (t) ∈ IR i.e.
Il suit que X est l’ espace de fonctions IRI = IR[0,1] .
Par le Théorème 6.6,
fn → f
⇔
f : [0, 1] → IR .
dans (X, Tπ ) ,
∀ t ∈ [0, 1] fn (t) → f (t) dans (IR, Tu )
(convergence simple ).
“Sur un espace de fonctions Tπ engendre la convergence simple des fonctions”.
6.7
Théorème [Topologie relative]
Considérons l’espace produit
(X, Tπ ) =
Soit
A=
Q
où pour tout i ∈ I
Ai
i∈I
Soit
Soit
(A, TAπ ) =
Q
i∈I
Y
(Xi , Ti ) .
i∈I
Ai ⊂ Xi .
(Ai , TAi ) produit des sous-espaces (Ai , TAi ) .
(A, TπA ) sous-espace de (X, Tπ ) où TπA est la topologie relative à A de Tπ .
Alors,
TAπ = TπA .
Remarque : cela revient à :
“La topologie produit des topologies relatives est
la topologie relative de la topologie produit”.
i.e.
“Produit et relativisation commutent”.
59
Chapitre 6. Espaces produit
Preuve :
(cfr. Théorème 2.3) il suffit que des sous-bases soient identiques.
Q
Alors TAπ admet la sous-base définissante SAπ ayant l’élément général i∈I Hi , où

G ∩ A ( T − ouvert) pour i = i ,
i
i
Ai
1
Hi =
Ai
sinon.
[cylindre défini par un ouvert d’un sous-espace coordonné.]
TπA admet l’élément général
SπA avec
H = G∩A
où G ∈ Tπ ,
d’où TπA admet la sous-base
élément général = (élément de sous-base de Tπ ) ∩ A
Les sous-bases sont identiques.
6.8
= πi−1
[Gi1 ] ∩ A où Gi1 ∈ Ti1
1

G ∩ A , i = i ,
Y
i
i
1
=
Hi où Hi =
Ai
sinon.
i∈I
Théorème [Caractère séparé]
Soit
(X, Tπ ) =
Y
(Xi , Ti )
i∈I
un espace produit où pour tout i ∈ I, (Xi , Ti ) est séparé.
Alors (X, Tπ ) est séparé.
i.e.“le produit d’espaces séparés est séparé”.
Preuve :
soient p, q ∈ X tels que p 6= q .
Alors il existe i ∈ I tel que pi 6= qi .
(Xi , Ti ) étant séparé, il existe Gpi , Gqi ∈ Ti tels que
Gp i ∩ Gq i = ∅ .
Prendre
Gp = πi−1 [Gpi ]
et
Gq = πi−1 [Gqi ] .
60
Chapitre 6. Espaces produit
Alors, Gp , Gq ∈ Tπ (cylindres) et
Gp ∩ Gq = πi−1 [Gpi ∩ Gqi ] = ∅ .
| {z }
=∅
6.9
Théorème [de Compacité de Tychonoff ]
Soit
(X, Tπ ) =
Y
(Xi , Ti )
i∈I
un espace produit où, pour tout i ∈ I , (Xi , Ti ) est compact.
Alors (X, Tπ ) est compact.
i.e. “le produit d’espaces compacts est compact”.
Preuve :
utiliser le Théorème d’Alexander 5.2, et noter que la sous-base définissante
S de Tπ est celle des cylindres.
S
Soit (Sj )j∈J un S-recouvrement de X , i.e. X = j∈J Sj , où, pour tout j ∈ J , il existe un
et un seul i ∈ I tel que Sj = πi−1 [Gj ] où Gj ∈ Ti (“Sj est un cylindre dû à un ouvert
Gj d’ une seule topologie coordonnée Ti ”.)
Pour tout i ∈ I , soit Ji ⊂ J tel que
j ∈ Ji
⇔
Sj = πi−1 [Gj ] où Gj ∈ Ti .
Alors,
J=
•
[
Ji .
i∈I
“Les cylindres se classent par coordonnées”
d’ où
X=
[
j∈J
Sj =
[ [
Sj =
[ [
i∈I j∈Ji
i∈I j∈Ji
=
[
i∈I
πi−1
πi−1 [Gj ] où Gj ∈ Ti
"
|
S
Gj
j∈Ji
{z
:=Gi ∈Ti
#
}
.
61
Chapitre 6. Espaces produit
Il existe i ∈ I tel que
⌈
G i = Xi .
Sinon, pour tout i ∈ I
il existe pi ∈ Xi tel que pi ∈
/ Gi .
Ainsi pour tout i ∈ I
πi−1 [{pi }] ∩ πi−1 [Gi ] = ∅ (cylindres disjoints)
p ∈ πi−1 [{pi }].
S −1
p∈
/ πi−1 [Gi ], d’où p ∈
/
πi [Gi ] = X :
Définir p := (pi )i∈I . Alors pour tout i ∈ I
Donc pour tout i ∈ I
Donc il existe i ∈ I tel que
absurde
i∈I
Xi = G i =
[
Gj ,
j∈Ji
i.e. (Gj )j∈Ji est un Ti -recouvrement de Xi compact.
Xi admet un sous-recouvrement fini (Gjk )k∈m où pour tout k ∈ m , jk ∈ Ji .
Il suit que
Xi =
S
Gjk . Appliquer πi−1 donne
k∈m
X=
[
πi−1 [Gjk ] =
k∈m
[
Sj k
k∈m
où
(Sjk )k∈m ⊂ (Sj )j∈Ji ⊂ (Sj )j∈J .
Donc (Sj )j∈J admet un sous-recouvrement fini.
⌋
62
Chapitre 6. Espaces produit
6.10
Théorème [Parties compactes]
Soit (X, Tπ ) un espace produit tel que
(X, Tπ ) =
Soit A ⊂ X tel que
A=
Y
(Xi , Ti ) .
i∈I
Y
Ai
i∈I
où pour tout i ∈,
Ai ⊂ (Xi , Ti ) est une partie compacte.
Alors A ⊂ (X, Tπ ) est une partie compacte.
Preuve : par la Proposition 5.5, pour tout i ∈ I le sous-espace (Ai , TAi ) est compact.
Q
Par le Théorème 6.9,
(Ai , TAi ) = (A, TAπ ) est compact.
i∈I
Par le Théorème 6.7, (A, TAπ ) = (A, TπA ) est compact.
Par la Proposition 5.5, A ⊂ (A, Tπ ) est une partie compacte.
Application [Pavés fermés bornés de IRn ]
Prendre IR2 où pour tout i = 1, 2, (Xi , Ti ) = (IR, Tu ) .
Noter que (IR2 , Tu ) = (IR2 , Tπ ) (base des rectangles ouverts).
2
Q
Soit A =
Ai où pour tout i Ai = [ai , bi ] ⊂ IR.
i=1
Noter que A est un rectangle fermé borné de IR2 et que pour tout i, Ai est compact
[Théorème 5.3, Heine-Borel ]. Alors par le Théorème 6.10, A ⊂ (IR2 , Tu ) est compact.
“Les rectangles fermés bornés de IR2 sont compacts”.
Ceci est valable aussi pour les pavés fermés bornés de IRn .
Chapitre 7
Espaces métriques : propriétés
fondamentales
Sommaire
• Espace métrique et topologie métrique
. . . . . . . . . . . . . . .
64
Définition [Métrique et Espace Métrique] . . . . . . . . . . . .
64
Exemples [Métriques] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Notions métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
7.2
Définition [Boule Ouverte] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
7.3
Lemme [Boule inscrite] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
7.4
Théorème [Base des boules] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
7.5
Définition [Topologie Métrique] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Topologies métriques de IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
7.1
n
• Bases locales et caractère séparé . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
7.6
Théorème [Base locale des boules centrées] . . . . . . . . . . .
68
7.7
Théorème [Caractère séparé] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
• Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
7.8
Définitions [ε-Réseau, Totalement Borné, Nombre de Lebesgue] 70
Proposition [Totalement borné implique borné] . . . . . . . . . . . . . .
70
Proposition [Dans IRn borné implique totalement borné] . . . . . . . . .
71
Lemme [Totalement borné] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
7.10 Lemme [Nombre de Lebesgue] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
7.11 Théorème [Compacité séquentielle] . . . . . . . . . . . . . . . .
74
7.12 Théorème [Précompacité séquentielle] . . . . . . . . . . . . . .
75
7.13 Théorème [Continuité Uniforme] . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
7.9
63
64
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
• Sous-espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Définition [Sous-espace métrique] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Proposition [Topologie métrique d’un sous-espace]
77
. . . . . . . . . . . .
• Espaces métriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
7.14 Proposition [Suite de Cauchy : convergence] . . . . . . . . . .
78
7.15 Définition [Complet] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
7.16 Théorème [Complet et fermé] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
7.17 Théorème [Séquentiellement totalement borné] . . . . . . . .
79
7.18 Théorème [Fermé et totalement borné] . . . . . . . . . . . . .
81
Espace métrique et topologie métrique
7.1
Définition [Métrique et Espace Métrique]
Soit X un ensemble non vide.
On appelle métrique (distance) toute fonction
d:
X × X → IR+ :
(x, y) 7→ d(x, y)
telle que, pour x, y, z ∈ X , trois axiomes sont vérifiés :
⇔
(M1 )
d(x, y) = 0
x=y
(M2 )
d(x, y) = d(y, x)
(M3 )
[Inégalité triangulaire]
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Un espace métrique est un ensemble X muni d’une métrique d , noté par le couple
(X, d) .
65
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
Exemples [Métriques]
1. IRn = {x = (xi )i∈n : xi ∈ IR , ∀ i ∈ n}
d1 (x, y) :=
n
X
i=1
|xi − yi | ,
d2 (x, y) :=
sX
i∈n
|xi − yi |2 ,
d∞ (x, y) := sup |xi − yi |
i∈n
sont des métriques où d2 = du = distance usuelle.
2. C[0, 1] = {f : [0, 1] → IR continues} admet la distance
d∞ (f, g) := sup |f (t) − g(t)| .
t∈[0,1]
n
o
R∞
3. L1 (IR) = f : IR → IR mesurable selon Lebesgue telle que −∞ |f (t)| dt < ∞
(où f ≡ g si f = g presque partout) admet la distance
Z ∞
d1 (f, g) :=
|f (t) − g(t)| dt .
−∞
Notions métriques
La métrique permet de définir certaines notions :
Soient (X, d) un espace métrique, A, B ⊂ X, p ∈ X, et (an )∞
1 ⊂ X.
1.
d(p, A) := inf{d(p, a) : a ∈ A}
2.
d(A, B) := inf{d(a, b) : a ∈ A , b ∈ A}
3.
diamètre d(A) := sup{d(a, a′ ) : a, a′ ∈ A}
4.
A borné
5.
7.2
⇔
d(A) < ∞ .
(an ) est une suite de Cauchy ssi
∀ε > 0 ∃ N(ε) tel que m, n > N
⇒
d(an , am ) < ε .
Définition [Boule Ouverte]
Soit (X, d) un espace métrique.
On appelle boule ouverte de centre p ∈ X et de rayon δ > 0, l’ensemble
B(p, δ) := {x ∈ X : d(x, p) < δ} .
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
7.3
Lemme [Boule inscrite]
Soient (X, d) un espace métrique et B(p, δ) une boule.
Alors,
x ∈ B(p, δ) ⇒ ∃ r > 0 tel que B(x, r) ⊂ B(p, δ) .
Preuve :
(voir Figure).
'$
rh B(x, r)
r x
p
B(p, δ) &%
Prendre r > 0 tel que r ≤ δ − d(x, p).
Alors y ∈ B(x, r) donne
d(y, p) ≤ d(y, x) + d(x, p) < r + d(x, p) ≤ δ
Ainsi d(y, p) < δ i.e. y ∈ B(p, δ).
7.4
Théorème [Base des boules]
Soit (X, d) un espace métrique.
Alors, la classe des boules ouvertes
B = {B(p, δ) : p ∈ X , δ > 0}
est base d’une topologie (unique) sur X .
Preuve :
vérifier les conditions de caractérisation d’une base [Théorème 2.2].
i) X ⊂ ∪{B(p, δ) : δ > 0}
ii) Prendre deux boules Bi = B(pi , δi ) , i = 1, 2 . Alors par le Lemme 7.3 :
pour tout x ∈ B1 ∩ B2 il existe ri > 0 (i = 1, 2) tel que B(x, ri ) ⊂ Bi .
Avec rx := min{r1 , r2 } > 0, B(x, rx ) ⊂ B(x, r1 ) ∩ B(x, r2 ) ⊂ B1 ∩ B2 , d’où
∀ x ∈ B1 ∩ B2 {x} ⊂ B(x, rx ) ⊂ B1 ∩ B2
d’ où en prenant la réunion
[
B1 ∩ B2 =
{B(x, rx ) : x ∈ B1 ∩ B2 } .
66
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
7.5
67
Définition [Topologie Métrique]
Soit (X, d) un espace métrique. On appelle topologie métrique, la topologie T définie
par la base des boules ouvertes.
Cette topologie est sous-entendue et on note par (X, d) l’espace métrique muni de sa
topologie métrique.
Topologies métriques de IRn
En tant qu’espaces topologiques, pour i = 1, 2, ∞ ,
(IRn , di ) = (IRn , Ti )
∆




losanges,
défini par la base des boules,



cubes,
∆
∆
(IRn , du ) = (IRn , d2) = (IRn , T2 ) = (IRn , Tu )
(base des boules ouvertes selon la distance euclidienne).
Par la suite on étudie les propriétés d’une topologie métrique.
68
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
Bases locales et caractère séparé
7.6
Théorème [Base locale des boules centrées]
Soit (X, d) un espace métrique.
i) Pour tout p ∈ X , la classe des boules centrées, i.e.
Bp := {B(p, δ) : δ > 0}
est une base locale emboı̂tée.
ii) Pour tout p ∈ X , la classe des boules centrées en p de rayon
1
n
, i.e.
Bp := B p, n1 : n ∈ IN
est une base locale dénombrable emboı̂tée.
Il suit que tout espace métrique est de type C1 .
Preuve : Considérer Gp ∈ T . Gp = réunion de boules, où une boule contient p, i.e.
$
'
p ∈ B(q, r) ⊂ Gp . (voir Figure).
'$Gp
B(q, r)
q
r
rhp
&%
B(p, δ)
&
Par le Lemme 7.3, il existe δ > 0 et alors n tel que
1
n
< δ tel que
B p, n1 ⊂ B(p, δ) ⊂ B(q, r) ⊂ Gp .
Conséquences du Théorème 7.6 :
a) En utilisant les caractérisations par bases locales, on a :
%
69
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
a1) [Convergence] : Soient (an )∞
n=1 ⊂ (X, d) et p ∈ X . Alors,
an → p ( n → ∞ )
⇔
∀δ>0
∃ N(δ)
[∀ B(p, δ)]
[∃ N(B(p, δ))]
tel que n > N
⇒
d(an , p) < δ .
[an ∈ B(p, δ)]
a2) [Continuité locale] : considérer
f : (X, d) → (Y, d∗ ) .
Prendre les bases locales :
Bp = {B(p, δ) : δ > 0}
et
Bf∗(p) = {B ∗ (f (p), ε) : ε > 0} .
Alors,
f est continue en p
⇔
∀ε>0
∃δ>0
tel que d(x, p) < δ
[∀ B ∗ (f (p), ε)] [∃ B(p, δ)]
⇒
[B(p, δ) ⊂ f −1 [B ∗ (f (p), ε)]]
b) Comme (X, d) est C1 , il suit par les Théorèmes 4.4 et 4.6 que
b1) Soit
f : (X, d) → (Y, d∗ )
f est continue en p ⇔
b2) Soit
Alors,
f est séquentiellement continue en p
A ⊂ (X, d) :
A = {p ∈ X : ∃ (an ) ⊂ A tel que an → p}
d’où
A∈F
7.7
⇔
∀ (an ) ⊂ A tel que an → p,
Théorème [Caractère séparé]
Tout espace métrique (X, d) est séparé.
d∗ (f (x), f (p)) < ε .
p∈A.
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
70
Preuve :
Soient p, q ∈ X tels que p 6= q . Soit d := d(p, q) . Alors d > 0 . Prendre
d
δ = 3 . Alors B(p, δ) ∩ B(q, δ) = ∅ .
Conséquence : Par le Théorème 4.5, il suit que dans un espace métrique, toute suite
convergente converge vers un seul point.
Compacité
Objectif : Dans un espace métrique (X, d) :
compact
⇔
séquentiellement compact.
On a déjà ⇒ car (X, d) est C1 (cf. Théorème 5.13).
7.8
Définitions [ε-Réseau, Totalement Borné, Nombre
de Lebesgue]
Soient A ⊂ (X, d) et (Gi )i∈I un recouvrement de A .
a) Un ensemble fini N = {ei }i∈m est un ε-réseau de A ssi
pour tout p ∈ A il existe ei ∈ N tel que d(p, ei ) < ε .
b) A est totalement borné ssi pour tout ε > 0 A admet un ε-réseau.
c) δ > 0 est un nombre de Lebesgue d’un recouvrement (Gi )i∈I de A ssi
pour tout B ⊂ A tel que d(B) < δ il existe i ∈ I tel que B ⊂ Gi .
(nombre de calibration : si B est suffisamment petit, alors B est contenu dans un
seul élément du recouvrement.)
Proposition [Totalement borné implique borné]
Soit A ⊂ (X, d) . Alors,
A est totalement borné implique A est borné .
71
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
Preuve :
On a que A admet un ε-réseau N = {ei }i∈m . Soient p, q ∈ A . Alors, il
existe ei , ej ∈ N tels que d(p, ei) < ε et d(q, ej ) < ε . Ainsi,
d(p, q) ≤ d(p, ei ) + d(ei , ej ) + d(ej , q) < 2ε + d(N) < ∞ ,
d’où, d(A) ≤ 2ε + d(N) < ∞ . A est borné.
Proposition [Dans IRn borné implique totalement borné]
Soit A ⊂ (IRn , du ). Alors,
A est borné implique A est totalement borné .
Preuve :
Comme A est borné, il existe r > 0 tel que A ⊂ C(0, r) := (−r, r)n .
Considérer des nombres dyadiques de la forme
Dm := { k
r
| |k| + 1 ∈ 2m }
m
2
(m ∈ IN) .
Noter que
p ∈ (−r, r)
=⇒
∃ ! q ∈ Dm
tel que |q| ≤ |p| < |q| +
r
2m
r
d’ où |p − q| = ||p| − |q|| = |p| − |q| < m .
2
r
Donc ∀ m ∈ IN
Dm est un m -réseau de (−r, r) .
2
Soit alors p = (pi )i∈n ∈ C(0, r) . Prendre ε > 0 . Prendre m tel que
Alors avec cet m
∀i∈n
∃ qi ∈ Dm
tel
que |pi − qi | <
et p q ≥ 0 ,
ε
r
≤√ .
m
2
n
ε
r
√
≤
.
2m
n
Ainsi il existe q = (qi )i∈n ∈ (Dm )n tel que
(d(p, q))2 =
X
i∈n
|pi − qi |2 < n
ε2
= ε2
n
i.e.
d(p, q) < ε .
Avec ε arbitraire, il suit que ∀ ε > 0 C(0, r) admet un ε-réseau de type (Dm )n .
Il en est de même pour A . A est totalement borné.
Remarque : La preuve ne marche pas pour n = ∞.
72
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
7.9
Lemme [Totalement borné]
Soit A ⊂ (X, d) .
Alors, A séquentiellement compact implique A est totalement borné.
Preuve : par contraposition. Comme A n’est pas totalement borné, il existe ε > 0 tel
que A n’admet pas d’ε-réseau, d’où
∃ (an ) ⊂ A tel que ∀ i 6= j
d(ai , aj ) ≥ ε .
(I)
Pour démontrer (I) prendre a1 ∈ A. Il existe alors a2 ∈ A tel que
d(a2 , a1 ) ≥ ε ( ¬ :
{a1 } ε − réseau) .
Il existe alors a3 ∈ A tel que, pour tout i ∈ 2 ,
d(a3 , ai ) ≥ ε ( ¬ :
{a1 , a2 } ε − réseau) .
Par symétrie, pour tout i, j ∈ 3 , i 6= j, d(ai , aj ) ≥ ε .
..
.
Il existe alors an ∈ A tel que, pour tout i ∈ n − 1 ,
d(an , ai ) ≥ ε ( ¬ :
{ai }i∈n−1 ε − réseau) .
Par symétrie, pour tout i, j ∈ n , i 6= j, d(ai , aj ) ≥ ε .
..
.
Il existe (an )∞
n=1 ⊂ A tel que, pour tout i, j, i 6= j, d(ai , aj ) ≥ ε, i.e. (I) est vrai.
La suite (an ) de (I) n’admet aucune sous-suite de Cauchy.
⌈
Supposons ∃ (anj ) ⊂ (an ) (nj ≥ j) telle que (anj ) est de Cauchy.
Alors ∃ J(ε) tel que
d’ où, pour j, k > J
∀ j, k > J
d(anj , ank ) <
ε
2
,
avec anj 6= ank
0 < ε ≤ d(anj , ank ) < ε : →←
⌋
Il suit que (an ) n’admet aucune sous-suite convergente . Ainsi A n’est pas séquentiellement
compact.
73
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
7.10
Lemme [Nombre de Lebesgue]
Soit A ⊂ (X, d) .
Alors, A séquentiellement compact implique que
tout recouvrement ouvert (Gi )i∈I de A admet un nombre de Lebesgue δ > 0 .
Preuve :
par l’absurde :
Il existe un recouvrement ouvert (Gi )i∈I de A qui n’admet pas de nombre de Lebesgue
δ > 0 et donc aussi n1 pour tout n ∈ IN .
Ceci implique :
∀ n ∈ IN ∃ Bn ⊂ A tel que
d(Bn ) <
1
n
et
Bn 6⊂ Gi
∀i∈I .
(I)
Pour tout n ∈ IN choisir bn ∈ Bn . Il existe alors (bn )∞
1 ⊂ A qui est séquentiellement
compact. Ainsi (modulo extraction),
[
bn → p ∈ A ⊂
Gi .
(II)
i∈I
Noter que
∃ en p une base locale {B(p, ε) : ε > 0} .
(II)
(III)
⇒
⇒
(III)
∃ j ∈ I tel que p ∈ Gj (voisinage ouvert de p ) ,
∃ ε > 0 tel que B(p, ε) ⊂ Gj .
Par ce qui précède, il existe N tel que, pour tout n > N :

d(p, b ) < ε ,
n
2
bn ∈ Bn où d(Bn ) < n−1 < ε .
2
Alors, pour un tel n :
Bn ⊂ B(p, ε) ⊂ Gj : →← (I) .
⌈
Bn ⊂ B(p, ε) , car si q ∈ Bn , alors
d(q, p) ≤ d(q, bn ) + d(bn , p)
≤ d(Bn ) +
ε
2
< ε.
où q et bn ∈ Bn
⌋
74
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
7.11
Théorème [Compacité séquentielle]
Soit A ⊂ (X, d) .
Alors, A compact
⇔
A est séquentiellement compact.
Preuve :
⇒ : suit par le Théorème 5.13 car (X, d) est C1 .
⇐ : A est séquentiellement compact. Soit alors (Gj )j∈J un recouvrement ouvert de A .
Par le Lemme 7.9, A est totalement borné. Donc pour tout δ > 0 A admet un
δ/3-réseau N = {ei }i∈m , d’où
A⊂
[
B(ei , δ/3) ,
i∈m
où pour tout i ∈ m d(B(ei , δ/3)) < δ .
Poser pour tout i ∈ m Ai := B(ei , δ/3) ∩ A .
Ainsi pour tout δ > 0
A=
[
Ai
tel que d(Ai ) < δ
i∈m
∀i∈m.
(I)
Par le Lemme 7.10, le recouvrement ouvert (Gj )j∈J admet un nombre de Lebesgue
δ > 0. Prendre ce δ > 0 dans (I) .
Ainsi pour tout i ∈ m
d(Ai ) < δ
⇒
∃ ji ∈ J tel que Ai ⊂ Gji ,
d’où
A⊂
[
Gj i .
i∈m
Donc (Gj )j∈J admet un sous-recouvrement fini.
75
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
7.12
Théorème [Précompacité séquentielle]
Soit A ⊂ (X, d) .
Alors,
A est précompact

toute suite (a ) ⊂ A admet une sous-suite (a )
n
nj
⇔
(nj ≥ j) telle que an → p ∈ X ( j → ∞ ) .
j
(E)
N.B. (E) est la propriété d’extraction d’une sous-suite convergente.
Preuve :
Pas 1
(E) ⇒ A est séquentiellement compact.
En effet soit (an )∞
1 ⊂ A (fermeture de A). Alors, pour tout n il existe bn ∈ A tel que
−1
d(an , bn ) < n . Ainsi (bn )∞
1 ⊂ A, d’où par (E) il existe (bnj ) ⊂ (bn ) (nj ≥ j)
tel que bnj → p ∈ A (fermeture de A). Alors, la sous-suite (anj ) ⊂ (an ) sera telle
que anj → p ∈ A.
⌈
car d(anj , p) ≤ d(anj , bnj ) + d(bnj , p)
< n−1
+ d(bnj , p) → 0
j
( j → ∞ ). ⌋
Donc A est séquentiellement compact.
Pas 2
Le résultat est vrai.
En effet, en utilisant le Théorème 7.11 pour la seconde équivalence
(E)
⇔
∆
A est séquentiellement compact
⇐⇒ A est précompact
⇔
A est compact
76
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
7.13
Théorème [Continuité Uniforme]
Soit f : (X, d) → (Y, d∗ ) une fonction continue où (X, d) est compact.
Alors f est uniformément continue, i.e.
pour tout ε > 0 , il existe δ(ε) > 0 tel que, avec x, y ∈ X
d(x, y) < δ
Preuve :
⇒
d∗ (f (x), f (y)) < ε .
par l’absurde.
Supposer que f n’est pas uniformément continue.
Alors, il existe ε > 0 tel que pour tout n ∈ IN il existe xn , yn ∈ X
d(xn , yn ) <
1
n
et
d∗ (f (xn ), f (yn )) ≥ ε .
Noter que (xn ) ⊂ X qui est séquentiellement compact.
Ainsi (modulo extraction) xn → x ∈ X et alors yn → x.
En outre f est séquentiellement continue en x, d’où
f (xn ) et f (yn ) → f (x) .
Alors il existe N(ε) tel que pour tout n > N
d∗ (f (xn ), f (x)) <
ε
2
et
d∗ (f (yn ), f (x)) <
Ainsi pour un tel n :
0 < ε ≤ d∗ (f (xn ), f (yn )) < ε : →←
ε
2
.
où
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
77
Sous-espaces métriques
Définition [Sous-espace métrique]
Soit A ⊂ (X, d) . Soit T la topologie métrique sur X induite par d .
Soit dA la restriction de la métrique à A , i.e.
dA :
A × A → IR+ :
(x, y) 7→ dA (x, y) := d(x, y) .
Alors dA est une métrique sur A et (A, dA ) est un sous-espace métrique de (X, d).
Proposition [Topologie métrique d’un sous-espace]
Soit TA la topologie métrique relative à A et soit TdA la topologie métrique de
(A, dA ) . Alors,
TA = TdA .
Preuve :
TdA admet la base BdA des boules définies par dA , i.e. avec a ∈ A ,
Bd (a, r) = {b ∈ A : dA (a, b) < r} .
Donc
BdA = {Bd (a, r) :
TA admet la base BA = {B(p, r) ∩ A :
Alors :
a ∈ A , r > 0} .
p ∈ X, r > 0} .
1. pour tout a ∈ A pour tout r > 0
Bd (a, r) = B(a, r) ∩ A ∈ TA .
2. soit B(p, r) ∩ A ∈ BA . Alors pour tout a ∈ B(p, r) ∩ A, par le Lemme 7.1, il existe
ρ > 0 tel que
B(a, ρ) ⊂ B(p, r) ,
d’ où
Bd (a, ρ) := B(a, ρ) ∩ A ⊂ B(p, r) ∩ A.
78
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
On obtient
B(p, r) ∩ A =
[
{Bd (a, ρ) : a ∈ B(p, r) ∩ A} .
Ainsi tout TA -ouvert est une réunion d’éléments de BdA qui sont TA -ouverts, d’ où BdA est
une base de TA .
Ainsi [Théorème 2.2], comme une base définit une seule topologie, TA = TdA .
Espaces métriques complets
7.14
Proposition [Suite de Cauchy : convergence]
Soit (an ) ⊂ (X, d) une suite de Cauchy. Supposons qu’il existe une sous-suite
(anj ) ⊂ (an ) (nj ≥ j) telle que anj → p ∈ X (j → ∞) .
an → p (n → ∞) .
Alors,
Preuve :
Prendre ε > 0 arbitraire. (an ) étant de Cauchy, il existe N(ε) tel que
⇒
n, m > N
d(an , am ) <
ε
.
2
Noter que
∀n>N
d(an , p) ≤
d(an , anj ) + d(anj , p) ∀ j ∈ IN ,
d’où,
∀n>N
d(an , p) ≤
≤
Il suit
7.15
lim sup d(an , anj ) + lim sup d(anj , p)
j→∞
ε
2
+
∀ ε > 0 ∃ N(ε) tel que n > N
j→∞
0
<
⇒
ε.
d(an , p) < ε .
Définition [Complet]
Soit A ⊂ (X, d) . Alors, A est complet (ou le sous-espace (A, dA ) est complet) ssi
toute suite de Cauchy dans A converge vers un point de A .
79
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
7.16
Théorème [Complet et fermé]
Soit A ⊂ (X, d) .
Alors,
⇒
a)
A complet
A fermé.
b)
(X, d) complet et A fermé
c)
si (X, d) est complet,
⇒
A complet.
alors
A complet
⇔
A fermé .
Preuve :
a) Soit (an ) ⊂ A une suite convergente vers a ∈ X .
Alors, (an ) ⊂ A est de Cauchy où A est complet : a ∈ A .
b) Soit (an ) ⊂ A une suite de Cauchy. Comme (X, d) est complet, an → a ∈ X .
A fermé ⇒ a ∈ A . A sera donc complet.
7.17
Soit
Théorème [Séquentiellement totalement borné]
A ⊂ (X, d) . Alors,
A est totalement borné
⇔
toute suite (an ) ⊂ A admet une sous-suite (anj ) (nj ≥ j) qui est de Cauchy.
Preuve :
⇒ : S.p.d.g. {an }∞
n=1 est un ensemble infini. On procède par extractions multiples.
Soit (an ) ⊂ A .
A admet pour tout n ∈ IN un n−1 -réseau, i.e. pour tout n ∈ IN
recouvrement fini de boules B(p, n−1 ) : au départ boules B(p1 , 1).
⇒ il existe B(p1 , 1) et il existe (a1n ) ⊂ (an ) tels que (a1n ) ⊂ B(p1 , 1)
A admet un
80
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
(au moins une des boules contient une sous-suite étant un ensemble infini, sinon
l’ensemble {an } est fini).
Alors (a1n ) ⊂ A qui admet un recouvrement fini de boules B(p2 , 2−1 ).
⇒ il existe B(p2 , 2−1 ) et il existe (a2n ) ⊂ (a1n ) tels que (a2n ) ⊂ B(p2 , 2−1 )
..
.
Alors (anj−1 ) ⊂ A qui admet un recouvrement fini de boules B(pj , j −1 ).
⇒ il existe B(pj , j −1) et il existe (ajn ) ⊂ (anj−1) tels que (ajn ) ⊂ B(pj , j −1 ).
..
.
Pour tout j prendre un point anj de (ajn ) ⊂ (an ) tel que nj ≥ j .
Alors la sous-suite (anj ) est de Cauchy.
En effet avec ε > 0 arbitraire, il existe J(ε) tel que 2J −1 < ε .
Alors pour tout j, k > J :
anj ∈ (ajn ) ⊂ (aJn ) ⊂ B(pJ , J −1 )
⇒
d(anj , pJ ) < J −1 <
ε
2
et de même
d(ank , pJ ) < J −1 <
ε
2
.
Ainsi
d(anj , ank ) ≤ d(anj , pJ ) + d(pJ , ank ) < ε . CQFD .
⇐ : par contraposition.
Supposons que A n’est pas totalement borné. Alors il existe un ε > 0, tel que A
n’admet pas d’ ε- réseau. Alors, par la preuve du Lemme 7.9, il existe une suite
(an ) ⊂ A telle que pour tout m 6= n d(am , an ) ≥ ε , tel que cette suite n’admet
aucune sous-suite de Cauchy.
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
7.18
81
Théorème [Fermé et totalement borné]
A ⊂ (X, d) . Alors,
Soit
⇔ A complet et totalement borné.
1.
A compact
2.
Si A est complet, alors
A compact
3.
Si (X, d) est complet,
⇔
A fermé et totalement borné.
alors
A précompact
⇔
A totalement borné.
Note :
[cf. Propositions après 7.8] Dans (IRn , du ) borné est équivalent à totalement
borné, d’ où avec (X, d) = (IRn , du ) complet, l’assertion 2. du Théorème est équivalente à
celle du Théorème 5.11 .
Preuve :
rappel (Théorème 7.11) :
A compact
⇔
A séquentiellement compact.
1. ⇒ : a) complet.
Soit (an ) ⊂ A une suite de Cauchy dans A qui est séquentiellement compact :
il s’ensuit que (an ) admet une sous-suite (anj ) convergente vers a ∈ A : par la
Proposition 7.14, on obtient : an → a ∈ A .
b) totalement borné.
Soit (an ) ⊂ A une suite dans A qui est séquentiellement compacte : il s’ensuit
que (an ) admet une sous-suite (anj ) telle que anj → a ∈ A .
Une telle sous-suite est de Cauchy.
⇐ : Soit (an ) ⊂ A une suite.
A étant totalement borné, il existe (anj ) ⊂ (an ) qui est de Cauchy. A étant complet,
cette sous-suite converge vers a ∈ A . A est séquentiellement compact.
2. suit de 1. et du Théorème 7.16 ( A fermé ⇔ A complet).
Chapitre 7. Espaces métriques : propriétés fondamentales
82
3. [utilisation des Théorèmes 7.12 et 7.17]
⇒ : soit (an ) ⊂ A une suite. A étant précompact, il existe (anj ) ⊂ (an ) tel que
anj → p ∈ X , mais alors cette sous-suite est de Cauchy. A est totalement borné.
⇐ : soit (an ) ⊂ A une suite. A étant totalement borné, il existe (anj ) ⊂ (an ) qui
est de Cauchy dans (X, d) complet. Alors anj → p ∈ X . A est précompact.
Chapitre 8
Espaces métriques : informations
complémentaires
Sommaire
• Fermeture et caractère normal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
8.1
Lemme [Inégalité fondamentale] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
8.2
Lemme [Continuité uniforme de d(x, A) ] . . . . . . . . . . . .
84
8.3
Théorème [Fermeture d’ un ensemble] . . . . . . . . . . . . . .
85
8.4
Théorème [Caractère normal] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
• Métriques équivalentes et isométries . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
8.5
Définition [Métriques Equivalentes] . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Exemple [Métriques équivalentes] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
8.6
Définition [Isométrie] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
8.7
Théorème [Invariants isométriques] . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Exemple [Isométrie] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
• Espaces linéaires normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
8.8
Définitions [Espace Linéaire Normé] . . . . . . . . . . . . . . .
91
8.9
Définition [Métrique définie par la norme] . . . . . . . . . . .
91
Exemples [Espaces linéaires normés] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
8.10 Définition [Espace linéaire normé complet] . . . . . . . . . . .
92
8.11 Définition [Normes équivalentes] . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
8.12 Théorème [Linéaire et continu] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
8.13 Corollaire [Normes équivalentes] . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
8.14 Proposition [Partie bornée]
94
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
84
Chapitre 8. Espaces métriques : informations complémentaires
8.15 Théorème [Boules fermées] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Fermeture et caractère normal
8.1
Lemme [Inégalité fondamentale]
Soient A ⊂ (X, d) et
Alors, pour tout x, y ∈ X
d(x, A) := inf{d(x, a) : a ∈ A} .
|d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y) .
(A)
Preuve :
Pour tout a ∈ A d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a) .
En prenant l’infimum. par rapport à a ∈ A
d(x, A) ≤ d(x, y) + d(y, A) .
(1)
En échangeant x et y , on obtient
d(y, A) ≤ d(y, x) + d(x, A)
où
d(y, x) = d(x, y) .
(1) et (2)
8.2
⇒
(A) .
Lemme [Continuité uniforme de d(x, A) ]
Soient A ⊂ (X, d) et f (x) := d(x, A) x ∈ X .
Alors,
f : (X, d) → (IR+ , du ) : x →
7 f (x)
est uniformément continue.
(2)
Chapitre 8. Espaces métriques : informations complémentaires
Remarque
: on peut remplacer (IR+ , du ) par (IR, du ) .
Preuve :
par (A) pour tout x, y ∈ X
Prendre ε > 0 : il existe δ = ε tel que
d(x, y) < δ
8.3
85
⇒
|f (x) − f (y)| ≤ d(x, y) .
|f (x) − f (y)| < ε .
Théorème [Fermeture d’ un ensemble]
Soit A ⊂ (X, d) .
Alors,
A = {x ∈ X :
d(x, A) = 0} .
Preuve :
Définir B := {x ∈ X : d(x, A) = 0} et f (x) := d(x, A) .
Alors, B = f −1 [{0}] où f : (X, d) → (IR+ , du ) est uniformément continue. Comme
{0} est un fermé de IR+ , il s’ensuit que B est un fermé de (X, d) .
Noter maintenant que A ⊂ B ∈ F (i.e. a ∈ A ⇒ d(a, A) = 0 ).
Il s’ensuit que A ⊂ B .
c
Pour que A = B , il suffit alors que B ⊂ A
i.e. A ⊂ B c .
c
Soit alors y ∈ A (ouvert) : il existe r > 0 tel que
c
B(y, r) ⊂ A ,
d’où
A ⊂ A ⊂ B(y, r)c ,
d’où
Il s’ensuit que y ∈ B c .
8.4
d(y, A) ≥ r > 0 .
Théorème [Caractère normal]
Tout espace métrique (X, d) est normal (et T2 , donc normal et T1 , i.e. T4 ).
86
Chapitre 8. Espaces métriques : informations complémentaires
Preuve :
soient A, B ∈ F tels que A ∩ B = ∅ .
? Il existe GA , GB ∈ T tels que GA ∩ GB = ∅ .
Définir f (x) = d(x, A) , g(x) = d(x, B) et h(x) = f (x) − g(x) en tant que
fonctions : (X, d) → (IR, du ) .
Par le Lemme 8.2, f et g sont uniformément continues, d’où h est uniformément continue.
En effet pour tout ε > 0 il existe δi > 0, i = 1, 2, tel que
d(x, y) < δ1
d(x, y) < δ2
d’où, avec
⇒ |f (x) − f (y)| <
⇒ |g(x) − g(y)| <
ε
2
ε
2
,
,
δ := min(δ1 , δ2 ) ,
d(x, y) < δ
⇒
|h(x) − h(y)| ≤ |f (x) − f (y)| + |g(x) − g(y)| < ε .
Définir
GA :={x ∈ X : h(x) < 0} = h−1 [(−∞, 0)] ,
GB :={x ∈ X : h(x) > 0} = h−1 [(0, ∞)] .
GA et GB sont ouverts (car réciproques par h (continue) d’ouverts) et
Finalement A ⊂ GA et B ⊂ GB .
⌈
GA ∩ GB = ∅.
Comme A ∩ B = ∅ , A = A ∩ B c et B = B ∩ Ac , où
A ∈ F tel que (Théorème 8.3) A = {x : f (x) = 0} et Ac ∈ T ,
Ac = {x : f (x) > 0} ,
B ∈ F tel que (Théorème 8.3) B = {x : g(x) = 0} et B c ∈ T ,
B c = {x : g(x) > 0} ,
Ainsi,
x ∈ A = A ∩ Bc
⇒
h(x) = f (x) − g(x) < 0
⇒
x ∈ GA ;
x ∈ B = B ∩ Ac
⇒
h(x) = f (x) − g(x) > 0
⇒
x ∈ GB . ⌋
Métriques équivalentes et isométries
87
Chapitre 8. Espaces métriques : informations complémentaires
8.5
Définition [Métriques Equivalentes]
Soient d et e deux métriques sur X .
Soient Td et Te la topologie métrique définie respectivement par d et e .
On dit que d et e sont équivalentes ssi
∆
Td = Te ,
∆
i.e. (X, d) = (X, Td ) = (X, Te ) = (X, e) ,
Note (cfr. Corrolaire 3.10)
i.e. il y a équivalence d’espaces topologiques sous l’identité,
i.e. 11 : (X, Td ) → (X, Te ) est un homéomorphisme,
i.e. (comme les topologies métriques sont de type C1 et l’identité est bijective)
a)
11 : (X, Td ) → (X, Te ) est séquentiellement continue partout.
b)
11 : (X, Te ) → (X, Td ) est séquentiellement continue partout.
Exemple [Métriques équivalentes]
Considérer l’homéomorphisme
f:
(IR, du ) → ((−1, +1), du ) :
x 7→ f (x) =
x
·
1 + |x|
(voir le graphe de la fonction) où
f −1 :
((−1, +1), du ) → (IR, du ) :
f (x)
(1, 0) r6
y 7→ f −1 (y) =
y
·
1 + |y|
-
x
r
(−1, 0)
Considérer (IR, du ) où du (x, y) = |x − y| , et (IR, e) où e(x, y) = |f (x) − f (y)| .
Alors,
a) e est une métrique. En effet
⇔
(M1 )
e(x, y) = 0
(M2 )
e(x, y) = e(y, x) .
f (x) = f (y)
⇔
x=y .
88
Chapitre 8. Espaces métriques : informations complémentaires
(M3 )
e(x, z) = |f (x) − f (z)| ≤ |f (x) − f (y)| + |f (y) − f (z)|
= e(x, y) + e(y, z) .
b) du et e sont équivalents. En effet
• 11 : (IR, Tdu ) → (IR, Te ) est séquentiellement continue partout :
|xn − x| → 0
⇒
|f (xn ) − f (x)| → 0 .
• 11 : (IR, Te ) → (IR, Tdu ) est séquentiellement continue partout :
|f (xn ) − f (x)| → 0
⇒
|f −1 (f (xn )) − f −1 (f (x))| = |xn − x| → 0 .
c) IR n’est pas du -borné car son diamètre du (IR) = sup{|x − y| : x, y ∈ IR} = ∞ .
IR est e-borné car son diamètre e(IR) = sup{|f (x) − f (y)| : x, y ∈ IR} = 2 < ∞ .
d) Soit (xn )∞
n=1 ⊂ IR tel que xn → ∞ .
Alors pour tout x ∈ IR il existe N(x) tel que
⇒
n>N
d’où avec xnj ∈ (xn ) il existe N(xnj ) tel que
⇒
n>N
xn > x + 1 ,
xn > xnj + 1 .
Alors, en prenant xn1 ∈ (xn ), pour tout j ∈ IN il existe xnj+1 ∈ (xn ) tel que
xnj+1 > xnj + 1, d’où il existe une sous-suite (xnj )j∈IN de (xn ) telle que
pour tout j ∈ IN xnj+1 > xnj + 1.
Ainsi (xn ) n’est pas du -Cauchy. En effet, sinon pour tout ε > 0, il existe N(ε) tel
que pour tout m, n > N |xm − xn | < ε ;
prendre j suffisamment grand pour que nj+1 et nj > N ;
alors ε > |xnj+1 − xnj | = xnj+1 − xnj > 1
→←
Pourtant (xn ) est e-Cauchy. En effet, xn → ∞
⇒
f (xn ) → 1,
d’où pour tout ε > 0, il existe N(ε) tel que pour tout n > N
ainsi pour tout m, n > N
|f (xn ) − 1| <
ε
2
;
e(xm , xn ) = |f (xm ) − f (xn )| ≤ |f (xm ) − 1| + |1 − f (xn )| < ε .
Leçon : Bien que l’équivalence de d et e préserve les propriétés topologiques (équivalence
topologique), elle ne préserve pas toujours les propriétés métriques telles que borné, suite
de Cauchy et complet.
Chapitre 8. Espaces métriques : informations complémentaires
8.6
89
Définition [Isométrie]
Soient (X, d) et (Y, e) deux espaces métriques.
On dit que
f : (X, d) → (Y, e) :
x 7→ f (x)
est une isométrie ssi f est une bijection telle que
d(x, y) = e(f (x), f (y)) ,
(et
x, y ∈ X
e(ξ, η) = d(f −1 (ξ), f −1(η)) ,
ξ, η ∈ Y ).
On dit que (X, d) et (Y, e) sont isométriques ssi il existe une isométrie
f:
Note
(X, d) → (Y, e) .
: “isométrique ” est une relation d’équivalence (réflexive, symétrique, transitive).
Note : une isométrie f est un homéomorphisme :
• f est bijective.
• f : (X, d) → (Y, e) est séquentiellement continue partout.
En effet, d(xn , x) = e(f (xn ), f (x)) donne
d(xn , x) → 0
⇒
e(f (xn ), f (x)) → 0 .
• f −1 : (Y, e) → (X, d) est séquentiellement continue partout.
En effet, e(ξn , ξ) = e(f −1 (ξn ), f −1 (ξ)), donne
e(ξn , ξ) → 0
⇒
e(f −1 (ξn ), f −1(ξ)) → 0 .
On obtient ainsi partiellement le résultat suivant dont le reste se démontre sans peine.
Chapitre 8. Espaces métriques : informations complémentaires
8.7
90
Théorème [Invariants isométriques]
Soit (X, d) et (Y, e) isométriques sous l’isométrie f .
∆
∆
Alors, (X, Td ) = (X, d) et (Y, Te ) = (Y, e) sont équivalents sous f , et toute
propriété topologique est préservée.
En outre si A ⊂ X est un ensemble et (xn ) ⊂ X est une suite, alors :
a)
A est borné ssi f (A) est borné .
b)
(xn ) est de Cauchy ssi (f (xn )) est de Cauchy .
c)
A est complet ssi f (A) est complet .
Leçon : sous l’isométrie, on préserve toutes les propriétés dues à la métrique : propriétés
topologiques dues aux topologies métriques, ainsi que borné, suite de Cauchy et complet.
Exemple [Isométrie]
Les espaces (IR, d)
et
((−1, 1), du )
sont isométriques sous
f (x) =
x
1 + |x|
avec
d(x, y) := |f (x) − f (y)| = du (f (x), f (y)) .
Ils ne sont pas complets : les suites
(xn ) → ∞
⇔
(f (xn )) → 1
sont de Cauchy mais ne convergent pas vers un point de l’espace.
En prenant IR = {−∞} ∪ IR ∪ {∞} , on obtient que les espaces
x
(IR, d) et ([−1, 1], du ) sont isométriques sous f (x) =
avec
1 + |x|
d(x, y) := |f (x) − f (y)| = du (f (x), f (y)) . Ils sont complets et compacts.
91
Chapitre 8. Espaces métriques : informations complémentaires
Espaces linéaires normés
8.8
Définitions [Espace Linéaire Normé]
1. Soit X un ensemble.
On dit que X est un espace linéaire (i.e. vectoriel) sur IR ssi on peut définir sur
X l’addition ( + ) et la multiplication scalaire, i.e.
∀ x, y ∈ X , ∀ α ∈ IR :
x+y ∈X
et
αx ∈ X .
2. Soit X un espace linéaire sur IR .
On appelle norme sur X toute fonction
k·k :
X → IR+ :
x 7→ kxk
telle que, pour tout x, y ∈ X et pour tout α ∈ X , trois axiomes sont satisfaits :
(N1 )
kxk = 0
⇒
(N2 )
kαxk = |α| kxk (homogénéité en valeur absolue).
(N3 )
kx + yk ≤ kxk + kyk (inégalité triangulaire).
x = θ (neutre de X ).
3. Un espace linéaire normé est un espace linéaire X muni d’une norme, noté par le
couple (X, k · k) .
8.9
Définition [Métrique définie par la norme]
Soit (X, k · k) un espace normé. Alors,
métrique définie par la norme.
Exercice.
d(x, y) := kx − yk
x, y ∈ X , est appelée
Démontrer que la métrique définie par la norme est une métrique.
92
Chapitre 8. Espaces métriques : informations complémentaires
Remarque
: il est sous-entendu que
(X, k · k) = (X, d) = (X, Td ) ,
i.e. tout espace linéaire normé
1. est un espace métrique par la métrique définie par la norme,
et
2. est un espace topologique par la topologie définie par la norme (i.e. la topologie métrique définie par la métrique définie par la norme).
Exemples [Espaces linéaires normés]
IRn = {x = (xi )i∈n , xi IR , ∀ i ∈ n } :
a)
|x|1 :=
n
X
i=1
|xi | ,
|x|2 :=
(
n
X
i=1
|xi |2
) 12
,
|x|∞ := sup |xi |
i∈n
sont des normes. La norme usuelle est |x|u := |x|2 .
C[0, 1] = {f : [0, 1] → IR} est un espace linéaire admettant la norme
b)
kf k∞ := sup |f (t)| .
t∈[0,1]
c)
L1 (IR) := {f : IR → IR mesurable selon Lebesgue telle que
R∞
−∞
|f (t)| dt < ∞}
(où f ≡ g si f = g presque partout) est un espace linéaire admettant la norme
Z ∞
kf k1 :=
|f (t)| dt .
−∞
Remarque
8.10
: ces espaces linéaires normés sont complets i.e.
Définition [Espace linéaire normé complet]
Un espace linéaire normé (X, k · k) est complet s’il est complet en tant qu’espace métrique
(ayant la métrique définie par la norme). Un tel espace est dit de Banach.
Chapitre 8. Espaces métriques : informations complémentaires
8.11
93
Définition [Normes équivalentes]
Soient k · ki , i = 1, 2, deux normes sur un espace linéaire X et di (x, y) = kx − yki les
métriques définies par ces normes. On dit que les normes k · k1 et k · k2 sont équivalentes
ssi d1 et d2 sont des métriques équivalentes. On dit alors que les espaces normés (X, k · k1 )
et (X, k · k2 ) sont équivalents .
8.12
Théorème [Linéaire et continu]
Soient (X, k · kX ) et (Y, k · kY ) deux espaces linéaires normés.
Soit f : (X, k · kX ) → (Y, k · kY ) une fonction linéaire,
i.e. pour tout x1 , x2 ∈ X, pour tout α1 , α2 ∈ IR,
f (α1 x1 + α2 x2 ) = α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) .
Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :
a)
f est continue.
b)
f est continue en θ (neutre de X ).
c)
Il existe k > 0 tel que
Preuve :
kf (x)kY ≤ k kxkX
b) ⇒ c) ⇒ a) ⇒ b)
1)
2)
1) Comme f est linéaire
3)
f (θX ) = θY . Comme f est continue en θ
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : kxkX < δ
Prendre ε := 1, δ := δ(1), et k :=
Alors avex x 6= θ
x kkxk < δ
2)
∀x∈X .
Ainsi avec x ∈ X
⇒
2
δ
⇒
kf (x)kY < ε .
.
f (x) x
= f
<1 .
kkxk kkxk kf (x)kY ≤ k kxkX .
kf (x) − f (y)k = kf (x − y)k ≤ k kx − yk .
Ainsi pour tout ε > 0 il existe δ =
kx − yk < δ
f est uniformément continue.
ε
k
> 0 tel que
⇒
kf (x) − f (y)k < ε .
94
Chapitre 8. Espaces métriques : informations complémentaires
3) évident.
8.13
Corollaire [Normes équivalentes]
Soit k · ki , i = 1, 2, deux normes sur un espace linéaire normé X.
Alors,
k · k1 et k · k2 sont équivalentes
⇔
∃ k1 > 0 et k2 > 0 tels que ∀ x ∈ X
k1 kxk2 ≤ kxk1 ≤ k2 kxk2 .
Preuve :
et bijective ) :

11 :
(X, k · k1 ) → (X, k · k2 ) est continue, et
(X, k · k2 ) → (X, k · k1 ) est continue,
i.e. (Théorème 8.12) :

∃ k > 0 tel que kxk ≤ k −1 kxk ,
1
2
1
1
∃ k2 > 0 tel que kxk1 ≤ k2 kxk2 .
Proposition [Partie bornée]
Soit A ⊂ (X, k · k) . Alors,
A est borné
Preuve :
Suit de
(B)
di (x, y) = kx − yki , i = 1, 2, sont équivalentes ssi (avec l’identité linéaire
11 :
8.14
(A)
⇔
kAk := rayon de A := sup{kxk : x ∈ A} < ∞ .
exercice. Montrer que d(A) < ∞
∀ p ∈ A kAk ≤ kpk + d(A)
et
⇔
kAk < ∞ .
d(A) ≤ 2kAk.
Chapitre 8. Espaces métriques : informations complémentaires
95
N.B. : l’équivalence de deux normes k · k1 et k · k2 sur un espace linéaire X préserve
toutes les propriétés dûes à la norme :
1. propriétés topologiques (associées aux topologies définies par les normes) ;
2. les propriétés : borné, suite de Cauchy, complet.
Remarque
: tout sous-espace linéaire Y ⊂ X tel que Y 6= {θ} n’est pas borné.
Preuve :
soit y ∈ Y , y 6= θ . Alors pour tout n ∈ IN
kY k ≥ k{ny}n∈IN k = ∞ :
8.15
ny ∈ Y . Dès lors,
kY k = ∞ .
Théorème [Boules fermées]
Soit (X, k · k) un espace linéaire normé.
Soit B(p, r) une boule ouverte de centre p ∈ X et de rayon r > 0 , i.e.
B(p, r) = {x ∈ X :
kx − pk < r} .
Alors,
B(p, r) = {x ∈ X :
kx − pk ≤ r} = {x ∈ X :
d(x, p) ≤ r} .
Remarque : ceci n’est pas toujours vrai dans les espaces métriques.
Prendre (X, d) où d est la métrique triviale

1 ,
x=
6 y,
d(x, y) =
0 ,
x=y.
Prendre p ∈ X et r = 1 .
B(p, 1) = {x ∈ X :
d(x, p) < 1} = {p} ∈ F ,
B(p, 1) = {p} mais {x ∈ X :
d(x, p) ≤ 1} = X !
Chapitre 8. Espaces métriques : informations complémentaires
96
Preuve :
prendre p ∈ X .
Avec d(x, y) = kx − yk , considérer
f:
(X, d) → (IR+ , du ) :
x 7→ f (x) = d(x, p) = kx − pk .
f est uniformément continue car |f (x) − f (y)| ≤ kx − yk .
Soient B := {x ∈ X :
d(x, p) < r} = f −1 [[0, r)] ,
β := {x ∈ X :
d(x, p) = r} = f −1 [{r}] ,
C := {x ∈ X :
d(x, p) ≤ r} = f −1 [[0, r]] fermé.
|{z}
fermé
Alors C = B ∪ β , B ⊂ C ∈ F . En outre C ⊂ C = B ∪ β .
Comme B ⊂ B , il suffit que β ⊂ B . A cette fin soit x ∈ β , i.e. kx − pk = r .
Considérer le segment [p, x] tel que xn = n−1 p + (1 − n−1 ) x .
Alors (xn ) ⊂ B, car kxn − pk = (1 − n−1 ) r < r. En outre xn → x car kxn − xk =
(n−1 ) r → 0. Donc x = lim xn , où pour tout n, xn ∈ B. Donc x ∈ B.
Il suit que β ⊂ B, et finalement B ⊂ C = B ∪ β ⊂ B .
En guise de conclusion
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En guise de conclusion
Notons parmi les sujets importants qui ne sont pas vus dans ces notes : la notion de
Suite Généralisée (Famille Filtrante), la notion d’ Ensemble Connexe, et le problème de
Métrisation d’une Topologie.
Mentionnons aussi l’ importance de la topologie dans différentes branches des mathématiques, comme par exemple : les Topologies Faibles et les Espaces Linéaires Topologiques en
Analyse Fonctionnelle, la Topologie des Variétés Algébriques et des Variétés Différentielles,
et les Théorèmes du Point Fixe.
Pour trouver des ouvrages associés récents ainsi que des informations complémentaires,
utiliser le moteur de recherche http ://www.google.com .