Facultés Universitaires Notre-Dame de la Paix `a Namur Second

Facult´es Universitaires Notre-Dame de la Paix `a Namur
Second Baccalaur´eat en Sciences Math´ematiques
Notes de Cours
Topologie
Frank Callier
31 mai 2006

Pr´eface i
Pr´eface
Le cours de topologie traite la g´eom´etrie de l’analyse en termes d’ensembles abstraits
appel´es ouverts et ferm´es. Par exemple, on y g´en´eralise les notions de limite et de continuit´e,
et on y acc`ede `a la notion de compacit´e.
Ces notes de cours forment un surensemble d’introduction (am´eliorable) aux notions et
r´esultats essentiels de la topologie. Pour plus de d´etail voir les sommaires des chapitres, dont
les pages sont indiqu´ees par la table des mati`eres, qui comprend huit chapitres : ouverts
et ferm´es, bases et sous-bases, fonctions continues, d´enombrabilit´e et s´eparation, compa-
cit´e, espaces produit, espaces m´etriques : propri´et´es fondamentales, et espaces m´etriques :
informations compl´ementaires. Des remarques finales sont donn´ees en guise de conclusion.
Parmi les r´esultats importants citons a) les Th´eor`emes de Continuit´e num´erot´es 3.7 et 4.4
(Continuit´e S´equentielle), 3.12 (Topologie Engendr´ee), et 6.5 (Continuit´e Produit) ; b) les
Th´eor`emes de Convergence num´erot´es 4.5 (Limite Unique) et 6.6 (Convergence Produit) ;
et c) les Th´eor`emes de Compacit´e num´erot´es 5.2 (Alexander), 5.3 (Heine-Borel), 5.13 et
7.11 (Compacit´e S´equentielle), 6.9 (Compacit´e Produit de Tychonoff), et 7.18 (Ferm´e et
Totalement Born´e).
Une bibliographie succincte contient :
1. J.L. Kelley, ” General Topology ”, Van Nostrand, New-York,1955.
2. H.L. Royden, ” Real Analysis ”, MacMillan, New-York,1968, (esp. Chap. 8 and 9).
3. S. Lipschutz, ” Theory and Problems of General Topology ”, Shaum Publishing Co.,
New-York, 1965.
4. L. Schwartz, ” Analyse I : Th´eorie des Ensembles et Topologie ”, Hermann, Paris,
1992.
L’ouvrage de Lipschutz de la Collection Shaum est sp´ecialement recommand´e aux ´etudiants
d´ebutants (existe en traduction fran¸caise) (exercices r´esolus !). Il est la source d’inspiration
principale de l’auteur.
Les livres de Laurent Schwartz et de Royden sont ´ecrits `a l’ intention de l’´etudiant avanc´e.
Tandis que le livre de Kelley est la bible (historique) des experts en topologie. Finalement
beaucoup d’ouvrages r´ecents existent ainsi que des informations compl´ementaires : utiliser
l’excellent moteur de recherche http ://www.google.com .

Table des mati`eres
1 Propri´et´es fondamentales 1
2 Bases et sous-bases 14
3 Fonctions continues 22
4 D´enombrabilit´e et s´eparation 33
5 Compacit´e 40
6 Espaces produit 51
7 Espaces m´etriques : propri´et´es fondamentales 63
8 Espaces m´etriques : informations compl´ementaires 83
En guise de conclusion 97
Avis aux lecteurs : ”s.p.d.g.” veut dire ”sans perte de g´en´eralit´e ” (similaire `a ”w.l.g.”
i.e. ”without loss of generality”). Les raisonnements math´ematiques se font `a l’aide d’un
syst`eme de r´ef´erences locales aux ´equations concern´ees. Les erreurs ´eventuelles sont dˆues
`a l’auteur, qui aimerait bien en ˆetre inform´e.

Chapitre 1
Propri´et´es fondamentales
Sommaire
•Espace topologique – ouverts et ferm´es . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 D´efinition [Topologie] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 D´efinition [Moins Fine, Plus Faible] . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Th´eor`eme [Intersection de Topologies] . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 D´efinition [Voisinage] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Th´eor`eme [Ouverts] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 D´efinition [Point d’ Accumulation] . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 D´efinition [Ferm´e] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.8 Th´eor`eme [Axiomes des Ferm´es] . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.9 Th´eor`eme [Ferm´es] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
•Fermeture d’ une partie Ade (X, T). . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.10 D´efinition [Fermeture] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.11 Proposition [Fermeture] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.12 Proposition [Point de fermeture] . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.13 Proposition [Fermeture et accumulation] . . . . . . . . . . . . 9
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.14 D´efinition [Dense] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
•Int´erieur d’ une partie Ade (X, T). . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.15 D´efinition [Int´erieur] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1

Chapitre 1. Propri´et´es fondamentales 2
1.16 Proposition [Int´erieur] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.17 Proposition [Point int´erieur] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.18 D´efinition [Fronti`ere] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
•Convergence, Sous-espace, Topologie relative . . . . . . . . . . . . 11
1.19 D´efinition [Convergence dans (X, T)] . . . . . . . . . . . . . . . 12
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.20 D´efinition [Topologie Relative, Sous-Espace] . . . . . . . . . . 12
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
•Topologie usuelle Tusur IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.21 D´efinition [Topologie Usuelle] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Espace topologique – ouverts et ferm´es
1.1 D´efinition [Topologie]
Soit Xun ensemble non vide. Une classe T ⊂ P(X) est une topologie sur Xsi et
seulement si
O1)∅et X∈ T ;
O2)∀(Gi)i∈I⊂ T :S
i∈I
Gi∈ T ;
O3)Si G1et G2∈ T , alors G1TG2∈ T .
On dit alors que (X, T)est un espace topologique et les ´el´ements de Tsont appel´es
des ouverts not´es par G.