ExCPM 2

– Université Pierre Mendès France – IUT 2 (Grenoble) département STID – Compléments Maths –
Feuille 2 – Fonctions de deux variables : limites, continuité, dérivées
partielles et extrema locaux
Exercice 1
Exercice 3
Déterminer si les fonctions suivantes ont une limite en (0, 0),
et, le cas échéant, calculer cette limite.
xy
1. f (x, y) =
x+y
(x + y)2
2. f (x, y) = 2
x + y2
x3 + y 3
3. f (x, y) = 2
x + y2
sin x − sin y
4. f (x, y) =
x−y
sin x − sin y
5. f (x, y) =
ex − ey
x+y
6. f (x, y) = 2
x − y2
x+y
7. f (x, y) = 2
au point (2, −2)
x − y2
y4
8. f (x, y) = 2
x + y2
x3 − y 3
9. f (x, y) = 2
x + y2
1
10. f (x, y) = (x2 + y 2 ) sin
x2 + y 2
1
11. f (x, y) = xy sin
x2 + y 2
2
2
x −y
12. f (x, y) = 2
x + y2
y
13. f (x, y) = x arctan
x
ex − ey
14. f (x, y) =
x−y
xy
15. f (x, y) =
3 + x2 y 2
Calculer, si elles existent, les dérivées partielles des fonctions
suivantes. Indiquer si ces fonctions sont C 1 .

1
xy sin
si (x, y) 6= (0, 0)
x2 + y 2
1. f (x, y) =

0
sinon
 3
3
x − y
si (x, y) 6= (0, 0)
2. f (x, y) = x2 + y 2

0
sinon

1
(x2 + y 2 ) sin
si (x, y) 6= (0, 0)
x2 + y 2
3. f (x, y) =

0
sinon

4
 y
si (x, y) 6= (0, 0)
4. f (x, y) = x2 + y 2

0
sinon
Exercice 4
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation
du plan tangent à la surface représentative de f au
point (x0 , y0 ) :
1. f (x, y) = x2 + y 2 ; (x0 , y0 ) = (1, 1)
2. f (x, y) = x2 + y 2 ; (x0 , y0 ) = (0, 0)
√ √ π
π
,
3. f (x, y) = sin(xy) ; (x0 , y0 ) =
2
3
Exercice 5
Indiquer brièvement pourquoi les fonctions suivantes sont
C 2 . Déterminer les points critiques des fonctions suivantes.
Pour chaque point critique (x0 , y0 ), calculer la matrice hessienne de f en (x0 , y0 ) et indiquer la nature du point (x0 , y0 )
pour f .
y2
x3
Exercice 2
− x + xy +
1. f (x, y) =
3
2
Calculer les dérivées partielles, par rapport à x et par rap2. f (x, y) = x2 y 3 (3x + 2y + 1)
port à y, des fonctions suivantes :
3. f (x, y) = x2 − 2xy + y − z + yz
1. f (x, y) = x3 y + 5xy 2 − 4xy + y
2. f (x, y) = xy
Exercice 6
1
3. f (x, y) =
2
2
1 + x + 2y
Soit f : R2 → R définie par :
xy

4. f (x, y) =
3
1 + x2
 xy
si (x, y) 6= (0, 0)
x−y
2
f (x, y) = x + y 2
5. f (x, y) =

2
2
1+x +y
0
sinon
6. f (x, y) = cos(xy)
∂f
∂f
7. f (x, y) = x sin y
et de
.
1. Donner l’expression de
2
2
∂x
∂y
x +y
8. f (x, y) = exp −
2. Calculer les dérivées partielles secondes croisées en 0
2
p
et montrer que :
9. f (x, y) = 1 + x2 + y 2
∂2f
∂2f
10. f (x, y) = ln(1 + x2 + y 2 )
(0, 0) 6=
(0, 0)
2
2 −xy
∂x∂y
∂y∂x
11. f (x, y) = (x + y )e
x−y
12. f (x, y) = arctan
3. f est-elle C 2 ?
1 + xy