Fonctions de plusieurs variables : Table des matières

Sommaire
1 Fonctions de plusieurs variables 2
I. Définitions ....................................... 2
1) Domaine de définition d’une fonction de deux variables .......... 2
2) Graphe d’une fonction de deux variables .................. 3
II. Dérivées partielles .................................. 4
1) Dérivées partielles d’ordre un ........................ 4
2) Dérivées partielles d’ordre 2........................ 5
3) Règle de dérivation en chaîne ........................ 7
4) Optimisation ................................. 10
4.1 Extrémums libres .......................... 10
4.2 Recherche des extrémums d’une fonction à deux variables . . . 11
4.3 Optimisation sous une contrainte ................ 13
III. Forme Différentielle ................................. 16
IV. Intégrales curvilignes ................................. 18
V. Intégrales doubles .................................. 21
1) Intégrales doubles sur un rectangle ..................... 21
2) Intégrales doubles en coordonnées polaires ................. 23
1

Chapitre 1
Fonctions à plusieurs variables
I. Définitions
Une fonction numérique de nvariables réelles (n > 1) est une fonction fdéfinie d’une
partie D⊂Rnà valeurs dans R
f:D⊂Rn−→ R
Définition 1.
Exemples :
1. La fonction f:R3−→ Rdéfinie par :
f(x, y, z) = xy3−4y2+z
est une fonction à trois variables.
2. La fonction f:R2−→ Rdéfinie par :
g(x, y) = ln(x+y−1)
est une fonction à deux variables.
1) Domaine de définition d’une fonction de deux variables
Soit f:R2−→ Rune fonction réelle de deux variables.
Le domaine de définition de f est l’ensemble des couples (x, y)de R2pour lesquelles
f(x, y)existe dans R. Il est noté par :
D(f) = Df={(x, y)∈R2:f(x, y)∈R}
Définition 2.
2

Exemples :
1.f(x, y) = x+ 2yest une fonction réelle de deux variables. Df=R2.
2. f(x, y) = xy
x2+y2
Df={(x, y)∈R2:x2+y2̸= 0}={(x, y)∈R2:x̸= 0 et y ̸= 0}
=R2− {(0,0)}
3. f(x, y) = 1
x+y
Df={(x, y)∈R2:x+y̸= 0}={(x, y)∈R2:y̸=−x}
2) Graphe d’une fonction de deux variables
Soit f:R2−→ Rune fonction réelle à deux variables.
Le graphe de f est l’ensemble :
G(f) = {(x, y, z)∈R3/(x, y)∈D(f), z =f(x, y)}
={(x, y, f(x, y)) : (x, y)∈D(f)}
Définition 3.
Remarque :
1. La représentation graphique d’une fonction à deux variables dans un repère orthonormé de
l’espace est l’ensemble des points M(x, y, z)vérifiant z=f(x, y).
2. Une fonction à deux variables est donc représentée non pas par une courbe, mais par une
surface dans l’espace. Il est difficile de visualiser cette représentation graphique manuellement,
ce pendant il existe des logiciels qui donnent des surfaces avec une grande précision.
Exemple :
Le graphe de la fonction f(x, y) = x3−7xy −3y2(un polynôme de degré trois) est :
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Graphe d’une fonction de deux variables
II. Dérivées partielles
1) Dérivées partielles d’ordre un
Si f(x, y)est une fonction des deux variables xet y, alors les dérivées partielles par
rapport à ces variables sont définies par :
∂f
∂x = lim
h→0
f(x+h, y)−f(x, y)
h
et ∂f
∂y = lim
k→0
f(x, y +k)−f(x, y)
k
z=f(x, y), ses dérivées partielles sont ∂z
∂x et ∂z ∂y
Définition 4.
Remarques :
1. ∂f
∂x est obtenu en dérivant f(x, y)par rapport à xtout en gardant yconstante.
2. ∂f
∂y est obtenu en dérivant f(x, y)par rapport à ytout en gardant xconstante.
3. Chacune des deux dérivées partielles est une fonction à deux variables.
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Exemples :
1. z= 2x3+ 3xy2, on a ∂z
∂x = 6x+ 3y2,∂z ∂y = 6xy
2. Si z=x3−7xy −3y2, on a
∂z
∂x = 3x2−7y, ∂z ∂y =−7x−6y
3. Si z=x2e−y, on a
∂z
∂x = 2xe−y,∂z ∂y =−x2e−y
2) Dérivées partielles d’ordre 2
Soit z=f(x, y), les deux fonctions de deux variables ∂f
∂x et ∂f ∂y peuvent admettre des
dérivées partielles, appelées dérivées partielles secondes de fet on les notes :
∂
∂x ∂f ∂x!(x, y) = ∂2f ∂x2(x, y) = ∂2z ∂x2
∂
∂y ∂f ∂y !(x, y) = ∂2f ∂y2(x, y) = ∂2z ∂x2
∂
∂x ∂f ∂y !(x, y) = ∂2f ∂x∂y (x, y) = ∂2z ∂x∂y
∂
∂y ∂f ∂x!(x, y) = ∂2f ∂y∂x(x, y) = ∂2z ∂y∂x
De même on peut définir successivement les dérivées partielles d’ordre nde f.
∂nf
∂xn,∂nf ∂y∂xn−1,∂nf ∂y2∂xn−2,··· ,∂nf ∂yn
Définition 5.
Remarque :
1. On n’a pas toujours ∂2f
∂x∂y (x, y) = ∂2f ∂y∂x(x, y).
2. Si les fonctions ∂f
∂x,∂f ∂y ,∂2f ∂x∂y et ∂2f ∂y∂x sont continues. Alors
∂2f
∂x∂y (x, y) = ∂2f ∂y∂x(x, y)
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