Exercices sur les fonctions trigonométriques réciproques
1 x
1 On considère la fonction f définie par f x Arctan
.
1 x
En déduire le nombre de solutions dans R de l’équation Arct an x 1 Arc tan x Arc tan x 1 m (E) suivant
la valeur du réel m.
2°) a) Rappeler sans démonstration la formule donnant tan a b où a et b sont deux réels tels que a, b, a b
1°) Déterminer l’ensemble de définition D de f.
2°) Simplifier l’expression de f x pour x D.
ne soient pas de la forme
k , avec k entier relatif.
2
b) Rappeler sans démonstration la formule donnant tan a où a est un réel qui n’est pas de la forme
2
k , avec k entier relatif.
2
c) Résoudre l’équation (E) pour m .
2
Indication : Poser y Arccos x .
2 Soit f la fonction définie par f x Arctan
7 1°) Étudier la fonction f : x Arct an x 1 Arc tan x Arc tan x 1 (parité, sens de variation et limites).
1 x2 1
.
x
1°) Peut-on prolonger f par continuité ?
2°) Simplifier l’expression de f.
Indication : Poser y Arctan x .
8 Partie A (Questions préliminaires)
1°) Rappeler la formule donnant tan a b .
3 Question préliminaire : Simplifier cos Arcsin x pour x 1; 1 .
3
2°) Simplifier Arctan tan x pour x ; puis pour x ; .
2
2
2 2
Partie B
La calculatrice est autorisée.
Soit f la fonction définie par f x Arctan
Contrôler sur la calculatrice graphique.
5
4
16
L’objectif de cet exercice est de calculer Arcsin Arcsin Arcsin .
13
5
65
Indications :
x 3
1 x 3
.
1°) Déterminer l’ensemble de définition D de f.
2°) Pour x D , simplifier l’écriture de f x .
5
4
16
, Arcsin et Arcsin .
13
5
65
• Démontrer que 0 . On pourra comparer et à des valeurs remarquables de Arcsin.
2
Poser Arcsin
9 On considère la fonction f définie sur R par f x Arctan x 1 Arc tan x .
1°) Démontrer que pour tout réel x, on a : 0 f x
• Calculer cos .
.
2
2°) Démontrer qu’il existe une unique fonction g définie sur R telle que, pour tout réel x, on ait :
• Conclure.
f x Arc tan g x .
4 On considère la fonction f définie par f x Arccos 1 x .
1°) Démontrer que, pour tout réel x appartenant à l’ensemble de définition de f, on a f x 2Arcsi n
2°) Déterminer lim
x 0
f x
x
Arctan g k .
n
x
.
2
3°) Pour tout entier naturel n, on pose Sn
k 0
Déterminer lim Sn .
n
.
5 Question préliminaire : Simplifier Arccos(cos x) pour x 0 ; puis pour x ; 2 .
1
1
10 Le but de l’exercice est de calculer Arctan Arctan par deux méthodes indépendantes.
2
3
Partie A
1ère méthode :
Rappeler la formule donnant tan a b .
On considère la fonction f : x Arccos 2 x 2 1 .
Effectuer le calcul demandé.
2e méthode :
Partie B
3
Mêmes questions avec la fonction g : x Arccos 4 x 3 x .
6
2
Démontrer que l’on a : 0 .
1°) Déterminer l’ensemble de définition de f.
2°) Simplifier f x (méthode : changement de variable)
On considère la fonction f : x Arctan
Calculer f ' x .
Conclure.
1
x
.
Arctan
x 1
x2
Arcsin y 2Arcsin x
11 Résoudre dans R2 le système
.
2Arccos y Arcsin x
12 Démontrer que pour tout réel x, on a : cos Arctan x
21 Calculer la dérivée de la fonction f : x Arctan
1
1 x
2
et sin Arctan x
x
1 x
2
.
13 1°) Simplifier Arc(cos x) pour x 0 ; , puis pour x ; 0 .
3
3
Simplifier Arc(sin x) pour x ; , x ; et x
; .
2
2 2
2 2
2
1 x2
2x
2°) Simplifier Arccos
et simplifier Arcsin
.
2
2
1 x
1 x
1
1
14 Démontrer que pour tout réel x strictement positif, on a : Arctan x 2Arctan x .
2
x
2
15 Démontrer que :
1
1
2Arctan Arctan .
4
3
7
16 Question préliminaire : rappeler la formule donnant tan a – b où a et b sont deux réels tels que a, b,
a b soient différents de
k , pour tout entier relatif k.
2
x j xi
1
.
3
Indication : On pourra supposer que x1 x2 ... x7 et on pourra poser i Arctan xi .
Démontrer qu’il existe deux réels distincts xi et x j tels que 0
17 Calculer la dérivée de la fonction f : x 2Arctan
mArctan
1
1
Arctan
x
y 4
.
Cm
1 xi x j
2°) Démontrer que x ; y C m ⇔ x i
y i e
l’ensemble des couples (x ; y) de réels non nuls tels que
i
4
».
1
1
3°) Démontrer que : 2Arctan Arctan .
3
7 4
20 Donner une primitive sur R de la fonction f : x x
1 x2
2
.
(1) ; 2Arcsin x Arcsin 2x 1 x 2
2
(2).
3
3
23 Simplifier les expressions suivantes : Arccos cos et Arcsin sin .
4
2
x2 2x 1
.
x2 2x 1
3
Pour cet exercice, on donne : tan 2 1 et tan
2 1.
8
8
24 On considère la fonction f : x Arctan
1°) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.
2°) Démontrer que l’on a :
5
si x 2 1 ;
f x 2Arctan x
4
f x 2Arctan x si 2 1 x 2 1 ;
4
3
si x 2 1 .
f x 2Arctan x
4
1
.
x
1°) Démontrer que f ' s’annule en un unique réel et justifier que 0 1 .
2°) Dresser le tableau de variations de f.
2
3°) Démontrer que le maximum de f est égal à
.
1 2
26 1°) Soit x un réel appartenant à l’intervalle 1;1 .
Préciser en fonction de Arccos x l’ensemble des réels u ; tels que cos u x .
2°) Soit y un réel appartenant à l’intervalle [0 ; 1].
Préciser en fonction de Arcsin y l’ensemble des réels u ; tels que sin u y .
27 Soit x un réel appartenant à l’intervalle – 1;1 .
Exprimer Arcsin
2x
en fonction de Arctan x.
1 x2
28 Deviner la valeur de Arctan 1 Arctan 2 Arctan 3 à l’aide de la figure ci-dessous, puis démontrer cette
conjecture.
19 Calculer la dérivée de la fonction f : x Arctan(Arctan x).
Indication : on pourra écrire f x
1 x 2 x Arctan x .
1°) Démontrer que pour tout réel x non nul on a : Arg x i Arctan
m
22 Résoudre dans R les équations :
Arcsin x Arcsin 1 x 2
x2 1 .
25 On considère la fonction f : x xArccos x.
Soit x1 , , x2 , …, x7 sept réels deux à deux distincts.
18 Pour tout entier naturel m non nul, on note
x
.
1 x4
2e méthode :
Raisonner par équivalences :
2 x tan Arctan x
4
1 ⇔
Arctan x
2 4
2
a
b
34 Calculer le produit 1 2i 1 5i 1 8i ; en déduire la valeur de S Arctan 2 Arctan 5 Arctan 8 .
2
29 Démontrer que pour tout réel x 0 ; on a : sin x x .
2
30 Soit f la fonction définie sur R* par f x Arctan
Calculer f ' x . Que peut-on en déduire ?
1
x 1
x 1
Arctan
Arctan
.
2x2
x
x
31
32 On considère deux réels et de l’intervalle 0 ; tels que tan 0, 6 et tan 0, 25 .
2
1°) Marquer et avec précision sur le cercle trigonométrique.
2°) On pose .
Calculer tan ; en déduire .
33 Résoudre dans R l’équation Arccos cos x
5 i 4
1
1
; en déduire la formule de Machin : 4Arctan Arctan
.
239 i
4
5
239
Note historique : Grâce à cette formule qu’il découvrit en 1706, le mathématicien John Machin (1680-1752)
calcula les 100 premières décimales de .
1
1
1
En 1974, la formule 12Arctan 8Arctan
(variante de la formule de Machin due à
5Arctan
4
18
57
239
Gauss qui se démontre de la même manière en utilisant de plus l’inégalité 0 Arctan x x pour tout réel
x 0 ), permit d’obtenir un million de décimales pour en utilisant un ordinateur.
35 Calculer
36 Calculer 1 i 239 i et 5 i . En déduire la formule de Machin :
4
1
1
4Arctan Arctan
.
4
5
239
37 Calculer S Arctan 5 Arctan 8 Arctan 3 .
38
Partie A
.
3
1°) Rappeler la relation entre Arctan x et Arctan
2°) Rappeler tan x y .
34
1
pour x 0 .
x
Question préliminaire :
Rappeler sans démonstration la formule pour tan a b en fonction de tan a et de tan b où a et b sont deux
k , avec k entier relatif.
2
____________________
réels tels que a, b, a b ne soient pas de la forme
Résoudre dans R les équations Arctan x + Arctan 2x =
4
1
;
Arcsin 2 x Arcsin x
4
2 .
Indications pour l’équation 1 :
Deux méthodes indépendantes.
1ère méthode :
Étudier la fonction correspondant au premier membre de l’équation (variations et limites) pour démontrer que
l’équation admet une unique solution dans R. Déterminer le signe de cette solution puis la déterminer en
raisonnant par implications.
Partie B
Soit a et b deux réels tels que ab 1 .
On pose S Arctan a Arctan b .
1°) Calculer tan S .
2°) On suppose dans tout le 2°) que ab 1 .
a) On suppose de plus que a 0 .
1
ab
Démontrer en écrivant b que S . En déduire que S Arctan
.
1 ab
a
2
2
b) On suppose maintenant que a 0 . Démontrer le même résultat.
c) Vérifier que le résultat précédent reste valable lorsque a 0 .
3°) On suppose dans tout le 3°) que ab 1 .
a) Justifier que a et b sont de même signe.
b) On suppose que a et b sont positifs.
ab
Démontrer que S . En déduire que S Arctan
.
1 ab
2
c) On suppose ici que a et b sont négatifs.
ab
Démontrer que S . En déduire que S Arctan
.
1 ab
2
Bilan :
QUESTIONS DE COURS
1 Simplifier Arccos(cos x) et cos(Arccos x).
ab
.
1 ab
ab
Si ab 1 , alors Arctan a Arctan b Arctan
sgn a .
1 ab
2 Démontrer que la fonction Arcsinus est impaire.
Exprimer Arccos(– x) en fonction de Arccos x pour x 1; 1 .
Si ab 1 , alors Arctan a Arctan b Arctan
3 Donner les domaines de dérivabilité et les dérivées des fonctions Arccosinus, Arcsinus et Arctangente.
Démontrer les formules.
Partie C
4 Énoncer la propriété sur le graphe d’une fonction numérique bijective et de sa réciproque.
Application aux graphes des fonctions Arccosinus et Arcsinus.
1
1
1
Arctan Arctan .
2
5
8
2°) Que démontre cette figure ?
1°) Calculer A Arctan
5 Donner la relation entre Arccos x et Arcsin x pour x 1; 1 .
Démontrer cette relation si possible par deux méthodes différentes.
6 Donner les primitives de la fonction f : t 1
où z est un nombre complexe.
tz
7 On considère la fonction f Arcsin ○ cos .
1°) Étudier la parité et la périodicité de f. En déduire un intervalle d’étude I de f.
2°) Donner une expression simplifiée de f x pour x I .
3°) Tracer la représentation graphique de f.
a
x 1
39 On considère la fonction f définie sur R par f x x Arctan
et f 0 .
x
2
On note C sa courbe représentative de f.
1°) Étudier les limites de f à droite et à gauche. f est-elle continue en 0 ?
2°) a) f est-elle dérivable à gauche en 0 ?
b) Démontrer que f est dérivable en droite en 0 ; préciser la valeur de f 'd 0 et l’équation de la demi-tangente
T à C au point A 0 ; .
2
2°) Calculer f ' x pour x »* .
Donner le tableau de variation de f et préciser les limites de f en + ∞ et – ∞.
3°) La courbe C possède-t-elle une ou plusieurs asymptotes ? Si oui, en donner une équation et préciser la
position de C par rapport à l’asymptote.
4°) a) Démontrer que f établit une bijection de » dans un intervalle J que l’on précisera.
On appelle g sa bijection réciproque.
b) Démontrer que g est dérivable en b 1 Arctan 2 et calculer g ' b .
8 On considère la fonction f Arccos ○ cos .
1°) Étudier la parité et la périodicité de f. En déduire un intervalle d’étude I de f.
2°) Donner une expression simplifiée de f x pour x ∈ I.
3°) Tracer la représentation graphique de f.
9 Étude des fonctions tangente et Arctangente.
10 Recopier et compléter les équivalences suivantes à l’aide des fonctions Arccosinus, Arcsinus et
Arctangente.
sin x y
tan x y
cos x y
...
...
...
...
x 0 ; ...
x 2 ; 2
x 2 ; 2
11
Pour x 0 ; , simplifier Arccos cos x .
Pour x ; , simplifier Arcsin sin x .
2 2
Pour x ; , simplifier Arctan tan x .
2 2
Pour x 1; 1 , simplifier cos Arccos x .
Pour x 1; 1 , simplifier sin Arcsin x .
Pour x réel quelconque, simplifier tan Arctan x .
12 Résoudre dans R les inéquations : Arc cos x
; Arcsin x ; Arctan x .
2
3
4
1 1°) 1;1
13 Compléter l’équivalence : tanx y ⇔ x .
2 1°) lim f 0 ; 2°) f x
Le 18-1-2015
x»
y 1; 1
cos x y ⇔ x Arccos y 2k
x»
y 1; 1
sin x y ⇔ x Arcsin y 2k
RÉPONSES
0
Arctan x
2
k »
ou x Arccos y 2k '
k ' »
3
k »
ou x Arcsin y 2k '
k ' »
Il y a des valeurs remarquables de Arcsin, Arccos, Artan : il s’agit des valeurs obtenues par lecture inverse
dans le tableau des valeurs remarquables des cosinus, sinus et tangente.
14 Écrire les relations fondamentales liant le cosinus et l’Arccosinus.
Faire de même pour le sinus et la tangente.
On a 0
5 1
4
3
63
donc 0 et 0 donc 0 ; Arcsin
et 0
13 2
5
2
6
3
2
65
Il faut reprendre le corrigé avec l’énoncé modifié.
Cos Arccos ; Arcos(cosx) etc.
Simplifier sin(Arcos), tan(Arccos) etc.
cos
16
sin
65
Cette égalité donne cos cos .
2
Comme et sont tous deux dans l’intervalle
2
0 ; 2 , on en déduit que 2 .
4
5 Question préliminaire
Arccos cos x
x si x 0 ;
2 x si x ; 2
Partie A 2°)
f x
2Arccos x si x 0 ; 1
2 2Arc cos x si x 1; 0
Partie B
1°) Pour l’ensemble de définition de g, on résout l’inéquation 1 4 x3 3x 1 .
On peut éventuellement étudier la fonction P : x 4 x 3 3x .
Il s’agit d’une fonction impaire.
x »
P ' x 12 x 2 3
P ' x 0 ⇔ x
P ' x 0 ⇔ x
Conditions nécessaires :
1
1
ou x
2
2
0
1
On remarque que P 1 P 1 et que P 1 P
2
1
1.
2
1ère façon :
1
Comme P est strictement croissante sur l’intervalle ; , strictement décroissante sur l’intervalle
2
1 1
1
2 ; 2 et strictement croissante sur l’intervalle 2 ; .
On en déduit que l’ensemble des solutions de l’inéquation est 1;1 .
L’ensemble de définition de g est donc 1;1 .
g x Arccos cos 4 cos 3
2
Arctan x 1 Arctan x 1
pour x 2 ; on vérifie ensuite que 2 n’est pas solution de (E).
2
pour x 2 ; on vérifie ensuite que 2 n’est pas solution (E).
Arctan x 1 Arctan x 1
2
On se place dans le cas où x est différente de 0,
2, 2.
2e façon :
S’il existe x solution de (E) tel que Arctan x 1 Arctan x 1
, alors Arc tan x 0 donc x 0 .
2
S’il existe x solution de (E) tel que Arctan x 1 Arctan x 1 , alors Arc tan x ce qui est
2
impossible.
2°) On pose x cos .
g x Arccos 4 cos3 3cos
Arctan x et Arctan x car 0 n’est pas solution de (E).
2
2
2
On transforme l’équation (E) en Arctan x 1 Arctan x 1
g x Arccos cos 2 2 cos 2 3
On peut prendre la tangente de chacun des deux membres.
g x Arccos 2 cos cos 2 cos
x
g x Arccos cos 2 cos 2 1
g x Arccos cos 3
2
3
ou x
f x Arccos cos 3u
2°)
D’après la question préliminaire, on a :
7 2°) c) Application :
0 n’est pas solution de (E).
Arc tan x
3
Arc tan x
2
3
Arctan tan θ
3
1
3Arccos x si x ;1
2
1 1
2 3Arccos x si x ;
2 2
1
3Arc cos x 2 si x 1;
2
6 2°) tan a b c tan a b c ; attention à distinguer le cas où b c
1
La solution de l’équation est
.
3
(On exclut la solution négative car f est strictement croissante sur R)
3
8 Partie A 2°) Arctan tan x x pour x ; puis Arctan tan x x pour x ; .
2
2
2 2
Partie B
On pose x cos u avec u dans l’intervalle [0 ; ].
g x
2
3
Arc tan x .
2
9 f x Arctan x 1 Arc tan x
1°) x »
.
2
0 f x
2
Trois cas : x 0 ; 1 x 0 ; x 1
1 x 0 : Arctan x 1 et Arctan x 4
4
x 1 : Arctan x 1 0 et Arctan x 2
3°) Sn Arc tan n 1 ; Sn
.
n
2
si x
si x
1
3
1
3
10 2e méthode :
On trouve f ' x 0 pour tout réel x de l’ensemble de définition de f. Donc f est constante sur tous les
intervalles qui constituent l’ensemble de définition de f, en particulier sur 1; .
Pour trouver la constante sur 1; , il y a trois façons : f 0 , limite en 1 , limite en + ∞.
11 condition : x ; y 1; 1
2
x sin
2
; y sin
cos .
5
5
10
Utiliser Arccos y + Arcsin y =
.
2
Il faut impérativement faire la réciproque car on n’a pas résolu le système par équivalences.
Il y a cependant moyen de résoudre le système par équivalences.
1
1
14 Démontrons que pour tout réel x strictement positif, on a : Arctan x 2 Arctan x .
x
2
2
Soit x un réel strictement positif.
On pose Arctan x .
On a : 0 ; .
2
1
1 x 2 1 tan 2 1
cot 2
x
2
x
2x
2tan
17 f ' x 0 ; f est constante sur R ; f x
21 f ' x
1
x x2 1
22 Arcsin x Arcsin 1 x 2
(1)
2
On regarde l’ensemble de résolution de (1).
L’ensemble de définition est égal à {0}.
2Arcsin x Arcsin 2x 1 x 2
(
(2)
)
2Arcsin x = Arcsin 2x 1 − x 2
∈− ;
2 2
Arcsin x ;
4 4
2
2
L’ensemble des solutions de l’inéquation est l’intervalle
;
.
2
2
25 Pas très simple.
La dérivée n’est pas agréable du tout.
1
1
Donc Arctan x 2 et 2 Arctan x 2 .
x
2
2
Donc on a : 2 2
2
2
1
f ' x Arccos x x
1 x2
x
Arccos x
1 x2
1
Arccos x x
1 x2
i Arctan xi
f '' x
1
1
On a démontré que pour tout réel x strictement positif, on a : Arctan x 2 Arctan x .
2
x
2
16 x1 x2 ... x7
i ;
2 2
x1 tan 1 , x2 tan 2 , …, x7 tan 7
1 2 ... 7
2
2
7 1
6
i 1
i 1
Donc si i i 1 i i 0 i 1 i
6
0 tan i 1 i
1
3
1
1
1
x 2 x 1 x2
2
2
x
1 x
1
2
2
x
3
1 x2
1 x2 2
i 7 1
, alors 7 1
6
.
2
1
2
1 x
2 1 x 2 x2
3
2 2
3x 2 2
1 x
3
2 2
3
2
x
2
3
0
Signe de f '' x
Variation de f '
+
0
1
–
2
9 4 2 x
2
10 4 2 x
x
1 x2
2
1
1
10 4 2
ou x
1
10 4 2
26 1°) ]– Arccos x, Arccos x[ 2°) [– , Arcsin y[ ∪] Arcsin y, ]
On ne retient que la solution
29 Intéressant : le point en lequel la fonction auxiliaire admet un extremum peut se calculer à l’aide d’un
Arccos et l’on peut donner la valeur exacte de l’extremum.
30 Par limite en 0+ ou + .
33 cos x
x
2k
3
1
2
k »
ou
x
2k ' k ' »
3
34
Équation en Arctan : x
17 1
4
Équation en Arcsin :
Il faut commencer par donner l’ensemble auquel appartient x.
1 1
x 1;1 et 2 x 1;1 donc x ; .
2 2
Arcsin x
4
sin Arcsin 2 x sin Arcsin x
4
Arcsin2 x
2
2
cos Arcsin x
x
2
2
2
2x
1 x2 x
2
2
2
1 x2
2
x
2
2
2x
2
1
2
2
x 1 x
2
2
2
9
2 1
2
2 2 x 1 x
2
2
1
10 4 2
.
