Chapitre 5: Applications de l`intégrale définie et intégrales impropres

Chapitre 5: Applications de
l’intégrale
MATH-1701: Calcul II
Nicolas Bouffard
Hiver 2016
1

1. Calcul de volume
2
Question: Comment calculer le volume d'un solide obtenu en faisant la rotation
d'une région du plan selon un axe ?
ATTENTION: DESSINEZ TOUJOURS LE SOLIDE AVANT DE COMMENCER
Méthode 1: Méthode du disque
Idée de la méthode:
Il s'agit en fait de faire la somme du volume d'un infinité de petit cylindre.
C'est à dire que l'on doit faire l'intégrale des petits volumes.

3
Le volume d'un cylindre est donné par l'équation:
V= π r2E
r= le rayon du cercle qui forme la base du cylindre
E= l'épaisseur (ou hauteur) du cylindre
Volume d'un solide obtenu par rotation selon l'axe des x ou l'axe des y:
Le volume de la région engendré par la rotation autour de l'axe des x de la région
fermé y=f(x), x=a, x=b et y=0 est donné par l'intégrale:
Volume= π
a
b
∫r2dx =
π
a
b
∫y2dx =
π
a
b
∫[f(x)]2dx
Le volume de la région engendré par la rotation autour de l'axe des x de la région
fermé x=g(y), y=a, y=b et x=0 est donné par l'intégrale:
Volume= π
a
b
∫r2dy =
π
a
b
∫x2dy =
π
a
b
∫[g(y)]2dy

Exemple: Calculez le volume de la région obtenue par la rotation autour
de l'axe des x de la région fermé y=x2, x=1, x=2 et y=0
Volume= π
1
2
∫x2
( )
2dx =
π
x5
5
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥
x=1
2
= π
25
5−15 5
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=31
π
5 unité3
⇒
4

Exemple: Calculez le volume de la région obtenue par la rotation autour
de l'axe des y de la région fermé y=ln(x), y=0, y=1 et x=0
On remarque que dans ce cas: x=ey et donc:
Volume= π
0
1
∫ey
( )
2dy =
π
0
1
∫e2ydy =
π
2e2−e0
⎡
⎣⎤ ⎦=
π
2(e2−1) unité3
⇒
5