Examen de Matemáticas - UCAD Dakar, Serie S1-S3

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 3
OFFICE DU BACCALAUREAT
BP 5005-DAKAR-Fann-S´en´egal
Serveur Vocal : 628 05 59
T´el´efax (221) 33 864 67 39 - T´el. : 824 95 92 - 824 65 81
13 G 18 Bis A01
Dur´ee : 4 heures
S´erie S1-S3 Coef 8
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Epreuve du 1er groupe
M A T H E M A T I Q U E S
Les calculatrices ´electroniques non imprimantes avec entr´ee unique par clavier sont autoris´ees.
Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des trac´es de courbe sont interdites.
Leur utilisation sera consid´er´ee comme une fraude.(CF.Circulaire n05990/OB/DIR. du 12 08 1998)
Exercice 1 (5 points).
Le plan complexe est muni d’un rep`ere orthonorm´e direct (O, −→ OI, −→ OJ).
Soit Kle point du plan tel que OIKJ soit un carr´e.
Soit Mun point quelconque de la droite (OK) diff´erent de Oet sla similitude plane directe
de centre Jqui transforme Oen M. On note ml’affixe du point M,I′et M′les images
respectives de Iet de Mpar s.
1. Montrer que |m−1|=|m−i|et que les complexes (m−1)(m−i) et m(1 + i) sont
imaginaires purs.
Indication : M´etant un point de la premi`ere bissectrice diff´erent de O, il existe un r´eel x
non nul tel que m=x+ix. 3×0,25 pt
2. a. V´erifier que le rapport de sest |m−i|, calculer alors M′I′en fonction m. 2×0,25 pt
b. Calculer le rapport de s◦s. En d´eduire que M′J=|m−i|2.2×0,25 pt
c. D´emontrer que M′J=M′I′0,5pt
3. a. D´emontrer que l’´ecriture complexe de la similitude sest z′= (1 + im)z+m.
En d´eduire les vecteurs −→ II′et −−→ M′I′ont pour affixes respectives m(1 + i) et −i(m−i)(m−1).
0,75 + 0,25 + 0,25 pt
b. Prouver alors que I′est le projet´e orthogonal de M′sur la droite (IK).0,5pt
c. D´eduire de la relation de la question 2 c. que lorsque le point Mparcourt la droite (OK)
priv´ee du point O, le point M′appartient `a une parabole dont on pr´ecisera le foyer et la
directrice.
Placer toutes les donn´ees pr´ec´edentes sur une figure.
2×0,5pt
Exercice 2 (4 points).
Dans un plan Pde l’espace, on consid`ere un cercle Cde diam`etre [AB]. Soit (∆) la droite
passant par Aet orthogonale `a Pet Sun point de (∆) distinct de A. On note Ile projet´e
orthogonal de Asur (BS).
Pour tout point Mdu cercle Con note Hle projet´e orthogonal de Asur la droite (MS).
1. Placer les donn´ees pr´ec´edentes sur une figure, (∆) ´etant trac´ee verticalement. 0,5pt
2. Prouver que Happartient `a la sph`ere Σ de diam`etre [AS]. 0,5pt
3. Dans cette question, on suppose que Mest distinct de Aet de B.
Prouver que la droite (MB) est orthogonale au plan (AMS). En d´eduire que la droite (AH)
est orthogonale au plan (BMS). 2 ×0,75 pt

2
13 G 18 Bis A01
MATHEMATIQUES 2 /3S´erie S1-S3
Epreuve du 1er groupe
4. Montrer que Happartient au plan Π passant par Iet orthogonal `a la droite (BS).
0,75 pt
5. D´eterminer l’intersection Γ de la sph`ere Σ et du plan Π. 0,75 pt
PROBLEME (11 points).
Le plan est muni d’un rep`ere orthonorm´e R= (O, −→ i , −→ j) (unit´e graphique 2.5cm).
Partie A
1. a. Soit mun r´eel strictement positif. D´eterminer en fonction de m, des r´eels a, b, c, α, β
tels que pour tout r´eel xon ait :
Zx
0
ue−mu du = (αx +β)e−mx +1
m2et Zx
0
u2e−mu du = (ax2+bx +c)e−mx +2
m3.
2×0,5pt
b. Calculer alors lim
x7→+∞Zx
0
ue−mu du et lim
x7→+∞Zx
0
u2e−mu du. 2×0,25 pt
c. Montrer que les deux fonctions fet gd´efinies sur Rpar :
f(x) = Zx
0
u
eu+ e−udu et g(x) = Zx
0
u2
eu+ e−udu
sont positives, d´erivables et croissantes sur I= [0,+∞[.
Apr`es avoir v´erifi´e que ∀u∈R+,1
2
1
eu≤1 eu+ e−u≤1 eu,d´eduire du b. que, quand xtend
vers +∞, elles ont des limites respectives ℓet sappartenant `a 1
2,1et [1,2].
Indication : On admettra qu’une fonction continue, croissante et major´ee sur [0,+∞[, admet
une limite finie `a +∞.
1pt
d. Montrer que la fonction fest paire (faire le changement de variable t=−u). 0,5pt
2. En vue de l’´etude d’´eventuels points d’inflexions de la courbe Cfrepr´esentant la fonction
fdans le rep`ere R, montrer que la fonction hd´efinie sur Ipar :
h(x) = (1 −x)ex+ (1 + x)e−x
est d´erivable sur Iet s’annule en un unique point x0appartenant `a ]1; 1,3[. 0,5pt
3. a. Montrer que pour tout x∈R,ex> x. En d´eduire que pour tout x∈R, f′(x)<1.
0,25 + 0,25 pt
b. Soit xun r´eel non nul. En appliquant le th´eor`eme des accroissements finis `a fdans
l’intervalle d’extr´emit´es 0 et x, ´etudier les positions relatives de la courbe Cfet la premi`ere
bissectrice.
En d´eduire que l’´equation f(x) = xa pour unique solution 0. 0,5 + 0,25 pt
Partie B
1. a. Soit xun r´eel positif. D´emontrer par r´ecurrence que pour tout entier naturel non a :
f(x)−
n
X
p=0
(−1)pZx
0
ue−(2p+1)udu = (−1)n+1Zx
0
ue−(2n+2)u
eu+ e−udu.
(On convient que (−1)0= 1.) 0,75 pt
En d´eduire que pour tout entier naturel n:
ℓ−
n
X
p=0
(−1)p
(2p+ 1)2≤1 (2n+ 3)2

13 G 18 Bis A01
MATHEMATIQUES 3 /3S´erie S1-S3
Epreuve du 1er groupe3
(Utiliser la question 1 b. partie A)
Donner alors une valeur approch´ee de ℓ`a 10−1.0,5 + 0,25 pt
2. En proc´edant `a une int´egration par parties, v´erifier que pour tout r´eel positif λ
Zλ
0f(λ)−f(x)dx =g(λ).
En d´eduire que g(λ) et speuvent ˆetre interpr´et´es comme aires de domaines que l’on d´eterminera.
3×0,25 pt
3. Repr´esenter la courbe Cf.
On prendra x0= 1,2, f(x0) = 0,2. On repr´esentera en particulier l’asymptote horizontale,
la tangente horizontale, les points d’inflexions et les tangentes `a Cfen ces points et le domaine
plan dont une mesure de l’aire est g(3).
NB. On rappelle que si une fonction est deux fois d´erivable en un point x0et si sa d´eriv´ee
seconde s’annule en x0en changeant de signe, alors le point de sa courbe d’abscisse x0est un
point d’inflexion. 1 pt
4. Soit aun r´eel strictement positif. On pose a0=aet pour tout entier naturel n,an+1 =f(an)
a. D´emontrer que la suite (an) est positive et monotone. 2 ×0,25 pt
b. En d´eduire que la suite (an) est convergente. Calculer alors sa limite. 2 ×0,25 pt
Partie C
On consid`ere la fonction Fd´efinie sur R+par :
F(0) = ℓet pour tout r´eel xstrictement positif F(x) = fln x.
1. Calculer lim
x7→+∞F(x).
Montrer que Fest continue au point 0. 0,25 + 0,5pt
2. a. Montrer que Fest d´erivable sur R∗
+et calculer F′(x) pour tout x∈R∗ +. 0,25 pt
La fonction Fest-elle d´erivable au point 0 ? 0,75 pt
b. D´eduire du a. que :
∀x∈R∗
+, F (x) = Zx
1
ln u
1 + u2du.
0,25 pt