Problemas de Aritmética: Teoría de Números Avanzada

Probl`emes d’Arithm´etique
F´evrier 2025
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Enonc´e du Probl`eme 1
Soit n≥1 un entier. Ce probl`eme se divise en plusieurs parties portant sur
l’´etude de la structure du groupe multiplicatif (Z/nZ)∗, des fonctions arithm´etiques
multiplicatives et de leurs applications aux congruences et ´equations diophanti-
ennes.
Inversion de M¨obius
Soient fet gdeux fonctions arithm´etiques telles que
f(n) = X
d|n
g(d) pour tout n≥1.
La formule d’inversion de M¨obius permet de retrouver la fonction g`a partir de
f. Elle s’´enonce comme suit :
g(n) = X
d|n
µ(d)fn
d,
o`u µd´esigne la fonction de M¨obius, d´efinie par :
µ(n) = 
1 si n= 1,
0 si nposs`ede un facteur carr´e,
(−1)ksi nest le produit de knombres premiers distincts.
Cette inversion repose sur le fait que la fonction de M¨obius est l’inverse de la
fonction constante 1 pour la convolution de Dirichlet. Autrement dit, en notant
par ∗la convolution de Dirichlet et εla fonction identit´e pour cette convolution
(d´efinie par ε(1) = 1 et ε(n) = 0 pour n≥2), on a :
1∗µ=ε.
Ainsi, la formule d’inversion de M¨obius permet d’inverser les sommes sur les
diviseurs, et est un outil fondamental en th´eorie des nombres.
Partie I : Structure du groupe (Z/nZ)∗
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(1) Montrer que le groupe (Z/nZ)∗est cyclique si et seulement si
n= 1,2,4, pa,ou 2pa,
o`u pest un nombre premier impair et a≥1. Donnez la preuve de la
n´ecessit´e de ces conditions.
(2) D´eterminer la structure du groupe (Z/100Z)∗, c’est-`a-dire donner une
d´ecomposition en produit direct de groupes cycliques et identifier ses
g´en´erateurs.
Partie II : Fonctions arithm´etiques multiplicatives
(3) D´emontrer que la fonction indicatrice d’Euler φ(n) est multiplicative, et
montrer que si
n=
r
Y
i=1
pαi
i,
alors
φ(n) = n
r
Y
i=1 1−1
pi.
(4) Prouver l’identit´e suivante :
X
d|n
φ(d) = n.
Partie III : Convolution de Dirichlet et inversion de M¨obius
(5) Soit fune fonction arithm´etique quelconque, et d´efinissons
F(n) = X
d|n
f(d).
Montrer, via l’inversion de M¨obius, que
f(n) = X
d|n
µ(d)Fn
d,
o`u µd´esigne la fonction de M¨obius.
Partie IV : Applications aux congruences et `a l’´equation d’Euler
(6) Soit aun entier premier avec n. D´emontrer que l’ordre de amodulo n,
not´e ordn(a), divise φ(n). En d´eduire le th´eor`eme d’Euler, `a savoir que
aφ(n)≡1 (mod n).
2

(7) On consid`ere l’´equation diophantienne de Pell-Fermat :
x2−D y2= 1,
o`u Dest un entier positif non carr´e.
(a) Montrer que l’ensemble des solutions (x, y)∈Z2forme un groupe
infini sous la loi de composition d´efinie par
(x1, y1)·(x2, y2) = x1x2+D y1y2, x1y2+x2y1.
(b) R´esoudre explicitement l’´equation pour le cas D= 2 : d´eterminer la
solution fondamentale et d´ecrire toutes les solutions.
Partie V : Synth`ese et perspectives
(8) Discutez l’importance des r´esultats obtenus dans les parties I `a IV pour la
compr´ehension des congruences, des groupes multiplicatifs et des ´equations
diophantiennes. Quels sont les points communs entre ces diff´erents sujets
et en quoi contribuent-ils `a la th´eorie des nombres ?
´
Enonc´e du Probl`eme 2
Soit n≥1 un entier. On consid`ere les fonctions arithm´etiques classiques suiv-
antes :
•La fonction indicatrice d’Euler, φ(n).
•La fonction de M¨obius, µ(n).
•La fonction somme des diviseurs, h(n) = Pd|nd.
•La fonction nombre de diviseurs, τ(n).
On se propose d’´etudier les questions suivantes :
(1) Montrer que
X
d|n
φ(d) = n.
(2) Montrer que pour tout n≥2,
X
d|n
µ(d) = 0,
et que pour n= 1, on a Pd|1µ(d) = 1.
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(3) Montrer que la fonction h(n) = Pd|ndest multiplicative et que si
n=
r
Y
i=1
pαi
i
est la d´ecomposition en facteurs premiers de n, alors
h(n) =
r
Y
i=1
pαi+1
i−1
pi−1.
(4) Prouver que
X
d|n
τ(d) =
n
X
k=1 jn
kk.
Interpr´etez combinatoirement cette identit´e.
(5) Soit la fonction somme de M¨obius d´efinie par
M(n) =
n
X
k=1
µ(k).
On souhaite discuter la conjecture de Mertens, qui affirme que M(n) = o(n)
(c’est-`a-dire que
lim
n→∞
M(n)
n= 0).
Expliquez bri`evement ce que cette assertion implique et quelles en seraient les
cons´equences sur la distribution des nombres premiers.
Ce probl`eme explore des identit´es fondamentales de la th´eorie multiplicative
des fonctions arithm´etiques et relie ces identit´es `a des conjectures profondes sur
la distribution des nombres premiers.
´
Enonc´e du Probl`eme 3
Ce probl`eme explore plusieurs aspects th´eoriques en arithm´etique et r´eunit des
techniques avanc´ees de la th´eorie des nombres.
Probl`eme : Structures et congruences avanc´ees
On consid`ere les entiers naturels et les propri´et´es li´ees aux congruences, aux
nombres premiers et aux propri´et´es structurelles des groupes multiplicatifs mod-
ulo n.
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Partie 1 : Propri´et´es fondamentales
1. Montrer que pour tout entier aet tout nombre premier p, on a :
ap≡amod p.
En d´eduire une condition pour que pdivise ap−a.
2. On appelle nombre de Carmichael tout entier compos´e nv´erifiant :
an≡amod n, ∀a∈Z.
•(a) Montrer que si nest un nombre de Carmichael, alors nest impair et
sans facteur carr´e.
•(b) Montrer que si nest un nombre de Carmichael et si pest un facteur
premier de n, alors p−1|n−1.
Partie 2 : ´ Etude des r´esidus quadratiques
3. On dit que aest un r´esidu quadratique modulo ps’il existe un entier xtel
que :
x2≡amod p.
•(a) Montrer que si pest un nombre premier impair, alors il existe exacte-
ment p−1
2r´esidus quadratiques distincts modulo p.
•(b) Donner un crit`ere permettant de savoir si un entier aest un r´esidu
quadratique modulo p.
•(c) Montrer que si p≡3 mod 4, alors une solution de x2≡amod pest
donn´ee par :
x≡a(p+1)/4mod p.
Partie 3 : Probl`eme final
4. Soit nun entier strictement positif. Montrer que :
n
X
k=1
k3=n(n+ 1)
22
.
En d´eduire une cons´equence sur les nombres parfaits et leur lien avec la
sommation des cubes.
5. ´ Etudier l’existence de solutions enti`eres positives `a l’´equation diophanti-
enne suivante :
x4+y4=z2.
Prouver que si x, y, z sont entiers positifs, alors cette ´equation n’admet pas de
solution. On pourra utiliser des arguments de descente infinie ou des techniques
li´ees aux congruences quadratiques.
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