Univérsité Ibn Zohr Faculté des Sciences - Agadir Département de Mathématiques Année Univérsitaire 20-21 Filière: SMA1 Pr: A. RIKOUANE Examen blanc d’Algèbre 1 Exercice 1 (Questions de cours) La correspondance f : Z/60Z −→ Z/12Z, x 7−→ 3x est-elle une application? Exercice 2 Soit l’application f : R2 −→ R2 qui à chaque couple (x, y) de R2 associe le couple (x + y, xy) de R2 . 1. Montrer que pour tout (x, y) ∈ R2 , f (x, y) = f (y, x). 2. Déterminer l’image réciproque de l’ensemble {(0, 1)}. 3. f est-elle injective? surjective? Exercice 3 On désigne par R la relation définie sur R2 par: (x, y)R(x0 , y 0 ) ⇔ x2 − y 2 = x02 − y 02 . 1. Montrer que R est une relation d’équivalence. 2. Déterminer (0, 0). Exercice 4 1. On considère dans Z × Z l’équation (E): 11x − 50y = 1 . a) Déterminer une solution particulière de l’équation (E). b) Résoudre dans Z × Z l’équation (E). 2. Déterminer tous les entiers relatifs n tels que 11n ≡ 5[50]. ( x ≡ 4[15] 3. Déterminer toutes les solutions x ∈ Z du système . x ≡ 2[8] Exercice 5 Soit p un nombre premier tel que p = 4k + 3 où k ∈ N∗ . 1. Montrer que pour tout x ∈ Z, x2 ≡ 1[p] ⇒ xp−5 ≡ 1[p]. 2. Soit x ∈ Z, tel que xp−5 ≡ 1[p]. a) Montrer que x et p sont premiers entre eux. b) Montrer que xp−1 ≡ 1[p]. c) Vérifier que 2 + (k − 1)(p − 1) = k(p − 5). d) Déduire que x2 ≡ 1[p]. 3. Résoudre dans Z, l’équation (E) : x62 ≡ 1[67]. Fin 1