Examen blanc Algébre1

Univ´ersit´e Ibn Zohr
Facult´e des Sciences - Agadir
D´epartement de Math´ematiques
Ann´ee Univ´ersitaire 20-21
Fili`ere: SMA1
Pr: A. RIKOUANE
Examen blanc d’Alg`ebre 1
Exercice 1 (Questions de cours)
La correspondance f:Z/60Z−→ Z/12Z,x7−→ 3xest-elle une application?
Exercice 2
Soit l’application f:R2−→ R2qui `a chaque couple (x, y) de R2associe le couple (x+y, xy) de R2.
1. Montrer que pour tout (x, y)∈R2, f(x, y) = f(y, x).
2. D´eterminer l’image r´eciproque de l’ensemble {(0,1)}.
3. fest-elle injective? surjective?
Exercice 3
On d´esigne par Rla relation d´efinie sur R2par:
(x, y)R(x0, y0)⇔x2−y2=x02−y02.
1. Montrer que Rest une relation d’´equivalence.
2. D´eterminer (0,0).
Exercice 4
1. On consid`ere dans Z×Zl’´equation (E): 11x−50y= 1 .
a) D´eterminer une solution particuli`ere de l’´equation (E).
b) R´esoudre dans Z×Zl’´equation (E).
2. D´eterminer tous les entiers relatifs ntels que 11n≡5[50].
3. D´eterminer toutes les solutions x∈Zdu syst`eme (x≡4[15]
x≡2[8].
Exercice 5
Soit pun nombre premier tel que p= 4k+ 3 o`u k∈N∗.
1. Montrer que pour tout x∈Z, x2≡1[p]⇒xp−5≡1[p].
2. Soit x∈Z, tel que xp−5≡1[p].
a) Montrer que xet psont premiers entre eux.
b) Montrer que xp−1≡1[p].
c) V´erifier que 2 + (k−1)(p−1) = k(p−5).
d) D´eduire que x2≡1[p].
3. R´esoudre dans Z, l’´equation (E) : x62 ≡1[67].
Fin
1