DM Demi Normes

DM de MPSI2
Devoir non surveill´e
Probl`eme – Demi-normes
Soit fune application de Rdans R+. On consid`ere les propri´et´es suivantes :
1. (s´eparation) ∀x∈R, f(x)=0⇔x= 0.
2. (homog´en´eit´e) ∀(x, y)∈R2, f(xy) = f(x)f(y).
3. ∃C∈R,∀(x, y)∈R2, f(x+y)6Cmax(f(x), f(y)).
4. (in´egalit´e triangulaire) ∀(x, y)∈R2, f(x+y)6f(x) + f(y).
On dit que fest une demi-norme si elle v´erifie les propri´et´es i.,ii. et iii.. On dit que fest une norme si elle
v´erifie les propri´et´es i., ii. et iv..
I.1 On suppose que fest une demi-norme.
aCalculer f(1) et f(−1).
bMontrer que pour tout r´eel x, on a f(−x) = f(x), et que, pour tout r´eel non nul x, on a f(1/x)=1/f(x).
On d´efinit
D={f(1 + z),(z∈R)∧(f(z)61)}.
cMontrer que Dadmet une borne sup´erieure (dans R), que nous noterons Cf, et que Cf>1.
dMontrer que pour tous r´eels xet y:
f(x+y)6Cfmax(f(x), f(y)).
I.2
aV´erifier que la fonction valeur absolue g:x7→ |x|(de Rdans R+) est une norme et une demi-norme,
et calculer Cg.
bV´erifier que la fonction carr´e h:x7→ x2(de Rdans R+) est une demi-norme, et calculer Ch.
I.3 V´erifier que toute norme fest une demi-norme, et que Cf62.
On se propose de montrer la r´eciproque : soit fune demi-norme telle que Cf62. Nous voulons montrer
que fest une norme.
I.4 Montrer que pour tout r∈N∗, tout (x0, . . . , x2r−1)∈R2r:
f 2r−1
X
k=0
xk!6Cr
fmax(f(x0), . . . , f(x2r−1)).
I.5 Soit a∈N∗.
aMontrer qu’il existe r∈N∗tel que 2r−16a62r−1.
bEn d´eduire : f(a)62a.
I.6 Soit r∈N∗. On pose n= 2r−1. Soit (x, y)∈R2.
aMontrer : f((x+y)n)6Cr
fmax
06k6nfn
kf(x)kf(y)n−k.
Remarque : on rappelle la formule du binˆome de Newton. Pour tous r´eels xet y, tout entier naturel n,
(x+y)n=Pn
k=0 n
kxkyn−k(o`u 00= 1 par convention si besoin est).
bMontrer f((x+y)n)62r+1(f(x) + f(y))n, puis :
f(x+y)62r+1
2r −1(f(x) + f(y)).
cMontrer que la suite 2r+1
2r −1converge vers 1, et conclure.