Cours Mathématiques 3 Hemici Meriem 23 octobre 2021 Chapitre 1 Intégrales simples et multiples 1.1 Rappels sur l’intégrale de Riemann et sur le calcul de primitives. Soit f une fonction définie sur [a, b], tel que pour tout x ∈ [a, b], f (x) ≥ 0. 1.1.1 Notion de subdivision d’un intervalle fermé borné [a, b] Definition 1 On appelle subdivision du segment [a, b], toute famille σ = (x0 , x1 , ..., xn ) de points de [a, b] telle que : a = x0 < x1 < x2 < .... < xn−1 < xn = b. Exemple : (1, 2, 3, 4) est une subdivision de [1, 4]. Definition 2 On appelle ”pas” de la subdivision σ = (x0 , x1 , ..., xn ), la quantité définie | σ |, donnée par : | σ |= max0≤j≤n−1 {xj+1 − xj}. Exemple : (1, 2, 7, 8, 9) est une subdivision de [1, 9], avec | σ |= 5. Definition 3 On dit que la subdivision σ = (x0 , x1 , ..., xn ) est régulière si et seulement si ∀j ∈ {0, 1, .., n − 1} xj+1 − xj = b−a n . Dans ce cas, on a : ∀j ∈ {0, 1, .., n − 1} xj = a + j b−a n . 1 1.1.2 Sommes de Darboux Soit f une application bornée définie sur l’intervalle [a, b] et σ = (xi )i=0,..,n une subdivision de [a, b]. On appelle somme inférieure et somme supérieure, les quantités suivantes : Pi=n−1 Pi=n−1 L(f, σ) = i=0 mi (xi+1 − xi ) ; U (f, σ) = i=0 Mi (xi+1 − xi ). avec : mi = infx∈[xi ,xi+1 ] {f (x)} et Mi = supx∈[xi ,xi+1 ] {f (x)} Figure 1.1 – Somme de Darboux inférieure sur [1, 2] Figure 1.2 – Somme de Darboux supérieure sur [1, 2] 1.1.3 Intégrale de Riemann La définition de Darboux est très précise, mais elle présente un inconvénient, Z b f (x) = L = U , n’est pas à savoir que la valeur de l’intégrale donnée par a toujours facile à déterminer. Définition des sommes de Riemann Pour définir une somme de Riemann R(f, σ, ε), on a besoin de : 1 f , une application bornée de [a, b] vers R. 2 σ = (x0 , x1 , ..., xn ), une subdivision de [a, b]. 3 ε = (ε0 , ε1 , ..., εn ), famille de points avec ε ∈ [xj , xj+1 ]. Pn−1 On a alors R(f, σ, ε) = j=0 f (εj )(xj+1 − xj ) Théorème 1 : Soit [a, b] un intervalle compact et f ∈ C 0 ([a, b], R) une fonction continue. Alors f est intégrable au sens de Riemann. En outre, on a Z b Pn−1 b−a b−a limx→+∞ n f (x) dx k=0 f (a + k n ) = a Exemple : Calculer les limites des sommes de Riemann suivantes : Pn−1 1 k n k=0 n e . 1.1.4 Pn k k=1 n2 ; Primitives Definition 4 Soit f : I ∈ R une fonction définie sur un intervalle I quelconque. On dit que F : I ∈ R est une primitive de f sur I si F est une fonction dérivable 0 sur I vérifiant F (x) = f (x) pour tout x ∈ I. Propriété : Si F est une primitive de la fonction f , alors l’ensemble des primitives de f est l’ensemble des fonctions de la forme F + k où k est un réel. Notation : L’ensemble desZ primitives d’une fonction f (parfois appelé intégrale non définie de f ) est noté f (x) dx 1-Primitives immédiates (Primitives des fonctions usuelles) On appelle primitive immédiate (ou primitive des fonctions usuelles) toute primitive qui découle des formules de dérivation de base. Fonction xn Primitive 1 x 1 xn √1 x x ln(| x |) 1 − (n−1)x n−1 √ 2 x ex 1 zx ze e ezx ax cosx sinx 1 2 cos2 (x) = 1 + tan (x) − sin12 (x) = −1 − cotan2 (x) tan(x) 1 sin(x) 1 cos(x) √ 1 1−x2 √ 1 a2 −x2 1 1+x2 1 a2 +x2 xn+1 n+1 ax ln(a) sinx −cosx tan(x) cotan(x) −ln | cos(x) | ln | tan( x2 ) | ln | tan( x2 + π4 ) | Arcsin(x) Arcsin( xa ) Arctan(x) 1 x a Arctan( a ) Intervalle R ] − ∞, 0[ ou ]0, +∞[ R+∗ ou R−∗ ]0, +∞[ R R R, a > 0 et a 6= 1 R R ] − π2 + kπ, π2 + kπ[ ]kπ, (k + 1)π[ ] − π2 + kπ, π2 + kπ[ ]kπ, (k + 1)π[ ] − π2 + kπ, π2 + kπ[ ] − 1, 1[ ] − a, a[ R R Fonction 0 f fn 0 Primitive Intervalle f n+1 n+1 f f 0 f n f 0 f √ f ln | f | f ef 0 f sin(f ) 0 f cos(f ) ef −cos(f ) sin(f ) 1 − (n−1)f n−1 √ 2 f 0 √f 0 1−f 2 Arcsin(f ) 0 f 1+f 2 Arctan(f ) 2-Primitives quasi−immédiates Dérivée d’une composée : Pour toutes Z 0 0 fonctions f et g, on a f (g(x))g (x) = f(g(x)) + k Z 5 Exemple : On a dx = tg(5x − 2) + k cos2 (5x − 2) 0 0 car (5x − 2) = 5 et (tg(x)) = cos12 (x) Produit de polynôme : Si la fonction à primitiver est un produit de polynômes, il faut (1) effectuer le produit (2) ordonner et réduire le polynôme (3) appliquer la formule de primitivation d’une combinaison linéaire. Exemple : On a Z Z 3 2 (2x−7)(3x +4x −x+5)dx = 6x4 + 8x3 − 2x2 + 10x − 21x3 − 28x2 + 7x − 35dx Division euclidienne : Si la fonction à primitiver est un quotient de polynômes tels que le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur, il faut (1) effectuer la division euclidienne. (2) appliquer la formule de primitivation d’une combinaison linéaire. (3) appliquer la formule de primitivation d’une dérivée de composée. Z 4x3 + 6x2 + 2x − 1 dx Exemple : On veut calculer 2x + 3 La division euclidienne donne 3 2 +2x−1 −4 Dès lors, 4x +6x = 2x2 + 1 + 2x+3 2x+3 Ainsi, on trouve finalement Z Z 4x3 + 6x2 + 2x − 1 −4 dx = 2x2 + 1 + dx 2x + 3 2x + 3 4x3 + 6x2 + 2x − 1 – 4x3 + 6x2 2x + 3 2x2 + 1 2x − 1 2x + 3 – −4 Z = 2 (2x + 1)dx −2 Z 2 dx 2x + 3 = 23 x3 + x − 2ln(| 2x + 3 |) + k Primitivation par changement de variable : Théorème 2 : Soit ϕ une application de classe C 1 sur un intervalle I à valeurs dans R (ϕ ”est” le changement de variables). Soit f une fonction continue sur ϕ(I) à valeurs dans R. Alors, pour tout (a, b) ∈ I 2 , Z ϕ(b) Z b 0 f (x)dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt ϕ(a) a Z x Exemple : On veut calculer dx (x + 1)2 On pose t = x + 1 ⇔ x = t − 1 ⇒ dx = dt Ainsi, on obtiens successivement Z Z t−1 x dx = dt (x + 1)2 t2 Z 1 = − t−2 dt t = ln | t | + 1t + k 1 = ln | x + 1 | + x+1 +k Primitivation par partie : 1 Théorème 3 : Soient f etZg deux fonctions de classe Z C sur un intervalle 0 0 I de R à valeurs dans R ; f (x)g (x) = f(x)g(x) − f (x)g(x) Z Exemple : On veut calculer xcos(x) dx On pose 0 f (x) = x ; f (x) = 1 g (x) = cos(x) ; g(x) = sin(x) 0 La formule de primitivation par parties donne alors Z Z xcos(x)dx = xsin(x) − sin(x)dx = xsin(x) − (−cos(x)) + k = xsin(x) + cos(x) + k 1.1.5 Intégrales Théorème fondamental : Soit f une fonction continue sur un segment [a, b] de R à valeurs dans R. b Z f (x)dx = [F (x)]ab = F (b) − F (a) a où F est une primitive quelconque de f sur [a, b]. Propriétés : Pour toute fonction f continue sur un intervalle [a, b], on a Z a (1) f (x)dx = 0 a Z b a Z f (x)dx = − (2) f (x)dx a b Z (3) f > 0 ⇒ b f (x)dx > 0 a Z b (4) c Z f (x)dx = a f (x)dx + a b Z (5) si f 6 g alors, f (x)dx 6 a Z b Z a Z Z λf (x)dx = λ a 1.2 1.2.1 g(x)dx b Z f (x)dx + a b b a (f (x) + g(x))dx = (7) f (x)dx c Z (6) b Z b g(x)dx a b f (x)dx a Intégrales doubles et triples. Intégrale doubles Soit f : D → R une fonction définie sur un domaine D ⊂ R2 . L’intégrale sur D de f : D → R, s’appelle une intégrale double, on la note ZZ f (x, y) dx dy D . Théorème de Fubini : Soit f : D → R une fonction continue. 1) Cas où D = [a, b]X[c, d] un rectangle, on a : RR Rb Rd Rd Rb f (x, y)dxdy = a [ c f (x, y)dy]dx = c [ a f (x, y)dx]dy D 2) Cas où D = {(x, y) ∈ R2 ; a 6 x 6 b; u(x) 6 y 6 v(x)}, où u, v : [a, b] → R RR R b R v(x) sont continues, alors : D f (x, y)dxdy = a [ u(x) f (x, y)dy]dx Changement de variable : Soient U et V deux ouverts de R2 et Q:U →V (u, v) → (x, y) une application de classe C 1 , et ∆ ⊂U et D ⊂V . ∂x ∂x ∂x ∂x ∂v ∂u ∂v La matrice jacobien de ϕ est j(ϕ) = ∂u ∂y ∂y , det(j(ϕ)) = ∂y ∂y . ∂u ∂v ∂u ∂v RR RR Si ϕ(∆) = D. Alors on obtient : D f (x, y)dxdy = ∆ f (ϕ(u, v))det(j(ϕ))dudv Coordonnées cylindriques : ϕ : (r, rsin(θ)). La matrice jacoblien de ϕ est θ) → (x, y) = (rcos(θ), cos(θ) −rsin(θ) D(x,y) = , et | D(r,θ) |= r. sin(θ) rcos(θ) Si RR ϕ(∆) = D. AlorsRRon obtient : f (x, y)dxdy = ∆ f (rcos(θ), rsin(θ)) | r | drdθ D D(x,y) D(r,θ) Corollaire RR RR Rb Rd f (x, y)dxdy = [a,b]X[c,d] f1 (x)f2 (y)dxdy = a f1 (x)dx c f2 (y)dy D 1.2.2 Intégrale triples Soit f : D → R une fonction définie sur un domaine D ⊂ R3 . L’intégrale sur D de f : D → R, s’appelle une intégrale triples, on la note ZZZ f (x, y, z) dx dy dz D . Théorème de Fubini : Soit f : D → R une fonction continue. 1) Cas où D = [a, b]X[c, d]X[s, t], on a : RRR Rb Rd Rt f (x, y, z)dxdydz = a [ c [ s f (x, y, z)dz]dy]dx D 2) Cas où D = {(x, y, z) ∈ R3 ; (x, y) ∈ ∆; u(x, y) 6 z 6 v(x, y)}, où u, v : [a, b] → R sont continues, D est un ensemble fermé borné de R2 , alors : RRR RR R v(x,y) f (x, y, z)dxdydz = ∆ [ u(x,y) f (x, y, z)dz]dxdy D 3) Cas où D = {(x, y, z) ∈ R3 ; a ≤ z ≤ b; (x, y) ∈ ∆(z)}, où u,RRR v : [a, b] → R sont continues, D est un ensemble fermé borné de R2 , alors : f (x, y, z)dxdydz = D R b RR [ ∆(z) f (x, y, z)dxdy]dz a