1.1.3 Int´egrale de Riemann
La d´efinition de Darboux est tr`es pr´ecise, mais elle pr´esente un inconv´enient,
`a savoir que la valeur de l’int´egrale donn´ee par Zb
a
f(x) = L = U, n’est pas
toujours facile `a d´eterminer.
D´efinition des sommes de Riemann
Pour d´efinir une somme de Riemann R(f, σ, ε), on a besoin de :
1f, une application born´ee de [a, b] vers R.
2σ= (x0, x1, ..., xn), une subdivision de [a, b].
3ε= (ε0, ε1, ..., εn), famille de points avec ε∈[xj, xj+1].
On a alors R(f, σ, ε) = Pn−1
j=0 f(εj)(xj+1 −xj)
Th´eor`eme 1 : Soit [a, b] un intervalle compact et f∈C0([a, b], R) une fonction
continue. Alors f est int´egrable au sens de Riemann. En outre, on a
limx→+∞b−a
nPn−1
k=0 f(a+kb−a
n) = Zb
a
f(x) dx
Exemple : Calculer les limites des sommes de Riemann suivantes : Pn
k=1
k
n2;
Pn−1
k=0 1
nek
n.
1.1.4 Primitives
Definition 4 Soit f:I∈Rune fonction d´efinie sur un intervalle Iquelconque.
On dit que F:I∈Rest une primitive de fsur Isi Fest une fonction d´erivable
sur Iv´erifiant F0(x) = f(x)pour tout x∈I.
Propri´et´e : Si Fest une primitive de la fonction f, alors l’ensemble des primi-
tives de fest l’ensemble des fonctions de la forme F+ko`u kest un r´eel.
Notation : L’ensemble des primitives d’une fonction f(parfois appel´e int´egrale
non d´efinie de f) est not´e Zf(x) dx
1-Primitives imm´ediates (Primitives des fonctions usuelles) On appelle
primitive imm´ediate (ou primitive des fonctions usuelles) toute primitive
qui d´ecoule des formules de d´erivation de base.