Chapitre 1

Cours Mathématiques 3
Hemici Meriem
23 octobre 2021
Chapitre 1
Intégrales simples et
multiples
1.1
Rappels sur l’intégrale de Riemann et sur le
calcul de primitives.
Soit f une fonction définie sur [a, b], tel que pour tout x ∈ [a, b], f (x) ≥ 0.
1.1.1
Notion de subdivision d’un intervalle fermé borné
[a, b]
Definition 1 On appelle subdivision du segment [a, b], toute famille σ = (x0 , x1 , ..., xn )
de points de [a, b] telle que :
a = x0 < x1 < x2 < .... < xn−1 < xn = b.
Exemple : (1, 2, 3, 4) est une subdivision de [1, 4].
Definition 2 On appelle ”pas” de la subdivision σ = (x0 , x1 , ..., xn ), la quantité
définie | σ |, donnée par :
| σ |= max0≤j≤n−1 {xj+1 − xj}.
Exemple : (1, 2, 7, 8, 9) est une subdivision de [1, 9], avec | σ |= 5.
Definition 3 On dit que la subdivision σ = (x0 , x1 , ..., xn ) est régulière si et
seulement si
∀j ∈ {0, 1, .., n − 1} xj+1 − xj =
b−a
n .
Dans ce cas, on a : ∀j ∈ {0, 1, .., n − 1} xj = a + j b−a
n .
1
1.1.2
Sommes de Darboux
Soit f une application bornée définie sur l’intervalle [a, b] et σ = (xi )i=0,..,n
une subdivision de [a, b].
On appelle somme inférieure et somme supérieure, les quantités suivantes :
Pi=n−1
Pi=n−1
L(f, σ) = i=0 mi (xi+1 − xi ) ; U (f, σ) = i=0 Mi (xi+1 − xi ).
avec : mi = infx∈[xi ,xi+1 ] {f (x)} et Mi = supx∈[xi ,xi+1 ] {f (x)}
Figure 1.1 – Somme de Darboux inférieure sur [1, 2]
Figure 1.2 – Somme de Darboux supérieure sur [1, 2]
1.1.3
Intégrale de Riemann
La définition de Darboux est très précise, mais elle présente un inconvénient,
Z b
f (x) = L = U , n’est pas
à savoir que la valeur de l’intégrale donnée par
a
toujours facile à déterminer.
Définition des sommes de Riemann
Pour définir une somme de Riemann R(f, σ, ε), on a besoin de :
1 f , une application bornée de [a, b] vers R.
2 σ = (x0 , x1 , ..., xn ), une subdivision de [a, b].
3 ε = (ε0 , ε1 , ..., εn ), famille de points avec ε ∈ [xj , xj+1 ].
Pn−1
On a alors R(f, σ, ε) = j=0 f (εj )(xj+1 − xj )
Théorème 1 : Soit [a, b] un intervalle compact et f ∈ C 0 ([a, b], R) une fonction
continue. Alors f est intégrable au sens de Riemann. En outre, on a
Z b
Pn−1
b−a
b−a
limx→+∞ n
f (x) dx
k=0 f (a + k n ) =
a
Exemple : Calculer les limites des sommes de Riemann suivantes :
Pn−1 1 k
n
k=0 n e .
1.1.4
Pn
k
k=1 n2
;
Primitives
Definition 4 Soit f : I ∈ R une fonction définie sur un intervalle I quelconque.
On dit que F : I ∈ R est une primitive de f sur I si F est une fonction dérivable
0
sur I vérifiant F (x) = f (x) pour tout x ∈ I.
Propriété : Si F est une primitive de la fonction f , alors l’ensemble des primitives de f est l’ensemble des fonctions de la forme F + k où k est un réel.
Notation : L’ensemble desZ primitives d’une fonction f (parfois appelé intégrale
non définie de f ) est noté
f (x) dx
1-Primitives immédiates (Primitives des fonctions usuelles) On appelle
primitive immédiate (ou primitive des fonctions usuelles) toute primitive
qui découle des formules de dérivation de base.
Fonction
xn
Primitive
1
x
1
xn
√1
x
x
ln(| x |)
1
− (n−1)x
n−1
√
2 x
ex
1 zx
ze
e
ezx
ax
cosx
sinx
1
2
cos2 (x) = 1 + tan (x)
− sin12 (x) = −1 − cotan2 (x)
tan(x)
1
sin(x)
1
cos(x)
√ 1
1−x2
√ 1
a2 −x2
1
1+x2
1
a2 +x2
xn+1
n+1
ax
ln(a)
sinx
−cosx
tan(x)
cotan(x)
−ln | cos(x) |
ln | tan( x2 ) |
ln | tan( x2 + π4 ) |
Arcsin(x)
Arcsin( xa )
Arctan(x)
1
x
a Arctan( a )
Intervalle
R
] − ∞, 0[ ou ]0, +∞[
R+∗ ou R−∗
]0, +∞[
R
R
R, a > 0 et a 6= 1
R
R
] − π2 + kπ, π2 + kπ[
]kπ, (k + 1)π[
] − π2 + kπ, π2 + kπ[
]kπ, (k + 1)π[
] − π2 + kπ, π2 + kπ[
] − 1, 1[
] − a, a[
R
R
Fonction
0
f fn
0
Primitive
Intervalle
f n+1
n+1
f
f
0
f
n
f
0
f
√
f
ln | f |
f ef
0
f sin(f )
0
f cos(f )
ef
−cos(f )
sin(f )
1
− (n−1)f
n−1
√
2 f
0
√f
0
1−f 2
Arcsin(f )
0
f
1+f 2
Arctan(f )
2-Primitives quasi−immédiates
Dérivée d’une composée : Pour toutes
Z
0
0
fonctions f et g, on a
f (g(x))g (x) = f(g(x)) + k
Z
5
Exemple : On a
dx = tg(5x − 2) + k
cos2 (5x − 2)
0
0
car (5x − 2) = 5 et (tg(x)) = cos12 (x)
Produit de polynôme : Si la fonction à primitiver est un produit de
polynômes, il faut
(1) effectuer le produit
(2) ordonner et réduire le polynôme
(3) appliquer la formule de primitivation d’une combinaison linéaire.
Exemple
: On a
Z
Z
3
2
(2x−7)(3x +4x −x+5)dx = 6x4 + 8x3 − 2x2 + 10x − 21x3 − 28x2 + 7x − 35dx
Division euclidienne : Si la fonction à primitiver est un quotient de polynômes tels que le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré
du dénominateur, il faut
(1) effectuer la division euclidienne.
(2) appliquer la formule de primitivation d’une combinaison linéaire.
(3) appliquer la formule de primitivation
d’une dérivée de composée.
Z
4x3 + 6x2 + 2x − 1
dx
Exemple : On veut calculer
2x + 3
La division euclidienne donne
3
2
+2x−1
−4
Dès lors, 4x +6x
= 2x2 + 1 + 2x+3
2x+3
Ainsi,
on trouve finalement Z
Z
4x3 + 6x2 + 2x − 1
−4
dx = 2x2 + 1 +
dx
2x + 3
2x + 3
4x3 + 6x2 + 2x − 1
– 4x3 + 6x2
2x + 3
2x2 + 1
2x − 1
2x + 3
–
−4
Z
=
2
(2x + 1)dx −2
Z
2
dx
2x + 3
= 23 x3 + x − 2ln(| 2x + 3 |) + k
Primitivation par changement de variable :
Théorème 2 : Soit ϕ une application de classe C 1 sur un intervalle I
à valeurs dans R (ϕ ”est” le changement de variables). Soit f une fonction continue sur ϕ(I) à valeurs dans R. Alors, pour tout (a, b) ∈ I 2 ,
Z ϕ(b)
Z b
0
f (x)dx =
f(ϕ(t))ϕ (t) dt
ϕ(a)
a
Z
x
Exemple : On veut calculer
dx
(x + 1)2
On pose t = x + 1 ⇔ x = t − 1
⇒
dx = dt
Ainsi, on obtiens successivement
Z
Z
t−1
x
dx
=
dt
(x + 1)2
t2
Z
1
=
− t−2 dt
t
= ln | t | + 1t + k
1
= ln | x + 1 | + x+1
+k
Primitivation par partie :
1
Théorème 3 : Soient f etZg deux fonctions de classe
Z C sur un intervalle
0
0
I de R à valeurs dans R ;
f (x)g (x) = f(x)g(x) − f (x)g(x)
Z
Exemple : On veut calculer
xcos(x) dx
On pose
0
f (x) = x ; f (x) = 1
g (x) = cos(x) ; g(x) = sin(x)
0
La formule de primitivation par parties donne alors
Z
Z
xcos(x)dx = xsin(x) −
sin(x)dx
= xsin(x) − (−cos(x)) + k
= xsin(x) + cos(x) + k
1.1.5
Intégrales
Théorème fondamental : Soit f une fonction continue sur un segment
[a, b] de R à valeurs dans R.
b
Z
f (x)dx = [F (x)]ab = F (b) − F (a)
a
où F est une primitive quelconque de f sur [a, b].
Propriétés : Pour toute fonction f continue sur un intervalle [a, b], on a
Z a
(1)
f (x)dx = 0
a
Z
b
a
Z
f (x)dx = −
(2)
f (x)dx
a
b
Z
(3) f > 0 ⇒
b
f (x)dx > 0
a
Z
b
(4)
c
Z
f (x)dx =
a
f (x)dx +
a
b
Z
(5) si f 6 g alors,
f (x)dx 6
a
Z
b
Z
a
Z
Z
λf (x)dx = λ
a
1.2
1.2.1
g(x)dx
b
Z
f (x)dx +
a
b
b
a
(f (x) + g(x))dx =
(7)
f (x)dx
c
Z
(6)
b
Z
b
g(x)dx
a
b
f (x)dx
a
Intégrales doubles et triples.
Intégrale doubles
Soit f : D → R une fonction définie sur un domaine D ⊂ R2 .
L’intégrale sur D de f : D → R, s’appelle une intégrale double, on la note
ZZ
f (x, y) dx dy
D
.
Théorème de Fubini : Soit f : D → R une fonction continue.
1) Cas où D = [a, b]X[c, d] un rectangle, on a :
RR
Rb Rd
Rd Rb
f (x, y)dxdy = a [ c f (x, y)dy]dx = c [ a f (x, y)dx]dy
D
2) Cas où D = {(x, y) ∈ R2 ; a 6 x 6 b; u(x) 6 y 6 v(x)}, où u, v : [a, b] → R
RR
R b R v(x)
sont continues, alors : D f (x, y)dxdy = a [ u(x) f (x, y)dy]dx
Changement de variable :
Soient U et V deux ouverts de R2 et
Q:U →V
(u, v) → (x, y)
une application de classe C 1 , et ∆ ⊂U et D ⊂V .
∂x
∂x
∂x
∂x
∂v
∂u
∂v
La matrice jacobien de ϕ est j(ϕ) = ∂u
∂y
∂y , det(j(ϕ)) = ∂y
∂y .
∂u
∂v
∂u
∂v
RR
RR
Si ϕ(∆) = D. Alors on obtient : D f (x, y)dxdy = ∆ f (ϕ(u, v))det(j(ϕ))dudv
Coordonnées cylindriques :
ϕ : (r,
rsin(θ)). La matrice jacoblien de ϕ est
θ) → (x, y) = (rcos(θ),
cos(θ) −rsin(θ)
D(x,y)
=
, et | D(r,θ) |= r.
sin(θ) rcos(θ)
Si
RR ϕ(∆) = D. AlorsRRon obtient :
f (x, y)dxdy = ∆ f (rcos(θ), rsin(θ)) | r | drdθ
D
D(x,y)
D(r,θ)
Corollaire
RR
RR
Rb
Rd
f (x, y)dxdy = [a,b]X[c,d] f1 (x)f2 (y)dxdy = a f1 (x)dx c f2 (y)dy
D
1.2.2
Intégrale triples
Soit f : D → R une fonction définie sur un domaine D ⊂ R3 .
L’intégrale sur D de f : D → R, s’appelle une intégrale triples, on la note
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz
D
.
Théorème de Fubini : Soit f : D → R une fonction continue.
1) Cas où D = [a, b]X[c, d]X[s, t], on a :
RRR
Rb Rd Rt
f (x, y, z)dxdydz = a [ c [ s f (x, y, z)dz]dy]dx
D
2) Cas où D = {(x, y, z) ∈ R3 ; (x, y) ∈ ∆; u(x, y) 6 z 6 v(x, y)}, où u, v :
[a, b] → R sont continues, D est un ensemble fermé borné de R2 , alors :
RRR
RR R v(x,y)
f (x, y, z)dxdydz = ∆ [ u(x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
D
3) Cas où D = {(x, y, z) ∈ R3 ; a ≤ z ≤ b; (x, y) ∈ ∆(z)}, où u,RRR
v : [a, b] → R
sont continues, D est un ensemble fermé borné de R2 , alors :
f (x, y, z)dxdydz =
D
R b RR
[ ∆(z) f (x, y, z)dxdy]dz
a