Applications linéaires

CPGE AL KHANSA 2019/2020
MPSI 3 Prof:Mountassir
Applications lin´eaires
Exercice 1 Expliquer pourquoi les applications suivantes ne sont pas lin´eaires
f:R2→R
(x, y)7→ xy
g:R[X]→R[X]
P7→ P(X2)−P(X)2
h:R→R
x7→ x+ 1
Exercice 2 Montrer que les applications suivantes sont lin´eaires. D´eterminer leurs noyaux et
leurs images.
f:R2→R2
(x, y)7→ (x+ 3y, x −3y)
g:R3→R2
(x, y, z)7→ (x+y+z, 2x−y+ 3z)
h:R2→R3
(x, y)7→ (y, x, x +y)
k:R3→R3
(x, y, z)7→ (x+y, y −z, z +x)
Exercice 3 Soit f:R3→R3l’application telle que :
∀(x, y, z)∈R3, f(x, y, z) = (2y+z, x +z, −x+y+z)
1. Montrer que l’application fest un endomorphisme de R3.
2. Montrer que l’application fest un automorphisme de R3.
Exercice 4 Soit n∈N∗. Montrer que :
f:Rn[X]→Rn[X]
P7→ P−XP 0−P(0)
est lin´eaire et d´eterminer son noyau.
Exercice 5 Iest unn intervalle de Rd’int´erieur nonn vide. Montrer que :
Φ : C∞(I, R)→C∞(I, R)
f7→ f00 −2f0+f
est un endomorphisme et d´eterminer son noyau. Est il surjectif ? qu’en d´eduire sur la dimension
C∞(I, R) ?
Exercice 6 Soit :
f:K[X]→K×K[X]
P7→ (P(0), P 0).
1. Montrer que fest un isomorphisme.
2. En d´eduire que K[X] n’est pas de dimension finie.
Exercice 7 Soit E, F et G, trois espaces vectoriels sur le corps K. Soit f∈L(E, F ) et
g∈L(F, G).
1. Etablir l’´equivalence : g◦f= 0 ⇐⇒ Imf⊂Kerg.
2. Montrer que l’application Φ : u→g◦uest une application lin´eaire de L(E, F ) vers
L(E, G).En d´eterminer son noyau.
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Exercice 8 Soit Eun espace vectoriel sur le corps R, puis pet qdeux projecteurs dans L(E).
1. On suppose que l’endomorphisme p+qest un projecteur.
2. (a) Montrer que p◦q=−q◦p.
(b) En d´eduire que p◦q◦p= 0.
(c) Montrer que p◦q=q◦p= 0.
3. On suppose que p+qest un projecteur.
(a) Montrer que Im(p+q) = Imp +Imq.
(b) Montrer que ker(p+q) = kerp ∩kerq.
Exercice 9 (Caract´erisation des homoth´eties). Soit Eun K-espace vectoriel et soit f∈L(E).
Montrer que les assertions suivantes sans ´equivalentes :
1. ∀x∈E∃λ∈K;f(x) = λx.
2. ∃λ∈K;∀x∈E f(x) = λx.
Exercice 10 Soit Eun K-espace vectroriel et soit f∈L(E).
1. Montrer que ker(f)∩Im(f) = {OE}si et seulement si ker(f) = kerf (f2).
2. Montrer que ker(f) + Im(f) = Esi et seulement si Im(f) = Im(f2).
Exercice 11 Soit Eun K-espace vectroriel de dimension finie et soient fet gdans L(E). On
suppose que
E=Im(f) + Im(g) = Ker(f) + ker(g).
Montrer que ces deux sommes sont directes.
Exercice 12 (Endomorphismes de rang 1). Soit f∈L(E) un endomorphisme de rang 1.
Montrer qu’il existe λ∈Ktelque f2=λf.
Exercice 13 Soit E=C∞(R,R) et f∈Equelconque. On pose
Φ(f) = f0Ψ(f) : x→Zx
0
f(t)dt.
1. Montrer Φ et Ψ sont des endomorphismes lin´eaires de E.
2. Exiprimer Φ ◦Ψ et Ψ ◦Φ.
3. D´eterminer les images et les noyaux de Φ et Ψ
Exercice 14 Soit Eun K- espace vectoriel et soit f∈L(E) v´erifiant la relation f2−3f+
2IdE= 0L(E).
1. Montrer que fest inversible et exprimer son innverse en fonction de f.
2. Montrer que E=ker(f−IdE)⊕ker(f−2IdE).
Exercice 15 Soit u:R3→R3d´efini par
u(x, y, z)=(x+ 2y, 4x−y, −2x+ 2y+ 3z)
pour tout (x, y, z)∈R3.
1. Prouver que u∈L(R3).
2. Calculer les images par u2des vecteurs de la base canonique de R3.
3. En d´eduire que 1
3uest une sym´etrie vectorielle de R3et donner des sous-espaces propres.
4. En d´eduire que uest un automorphisme de R3et donner sa r´eciproque u−1.
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