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Applications linéaires

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CPGE AL KHANSA
MPSI 3
2019/2020
Prof:Mountassir
Applications linéaires
Exercice 1 Expliquer pourquoi les applications suivantes ne sont pas linéaires
f :
R2 → R
(x, y) 7→ xy
g : R[X] →
R[X]
h : R →
R
2
2
P
7→ P (X ) − P (X)
x 7→ x + 1
Exercice 2 Montrer que les applications suivantes sont linéaires. Déterminer leurs noyaux et
leurs images.
f :
R2 →
R2
(x, y) 7→ (x + 3y, x − 3y)
h :
R2 →
R3
(x, y) 7→ (y, x, x + y)
g :
R3
→
R2
(x, y, z) 7→ (x + y + z, 2x − y + 3z)
k :
R3
→
R3
(x, y, z) 7→ (x + y, y − z, z + x)
Exercice 3 Soit f : R3 → R3 l’application telle que :
∀(x, y, z) ∈ R3 ,
f (x, y, z) = (2y + z, x + z, −x + y + z)
1. Montrer que l’application f est un endomorphisme de R3 .
2. Montrer que l’application f est un automorphisme de R3 .
Exercice 4 Soit n ∈ N∗ . Montrer que :
f : Rn [X] →
Rn [X]
P
7→ P − XP 0 − P (0)
est linéaire et déterminer son noyau.
Exercice 5 I est unn intervalle de R d’intérieur nonn vide. Montrer que :
Φ : C ∞ (I, R) → C ∞ (I, R)
f
7→ f 00 − 2f 0 + f
est un endomorphisme et déterminer son noyau. Est il surjectif ? qu’en déduire sur la dimension
C ∞ (I, R) ?
Exercice 6 Soit :
f : K[X] → K × K[X]
P
7→ (P (0), P 0 ).
1. Montrer que f est un isomorphisme.
2. En déduire que K[X] n’est pas de dimension finie.
Exercice 7 Soit E, F et G, trois espaces vectoriels sur le corps K. Soit f ∈ L (E, F ) et
g ∈ L (F, G).
1. Etablir l’équivalence : g ◦ f = 0 ⇐⇒ Imf ⊂ Kerg.
2. Montrer que l’application Φ : u → g ◦ u est une application linéaire de L (E, F ) vers
L (E, G).En déterminer son noyau.
1
Exercice 8 Soit E un espace vectoriel sur le corps R, puis p et q deux projecteurs dans L (E).
1. On suppose que l’endomorphisme p + q est un projecteur.
2. (a) Montrer que p ◦ q = −q ◦ p.
(b) En déduire que p ◦ q ◦ p = 0.
(c) Montrer que p ◦ q = q ◦ p = 0.
3. On suppose que p + q est un projecteur.
(a) Montrer que Im(p + q) = Imp + Imq.
(b) Montrer que ker(p + q) = kerp ∩ kerq.
Exercice 9 (Caractérisation des homothéties). Soit E un K-espace vectoriel et soit f ∈ L (E).
Montrer que les assertions suivantes sans équivalentes :
1. ∀x ∈ E ∃λ ∈ K; f (x) = λx.
2. ∃λ ∈ K; ∀x ∈ E f (x) = λx.
Exercice 10 Soit E un K-espace vectroriel et soit f ∈ L (E).
1. Montrer que ker(f ) ∩ Im(f ) = {OE } si et seulement si ker(f ) = kerf (f 2 ).
2. Montrer que ker(f ) + Im(f ) = E si et seulement si Im(f ) = Im(f 2 ).
Exercice 11 Soit E un K-espace vectroriel de dimension finie et soient f et g dans L (E). On
suppose que
E = Im(f ) + Im(g) = Ker(f ) + ker(g).
Montrer que ces deux sommes sont directes.
Exercice 12 (Endomorphismes de rang 1). Soit f ∈ L (E) un endomorphisme de rang 1.
Montrer qu’il existe λ ∈ K telque f 2 = λf .
Exercice 13 Soit E = C ∞ (R, R) et f ∈ E quelconque. On pose
Z x
0
f (t)dt.
Φ(f ) = f Ψ(f ) : x →
0
1. Montrer Φ et Ψ sont des endomorphismes linéaires de E.
2. Exiprimer Φ ◦ Ψ et Ψ ◦ Φ.
3. Déterminer les images et les noyaux de Φ et Ψ
Exercice 14 Soit E un K- espace vectoriel et soit f ∈ L (E) vérifiant la relation f 2 − 3f +
2IdE = 0L (E) .
1. Montrer que f est inversible et exprimer son innverse en fonction de f .
2. Montrer que E = ker(f − IdE ) ⊕ ker(f − 2IdE ).
Exercice 15 Soit u : R3 → R3 défini par
u(x, y, z) = (x + 2y, 4x − y, −2x + 2y + 3z)
pour tout (x, y, z) ∈ R3 .
1. Prouver que u ∈ L (R3 ).
2. Calculer les images par u2 des vecteurs de la base canonique de R3 .
1
3. En déduire que u est une symétrie vectorielle de R3 et donner des sous-espaces propres.
3
4. En déduire que u est un automorphisme de R3 et donner sa réciproque u−1 .
2
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