CPGE AL KHANSA MPSI 3 2019/2020 Prof:Mountassir Applications linéaires Exercice 1 Expliquer pourquoi les applications suivantes ne sont pas linéaires f : R2 → R (x, y) 7→ xy g : R[X] → R[X] h : R → R 2 2 P 7→ P (X ) − P (X) x 7→ x + 1 Exercice 2 Montrer que les applications suivantes sont linéaires. Déterminer leurs noyaux et leurs images. f : R2 → R2 (x, y) 7→ (x + 3y, x − 3y) h : R2 → R3 (x, y) 7→ (y, x, x + y) g : R3 → R2 (x, y, z) 7→ (x + y + z, 2x − y + 3z) k : R3 → R3 (x, y, z) 7→ (x + y, y − z, z + x) Exercice 3 Soit f : R3 → R3 l’application telle que : ∀(x, y, z) ∈ R3 , f (x, y, z) = (2y + z, x + z, −x + y + z) 1. Montrer que l’application f est un endomorphisme de R3 . 2. Montrer que l’application f est un automorphisme de R3 . Exercice 4 Soit n ∈ N∗ . Montrer que : f : Rn [X] → Rn [X] P 7→ P − XP 0 − P (0) est linéaire et déterminer son noyau. Exercice 5 I est unn intervalle de R d’intérieur nonn vide. Montrer que : Φ : C ∞ (I, R) → C ∞ (I, R) f 7→ f 00 − 2f 0 + f est un endomorphisme et déterminer son noyau. Est il surjectif ? qu’en déduire sur la dimension C ∞ (I, R) ? Exercice 6 Soit : f : K[X] → K × K[X] P 7→ (P (0), P 0 ). 1. Montrer que f est un isomorphisme. 2. En déduire que K[X] n’est pas de dimension finie. Exercice 7 Soit E, F et G, trois espaces vectoriels sur le corps K. Soit f ∈ L (E, F ) et g ∈ L (F, G). 1. Etablir l’équivalence : g ◦ f = 0 ⇐⇒ Imf ⊂ Kerg. 2. Montrer que l’application Φ : u → g ◦ u est une application linéaire de L (E, F ) vers L (E, G).En déterminer son noyau. 1 Exercice 8 Soit E un espace vectoriel sur le corps R, puis p et q deux projecteurs dans L (E). 1. On suppose que l’endomorphisme p + q est un projecteur. 2. (a) Montrer que p ◦ q = −q ◦ p. (b) En déduire que p ◦ q ◦ p = 0. (c) Montrer que p ◦ q = q ◦ p = 0. 3. On suppose que p + q est un projecteur. (a) Montrer que Im(p + q) = Imp + Imq. (b) Montrer que ker(p + q) = kerp ∩ kerq. Exercice 9 (Caractérisation des homothéties). Soit E un K-espace vectoriel et soit f ∈ L (E). Montrer que les assertions suivantes sans équivalentes : 1. ∀x ∈ E ∃λ ∈ K; f (x) = λx. 2. ∃λ ∈ K; ∀x ∈ E f (x) = λx. Exercice 10 Soit E un K-espace vectroriel et soit f ∈ L (E). 1. Montrer que ker(f ) ∩ Im(f ) = {OE } si et seulement si ker(f ) = kerf (f 2 ). 2. Montrer que ker(f ) + Im(f ) = E si et seulement si Im(f ) = Im(f 2 ). Exercice 11 Soit E un K-espace vectroriel de dimension finie et soient f et g dans L (E). On suppose que E = Im(f ) + Im(g) = Ker(f ) + ker(g). Montrer que ces deux sommes sont directes. Exercice 12 (Endomorphismes de rang 1). Soit f ∈ L (E) un endomorphisme de rang 1. Montrer qu’il existe λ ∈ K telque f 2 = λf . Exercice 13 Soit E = C ∞ (R, R) et f ∈ E quelconque. On pose Z x 0 f (t)dt. Φ(f ) = f Ψ(f ) : x → 0 1. Montrer Φ et Ψ sont des endomorphismes linéaires de E. 2. Exiprimer Φ ◦ Ψ et Ψ ◦ Φ. 3. Déterminer les images et les noyaux de Φ et Ψ Exercice 14 Soit E un K- espace vectoriel et soit f ∈ L (E) vérifiant la relation f 2 − 3f + 2IdE = 0L (E) . 1. Montrer que f est inversible et exprimer son innverse en fonction de f . 2. Montrer que E = ker(f − IdE ) ⊕ ker(f − 2IdE ). Exercice 15 Soit u : R3 → R3 défini par u(x, y, z) = (x + 2y, 4x − y, −2x + 2y + 3z) pour tout (x, y, z) ∈ R3 . 1. Prouver que u ∈ L (R3 ). 2. Calculer les images par u2 des vecteurs de la base canonique de R3 . 1 3. En déduire que u est une symétrie vectorielle de R3 et donner des sous-espaces propres. 3 4. En déduire que u est un automorphisme de R3 et donner sa réciproque u−1 . 2