Extraits de concours

Extraits de concours
MP-PC-PT
Mounir BALTI
Docteur et professeur agrégé principal
IPEST
TABLE DES MATIÈRES
Introduction
1
1 Séries numériques et intégration sur un intervalle quelconque
1.1 Concours N-Tun 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Concours N Tun 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Somme harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
4
4
1
CHAPITRE 1
Séries numériques et intégration sur un intervalle
quelconque
1.1
Concours N-Tun 2014
Partie I/
Dans cette partie, on s’intéresse à calculer l’intégrale de Gauss dé…nie par :
Z +1
2
I=
e t dt.
0
1. Justi…er l’existence de I.
2. Montrer que la fonction t 7! p
seulement si x
On pose. alors,
e xt
est intégrable sur ]0; +1[ si et
t (t + 1)
0.
f (x) =
Z
+1
0
p
e xt
dt.
t (t + 1)
3. Montrer que f est continue sur R+
4. Montrer que f (0) = .
5. Montrer que lim f (x) = 0.
x!+1
6. Montrer que f est de classe C 1 sur R+ et qu’elle véri…e l”équation di¤érentielle
y0 y = p .
(1)
x
1
1. Séries numériques et intégration sur un intervalle quelconque
Z
2
+1
e u
p du.
u
0
7. Résoudre l’équation di¤érentielle (1) (On donnera une solution particulière
sous la forme d”une intégrale).
où
=
8. En déduire que :
x
8x
Z
9. Déterminer alors la valeur de
x
e u
p du:
u
0
p
et déduire que I =
.
2
0; e f (x) =
Partie II/
On pose
In =
Z
+1
0
1
dx,
(x2 + 1)n+1
n 2 N.
1. Justi…er l’existence de In et calculer I0
2. Montrer que la suite (In )n 0 est décroissante et que lim In = 0.
n!+1
X
3. Montrer que la série
( 1)n In est convergente et calculer sa somme.
n 0
X
( 1)n In est divergente.
4. Montrer que la série
n 0
5. Montrer que, pour tout entier n
1,
2n 1
In 1 .
2n
In =
6. En déduire que, pour tout n 2 N,
In =
7. Montrer que, pour tout n 2 N,
p
n + 1In =
(2n)!
.
22n (n!)2 2
Z
+1
0
dt
1+
.
t2 n+1
n+1
8. Pour t > 0 …xé, étudier les variations de la fonction : x 7! x ln 1 +
sur R+ et déduire que
8n 2 N,
t2
1+
n+1
n 1
1
.
1 + t2
t2
x
1. Séries numériques et intégration sur un intervalle quelconque
9. Montrer alors que :
p
lim
n!+1
n + 1In =
p
2
3
.
10. En déduire la formule de Wallis :
p
22n (n!)2 1
p .
= lim
n!+1 (2n)!
n
(2)
Partie III
On pose. pour tout entier non nul n.
un =
1
2
n+
ln (n)
ln (n!) .
n
1. Montrer que :
un
un
1
1
.
12n2
2. En déduire que la suite (un )n
3. Montrer que n!
1
n!+1
(3)
1
e l nn+ 2 e
est convergente. On note l sa limite.
n
.
4. En utilisant la formule de Wallis (2), montrer que l =
1
ln (2 ).
2
5. En déduire la forrrmle de Stirling :
n!
n!+1
nn e
n
p
2 n:
6. En utilisant l’équivalence donnée par la formule (3), et en remarquant que
1
1
1
, montrer que :
2
n n!+1 n 1 n
ln
p
2
+ un
n!+1
1
.
12n
7. 1. En déduire la formule asymptotique :
n! = nn e
n
p
2 n 1+
1
+o
12n
1
n
.
1. Séries numériques et intégration sur un intervalle quelconque
1.2
4
Concours N Tun 2016
Partie I/
n
Y
Soit (an )n2N une suite complexe telle que an 6= 1, 8n 2 N . On pose pn =
(1 + ak ).
k=1
On dit que le produit in…ni
Y
(1 + an ) converge si la suite (pn )n2N est
n 1
convergente vers une limite non nulle. Cette limite se note
+1
Y
(1 + an ).
n=1
1. (a) Montrer que, pour tout x >
1, ln (1 + x)
x.
(b) Montrer que, pour tout n 2 N , ln (jpn j) ja1 j + ja2 j + ::: + jan j.
X
2. On suppose la série
an est absolument convergente. On veut prouver
que le produit in…ni
n 1
Y
(1 + an ) converge.
n 1
(a) Montrer que la suite (pn )n2N est bornée.
X
(b) Montrer que la série
(pn pn 1 ) est absolument convergente.
n 1
(c) En déduire que la suite (pn )n2N est convergente.
X
an
.Montrer que la série
bn est absolument
(d) On pose bn =
1 + an
n 1
convergente.
(e) En déduire que la suite
1
pn
est convergente.
Y
(f) Montrer alors que le produit in…ni
(1 + an ) converge.
n2N
n 1
1.3
Somme harmonique
Hn =
n
X
1
k=1
k
=1+
1 1
1
+ + ::: + .
2 3
n
1. Montrer que 8k
1
1,
k+1
Zk+1
1
dt
t
1
.
k
k
2. En déduire que ln (n)
3. On pose un = Hn
Hn
1 + ln (n) et donner un équivalent de Hn .
ln (n). Montrer que la suite (un )n
1
est convergente.
1. Séries numériques et intégration sur un intervalle quelconque
4. Soit
= lim un et vn = un
.
n!+1
(a) Montrer que (vn
5
1
2
vn+1 )
(b) En déduire que Hn = ln (n) +
1
n
1
.
n+1
1
1
+
+o
.
2n
n
R +1
ln (t) e t dt est convergente.
R1
R1 1 e t
6. Véri…er que 0 ln (t) e t dt =
dt.
0
t
R1 1 e t
R +1 e t
dt
dt.
7. En déduire que = 1
0
t
t
Rn
n
8. On pose In = 0 ln (t) 1 nt dt. Justi…er l’existence de In et justi…er que
5. Montrer que
=
0
In = n
Z
1
ln (nu) (1
u)n du.
0
9. En déduire que In =
10. Montrer que In =
11. 1
t n
n
n
n+1
n
n+1
ln (n)
(ln (n)
= exp n ln 1
t
n
R1
1 (1 u)n+1
du
u
0
.
Hn+1 ). En déduire que lim In =
.