Extraits de concours

Extraits de concours
MP-PC-PT
Mounir BALTI
Docteur et professeur agrégé principal
IPEST

TABLE DES MATIÈRES
Introduction 1
1 Séries numériques et intégration sur un intervalle quelconque 1
1.1 Concours N-Tun 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 ConcoursNTun2016......................... 4
1.3 Sommeharmonique.......................... 4
1

CHAPITRE 1
Séries numériques et intégration sur un intervalle
quelconque
1.1 Concours N-Tun 2014
Partie I/
Dans cette partie, on s’intéresse à calculer l’intégrale de Gauss dé…nie par :
I=Z+1
0
et2dt.
1. Justi…er l’existence de I.
2. Montrer que la fonction t7! ext
pt(t+ 1) est intégrable sur ]0;+1[si et
seulement si x0.
On pose. alors,
f(x) = Z+1
0
ext
pt(t+ 1)dt.
3. Montrer que f est continue sur R+
4. Montrer que f(0) = .
5. Montrer que lim
x!+1f(x) = 0.
6. Montrer que fest de classe C1sur R
+et qu’elle véri…e l”équation di¤é-
rentielle
y0y=
px.(1)
1

1. Séries numériques et intégration sur un intervalle quelconque 2
où =Z+1
0
eu
pudu.
7. Résoudre l’équation di¤érentielle (1) (On donnera une solution particulière
sous la forme d”une intégrale).
8. En déduire que :
8x0; exf(x) = Zx
0
eu
pudu:
9. Déterminer alors la valeur de et déduire que I=p
2.
Partie II/
On pose
In=Z+1
0
1
(x2+ 1)n+1 dx,n2N.
1. Justi…er l’existence de Inet calculer I0
2. Montrer que la suite (In)n0est décroissante et que lim
n!+1In= 0.
3. Montrer que la série Xn0(1)nInest convergente et calculer sa somme.
4. Montrer que la série Xn0(1)nInest divergente.
5. Montrer que, pour tout entier n1,
In=2n1
2nIn1.
6. En déduire que, pour tout n2N,
In=(2n)!
22n(n!)2
2.
7. Montrer que, pour tout n2N,
pn+ 1In=Z+1
0
dt
1 + t2
n+1 n+1 .
8. Pour t > 0…xé, étudier les variations de la fonction : x7! xln 1 + t2
x
sur R
+et déduire que
8n2N,1 + t2
n+ 1n1
1
1 + t2.

1. Séries numériques et intégration sur un intervalle quelconque 3
9. Montrer alors que :
lim
n!+1
pn+ 1In=p
2.
10. En déduire la formule de Wallis :
p= lim
n!+1
22n(n!)2
(2n)!
1
pn.(2)
Partie III
On pose. pour tout entier non nul n.
un=n+1
2ln (n)nln (n!) .
1. Montrer que :
unun11
12n2.(3)
2. En déduire que la suite (un)n1est convergente. On note lsa limite.
3. Montrer que n!
n!+1elnn+1
2en.
4. En utilisant la formule de Wallis (2), montrer que l=1
2ln (2).
5. En déduire la forrrmle de Stirling :
n!
n!+1nnenp2n:
6. En utilisant l’équivalence donnée par la formule (3), et en remarquant que
1
n2
n!+1
1
n11 n, montrer que :
ln p2+un
n!+11
12n.
7. 1. En déduire la formule asymptotique :
n! = nnenp2n 1 + 1
12n+o1 n.