Licence 2, Semestre 4
ANN´
EE 2020-2021
Topologie - Feuille d’exercices N◦2.
1. Montrer qu’un espace m´etrique fini est compact.
2. (a) Soit Xun espace m´etrique et A,Bdeux parties compactes de X. Montrer que
A∩Bet A∪Bsont compacts.
(b) Soit E un espace vectoriel norm´e et A,Bdeux parties non vides de E. On
note A+B={a+b:a∈A, b ∈B}.
i. Montrer que si Aet Bsont compactes, alors A+Bl’est aussi.
ii. Montrer que si Best ouverte, alors A+Bl’est aussi (on pourra commencer
par supposer que Aest un singleton).
iii. Montrer que si Aest compacte et Best ferm´ee, alors A+Best ferm´ee.
iv. On pose A=N∗et B=−n+1
n+1 :n∈N∗. Montrer que Aet Bsont
ferm´es, et que 0 est dans l’adh´erence de A+B. La partie A+Best-elle
ferm´ee ?
3. En utilisant la d´efinition de la continuit´e puis le crit`ere s´equentiel, montrer que
toute application constante d’un espace m´etrique dans un autre est continue, et que
l’identit´e d’un espace m´etrique dans lui-mˆeme est continue.
4. Soit Xun ensemble et d0la distance discr`ete sur X. Montrer que toute application
f, de Xdans un espace m´etrique quelconque Y, est continue.
5. Montrer que, dans R2muni de la distance euclidienne, le graphe d’une application
continue de Rdans Rest un ferm´e.
6. Soit Xet Ydeux espaces m´etriques et fune application de Xdans Y. Montrer
que les propositions suivantes sont ´equivalentes.
(a) fest continue.
(b) ∀A⊆X f A⊆f(A).
(c) ∀B⊆Y f−1(B)⊆f−1(B).
(d) ∀B⊆Y f−1◦
B⊆
◦
z }| {
f−1(B).
7. Soit (E, N) un espace vectoriel norm´e, (F, k·k) un espace de Banach, fune fonction
de Edans F, de domaine de d´efinition D, et adans l’adh´erence de D, et (∗) la
propri´et´e :
∀ε∈R∗
+∃r∈R∗
+∀(x, y)∈D×D(N(x−a)< r&N(y−a)< r)⇒ kf(x)−f(y)k< ε.
(a) Montrer que si fadmet une limite en a, alors (∗) est v´erifi´ee.
(b) On suppose maintenant que (∗) est v´erifi´ee.
i. Soit (xn) une suite de Dqui converge vers a. Montrer que la suite (f(xn))
est de Cauchy, puis qu’elle est convergente.
ii. `
A l’aide du crit`ere s´equentiel, en d´eduire que fadmet une limite en a.
8. (a) Soit a < b deux r´eels et fune application continue de [a, b] dans R∗
+. Montrer
que inf
x∈[a,b]f(x)>0.
(b) Soit fune application continue de R+dans Rqui converge en +∞. Montrer
que fest born´ee.
(c) Montrer qu’une fonction continue et p´eriodique sur Rest born´ee.
9. (a) On consid`ere l’application fde Rdans Rd´efinie par f(x) = cos x. Expliciter
f−1([−1,1]).
(b) Soit (E, d) et (E0, d0) deux espaces m´etriques et fune application continue de
Edans E0. Montrer que si K0est une partie compacte de E0, alors f−1(K0)
n’est pas forc´ement compacte.
10. Soit Eun espace m´etrique complet, fune application de Edans Eet nun entier au
moins ´egal `a 2. On suppose qu’il existe k∈[0,1[ tel que la la compos´ee fn=f◦· · ·◦f
v´erifie ∀(x, y)∈E×E d(fn(x), fn(y)) ≤kd(x, y). Montrer que fposs`ede un et un
seul point fixe.
11. Soit fune application continue de ]0,1[ dans R. Montrer que, si fest uniform´ement
continue, alors elle est born´ee. La r´eciproque est-elle vraie ?
12. Soit E=R[X] et pour tout P∈E:kPk∞= supx∈[0,1] |P(t)|. Montrer que k k∞est
une norme sur Eet que l’endomorphisme u, qui `a Passocie P0, n’est pas continu.
Indication : on pourra consid´erer la suite Xn
nn≥1
13. Soit fune application continue entre deux R-espaces vectoriels norm´es Eet Ftels
que pour tous x,ydans Eon a f(x+y) = f(x) + f(y). Montrer que fest lin´eaire.
Indication : ´etablir l’´egalit´e f(λx) = λf(x) pour λsuccessivement dans N,Z, Q
puis R.
14. Soit N1et N2deux normes sur un espace vectoriel Etelles que l’identit´e est une
isom´etrie de (E, N1) dans (E, N2). Que peut-on dire de N1et N2?
15. (a) Soit A={(x, y)∈R2:xy = 1}. Montrer que Aest ferm´e, complet,
non compact, non connexe, non connexe par arcs. Trouver les composantes
connexes par arcs de A.
(b) A quoi est ´egal l’ensemble des parties connexes par arcs de R?
16. Montrer qu’un polynˆome unitaire de degr´e 3 poss`ede au moins une racine r´eelle.
17. Soit a < b deux r´eels et f,gdeux applications continues de [a, b] dans Rtelles que
f(a)≤g(a) et f(b)≥g(b).
(a) Montrer qu’il existe x∈[a, b] tel que f(x) = g(x). Indication : consid´erer
l’application ϕd´efinie par ϕ(x) = f(x)−g(x).
(b) Montrer que si f([a, b]) ⊆[a, b] alors fadmet un point fixe.
(c) Montrer que si [a, b]⊆f([a, b]) alors fadmet un point fixe.
1
/
2
100%
