TD20212

Licence 2, Semestre 4
ANNÉE 2020-2021
Topologie - Feuille d’exercices N◦ 2.
1. Montrer qu’un espace métrique fini est compact.
2. (a) Soit X un espace métrique et A, B deux parties compactes de X. Montrer que
A ∩ B et A ∪ B sont compacts.
(b) Soit E un espace vectoriel normé et A, B deux parties non vides de E. On
note A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}.
i. Montrer que si A et B sont compactes, alors A + B l’est aussi.
ii. Montrer que si B est ouverte, alors A+B l’est aussi (on pourra commencer
par supposer que A est un singleton).
iii. Montrer que si A est compacte et B est fermée, alors A + B est fermée.
1
: n ∈ N∗ . Montrer que A et B sont
iv. On pose A = N∗ et B = −n + n+1
fermés, et que 0 est dans l’adhérence de A + B. La partie A + B est-elle
fermée ?
3. En utilisant la définition de la continuité puis le critère séquentiel, montrer que
toute application constante d’un espace métrique dans un autre est continue, et que
l’identité d’un espace métrique dans lui-même est continue.
4. Soit X un ensemble et d0 la distance discrète sur X. Montrer que toute application
f , de X dans un espace métrique quelconque Y , est continue.
5. Montrer que, dans R2 muni de la distance euclidienne, le graphe d’une application
continue de R dans R est un fermé.
6. Soit X et Y deux espaces métriques et f une application de X dans Y . Montrer
que les propositions suivantes sont équivalentes.
(a) f est continue.
(b) ∀A ⊆ X f A ⊆ f (A).
(c) ∀B ⊆ Y f −1 (B) ⊆ f −1 (B).
◦
◦ z }| {
(d) ∀B ⊆ Y f −1 B ⊆f −1 (B).
7. Soit (E, N ) un espace vectoriel normé, (F, k·k) un espace de Banach, f une fonction
de E dans F , de domaine de définition D, et a dans l’adhérence de D, et (∗) la
propriété :
∀ε ∈ R∗+ ∃r ∈ R∗+ ∀(x, y) ∈ D×D (N (x−a) < r&N (y−a) < r) ⇒ kf (x)−f (y)k < ε.
(a) Montrer que si f admet une limite en a, alors (∗) est vérifiée.
(b) On suppose maintenant que (∗) est vérifiée.
i. Soit (xn ) une suite de D qui converge vers a. Montrer que la suite (f (xn ))
est de Cauchy, puis qu’elle est convergente.
ii. À l’aide du critère séquentiel, en déduire que f admet une limite en a.
8. (a) Soit a < b deux réels et f une application continue de [a, b] dans R∗+ . Montrer
que inf f (x) > 0.
x∈[a,b]
(b) Soit f une application continue de R+ dans R qui converge en +∞. Montrer
que f est bornée.
(c) Montrer qu’une fonction continue et périodique sur R est bornée.
9. (a) On considère l’application f de R dans R définie par f (x) = cos x. Expliciter
f −1 ([−1, 1]).
(b) Soit (E, d) et (E 0 , d0 ) deux espaces métriques et f une application continue de
E dans E 0 . Montrer que si K 0 est une partie compacte de E 0 , alors f −1 (K 0 )
n’est pas forcément compacte.
10. Soit E un espace métrique complet, f une application de E dans E et n un entier au
moins égal à 2. On suppose qu’il existe k ∈ [0, 1[ tel que la la composée f n = f ◦· · ·◦f
vérifie ∀(x, y) ∈ E × E d(f n (x), f n (y)) ≤ kd(x, y). Montrer que f possède un et un
seul point fixe.
11. Soit f une application continue de ]0, 1[ dans R. Montrer que, si f est uniformément
continue, alors elle est bornée. La réciproque est-elle vraie ?
12. Soit E = R[X] et pour tout P ∈ E : kP k∞ = supx∈[0,1] |P (t)|. Montrer que k k∞ est
une norme sur E et que l’endomorphisme u, qui à P associe P 0 , n’est pas continu.
Xn
Indication : on pourra considérer la suite
n n≥1
13. Soit f une application continue entre deux R-espaces vectoriels normés E et F tels
que pour tous x, y dans E on a f (x + y) = f (x) + f (y). Montrer que f est linéaire.
Indication : établir l’égalité f (λx) = λf (x) pour λ successivement dans N, Z, Q
puis R.
14. Soit N1 et N2 deux normes sur un espace vectoriel E telles que l’identité est une
isométrie de (E, N1 ) dans (E, N2 ). Que peut-on dire de N1 et N2 ?
15. (a) Soit A = {(x, y) ∈ R2 : xy = 1}. Montrer que A est fermé, complet,
non compact, non connexe, non connexe par arcs. Trouver les composantes
connexes par arcs de A.
(b) A quoi est égal l’ensemble des parties connexes par arcs de R ?
16. Montrer qu’un polynôme unitaire de degré 3 possède au moins une racine réelle.
17. Soit a < b deux réels et f , g deux applications continues de [a, b] dans R telles que
f (a) ≤ g(a) et f (b) ≥ g(b).
(a) Montrer qu’il existe x ∈ [a, b] tel que f (x) = g(x). Indication : considérer
l’application ϕ définie par ϕ(x) = f (x) − g(x).
(b) Montrer que si f ([a, b]) ⊆ [a, b] alors f admet un point fixe.
(c) Montrer que si [a, b] ⊆ f ([a, b]) alors f admet un point fixe.