3m290 partiel2017

UPMC 2016-2017 Licence L3 - 3M290
Partiel du 6 mars 2017. Dur´ee 2h.
Sans documents ni calculatrice ni portable.
Notations :
Nd´esigne l’ensemble des entiers naturels.
L’ensemble Ω est muni d’une tribu Fet d’une probabilit´e P.
v.a. signifie variable al´eatoire.
E(U) d´esigne l’esp´erance de la v.a. U.
1Aest la fonction indicatrice de l’ensemble A.
Questions de Cours.
1) Donner la d´efinition de la fonction g´en´eratrice d’une v.a. X: Ω →N.
2) On consid`ere une v.a. X: Ω →R. Donner la d´efinition de la loi de X.
3) Si Xet Ysont des v.a. `a valeurs dans N, quand dit-on qu’elles sont
ind´ependantes ?
Exercice 1. On consid`ere deux v.a. ind´ependantes not´ees Xet . On suppose
que Xest de loi N(0,1) et est une v.a. de Bernoulli qui v´erifie P(= 1) =
P(=−1) = 1
2. On d´efinit Y=X (autrement dit Y(ω) = (ω)X(ω) pour
tout ω∈Ω).
1) Montrer que {Y≤x}={X≤xet = 1} ∪ {X≥ −xet =−1}pour
tout xr´eel.
2) En utilisant la densit´e de Xmontrer que P(X≥ −x) = P(X≤x).
3) D´eduire des questions 1) et 2) la fonction de r´epartition de Ypuis sa loi.
4) Dans cette question on souhaite utiliser la formule de transfert pour iden-
tifier la loi de Y.
a) Montrer que g(Y) = g(X)1{=1}+g(−X)1{=−1}pour toute fonction g
bor´elienne born´ee.
b) En utilisant la densit´e de Xmontrer que E(g(−X)) = E(g(X)).
c) Identifier la loi de Y.
Exercice 2. Soit A=N∗×[0,1
2[ et λun r´eel strictement positif.
1) On suppose que Xet Ysont deux v.a ind´ependantes, que Xsuit la loi de
Poisson de param`etre λet Yla loi uniforme sur [0,1].
1

a) Exprimer l’´ev´enement {ω∈Ω; (X(ω), Y (ω)) ∈A}comme l’intersection
de deux ´ev´enements portant s´epar´ement sur Xet sur Y.
b) Calculer P((X, Y )∈A) puis P((X, Y )/∈A).
2) (Xk) et (Yk) d´esignent deux suites ind´ependantes de v.a. ind´ependantes.
Pour tout k≥1, Xksuit la loi de Poisson de param`etre λet Yksuit la loi
uniforme sur [0,1]. Soit Td´efini pour ω∈Ω par
T(ω) = inf{k≥1; (Xk(ω), Yk(ω)) ∈A},
si ωest tel que cet ensemble est non vide, sinon on pose T(ω)=+∞. On
admet que Test une v.a. ( `a valeurs dans N∗∪ {+∞}).
a) Calculer P(T= 1) et P(T > 1).
b) Calculer P(T > n) pour tout n≥1.
c) Montrer que P(T= +∞) = 0.
3) D´eterminer la loi de T. Indication : on pourra d´eduire de b) l’expression
de P(T=n) pour tout n≥1.
Exercice 3. Uet Vsont deux v.a. `a valeurs dans Ntelles que P(V≤U)=1
et qui v´erifient P(V=k|U=n) = 1
n+1 pour tout couple d’entiers (k, n) tels
que k≤n. Pour tout entier naturel non d´efinit pn=P(U=n).
1) Les v.a. Uet Vsont-elles ind´ependantes ?
2) D´eterminer la loi de la v.a. Ven fonction des pn.
3) a) Pour i∈N, ´ecrire {U−V=i}sous la forme d’une union d´enombrable
d’´ev´enements portant sur Uet V.
b) En d´eduire que Vet U−Vont mˆeme loi.
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