Exercice 1 Calcul de sommes trigonométriques Exercice 2

Les nombres complexes
Pour aller plus loin
Exercice 1 Calcul de sommes trigonométriques
Soit θ un nombre réel et n un entier naturel. Dans cet exercice, on se propose de calculer les sommes :
Cn =
n
X
cos (kθ) = 1+cos (θ)+cos (2θ)+· · ·+cos (nθ) et Sn =
k=0
n
X
sin (kθ) = sin (θ)+sin (2θ)+· · ·+sin (nθ).
k=0
L’idée est de considérer le nombre complexe Cn + iSn et de déterminer sa forme trigonométrique pour
ensuite identifier Cn et Sn avec sa partie réelle et sa partie imaginaire. On rappelle que eiθ = cos θ+i sin θ.
1) Exprimer eniθ en fonction de eiθ puis montrer que
Cn + iSn =
n
X
ekiθ = 1 + eiθ + e2iθ + · · · + eniθ .
k=0
2) Dans le cas où θ = 2kπ, avec k ∈ Z, montrer que Cn = n + 1 et Sn = 0.
3) On suppose à présent que θ 6= 2kπ.
n
X
1 − e(n+1)θ
.
a. Montrer que
ekiθ =
1 − eiθ
k=0
b. En mettant ei
(n+1)θ
2
θ
en facteur au numérateur et ei 2 au dénominateur, montrer que
nθ sin (n+1)θ
2
.
Cn + iSn = ei 2
sin θ2
c. En déduire les expressions de Cn et Sn .
Exercice 2 Equations du second degré à coefficients complexes
Le but de cet exercice est de généraliser la méthode vue en cours pour les équations du second degré à
coefficients réels.
A./ Dans cette partie, nous allons montrer que tout nombre complexe non nul possède deux racines
carrées.
1) Soit X + iY , avec X, Y ∈ R, un nombre complexe non nul. Quel est le module de X + iY ?

2) Montrer que (x + iy)2 = X + iY si et seulement si  x2 − y 2 = X
.
2xy = Y
√
 2
x + y2 =
X2 + Y 2
3) En déduire qu’il existe deux couples (x1 , y2 ) et (x2 , y2 ) ∈ R2 tels que
(x1 + iy1 )2 = (x2 + iy2 )2 = X + iY.
Les nombres x1 + iy1 et x2 + iy2 sont appelés les racines carrées de X + iY .
4) Application : Calculer les racines carrées des complexes suivants : 5 + 12i et − 24 + 10i.
B./ Dans cette partie, nous allons déterminer les solutions d’une équation du second degré à coefficients
complexes. On note (E) l’équation az 2 + bz + c = 0, où a, b, c ∈ C et a 6= 0. Par factorisation, on
obtient
"
#
2
b
b2 − 4ac
(E) ⇔ a z +
−
= 0.
2a
4a2
Le nombre ∆ := b2 − 4ac, toujours appelé discriminant de l’équation, est un nombre complexe,
donc d’après la partie A, il existe deux nombres complexes δ et −δ tels que δ 2 = (−δ)2 = ∆.
1) Continuer la factorisation de az 2 + bz + c à l’aide de δ.
2) En déduire que les solutions de (E) sont données par
z1 =
−b + δ
−b − δ
et z2 =
.
2a
2a
3) Application : Résoudre dans C les équations suivantes :
i) z 2 + (1 + 4i)z − 5 − i = 0,
ii) 2iz 2 + (3 + 7i)z + (4 + 2i) = 0,
iii) z 2 + (1 + 8i)z − 17 + i = 0.