Branchesinfinies

Etude de branches infinies.
1 D´emarche
´
Etant donn´ee une fonction f:R−→ R, l’´etude de ses branches infinies a pour objectif de
comprendre en d´etails le comportement de f(x) quand xtend vers +∞ou −∞.
La premi`ere chose `a faire est donc de calculer lim
x→+∞
f(x). On peut alors donner une premi`ere
interpr´etation des diff´erents r´esultats que l’on peut obtenir pour ce calcul. On distingue prin-
cipalement deux types de r´esultats possibles.
(Remarque : ici, on travaillera autour de +∞, mais l’on pourrait faire exactement la mˆeme
chose autour de −∞).
Premier cas. Cette limite est finie : lim
x→+∞
f(x) = `∈R.
On conclue alors que la courbe admet une asymptote horizontale d’´equation y=`en +∞
et l’´etude est termin´ee.
Exemples :
f(x) = 1
x, g(x) = xe−x, h(x) = 2x2+ 1 x2+ 3
Second cas. Cette limite est infinie : lim
x→+∞
f(x) = +∞.
La fonction fn’admet alors pas d’asymptote horizontale en +∞et l’on doit poursuivre
l’´etude pour ´etudier de plus pr`es le comportement de f(x) autour de +∞. Intuitivement, le
calcul de lim
x→+∞
f(x) nous dit dans ce cas l`a que f(x) grandit quand xgrandit. Les questions qui
se pose `a ce moment l`a sont : “`a quelle vitesse grandit f(x) ? Grandit-elle plus vite ou moins
vite que x?”
L`a encore, un calcul de limite va pouvoir nous aider `a r´epondre : pour comparer la croissance
de f(x) et celle de x, on calcule lim
x→+∞
f(x)
x.
Le comportement de la fonction fautour de +∞d´ependra alors du type de r´eponse obtenu
mais contrairement `a tout `a l’heure, on distingue ici trois types de r´eponses possibles (et non
plus deux).
– Soit lim
x→+∞
f(x)
x= 0.Dans ce cas, f(x) grandit moins vite que x.
Exemples :
f(x) = ln(x), g(x) = √x, h(x) = x2+ 1
2√x−3.
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On dit que la courbe de fadmet une branche parabolique d’axe (Ox).
– Soit lim
x→+∞
f(x)
x= +∞. Dans ce cas, f(x) grandit plus vite que x.
Exemples :
f(x) = ex, g(x) = x2, h(x) = x4+ 2x3−1
x2+ 4 .
On dit que la courbe de fadmet une branche parabolique d’axe (Oy).
– Soit lim
x→+∞
f(x)
x=a∈R∗. Dans ce cas, la vitesse de croissance de f(x) est comparable
`a celle de ax quand xgrandit. Pour effectuer cette comparaison, on ´etudie une derni`ere
limite : celle de la diff´erence f(x)−ax et on distingue deux cas :
– Soit lim
x→+∞
f(x)−ax =b∈Ret la courbe de fadmet la droite d’´equation y=ax +b
pour asymptote oblique.
Exemples :
f(x) = x3+x+ 1
x2+ 4 , g(x) = x(√x2+ 2x−√x2+ 1), h(x) = x2ln x+ 2 x.
– Soit lim
x→+∞
f(x)−ax =±∞ et la courbe de fadmet une branche parabolique de
direction y=ax.
Exemples :
f(x) = x+√x, g(x) = x2 ln x+ 1
ln x.
********************
R´esum´e :
1. Calcul de lim
x→+∞
f(x).
- Si c’est un r´eel `, asymptote d’´equation y=`.
- Si c’est +∞, passer `a l’´etape 2.
2. Si le r´esultat pr´ec´edent est +∞, calcul de lim
x→+∞
f(x)
x.
- Si c’est 0 ou +∞, pas d’asymptote mais une branche parabolique.
- Si c’est un r´eel anon nul, passer `a l’´etape 3.
3. Si le r´esultat pr´ec´edent est un nombre non nul a∈R∗, calcul de lim
x→+∞
f(x)−ax.
- Si c’est un r´eel b, la droite d’´equation y=ax +best alors asymptote `a la courbe de f.
- Si c’est +∞, pas d’asymptote mais une branche parabolique d’axe oblique.
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2 Exercices
Exercice 1 ´ Etudier le comportement asymptotique des fonctions suivantes.
g(x) = cos(x)
x, h(x) = √9x4+ 3x3−1 x2+ 1 .
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Exercice 2 ´ Etudier le comportement `a l’infini des fonctions suivantes
f:x7−→ 2x3+x−1
x2+ 1 , g(x) = √x9+ 2x x2−1
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Exercice 3 Soient fet gd´efinies par
f(x) = ln 1 + x
x, g(x) = x+ 2 ln 1 + x x.
1. ´ Etudier le comportement de fautour de +∞. Donner l’´equation de l’´eventuelle asymp-
tote.
2. ` A l’aide de la question pr´ec´edente, ´etudier le comportement de la fonction gen +∞.
3 Complements
En r´ealit´e, l’´etude des branches infinies d’une fonction fpourrait se r´esumer `a la question
suivante :
“Existe-t-il une fonction plus simple que fqui se comporte comme fautour de +∞?”
Pour r´epondre `a cela, on cherche donc une fonction gplus simple telle que
lim
x→+∞
f(x)−g(x)=0.
Dans la premi`ere partie, on se contente de comparer favec des fonctions affines (i.e. des
droites). Mais rien ne nous empeche de comparer f`a des fonctions plus complexes.
Exercice 4 Montrer que les courbes associ´ees aux fonctions f:x7→ px4+ sin(x) et g:x7→ x2
sont asymptotiques.
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Exercice 5 Montrer que les courbes des fonctions suivantes sont asymptotiques.
f(x) = ex+e−x
2, g(x) = ex−e−x 2.
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