Exercice : étude d`une fonction avec une racine

Exercice : ´etude d’une fonction avec une racine page 1 de 2
Exercice : ´etude d’une fonction avec une racine
Soit fla fonction d´efinie sur ] − ∞;−4] ∪[0; +∞[ par f(x) = 1 + x+√x2+ 4x
Etudier cette fonction : d´eriv´ee, sens de variation, limites, asymptotes
1. D´eriv´ee `a droite en 0.
Il est n´ecessaire de distinguer ce cas car la formule (√u)0n’est pas applicable
puisque us’annule (ce qui ne signifie pas forc´ement que fn’est pas d´erivable).
On calcule le taux d’accroissement et sa limite :
t(x) = f(x)−f(0)
x−0=x+√x2+ 4x x.
Losque xtend vers 0, on aboutit `a une forme «0
0», comme il faut toujours s’y
attendre avec un taux d’accroissement.
On met en facteur les z´eros qui posent des probl`emes.
Pour cela : √x2+ 4 = sx21 + 4
x.
Puis «on sort x»de la racine, en utilisant les propri´et´es :
Pour aet bpositifs, √ab =√a√b
√x2=|x|
Donc, pour x > 0, √x2+ 4 = xr1 + 4
x
Donc t(x) = 1 + r1 + 4
x. Donc lim
x→0
x>0
t(x)=+∞.
Ce n’est pas un r´eel, donc fn’est pas d´erivable `a droite en 0 .
2. D´eriv´ee `a gauche en −4.
On calcule le taux d’accroissement et sa limite :
t(x) = f(x)−f(−4)
x−(−4) =x+4+√x2+ 4x x+ 4 .
Losque xtend vers −4, on aboutit `a une forme «0
0», comme il faut toujours s’y
attendre avec un taux d’accroissement.
On met en facteur les z´eros qui posent des probl`emes. Ici il s’agit de x+ 4.
Pour cela : √x2+ 4x=p(x+ 4)x
Puis on isole x+ 4, en utilisant la propri´et´e :
Pour aet bn´egatifs, √ab =√−a√−b
Donc, pour x < −4, √x2+ 4 = √−x−4√−x
On simplifie ensuite en appliquant la propri´et´e :
Pour a < 0, √−a
a=−1
√−a
Donc t(x)=1−√−x
√−x−4. Donc lim
x→−4
x<−4
t(x) = −∞.
Ce n’est pas un r´eel, donc fn’est pas d´erivable `a gauche en −4 .
3. D´eriv´ee sur ]− ∞;−4[∪]0; +∞[
f0(x) = 1 + 2x+ 4
2√x2+ 4x(car (√u)0=u0
2√u)
f0(x) = √x2+ 4x+x+ 2
√x2+ 4x(pour l’´etude du signe, il vaut mieux rassembler).
4. Sens de variation
La d´eriv´ee est du signe du num´erateur. Quand a-t-on √x2+ 4x+x+ 2 >0 ?
C’est-`a-dire : quand a-t-on √x2+ 4x > −x−2 ?
Pour r´esoudre √a > b, on raisonne en deux cas :
– Si b < 0, la relation est forc´ement vraie : √a>0> b
– Si b>0, la relation est ´equivalente `a celle qu’on obtient en ´elevant au carr´e (car
les deux membres sont positifs) : a>b2
Donc ici :
– Si x > −2, alors −x−2<0.
La relation est forc´ement vraie, donc f0(x)>0.
– Si x < −2, alors −x−2>0.
La relation est ´equivalente `a : x2+ 4x > (−x−2)2, soit x2+ 4x>x2+ 4x+ 4,
ce qui est toujours faux. Donc f0(x)<0.
Conclusion :
fest d´ecroissante sur ] − ∞;−4[ et croissante sur ]0; +∞[

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5. Limite en +∞
lim
x→+∞1 + x+px2+ 4x= +∞(pas d’ind´etermination)
6. Limite en −∞
On aboutit `a une forme ind´etermin´ee «−∞ +∞»
On utilise la forme conjugu´ee :
f(x) = (x+ 1)2−(x2+ 4x)
x+ 4 −√x2+ 4x=−2x+ 4 x+ 4 −√x2+ 4x.
On aboutit `a une forme ind´etermin´ee «+∞
−∞ ».
On met les termes dominants en facteur, puis on simplifie par x:
f(x) = ··· =−2 + 4
x
1 + 4
x+q1 + 4 x
Pour simplifier, on a utilis´e : Pour x < 0, √x2=−x
La nouvelle forme n’est plus ind´etermin´ee, et on trouve lim
x→−∞
f(x) = −1
7. Asymptote en +∞: d´emonter que la droite d’´equation y= 2x+ 3 est asymptote
f(x)−(2x+ 3) = −x−2 + √x2+ 4x
On aboutit `a une forme ind´etermin´ee «−∞ +∞»
On utilise la forme conjugu´ee :
f(x)−(2x+ 3) = ··· =4
−x−2−√x2+ 4x.
Ce n’est plus une forme ind´etermin´ee, et la limite est bien 0 (forme «4
−∞ »).
Donc la droite d’´equation y= 2x+ 3 est asymptote en +∞.
8. Asymptote en −∞
Puisque la limite est −1, il y a une asymptote d’´equation y=−1 en −∞
•1
•
−4
−1
O
y= 2x+ 3
Remarque : les tangentes en −4 et 0 sont verticales (x=−4 et x= 0), ce qui correspond
aux limites infinies trouv´ees pour les taux d’accroissement (mais attention, il n’y a pas
d’asymptotes, fest bien d´efinie en ces points).