resume etude de fonction

Prof : Mr Khammour.K
I.
II.
Résumé de cours :Etude de fonction
4èmeAnnée
Janvier 2015
Théorème des valeurs intermédiaires :
1) L’image d’un intervalle par une fonction continue et monotone est un intervalle de même nature.
2) Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et a , b deux réels de I, pour
tout réel k compris entre f(a) et f(b) , l’équation f (x) = k admet une unique solution dans [a,b].
Particulièrement si f(a).f(b)<0 alors l’équation f (x) = 0 admet une unique solution dans [a,b] .
Fonctions composée :
1) Pour que gof soit définie il faut que x  Df et f ( x)  Dg .
2) Si lim f  b et lim g  c alors lim gof  c .
a
b
a
3) Si f est continue en a et g continue en f(a) alors gof est continue en a.
f est continue sur I
4) Si g est continue sur J alors gof est continue sur I.
f I   J
{
f une fonction dérivable sur I
g est dérivable sur J
5) Si {
f I   J
III.
Axe de symétrie :
1)  : x  a
est un axe de symétrie de  ssi {
2) f est paire ssi {
IV.
alors gof est dérivable sur I.
x  Df ;   x   Df
f  x  f  x
.
f  2a  x   f  x 
, on étudie f sur Df IR  et (yy') un axe de symétrie.
Centre de symétrie :
1) I  a, b est un centre de symétrie de  ssi {
2) f est impaire ssi {
V.
x  Df ;  2a  x   Df
x  Df ;   x   Df
f   x   f  x 
x  Df ;  2a  x   Df
f  2a  x  + f  x   2b
.
, on étudie f sur Df IR  et O(0,0) un centre de symétrie.
Fonction périodique :
1) f est périodique de période T ssi {
x  Df ;  x  T   Df
f  x  T   f  x
.
2) Si f est périodique de période T il suffit d’étudier f sur [a,a+T]∩Df.
3) On étudie  par des translations de vecteurs kT i ( ou k entier relatif) de la courbe de la restriction
VI.
de f à [a,a+T]∩Df.
Point d’inflexion :
1) Soit f une fonction deux fois dérivable sur I, Si f ‘ s’annule en a en changeant de signe alors le
point A(a,f(a)) est un point d’inflexion de la courbe de f.
2) Graphiquement la courbe de f traverse la tangente au point A.
VII.
Asymptotes verticales et horizontales :
Si limf  x    alors la droite :x=a est une asymptote verticale à  .
x a
Si lim f  x   b alors la droite :y = b est une asymptote horizontale à  .
x 
VIII.
IX.
Asymptote oblique :
 : y  ax  b asymptote oblique à  ssi lim f  x    et lim f  x   (ax  b   0
x 
x 
Branches infinies :
lim f  x   
x 
lim

f  x
x 
x



0

 admet une branche
 admet une branche
parabolique de direction parabolique de direction
(yy’)
(xx’)
a

lim f  x   ax 
x 

b
 admet une branche y= ax +b est une
asymptote à 
parabolique de
direction y= ax
au voisinage de

X.
Divers :
1) Pour étudier la position relative de la courbe C de f et la droite  : y  ax  b , il faut étudier le signe
de f (x) – (ax+b).
a) Si f  x   (ax  b)  0 alor C f est au dessous de .
b) f  x   (ax  b)  0 alor C f est au dessus de .
2) a) Pour déterminer les points d’intersection de Cf et (xx’) on résout l’équation f(x) = 0.
b) Pour déterminer les points d’intersection de Cf et (yy’) on résout l’équation f(0) = y.