Lois usuelles du programme

I. Variables aléatoires réelles continues
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1. Lois continues
a. Conditions à satisfaire(simultanément) pour justifier qu’une variable
aléatoire réelle X admet une densité f
 f admet un nombre fini de points de discontinuité.
 f
0
 dxxf )(
=1
b. Opérateurs usuels
Une variable aléatoire se définit à l’aide de 2 paramètres : son espérance mathématique ou
moyenne et sa variance (ou carré de l’écart type).
Soit E(X) l’espérance mathématique : E(X)=
 dxxxf )(
= m
Plus généralement, le moment non centré d’ordre r est E(Xi)=
 dxxfxi)(
Soit V(X) la variance : V(X) =
 dxxfmx )()( 2
Dans la pratique pour calculer la variance, on utilise la formule de Huyghens (même
démonstration en remplaçant par ):
V(X)=
 dxxfmx )()( 2
=
  dxxfxmxx)()2( 22
=
 dxxfx )(
2
-2m
 dxxxf )(
+m2
 dxxf )(
=E(X2)-2mE(X)+m2.1
Or m=E(X) donc mE(X)=E(X)2=m2. Dès lors : V(X)= E(X2)-2m2.+ m2.1= E(X2)- m2
Conclusion : V(X) = E(X2)-[E(X)]2

c. Fonction de répartition
Soit F la fonction de répartition associée à la densité f.
F(x)= P[X<x]=
xdttf )(
Propriétés :
 F’(x)=f(x). Or f est par hypthèse positive donc F est toujours croissante ;
 lim F(x) quand x tend vers - =
 dttf )(
=0 ;
 lim F(x) quand x tend vers + =
 dttf )(
=1 car f est une densité de probabilité.

2. Lois usuelles du programme
Remarque liminaire importante
Pour les 3 lois qui vont être traitées ci-après, on résoudra les questions suivantes dont les
résultats, parce qu’il s’agit de lois du programme, peuvent être admis :
1°) Montrer que f est bien une densité de probabilité
2°) Exprimer et étudier la fonction de répartition
3°) Etudier la fonction densité
4°) Calculer E(X)
5°) Calculer V(X)
La connaissance de ces démonstrations demeure toutefois essentielle car les problèmes de
concours consiter en leur redémonstration ou aborder des démonstrations voisines.
a. Loi uniforme continue
Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle
ba;
, a et b étant des
nombres réels postifs. On note X U(
ba;
). Sa densité est alors la suivante :
0)(
1
)(
0)(
xfbx ab
xfbxa
xfax
1°) Montrons que f est bien une densité
 f est continue sauf en a et b : elle admet donc un nombre fini de points de discontinuité
(ce nombre est égal à 2) ;
 a et b sont des réels positifs et b a donc f(x) 0,
x
;
 dxxf )(
=
adxxf )(
+
b
adxxf )(
+
bdxxf )(
=0+
b
adx
ab 1
+0
=
ab 
1
b
adx
=
ab 
1
b
a
x
=
ab 
1
(b-a) = 1
Graphiquement on a (f en bleu) :
1/(b-a)
a
b

2°) Exprimons F :
ab ax
t
ab
dt
ab
dt
ab
dttfdttfdttfxFbx
dttfdttfxFbxa
dttfxFax
x
a
x
a
x
a
x
b
b
a
a
x
a
a
x
 111
(**)1010)()()()(
0)()()(
(*)0)()(
(*) car si x<a alors f(x) =0 donc
xdttf )(
aussi
(**) car si x>b alors f(x) =0 donc
x
bdttf )(
aussi.
F est croissante. Sur l’intervalle [a ;b], F(x)=
ab ax
qui est une fonction affine (représentée par
une droite. On a donc le graphique suivant (F en rouge) :
3°) La courbe de la densité a été tracée dans le cadre du 1°)
4°) et 5°) Calculons E(Xi)=
 dxxfxi)(
Si x<a alors f(x)=0.
De même si x>b alors f(x)=0.
Si a
x
b
alors f(x)=
ab 
1
Il convient donc de décomposer E(Xi)=
 dxxfxi)(
=
aidxxfx )(
+
b
a
idxxfx )(
+
b
idxxfx )(
= 0+
b
a
idxxfx )(
+0
donc E(Xi)=
b
a
idx
ab
x1
=
ab 
1
b
a
idxx
=
ab 
1
b
a
i
ix 1
1
Donc E(Xi)=
ab 
1
(
1
11
iab ii
)
a
b
1

Ainsi pour i=1 : E(X)=
ab 
1
2
22 ab 
=
ab 
1
2))((abab 
.
Conclusion : E(X) =
2ba 
Pour i=2 : E(X2)=
ab 
1
2
33 ab 