Lois usuelles du programme

I. Variables aléatoires réelles continues
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1. Lois continues
a. Conditions à satisfaire(simultanément) pour justifier qu’une variable
aléatoire réelle X admet une densité f


f admet un nombre fini de points de discontinuité.
f 0




f ( x)dx =1
b. Opérateurs usuels
Une variable aléatoire se définit à l’aide de 2 paramètres : son espérance mathématique ou
moyenne et sa variance (ou carré de l’écart type).
Soit E(X) l’espérance mathématique : E(X)=



xf ( x)dx = m
Plus généralement, le moment non centré d’ordre r est E(Xi)=
Soit V(X) la variance : V(X) =






x i f ( x)dx
( x  m) 2 f ( x)dx
Dans la pratique pour calculer la variance, on utilise la formule de Huyghens (même
démonstration en remplaçant  par  ):
V(X)=
=







( x  m) 2 f ( x)dx =  ( x 2  2mx  x 2 ) f ( x)dx





x f ( x)dx -2m  xf ( x)dx +m2  f ( x)dx =E(X2)-2mE(X)+m2.1
2
Or m=E(X) donc mE(X)=E(X)2=m2. Dès lors : V(X)= E(X2)-2m2.+ m2.1= E(X2)- m2
Conclusion : V(X) = E(X2)-[E(X)]2
c. Fonction de répartition
Soit F la fonction de répartition associée à la densité f.
F(x)= P[X<x]=

x

f (t )dt
Propriétés :

F’(x)=f(x). Or f est par hypthèse positive donc F est toujours croissante ;

lim F(x) quand x tend vers -  = 

lim F(x) quand x tend vers +  =  f (t )dt =1 car f est une densité de probabilité.




f (t )dt =0 ;
2. Lois usuelles du programme
Remarque liminaire importante
Pour les 3 lois qui vont être traitées ci-après, on résoudra les questions suivantes dont les
résultats, parce qu’il s’agit de lois du programme, peuvent être admis :
1°) Montrer que f est bien une densité de probabilité
2°) Exprimer et étudier la fonction de répartition
3°) Etudier la fonction densité
4°) Calculer E(X)
5°) Calculer V(X)
La connaissance de ces démonstrations demeure toutefois essentielle car les problèmes de
concours consiter en leur redémonstration ou aborder des démonstrations voisines.
a. Loi uniforme continue
Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle a; b , a et b étant des
nombres réels postifs. On note X  U( a; b). Sa densité est alors la suivante :
 x  a  f ( x)  0

1

a  x  b  f ( x ) 
ba

x

b

f
(
x
)

0

1°) Montrons que f est bien une densité



f est continue sauf en a et b : elle admet donc un nombre fini de points de discontinuité
(ce nombre est égal à 2) ;
a et b sont des réels positifs et b  a donc f(x)  0, x   ;
b


a
b
1
 f ( x)dx =  f ( x)dx + a f ( x)dx + b f ( x)dx =0+ a b  a dx +0
=
1
ba

b
a
dx =
1
x ba = 1 (b-a) = 1
ba
ba
Graphiquement on a (f en bleu) :
1/(b-a)
a
b
2°) Exprimons F :
 x  a  F ( x)  x f (t )dt 0(*)


a
x
x

1
1 x
1
xa
x
a  x  b  F ( x)   f (t )dt  a f (t )dt  0 
a b  a dt  b  a a dt  b  a t a  b  a

a
b
x
 x  b  F ( x) 
f
(
t
)
dt

f
(
t
)
dt


a
b f (t )dt  0 1  0  1(**)

(*) car si x<a alors f(x) =0 donc

(**) car si x>b alors f(x) =0 donc
x

x

b
f (t )dt aussi
f (t )dt aussi.
xa
qui est une fonction affine (représentée par
ba
une droite. On a donc le graphique suivant (F en rouge) :
F est croissante. Sur l’intervalle [a ;b], F(x)=
1
a
b
3°) La courbe de la densité a été tracée dans le cadre du 1°)
4°) et 5°) Calculons E(Xi)=



x i f ( x)dx
Si x<a alors f(x)=0.
De même si x>b alors f(x)=0.
1
Si a  x  b alors f(x)=
ba
Il convient donc de décomposer E(Xi)=
=

a

b




x i f ( x)dx
b
x f ( x)dx +  x f ( x)dx +  x f ( x)dx = 0+  x i f ( x)dx +0
i
a
b
i
b
1
1
x
dx =
ba
ba
donc E(X )=

Donc E(Xi)=
1
b i 1  a i 1
(
)
ba
i 1
i
a
i
i
a

b
a
1
x dx =
ba
i
b
 x i 1 


 i  1 a
Ainsi pour i=1 : E(X)=
Pour i=2 : E(X2)=
1 b2  a2
1 (b  a )(b  a )
=
.
ba
ba
2
2
ab
Conclusion : E(X) =
2
1 b3  a3
ba
2
b. Loi exponentielle
Si X suit une loi exponentielle de paramètre  positif alors, si f est sa densité, on a :
E(  )  
X
x  0  f ( x)  0
x
 x  0  f ( x)  e
1°) Montrons que f est bien une densité

f est continue sauf en 0 donc un admet un nombre fini (égal à 1) de points de
discontinuité
f est positive car  est positif et qu’une exponentielle est toujours positive





0


0
f ( x)dx =  f ( x)dx + 

f ( x)dx =0+  e x dx = 
0


0
e x dx
Or (cf. : chapitre Intégrales – 3. Suites d’intégrales classiques), on sait que :

n!
In =  x n e  ax dx (où a   *+) = n 1
0
a

0! 
Ici : n=0 et a=  donc   e x dx =  0 1 = =1
0


2°) F(x)=

x

f (t )dt
Si x<0 alors : F(x)=

x

f (t )dt = 0 car si x<0 alors f(x) =0 donc

x

f (t )dt aussi
x
Si x  0 alors : F(X)=

0

x
x
0
0
f (t )dt +  f (t )dt =0+  e
NB : lim F(x) quand x tend vers +  =
1

t
0
 e  t   e  t 
1  e  x
=
=
dt = 
 


   0    x
donc la courbe de F (fonction croissante cf. :
propriétés des fonctions de répartition) admet une asymptote horizontale d’équation y=
1

3°) Etude de f(x)
Si x<0 alors f(x)=0
Si x  0 alors f(x)= e  x donc f’x)=-  2 e  x <0 car  2 >0 et e  x . Dès lors si x  0 alors f est
décroissante.
NB : lim f(x) quand x tend vers +  =0 donc la courbe de f admet une asymptote horizontale
d’équation y= 0 (qui correspond à l’axe des abscisses).
4°) et 5°) Calculons E(Xi)=

=0+  x e
0
i
x
dx = 


0
i

xe


x
x i f ( x)dx =
dx .

0


x i f ( x)dx +  x i f ( x)dx
0

D’après la formule In =

0
x n e  ax dx (où a   *+) =
n=i et a=  , alors : E(Xi)= 
Dès lors, pour i=1 : E(X)=
Et pour i=2 : E(X2)=
Conclusion : V(X) =
2!

2
=
i!

i 1
=
i!
i
1

2

2
. Ainsi : V(X)= E(X2)-[E(X)]2=
1
2
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n!
,en posant :
a n 1
2

2
-
1
2
.