EXERCICES AVEC SOLUTION STATIQUE

1
CA 354=CB 5,288=
CA 3390=CB 3234=
EXERCICES AVEC SOLUTIONS (STATIQUE)
Exercice 01 :
Déterminer les tensions des câbles dans les figures suivantes :
400N
40
°
20
°
B
C
A
A
10°
70°
B
C
60Kg
figure: 1 figure : 2
Solution :
Figure 1 :
20
°
40° →
CB
T
→
CA
T
→
P
40°
20°
B
C
A
x
y
Au point C nous avons :
→→→→ =++ 0PTT
CB CA
La projection sur les axes donne :
020cos40cos =°+°− CBCA TT
020sin40sin =−°+° PTT CBCA
d’où : T . T N N
Figure 2 :
Au point C nous avons :
→
CB
T
A
10°
70°
B
C
P
→
CA
T
x
y
→→→→ =++ 0PTT
CB CA
La projection sur les axes donne :
010cos70sin =°+°− CBCA TT
010sin70cos =−°−° PTT CBCA
d’où : T ; T N N

2
Exercice 02 :
Une barre homogène pesant 80 N est liée par une articulation cylindrique en son extrémité A
à un mur. Elle est retenue sous un angle de 60° avec la verticale par un câble inextensible de
masse négligeable à l’autre extrémité B. Le câble fait un angle de 30° avec la barre.
Déterminer la tension dans le câble et la réaction au point A.
→
T
→
A
R
D
B
A
30°
60°
C
x
y
→
P
B
A
30°
60°
C
Solution :
Le système est en équilibre statique dans le plan (xoy), nous avons alors :
∑→→ =
ii
F0 (1) ⇔→→→→ =++ 0PTR
A
∑→→− =
i
Ai
M0
/ (2) ⇔→→→−→→− =∧+∧ 0PADTAB
⎩
⎨
⎧
°
°
→−
30sin
30cos
L
L
AB ; ; ; T
⎩
⎨
⎧
°
°
→−
30sin)2/(
30cos)2/(
L
L
AD ⎩
⎨
⎧
−
→
P
P0
⎩
⎨
⎧
°
°−
→
60sin
60cos
T
T
L’équation (1) projetée sur les axes donne : 060cos
=
°
−
TRAx (3)
060sin
=
−
°
+
PTRAy (4)
L’équation (2) s’écrira :
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
°
°
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
°
°−
∧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
°
°
0
00
30sin)2/(
30cos)2/(
60sin
60cos
30sin
30cos
PL
L
T
T
L
L
030cos
2
30sin60cos60sin30cos =°−°°+°° PL LTsLT (5)

3
(5) ⇒N
P
T 64,3430cos
2=°=
(3) ⇒NTRAX 32,1760cos =°=
(4) ⇒NTPRAy 3060sin =°−=
d’où NRRR AYAxA 64.34
22 =+= et l’angle que fait la réaction avec l’axe ox est donné par :
5,0cos ==
A
Ax
R
R
θ
⇒°= 60
θ
Exercice 03 :
On maintient une poutre en équilibre statique à l’aide d’une charge P suspendue à un câble
inextensible de masse négligeable, passant par une poulie comme indiqué sur la figure. La
poutre a une longueur de 8m et une masse de 50 Kg et fait un angle de 45° avec l’horizontale
et 30° avec le câble.
Déterminer la tension dans le câble ainsi que la grandeur de la réaction en A ainsi que sa
direction par rapport à l’horizontale.
y
x
→
A
R
→
P
→
T
G
50Kg
A
B
30°
45°
50Kg
A
B
30°
45°
Solution :
Toutes les forces agissant sur la poutre sont dans le plan (xoy) . Le système est en équilibre
statique d’où
∑→→ =
ii
F0 (1) ⇔→→→→ =++ 0PTR
A
∑→→− =
i
Ai
M0
/ (2) ⇔→→→−→→− =∧+∧ 0PAGTAB

4
Nous avons T = P , et ⎩
⎨
⎧
→−
24
24
AB ; ⎩
⎨
⎧
→−
22
22
AG ; ; T ;
⎩
⎨
⎧
−
→
P
P0
⎩
⎨
⎧
°−
°−
→
15sin
15cos
T
T
⎩
⎨
⎧
→
Ay
Ax
AR
R
R
L’équation (1) projetée sur les axes donne : 015cos
=
°
−
TRAx (3)
015sin
=
−
°
−
PTRAy (4)
L’équation (2) s’écrira : ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
°−
°−
∧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
0
00
22
22
15sin
15cos
24
24 PT
T
02215cos2415sin24 =−°+°− PTT (5)
)15sin15(cos24
22
°−°
=P T ⇒ T N55,353
=
(3) et (4) ⇒ ⇒NRAx 50,341=NRAy 50,591
=
d’où NRRR AYAxA 683
22 =+= et l’angle que fait la réaction avec l’axe ox est donné par :
577,0cos ==
A
Ax
R
R
θ
⇒°= 76,54
θ
Exercice 04 :
La barre AB=L est liée en A par une articulation cylindrique et à son extrémité B, elle repose
sur un appui rouleau. Une force de 200 N agit en son milieu sous un angle de 45° dans le plan
vertical. La barre a un poids de 50 N.
Déterminer les réactions aux extrémités A et B.
G 45°
→
F
A
B
→
A
R→
B
R
x
x
→
P
A
B
Solution :
Toutes les forces agissant sur la poutre sont situées dans le plan (xoy) . Le système est en
équilibre statique, nous avons alors :

5
∑→→ =
ii
F0 (1) ⇔→→→→→ =+++ 0PFRR B
A
∑→→− =
i
Ai
M0
/ (2) ⇔→→→−→→−→→− =∧+∧+∧ 0PAGFAGRAB B
La projection de l’équation (1) sur les axes donne :
045cos =°− FRAx (3)
045sin =−°−+ PFRR BAy (4)
En développant l’équation (2) on aboutit à :
0
0
0
2/
45sin
45cos
0
2/
0
0=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
°−
°−
∧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
P
L
F
FL
R
L
B
0
2
45cos
2=−°− P
L
F
L
LRB ⇔0
24 2=−− PF
RB (5)
(5) ⇒N RB71,95=
(3) ⇒N RAx 42,141=
(4) ; d’où ⇒N RAy 71,95=NRRR AyAxA 76,170
22 =+=
Exercice 05 :
Une échelle de longueur 20 m pesant 400 N est appuyée contre un mur parfaitement lisse en
un point situé à 16 m du sol. Son centre de gravité est situé à 1/3 de sa longueur à partir du
bas. Un homme pesant 700 N grimpe jusqu’au milieu de l’échelle et s’arrête. On suppose que
le sol est rugueux et que le système reste en équilibre statique.
Déterminer les réactions aux points de contact de l’échelle avec le mur et le sol.
G →
B
R
C
y
→
P
→
Q
→
A
R
A
B
O x
A
B