aide mémoire régime périodique

R. Martinez
AIDE-MEMOIRE REGIME PERIODIQUE
Grandeur périodique : Une grandeur périodique est une grandeur qui se répète identiquement à elle même et
régulièrement dans le temps.
Période : durée constante notée T, exprimée en seconde (s) qui sépare deux instants consécutifs où la grandeur se
reproduit identiquement à elle même.
A l’oscilloscope : T = base de temps × nbre de divisions.
Fréquence : la fréquence f d’une grandeur périodique, exprimée en Hertz (Hz) est le nombre de périodes par
secondes.
Mathématiquement : f =
T
1
Valeur moyenne d’une grandeur périodique :
La valeur moyenne d’une grandeur périodique ( notée U , < u >, ou Umoy ) se détermine grâce à la formule :
Expérimentalement, la valeur moyenne se mesure avec un multimètre numérique en position DC
Valeur efficace d’une grandeur périodique :
La valeur efficace d’une grandeur périodique se détermine grâce à la formule :
« racine carrée de la valeur moyenne du carré de la tension »
Ex. :
signal sinusoïdal :
signal rectangulaire : ou
signal triangle :
Expérimentalement, la valeur moyenne se mesure avec un multimètre numérique TRMS (true root mean square)
en position (AC + DC)
Propriété d’un signal périodique :
Une tension non alternative périodique u est une la somme d’une composante alternative u
a
et d’une composante
continue U :
On note : U
eff
la valeur efficace du signal non alternatif périodique
U
a
la valeur efficace de la composante alternative
U
moy
la valeur de la composante continue
Il existe une relation entre ces grandeurs :
[
]
Aire représente l’aire algébrique comprise entre la
courbe et l ‘axe des temps sur un intervalle d’une période.
T : période en secondes (s)
<u> =
[
]
T
Aire
=
∫
+Ta
a
dttu
T)(
1
U
eff
= ><
2
u =
∫
+Ta
a
dttu
T)(
12
U
eff
=
2
max
U
U
eff
= U
max
U
eff
=
3
max
U
Ueff =
22 amoy
UU +

R. Martinez
Grandeur alternative :
Une grandeur alternative est une grandeur périodique de valeur moyenne nulle.
Décomposition d’un signal périodique :
Toute grandeur périodique de fréquence f peut se décomposer en la somme :
- d’un terme constant égal à la valeur moyenne du signal
- d’une composante sinusoïdale de fréquence f appelée le fondamental (ou harmonique de rang 1)
- de composantes sinusoïdales de fréquences multiples de f ( 2f, 3f, 4f, …, nf ) appelées harmoniques de
rang 2, 3, 4, …., n
u(t) =<u> + U
1max
sin(2π.f.t + φ
1
) + U
2max
sin(2π.2f.t + φ
2
) + U
3max
sin(2π.3f.t + φ
3
)+ U
4max
sin(2π.4f.t + φ
4
)+…
Représentation temporelle d’un signal périodique
La représentation temporelle est la représentation couramment utilisée, c’est celle de l’oscilloscope.
Elle nous renseigne sur la forme du signal, son amplitude, sa fréquence.
Ex. : créneaux de rapport cyclique variable de fréquence f = 1 kHz
Rem. : Cette représentation ne nous renseigne pas sur la composition fréquentielle du signal.
Représentation fréquentielle (ou spectre d’amplitude d’un signal périodique)
Elle est donnée par un analyseur de spectre et certains oscilloscopes.
Elle nous renseigne sur la composition du signal.
Ex. : créneaux de rapport cyclique variable de fréquence f = 1 kHz
Rem. : Cette représentation ne nous renseigne pas sur la forme du signal.
Taux de distorsion harmonique : il sert à chiffrer la déformation d’un signal qui devrait être sinusoïdal
Compris entre 0 et l’infini, c’est le rapport de la valeur efficace du signal privé de sa composante continue et de
son fondamental sur la valeur efficace du fondamental :
Rem. : on définit aussi le taux de distorsion de l’harmonique n par
:
1
t (ms)
0
u(t)
1f (kHz)
0
U
n
(V)
Valeur
moyenne fondamental
harmoniques
La valeur efficace peut se calculer à partir de la
valeur moy. et des valeurs efficaces des
harmoniques :
U
eff
2
=
∑
∞
=
+>< 1
2
2
nnEff
Uu
= U
moy2
+ U
1 2
+ U
2 2
+ U
3 2
+ U
4 2
+ …
d =
Eff
nnEff
U
U
1
2
2
∑
∞
=
=
Eff
nEffEffEff
U
UUU
1
22
3
2
2
........ ++++
d
n
=
Eff
nEff
U
U
1

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Série de Fourier :
Tout signal périodique u(t) de fréquence f peut s’écrire :
u(t) = <u(t)> +
)sin()cos( 11 ∑∑ ∞
=
∞
=+nn nntnbtna
ωω
avec
Remarques : -
pour un signal pair u(t) = u(-t) , les b
n
= 0
- pour un signal impair u(t) = - u(-t) , les a
n
= 0
Série de Fourier des principaux signaux :
∫
+
=Ta
a
ndttntu
T
a)cos()(
2
ω
∫
+
=
Ta
a
n
dttntu
T
b)sin()(
2
ω
t
t
E
E
u(t) = )(sin)cos1(
2
1
tnn
nE
n
ωπ
π
∑
∞
=
−
= ...)5sin
5
1
3sin
3
1
(sin
4+++ ttt E
ωωω
π
α T T
u(t) = )(cos
)sin(
2
1
tn
nn
EE
n
ω
απ
απ
αα
∑
∞
=
+
=
+++ ...)2cos(
2)2sin(
)cos(
)sin(
2ttEE ω
απ
απ
ω
απ
απ
αα
Ex. pour α = 4/15
u(t)
u(t)

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t
E
u(t) = )(cos
2
)
2
sin(
1
2
tn
n
n
E
n
ω
π
π
∑
∞
=
−
u(t) =
(
)
[
]
( )
∑
∞
=
++
−
022
12
12cos4
p
p
tpE ω
π
t
t
u(t)
u(t)
u(t)

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t
t