sujet de revision n 4

Prof : Mr Khammour.K Sujet de révision n°4 4ème Math Mai 2015
Exercice n°1 :
Répondre par vrai ou faux.
1) Soit f une fonction dérivable sur [0,1], strictement croissante telle que f(0)=0 et f-1 sa fonction
réciproque. Si on pose pour tout x∈[0 ,1]
0
Ff
x
x t dt
et
f(x) 1
0
f.G x t dt
alors on a :
F(x) = xF(x) – G(x).
2) L’entier 5 est un inverse modulo 6 de 5.
3) Soit x un entier naturel , si pgcd(x,1451) = 1 alors on a :
2900 1 1451x
.
4) Soit le nombre complexe
2015
1
Z , 0,
1
i
i
e
e
. Z est imaginaire pur.
Exercice n°2 :
Soit dans l’ensemble C l’équation (E) :
3 2 2 2
4 5 2 1 0
ii
z z e z e
où
0,
.
1) a) Vérifier que 2 est une solution de (E).
b) Résoudre alors dans l’ensemble des nombres complexes C l’équation (E). On désigne par
et
12
zz
les
deux autres solutions tel que
Im 0
1
z
.
c) Ecrire
et
12
zz
sous forme trigonométriques.
2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
( ; , )O u v
,on considère les points A , B et C d’affixes
respectives :
2 ; 1 et 1
ii
ee
a) Calculer le nombre complexe
2
22
1
z
z
.Quelle est la nature du triangle ABC ?
b) Déterminer pour que le triangle ABC soit isocèle .
c) Pour
2
, montrer que OABC est un carré.
Exercice n°3 :
ABC est un triangle rectangle et isocèle tel que
,2
2
AB AC
. On pose D = SA(C). Soit la similitude
indirecte qui envoie A en B et B en C.
1) Déterminer le centre de et vérifier que =D.
2) Le plan P muni d’un repère orthonormé
,,A AB AC
. Soit f : P P ;
( ) '( ') tel que ' 1 1M z M z z i z    
a) Montrer que f est une similitude indirecte.
b) Montrer que f = .
Exercice n°4 :
On considère le système
13 19
6 12
n
Sn
.

1) a) Démontrer qu’il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1.
b) Vérifier que, pour un tel couple, le nombre
13 12 6 19N v u   
est une solution de (S).
2) a) Soit n0 une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à
0
0
19
12
nn
nn
.
b) Démontrer que le système
0
0
19
12
nn
nn
équivaut à
012 19nn
.
3) a) Trouver un couple (u ; v) solution de l’équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N
correspondante
b) Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2. b.).
Exercice n°5 :
A)
1) On considère la fonction g définie sur IR par :
1
() x g x x e 
.
a) Dresser le tableau de variation de g Calculer g(1), en déduire le signe de g.
b) En déduire que pour tout réel x,
1
x
xe e
, puis que
10
x
xe
.
2) On désigne par f la fonction définie sur IR pa
1
f1x xxe
. Soit C sa courbe représentative dans le
plan rapporté à un repère orthonormé (unités : 3 cm)
a) Déterminer
lim f
xx
et
lim f
xx
. Dresser son tableau de variations de f.
b) Ecrire une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. Tracer T puis C.
3) a) Déterminer les images par f des intervalles [0, 1] et [1, [.
4) b) En déduire que
1 ( ) 1
e
fx e
pour tout x positif ou nul.
B) Soit
1
f1x xxe
définie sur [0, 1] .On pose
1
0
fI x dx
.
1) Soit n un nombre entier naturel non nul, et
1
0
Jn nx
nx e dx
.
a) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que
12
1Je
.
b) On se propose de calculer J2 sans utiliser une intégration par parties : déterminer les coefficients a, b et
c tels que la fonction H(x) définie par
22
( ) ( ) x H x ax bx c e
soit une primitive de
22
() x h x x e
. En déduire
que
22
15
1
4
Je
.
2) Pour tout entier n non nul, on pose
0
UJ
n
nk
k
.
a) Montrer que pour tout réel x,
1
0
1 ( )
U1
xn
nk kx
nx
k
xe
xe xe
b) En déduire que
11
1
0
Uf
nx
n
n
I x e x dx
c) Montrer que pour tout x positif ou nul :
1 ( 1) 1
1
0n n x n xe e
. En déduire que
1 ( 1) 1
0 ( ) 1
n n x n
x e f x ee
.Déterminer
lim n
nu
.