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REPUBLIQUE DU CAMEROUN REPUBLIC OF CAMEROON
Paix-Travail-Patrie Peace-Work-Fatherland
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR MINISTRY OF HIGHER EDUCATION
UNIVERSITE DE YAOUNDE I THE UNIVERSITY OF YAOUNDE I
ECOLE NORMALE SUPERIEUR DE YAOUNDE
CONCOURS D’ENTREE EN 1ERE ANNEE SESSION DE 2014
Epreuve de : MATHEMATIQUES
SERIE : MATHEMATIQUES
Epreuve : Géométrie
Exercice 1 :
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct , on
considère l’ensemble des points M d’affixes z vérifiant l’égalité
ou la relation
1. Montrer que équivaut à
où Z est une expression de z à
déterminer
2. En déduire que où est une droite et un cercle à
déterminer
3. Construire et la droite
4. Vérifier que rencontre en trois points A, B et C à préciser.
5. Soit les affixes respectives de A, B et C avec
a. Mettre A et B sous forme exponentielle
b. Déterminer un argument de à 0,01 près en degré
c. Déterminer la valeur exacte de l’aire du triangle OAC
Exercice 2 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé . Pour toute partie non
vide de lorsqu’un point A de minimise la distance lorsque M
parcourt , on dit que la distance de l’origine O à l’ensemble vaut
.
1. On suppose que est l’ensemble des points tels que
.
a. Quelle est la nature de ?
b. En déduire la valeur exacte de
c. Déterminer le point H de tel que
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2. On suppose que (courbe de f définie par
) pour
a. M étant un point de d’abscisse x, exprimer en
fonction de
b. Déterminer les extrema de g
c. Déduire la valeur exacte de et le(s) point(s) M de tels
que
3. Déterminer lorsque est le cercle d’équation
Exercice 3 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct . On
considère la transformation qui a tout point M d’affixe z associe le
point M’ d’affixe z’ tel que :
1. Déterminer l’ensemble des points invariants par F
2. Montrer que M’ décrit une droite à préciser lorsque M varie dans
3. Monter que où est un réel dépendant de z à
déterminer
4. En déduire que
est orthogonal à tout vecteur directeur
de .
5. Déduire la nature et les éléments caractéristiques de F
6. Déterminer l’image par F
a. De la droite
b. Du cercle
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