mathgeo2014

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REPUBLIQUE DU CAMEROUN
Paix-Travail-Patrie
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
UNIVERSITE DE YAOUNDE I
REPUBLIC OF CAMEROON
Peace-Work-Fatherland
MINISTRY OF HIGHER EDUCATION
THE UNIVERSITY OF YAOUNDE I
ECOLE NORMALE SUPERIEUR DE YAOUNDE
CONCOURS D’ENTREE EN 1ERE ANNEE SESSION DE 2014
Epreuve de : MATHEMATIQUES
SERIE : MATHEMATIQUES
Epreuve : Géométrie
Exercice 1 :
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (
considère l’ensemble ( ) des points M d’affixes z vérifiant l’égalité (
(
)
( )
ou la relation ( )
1. Montrer que ( ) équivaut à
déterminer
2. En déduire que ( )
déterminer
( )
( )
), on
)
où Z est une expression de z à
( ) où ( ) est une droite et ( ) un cercle à
3. Construire ( ) et la droite ( )
(√
)
4. Vérifier que ( ) rencontre ( ) en trois points A, B et C à préciser.
( )
5. Soit
les affixes respectives de A, B et C avec
( )
a. Mettre A et B sous forme exponentielle
b. Déterminer un argument de à 0,01 près en degré
c. Déterminer la valeur exacte de l’aire du triangle OAC
Exercice 2 :
Le plan ( ) est rapporté à un repère orthonormé (
). Pour toute partie non
vide ( ) de ( ) lorsqu’un point A de ( ) minimise la distance
lorsque M
parcourt ( ), on dit que la distance de l’origine O à l’ensemble ( ) vaut
.
( ( ))
1. On suppose que ( ) est l’ensemble des points ( ) tels que
.
a. Quelle est la nature de ( ) ?
b. En déduire la valeur exacte de (
( ))
c. Déterminer le point H de ( ) tel que (
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( ))
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2. On suppose que ( )
(courbe de f définie par ( )
) pour
a. M étant un point de ( ) d’abscisse x, exprimer ( )
en
fonction de
b. Déterminer les extrema de g
c. Déduire la valeur exacte de ( ( )) et le(s) point(s) M de ( ) tels
que (
3. Déterminer
(
)
( ))
(
( )) lorsque ( ) est le cercle d’équation (
)
Exercice 3 :
). On
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (
considère la transformation
( ) qui a tout point M d’affixe z associe le
point M’ d’affixe z’ tel que :
1. Déterminer l’ensemble des points invariants par F
2. Montrer que M’ décrit une droite ( ) à préciser lorsque M varie dans
( )
3. Monter que
(
) où
est un réel dépendant de z à
déterminer
4. En déduire que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est orthogonal à tout vecteur directeur ⃗ de ( ).
5. Déduire la nature et les éléments caractéristiques de F
6. Déterminer l’image par F
a. De la droite ( )
b. Du cercle ( )
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