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1582904968 67507 DEVOIR DE SYNTHESE 2(4eme-SC-TECH)...

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DEVOIR DE SYNTHESE N°2
Modèle Section : 4 ème Sciences Techniques
N°01
Épreuve : Mathématiques
Durée : 2 h
EXERCICE N°1
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4ème SC-TECH

3 points
Répondre par Vrai ou Faux, en justifiant la réponse.
1°) lim x − ln ( x + 1) = 0 .
x →+
(
)
2°) Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct O , i , j , k . On donne le plan P : x − y + z + 2 = 0 ,
 x = 2 + 2t

et la droite D :  y = 1 − 2t
 z = 2 + 2t

3°) La fonction F : x
avec t  IR . On a alors P et D sont parallèles.
1
x ²ln x − x ² est une primitive de f : x
2
x ln ( x ²) sur 0,+ .
6 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormé ( O , i , j , k ) .
EXERCICE N°2
On considère les points A (3, 0, 0) ; B (0, 3, 0) ; C (0, 0, 3) et D (2, 2, 2) .
1°) a) Calcules les composantes du vecteur AB  AC .
b) En déduire que les points A, B et C déterminent un plan P .
c) Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est : x + y + z − 3 = 0 .
2°) a) Montrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
b) Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
3°) a) Montrer que la droite ( OD ) est perpendiculaire à P .
b) Donner une représentation paramétrique de la droite ( OD ) .
c) Soit H le projeté orthogonal de D sur P . Vérifier que H (1,1,1 ) puis en déduire la distance de D
à P.
4°) a) Calculer l’aire du triangle ABC.
b) Retrouver le volume du tétraèdre ABCD.
EXERCICE N°3
5 points
2
I- Soit f ( x ) = ln ( x ) − ln ( x ) + 1 ; x  0, + et
Cf

(
)
sa courbe dans un repère orthonormé O , i , j .
1°) a) Déterminer lim+ f ( x ) . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
x →0
1
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4ème
SC-TECH
b) Déterminer lim f ( x ) et lim
x →+
x →+
f (x)
x
. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2°) a) Montrer que pour x  0, + , f '( x ) =
2ln ( x ) − 1
x
.
b) Dresser le tableau de variation de f.
3°) Tracer
Cf .
II- Soit ABCDEFGH un cube d'arrêt 1.
L'espace est muni d'un repère orthonormé direct A, AB , AD , AE .
(
)
1°) Déterminer les coordonnées des points C et F.
2°) Soit   0, + et J ( ln2  ; ln ( ) ; −1) .
a) Montrer que le volume de tétraèdre ACFJ est V ( ) =
b) Préciser le point J pour lequel, V ( ) est minimal.
EXERCICE N°4
1
f ( ) .
6

6 points
I– Soit g la fonction définie sur 0,+ par : g ( x ) = x + 1 − x ln x .
1°) Etudier les variations de g .
2°) a) Montrer que l’équation : g( x ) = 0 admet une solution unique  dans 0,+ .
b) Vérifier que : 3    4 .
c) En déduire que g ( x )  0 si x  0,  et g ( x )  0 si x   , + .
1
x ² ln ( x ) .
2
3°) a) Déterminer la fonction dérivée sur 0,+ de la fonction h : x
3
b) Vérifier que pour tout x  0, + , g ( x ) = 1 + x − h'( x ) .
2
c) En déduire la primitive de g qui s’annule en 1 .
II– On considère la fonction f définie sur 0,+ par f ( x ) =
(
ln ( x )
)
x +1
et soit
Cf
sa courbe représentative
dans un plan rapporté à un repère orthonormé O , i , j .
1°) Déterminer lim+ f ( x ) et lim f ( x ) .
x →+
x →0
2°) a) Monter que f est dérivable sur 0,+ et que : f '( x ) =
g( x )
x ( x + 1) ²
.
b) Dresser le tableau de variation de f .
3°) a) Montrer que f ( ) =
1

.
b) Ecrire une équation de la tangente (T ) à
4°) Tracer (T ) et
2
Cf
au point A d’abscisse 1 .
Cf .
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