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183651413-Declic-Maths-Tle-s-Specifique-2012-Partie-1

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1
C H A P I T R E
Suites numériques
Introduction
1. Programme
Contenus
Suites
Raisonnement par récurrence.
Limite finie ou infinie d’une suite.
Limites et comparaison.
Opérations sur les limites.
Comportement à l’infini de la suite ^qnh ,
q étant un nombre réel.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Suite majorée, minorée, bornée.
Capacités attendues
Commentaires
• Savoir mener un raisonnement par récur- Ce type de raisonnement intervient tout au
long de l’année et pas seulement dans le
rence.
cadre de l’étude des suites.
 Dans le cas d’une limite infinie, étant Pour exprimer que un tend vers , quand n
donnés une suite croissante ^unh et un tend vers + 3 , on dit que : « tout intervalle
nombre réel A, déterminer à l’aide d’un algo- ouvert contenant , contient toutes les
rithme un rang à partir duquel un est supé- valeurs un à partir d’un certain rang ».
rieur à A.
Pour exprimer que un tend vers + 3
quand n tend vers + 3 , on dit que : « tout
intervalle de la forme @ A ; + 3 6 contient
toutes les valeurs un à partir d’un certain
rang ».
Comme en classe de Première, il est
important de varier les approches et les
outils sur lesquels le raisonnement s’appuie.
On présente des exemples de suites qui
n’ont pas de limite.
Démontrer que si ^unh et ^vnh sont deux On démontre que si une suite est croissante
et admet pour limite ,, alors tous les termes
suites telles que :
– un est inférieur ou égal à vn à partir d’un de la suite sont inférieurs ou égaux à ,.
Le théorème dit « des gendarmes » est admis.
certain rang ;
– un tend vers + 3 quand n tend vers + 3 ;
alors vn tend vers + 3 quand n tend vers
+ 3.
• Étudier la limite d’une somme, d’un produit
ou d’un quotient de deux suites.
Démontrer que la suite ^q nh , avec q 2 1, a On démontre par récurrence que pour a réel
strictement positif et tout entier naturel n :
pour limite + 3 .
^1 + ahn H 1 + na .
• Déterminer la limite éventuelle d’une suite On peut étudier des situations où intervient
géométrique.
la limite de la somme des premiers termes
d’une suite géométrique.
• Utiliser le théorème de convergence des Ce théorème est admis.
suites croissantes majorées.
Il est intéressant de démontrer qu’une suite
croissante non majorée a pour limite + 3 .
Des exemples de suites récurrentes, en particulier arithmético-géométriques, sont traités
en exercice.
 Des activités algorithmiques sont menées
dans ce cadre.
AP Approximations de réels (r, e, nombre d’or,
etc.).
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole
de type algorithmique sont signalées par le symbole .
. Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
1
2. Intentions des auteurs
Dans ce premier chapitre sur les suites numériques :
• on fait le point sur les connaissances de Première, en
particulier : sens de variations d’une suite, suites arithmétiques et géométriques ;
• on met en place un nouveau type de raisonnement : le
raisonnement par récurrence ;
• on fait une étude approfondie de la notion de limite
d’une suite : définitions précises, opérations sur les
limites, théorèmes de comparaison, cas des suites
monotones.
Toutes ces notions sont abordées à travers la résolution
de problèmes le plus souvent liés à la vie courante ou
aux autres disciplines par une modélisation de phénomènes discrets. De nombreux QCM, « Vrai ou faux ? »
permettent de faire le point rapidement sur la compréhension du cours et aussi la mise en place de raisonnements par contre-exemple.
Comme a2 H 0 , on a :
Partir d’un bon pied
Objectif
Réactiver chez l’élève :
– les différentes façons de définir une suite ;
– les variations d’une suite numérique ;
– la lecture d’un algorithme.
A
1 b. et c.
2 b. et c.
3 a.
4 a. et c.
B
1 Faux.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Vrai.
C
1 Vrai.
2 Faux.
3 Faux.
2 Vrai.
3 Vrai.
D 1 Vrai.
5 Vrai.
Un objectif important est de préparer la notion de limite
d’une fonction numérique.
Une attention particulière est portée sur le raisonnement : la récurrence bien sûr, mais aussi le raisonnement
par condition suffisante.
Les algorithmes permettent également d’appréhender
les phénomènes discrets décrits par les suites, sans être
forcément formalisés, c’est la démarche algorithmique
qui importe.
Tout au long de ce chapitre se précise l’utilisation
de logiciels : calculatrices graphiques, traceurs de
courbes, tableurs, logiciels de géométrie dynamique
ou de programmation. L’utilisation d’un logiciel de
calcul formel doit permettre, en fonction des élèves, de
surpasser les difficultés du calcul algébrique.
4 Faux.
Découvrir
1 Vers le raisonnement
par récurrence
+
^1 + ahn 1 H 1 + ^n + 1ha .
Donc Pn + 1 est vraie.
◗ La propriété Qn se traduit par 10 n = 9k + 1 , avec k un
entier.
Donc 10 n + 1 - 1 = 10^9k + 1h - 1 = 90k + 9
= 9^10k + 1h .
Donc Qn + 1 est vraie.
◗ On a :
A = 61 # 2 + 2 # 3 + f + n^n + [email protected] + ^n + 1h^n + 2h.
Donc en utilisant Rn ,
n # ^n + 1h # ^n + 2h
+ ^n + 1h^n + 2h
A=
3
^n + 1h^n + 2h
=
^n + 3h .
3
Donc Rn + 1 est vraie.
Activité
Objectif : Aborder le raisonnement par récurrence en
distinguant les différentes étapes.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 ◗ P1 : « 1 + a H 1+ a ». Propriété vraie.
◗ Q1 : « 101 - 1 est divisible par 9 ». Propriété vraie.
1#2#3
◗ R1 : « 1 # 2 =
». Propriété vraie.
3
n+1
2 a. ◗ Pn + 1 : « ^1 + ah
H 1 + ^n + 1ha. »
n+1 ◗ Qn + 1 : « 10
1 est divisible par 9 ».
◗ Rn + 1 : « 1 # 2 + 2 # 3 + f + ^n + 1h # ^n + 2h
^n + 1h # ^n + 2h # ^n + 3h
=
».
3
n
b. ◗ Si Pn est vraie, alors ^1 + ah H 1 + na . Donc en
multipliant par 1 + a , on obtient :
+
^1 + ahn 1 H 1 + ^n + 1ha + na2 .
2
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Activité
2 La balle au rebond
Objectif : Modéliser une situation simple et utiliser la
calculatrice ou un tableur.
3 #
1 = 0, 75 et
4
3 # 3
= 0, 5625 .
u2 =
4 4
On modélise cette situation
par la suite u de terme général
n
3
un = d n .
4
u10 . 0,056 ;
u1000 = 1,15 # 10-125 .
1 On a u1 =
2 En
utilisant un tableau
(voir ci-contre), à partir du
97e rebond, la hauteur de la
balle est inférieure à 10-12 m.
Suites numériques
Activité
c. Soit f 2 0 . On a :
3 Un calcul d’aire
Objectif : Résoudre un problème classique qui a joué un
rôle historique d’Archimède à Riemann en :
– faisant intervenir un raisonnement par récurrence ;
– abordant une limite « naturelle ».
1 a. b. Pour tout entier n H 1 , les rectangles ont pour
2
k
1
et pour longueur d n , où k est l’entier désin
n
gnant le numéro du rectangle (de 0 à n - 1 ).
c. On conjecture que la somme des aires de ces
1
rectangles tend vers
lorsque n tend vers + 3 .
3
largeur
2 D’après 1 a., Sn =
2
2
2
1 >d 1 n d 2 n
n-1 H
n
+
+f+d
n
n
n n
1 n-1 2
/i .
n3 i = 1
3 Démontrons par récurrence la propriété Pk :
k
k^k + 1h^2k + 1h
« / i2 =
» pour tout entier k H 1 .
6
i=1
◗ Initialisation : k = 1 .
1
/ i2 = 1 et 1^1 + 16h^2 + 1h = 1. Donc P1 est vraie.
i=1
=
k+1
k
i=1
i=1
Donc en utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :
k+1
/ i2 = k^k + 1h6^2k + 1h + ^k + 1h2
i=1
^k + 1h k^2k + 1h
;
=
+ ^k + 1hE
6
6
= ^k + 1h62k2 + 7k + 6 @.
k+1
^k + 1h^k + 2h^2k + 3h
Donc / i2 =
.
6
i=1
Donc Pk + 1 est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier k H 1 ,
k
/ i2 = k^k + 1h6^2k + 1h .
i=1
4 On a :
^n - 1h^nh^2n - 1h
1
1
1 n
= d1 - nd1 .
Sn =
3
3
2
n
n
6n
1
tend vers 0 lorsque n tend vers + 3 , on a
Comme
n
1
lim Sn = .
3
n "+3
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Activité
5 Variations et équations
Objectif
Mettre en place un large panel de techniques de base pour
étudier une suite récurrente : représentation graphique,
conjectures, sens de variations, utilisation d’une suite
auxiliaire.
1 La fonction f est affine de coefficient 0,5, donc elle
est croissante sur R. On a le tableau ci-dessous.
f ^xh
/ i2 = / i2 + ^k + 1h2 .
Activité
n "+3
x
◗ Hérédité : soit un entier k H 1 tel que Pk est vraie.
k+1
^k + 1h^k + 2h^2k + 3h
Montrons que / i2 =
.
6
i=1
On a
1
1
1 f + n2 2 .
f
n2
1
m , alors 0 1 un 1 f .
On en déduit que si n H 1 + E c
f
1
1
2 Soit f 2 0 . On a 0 1 vn 1 f +
1f + n 2 .
f
n
1
On en déduit que si n H 1 + E c 2 m , alors 0 1 vn 1 f .
f
Donc lim vn = 0 .
0 1 un 1 f + 0 1
4 Convergence vers 0
Objectifs
– Lire et modifier un algorithme.
– Approcher la définition mathématique de la convergence
d’une suite vers 0.
1 a. L’algorithme donne la valeur N de n à partir de
laquelle un 110-3 .
b. Modification : « TantQue u H 10-6 ».
0
2
2
1
Pour tout x d 60 ; 2 @ on a f ^ x h d 61 ; 2 @, donc :
f ^ x h d 6 0 ; 2 @.
2 a. u0 = 0 , u1 = 1 , u2 = 1, 5 , u3 = 1, 75 .
b. La suite u semble être croissante.
c. Pour tout entier naturel n, démontrons la propriété
Pn : « un G un + 1 ».
◗ Initialisation : u0 G u1 (voir 2 a.), donc P0 est vraie.
◗ Hérédité : soit un entier naturel n tel que Pn est vraie.
Démontrons qu’alors Pn + 1 : « un + 1 G un + 2 » est vraie.
D’après l’hypothèse de récurrence un G un + 1 . Comme
la fonction f est croissante, f ^unh G f ^un + 1h , donc
un G un + 1 . Donc Pn + 1 est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
n, un G un + 1 . Donc la suite u est croissante.
3 a. En
B3, il faut écrire
=0,5*B2+1
b. La suite u semble converger
vers 2.
4 a. En C2, écrire =B2-2 (voir
ci-contre). La suite v semble être
une suite géométrique de raison
0,5 et de premier terme - 2 .
b. Pour tout entier naturel n,
vn + 1 = un + 1 - 2 = 0, 5 # un + 1 - 2
= 0, 5 # ^un - 2h .
Donc, pour tout entier naturel n,
vn + 1 = 0, 5vn .
Donc la suite v est géométrique
de raison 0,5 et de premier
terme v0 = u0 - 2 =- 2 .
c. Pour tout entier naturel n, on a vn =- 2 # ^0, 5hn .
Donc un = 2 + vn = 2 - 2 # ^0, 5hn .
d. La suite u est donc convergente vers 2, car
lim 2 # ^0, 5hn = 0 .
n "+3
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
3
Exercices d’application
Savoir faire Mener
un raisonnement par récurrence
1
Pour tout entier naturel n non nul, on note P^nh la
propriété :
n^n + 1h^2n + 1h
« 12 + 22 + 32 + f + n2 =
».
6
◗ Initialisation : pour n = 1 ,
1 # ^1 + 1h # ^2 # 1 + 1h
= 1.
on a 12 = 1 et
6
Donc P^1 h est vraie.
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 1 , P^nh
est vraie, c’est-à-dire que :
n^n + 1h^2n + 1h
.
12 + 22 + 32 + f + n2 =
6
2
Alors : 12 + 22 + 32 + f + ^n + 1h
= 612 + 22 + 32 + f + n2 @ + ^n + 1h2
n^n + 1h^2n + 1h
=
+ ^n + 1h2
6
d’après l’hypothèse de récurrence.
2
Donc 12 + 22 + 32 + f + ^n + 1h
n^2n + 1h
+ ^n + 1hn
6
2+
2n
7n + 6
= ^n + 1h #
.
6
Or, ^^n + 1h + 1h^2^n + 1h + 1h = ^n + 2h^2n + 3h
= 2n2 + 7n + 6 .
Donc :
^n + 1h^n + 2h^2n + 3h
2
,
12 + 22 + 32 + f + ^n + 1h =
6
c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 1 ,
P^nh est vraie.
Donc, pour tout entier n H 1 ,
n^n + 1h^2n + 1h
.
12 + 22 + 32 + f + n2 =
6
= ^n + 1h # d
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
2 Démontrons, pour tout entier naturel n, la proposi-
tion P^nh : « 23n - 1 est un multiple de 7 ».
◗ Initialisation : 20 - 1 = 0 qui est un multiple de 7.
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier, P^nh est
vraie. Montrons alors P^n + 1h : « 23n + 3 - 1 est un
multiple de 7 ».
D’après l’hypothèse de récurrence, 23n = 1 + 7k , où k
est un entier. En multipliant par 8, on obtient
23n + 3 = 8 + 56k , donc 23n + 3 - 1 = 7^7 - 8k h .
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
n, « 23n - 1 est un multiple de 7 ».
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 0 , P^nh
2
est vraie, c’est-à-dire que un = ^n + 1h .
2
Alors un + 1 = un + 2n + 3 = ^n + 1h + 2n + 3 d’après
l’hypothèse de récurrence.
2
Donc un + 1 = n2 + 4n + 4 = ^n + 2h ,
c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 0 ,
P^nh est vraie.
2
Donc, pour tout entier n H 0 , un = ^n + 1h .
4 Pour tout entier n H 2 , on note P^nh la propriété :
« le nombre de cordes reliant n points du cercle est
n^n - 1h
».
2
◗ Initialisation : pour n = 2 on a une seule corde
2^2 - 1h
= 1 . Donc P^2 h est vraie.
possible et
2
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier, P^nh est
vraie. Montrons alors P^n + 1h : « le nombre de cordes
^n + 1hn
reliant n + 1 points du cercle est
».
2
Pour obtenir n + 1 points du cercle, on ajoute un point
aux n déjà existants. Donc on ajoute n cordes au nombre
total de cordes. En utilisant l’hypothèse de récurrence,
^n + 1hn
n ^n - 1 h
+ n cordes, soit
on a
, c’est-à-dire
2
2
que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 2 ,
P^nh est vraie. Donc pour tout entier n H 2 , le nombre
n^n - 1h
de cordes reliant n points du cercle est
.
2
Savoir faire Déterminer la limite
d’une suite à l’aide de la définition
5 On conjecture :
a. la suite u semble ne pas
admettre de limite ;
b. la suite v semble converger
vers 0,5 ;
c. la suite w semble diverger
vers + 3 .
6
5
5
- 1.
Gf+nH
f
n+1
5
On en déduit que si n H 1 + E a - 1 k , alors un 1 f .
f
La suite u converge vers 0.
2 a. À partir de N = 500, on a un G 0, 01 .
b. À partir de N = 5 # 1012 , on a un G 10-12 .
◗ Soit f 2 0 , on a un G f +
3 Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
2
« un = ^n + 1h »
2
◗ Initialisation : pour n = 0 , on a u0 = 1 et ^0 + 1h = 1 .
Donc P^0 h est vraie.
4
Livre du professeur - CHAPITRE 1
1 ◗ On conjecture que la suite u converge vers 0.
7
1 a. i. vn 2105 + n2 + n - 105 2 0
- 1 + 1 + 4 # 105
+nH
2
Comme n est un entier naturel, n H 316 .
Suites numériques
ii. vn 21010 + n2 + n - 1010 2 0
Savoir faire Déterminer une limite
- 1 + 1 + 4 # 1010
.
+nH
2
Comme n est un entier naturel, n 2 99999 .
b. On conjecture que la suite v diverge vers + 3 .
2 Soit A H 0 , on a vn 2 A + n2 + n - A 2 0
-1 +
par comparaison
11 a. Pour tout entier n non nul, - 1 G sin n G 1 ,
donc :
1
1
G un G .
n
n
1
1
= 0 et lim = 0 , on a
Comme lim
n
n "+3 n
n "+3
lim un = 0 d’après le théorème des gendarmes.
-
1+4#A
.
2
Comme n est un entier naturel,
-1 + 1 + 4 # A
n.
n H 1 + Ed
2
Donc la suite v diverge vers + 3 .
+nH
n "+3
b. Pour tout entier n non nul, - 1 G cos n G 1 , donc :
1
1
G un G 1 + .
1n
n
1
1
= 0 et lim = 0 , on a
Comme lim
n
n "+3 n
n "+3
lim un = 1 d’après le théorème des gendarmes.
Savoir faire Étudier
le comportement à l’infini d’une suite
n "+3
8 a. lim ^2n + 1h =+ 3 . Donc lim u =+ 3 .
n
n "+3
Multiplication des limites.
b. lim
n "+3
12 1 a. Pour tout entier naturel n,
n "+3
n2 - 3n + 5
-n+6
n+3
n2 - 3n + 5 - n^n + 3h + 6^n + 3h
23
=
=
.
n+3
n+3
Or, n + 3 2 0 , car n est un entier naturel.
Donc un - ^n - 6h H 0 , c’est-à-dire que un H n - 6 .
b. Comme lim n - 6 =+ 3 , d’après le théorème de
un - ^n - 6h =
n =+ 3 . Donc lim ^2 n + 5h =+ 3 .
n "+3
Multiplication des limites. Donc lim un = 0 . Division
n "+3
des limites.
n "+3
9 a. Pour tout entier naturel n non nul,
1
n .
4
un = 4 #
4
1+
n
1
11
n = 1 (somme et
4
= 0 , lim
Comme lim
4
n "+3 n
n "+3
+
1
n
quotient de limites). Donc lim un = 4 .
1-
n "+3
b. Pour tout entier naturel n non nul,
5
3
+
12
n
2
n2 .
un = 2n #
4
1+
n
1
1
= 0 et lim 2 = 0 , on a :
Comme lim
n "+3 n
n "+3 n
5
3
+
12n
n2 = 1 (somme et quotient de limites).
2
lim
4
n "+3
1+
n
Comme lim 2n =+ 3 , on a : lim un =+ 3 .
n "+3
n "+3
10 a. En utilisant l’algorithme ci-dessous, on obtient
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
en entrant A = 10-5 : N = 100 000 .
ALGO
Entrer ^ Ah ;
N!2;
Tant que ^N2 - 1h ' ^N3 + 1h 2 A Faire
N ! N+1
FinTantQue ;
Afficher ^N h .
minoration lim un =+ 3 .
n "+3
2 Pour tout entier n ! 0 ,
5
5
n-3+
n-3+
n
n
=
un = n
3
3
n a1 + k
1+
n
n
5
3
=+ 3 et lim 1 +
= 1 . Donc,
Or, lim n - 3 +
n
n
n "+3
n "+3
par quotient, lim un =+ 3 .
n "+3
13 1 On conjecture que la suite v diverge vers - 3 .
2 Pour tout entier naturel n, - 1 G cos n G 1 , on a
vn G - 2n + 1 .
Comme lim ^- 2n + 1h =- 3 , d’après le théorème de
n "+3
minoration, on a lim vn =- 3 .
n "+3
3 Pour avoir vn 1 - 1000 , il suffit d’avoir :
- 2n + 11 - 1000 , soit n 2 500, 5 .
Dès que l’entier n est supérieur à 501, on a : vn 1 - 100 .
Savoir faire Déterminer
le comportement à l’infini
d’une suite récurrente
14 1 Pour tout entier naturel n, on note P^nh la
propriété : « 4 G vn + 1 G vn ».
◗ Initialisation : on a v0 = 6 , v1 = 4, 5 , donc 4 G v1 G v0 .
Donc P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si pour un entier n, P^nh
est vraie, alors P^n + 1h : « 4 G vn + 2 G vn + 1 » est vraie.
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
5
x
+ 3 est une fonction affine
La fonction f : x
4
croissante, donc en utilisant l’hypothèse de récurrence 4 G vn + 1 G vn , on a f ^4h G f ^vn + 1h G f ^vnh , soit
4 G vn + 2 G vn + 1 .
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n, P^nh
est vraie.
Donc, pour tout entier naturel n, 4 G vn + 1 G vn .
2 La suite v est décroissante et minorée, donc elle
converge.
On note , la limite de v.
v
,
+ 3.
On a lim vn + 1 = , et lim n + 3 =
4
n "+3
n "+3 4
,
+ 3 . Donc , = 4 .
Par unicité de la limite, , =
4
un
1
3 wn + 1 = vn + 1 - 4 =
+ 3 - 4 = ^vn - 4h .
4
4
1
Pour tout entier naturel n, wn + 1 = wn . Donc la suite
4
1
et de premier
w est une suite géométrique de raison
4
terme w0 = 2 .
1 n
Donc pour tout entier naturel n , wn = 2 # a k . On en
4
1 n
déduit vn = 4 + 2 # a k .
4
n
1
Comme lim 2 # a k = 0 (suite géométrique de rai4
n "+3
son inférieure à 1 en valeur absolue), on a lim vn = 4 .
7
n "+3
15 a. Comme 3 2 1 ,
n
lim 3 =+ 3 . En multipliant
n "+3
par 0,1 (positif ), on obtient lim un =+ 3 .
n "+3
b. Comme - 0, 5 1 1 ,
n
lim ^- 0, 5h = 0 . En multi-
n "+3
pliant par 100, on obtient lim un = 0 .
n "+3
5 n
5
c. Comme
2 1 , lim a k =+ 3 . En multipliant
2
2
n "+3
5 n
par 2 (positif ), on obtient lim 2 a k =+ 3 .
2
n "+3
1 n
1
Comme
11 , lim a k = 0 . En multipliant par 4,
3
n "+3 3
4
on obtient lim
n = 0.
n "+3 3
Donc, par différence, lim un =+ 3 .
n "+3
2 Valider la conjecture formulée
1 Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
« OAn Bn est équilatéral ».
◗ Initialisation : OA0 B0 est équilatéral . Donc P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si pour un entier n, P^nh est
vraie, alors P^n + 1h : « OAn + 1 Bn + 1 est équilatéral » est
vraie.
D’après l’hypothèse de récurrence, OAn Bn est équilatéral.
La droite ^OAn + 1h est la médiatrice du segment 6 An Bn @,
donc An + 1 OAn = 30° . Donc, par construction du symétrique Bn + 1 , le triangle OAn + 1 Bn + 1 est équilatéral .
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
n, P^nh est vraie. Donc, pour tout entier naturel n, le
triangle OAn Bn est équilatéral.
3
2 On a, pour tout entier naturel n : cn+ =
c . La
2 n
3
suite c est géométrique de raison
et de premier
2
cn
terme 4. Comme an =
, la suite a est géométrique de
2
3
raison
et de premier terme 2.
2
3 , n est la somme des n premiers terme d’une suite
3
géométrique de raison
et de premiers termes 2,
2
donc :
n
3 m
1-c
2
.
,n = 2 #
3
-1
2
n
3 mm
On a donc : , n = 4^2 + 3 hc1 - c
.
2
n
3 m
4 Comme lim c
= 0 (suite géométrique de
2
n "+3
3
raison
inférieure à 1 en valeur absolue), on a
2
lim , n = 4^2 + 3 h (opération sur les limites).
n "+3
17 Convergence d’une suite
Objectifs : Construire un algorithme pour étudier une
somme. Utiliser le théorème des gendarmes.
Partie A
1 Extrait de l’algorithme complété :
ALGO
Pour i allant de n à 1 Faire
i
u ! u + sin 2
n
FinPour ;
Travaux pratiques
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
16 Longueur d’une spirale
1 Se faire une idée du résultat
B3
1 Faire la construction.
2 a0 = 2 ;
a1 . 1, 73 ;
A4
O
B2
a2 . 1, 5 et a3 . 1, 3 .
1,3
On a :
,2 . 2 + 1, 73 . 3, 73 et
A3
1,5
,3 . 5, 2 .
B1
3 La suite a semble
A2
1,73
géométrique de raison
2
0,8.
A0
A1
B0
6
Livre du professeur - CHAPITRE 1
2 Après avoir programmé cet algorithme, on obtient :
u10 . 0, 549 , u50 . 0, 505 et u100 . 0, 504 .
3 Il semble que la suite u soit décroissante et converge
vers 0,5.
Partie B
1+2+f+n
1 On a vn =
.
n2
n^n + 1h
1
1
2
=
+
.
Donc vn =
2
2n
n2
1
1
= 0 , on a lim vn = .
Comme lim
2
n " + 3 2n
n "+3
Suites numériques
i
r
! 90 ; C .
2
n2
3
i
i
i
i
1
- a 2 k G sin 2 G 2 , soit, en
On a
6 n
n2
n
n
sommant membres à membres ces inégalités pour i
1
613 + 23 + f + n3 @ G un G vn .
variant de 1 à n, vn 6n6
Donc, pour tout entier naturel n non nul,
2
1 ^n + 1h
G un G vn .
vn 24
n4
2
1 ^n + 1h
1
3 lim
= lim
2 = 0 et comme
n4
n " + 3 24
n " + 3 24n
1
1
(d’après le
lim vn = , on en déduit lim un =
2
2
n "+3
n "+3
théorème des gendarmes).
2 Pour tout entier i compris ente 1 et n,
18 Étudier une suite arithmético-géométrique
par deux méthodes
Objectif : Mettre en œuvre deux méthodes de base pour
démontrer la convergence d’une suite.
1 u1 = 2 ,
y
8
u2 = ,
3
28 .
u3 =
9
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
2 a. b. Voir
le graphique
ci-contre.
1
c. La suite u
0
semble croisx
sante et majorée
1 u 0 u 1 u 2 u3
par 4.
3 a. Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
« un G un + 1 G 4 ».
◗ Initialisation :
u0 = 1 , u2 = 2 . Donc P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh
est vraie, alors P^n + 1h :
« un + 1 G un + 2 G 4 » est vraie.
La fonction f est une fonction affine croissante.
D’après l’hypothèse de récurrence un G un + 1 G 4 , donc
f ^un + 1h G f ^un + 1h G f ^4h et comme f ^4h = 4 , on
obtient un + 1 G un + 2 G 4 .
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
n, P^nh est vraie.
Donc, pour tout entier naturel n, un G un + 1 G 4 . La suite
u est croissante et majorée par 4.
b. La suite u est croissante et majorée par 4, donc elle
converge.
Sa limite est une solution de l’équation f ^ x h = x , soit
2x + 4
, soit x = 4 . La suite u converge vers 4.
x=
3
4 a. On a :
2un + 4
2
- 4 = ^un - 4h .
vn + 1 = un + 1 - 4 =
3
3
2
Donc, pour tout entier naturel n, vn + 1 = vn . La suite
3
2
et de premier terme
v est géométrique de raison
3
v0 =- 3 .
2 n
b. Pour tout entier naturel n, vn =- 3 # c m .
3
n
2
Donc un = 4 - 3 # c m .
3
n
2
c. On a lim c m = 0 (suite géométrique de raison
n "+3 3
strictement inférieure à 1). Donc lim un = 4 .
n "+3
19 Étudier le comportement à l’infini d’une
suite
Objectif : Conjecturer et prendre des initiatives dans le
type de démonstration à utiliser.
1 Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
« un ! 0 ».
◗ Initialisation : u0 = a ! 0 , P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh
est vraie, alors P^n + 1h : « un + 1 ! 0 » est vraie.
^unh2 + 1
1
=
, donc un + 1 ! 0 .
un + 1 = un +
un
un
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
n, P^nh est vraie.
Donc, pour tout entier naturel n, un ! 0 . La suite u est
bien définie.
2 a. Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
« un 2 0 ».
◗ Initialisation : u0 = a 2 0 , P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh
est vraie, alors P^n + 1h : « un + 1 2 0 » est vraie.
^unh2 + 1
1
=
un + 1 = un +
2 0 , donc un + 1 2 0 .
un
un
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
n, P^nh est vraie.
Donc, pour tout entier naturel n, un 2 0 .
1
un + 1 - un =
2 0 d’après ce qui précède. Donc la
un
suite u est croissante.
Si la suite u est majorée, alors, comme elle est croissante,
1
elle converge vers , solution de l’équation x = x + .
x
Cette équation n’a pas de solution, donc la suite n’est
pas majorée. Et comme elle est croissante, elle diverge
vers + 3 .
b. Dans le cas a 1 0 , en utilisant les mêmes méthodes,
on prouve que la suite u est négative, décroissante et
qu’elle tend vers - 3 .
20 Des « 1 » partout !
Objectif : Conjecturer, faire des recherches et bâtir une
démonstration.
◗ Par construction, le réel cherché (s’il existe) est la
limite de la suite u définie par u0 = 1 et pour tout entier
1
.
naturel n, un + 1 = 1 +
un
◗ Si la suite u converge, elle converge vers une solution
1
de l’équation x = 1 +
+ x2 - x - 1 = 0 .
x
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
7
1+ 5
= { et
Cette équation admet deux solutions
2
1
5
1
=
, où { est le nombre d’or.
2
{
Comme la suite u est simplement minorée par 1, elle ne
peut converger que vers { .
1
Comme { = 1 + , on a :
{
1
1
-1un + 1 - { = 1 +
{
un
un - {
.
soit :
un + 1 - { =
un {
Donc, comme pour tout entier naturel n, on a :
1
un + 1 - { G
u - { (1).
{ n
Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
n
1
« un - { G c m u0 - { ».
{
0
1
◗ Initialisation : u0 - { G c m u0 - { , donc P^0 h
{
est vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh est
n+1
1
vraie, alors P^n + 1h : « un + 1 - { G c m
u0 - { »
{
est vraie.
1
D’après l’inégalité (1), un + 1 - { G
u - { et en
{ n
utilisant l’hypothèse de récurrence, on obtient :
un + 1 - { G
n
1 c1 m
#
u0 - { .
{
{
n+1
1 m
u0 - { .
{
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
1
n, P^nh est vraie. Comme
1 1 , la suite géométrique
{
n
1
de terme général c m u0 - { converge vers 0.
{
Donc lim un - { = 0 . La suite u converge vers { .
Donc un + 1 - { G c
n "+3
21 Que de racines !
Objectif : Conjecturer, faire des recherches et bâtir une
démonstration.
Que ce soit à l’aide de Geogébra ou
à l’aide d’un tableur, on conjecture
que la suite u n’est pas monotone,
mais semble converger vers 1.
y
n "+3
1
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1
3
◗ Initialisation :
G 2 G , P^0 h est vraie.
2
2
◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh
1
3
» est vraie.
est vraie, alors P^n + 1h : «
G un + 1 G
2
2
1
3
D’après l’hypothèse de récurrence,
G un G .
2
2
1
3
1
3
Donc
.
G 2 - un G , soit
G 2 - un G
2
2
2
2
3
3
1
3
1
1
et
Comme
G , on a
G un + 1 G .
G
2
2
2
2
2
2
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel
n, P^nh est vraie.
2 - un - 1
un + 1 - 1 = 2 - un - 1 =
2 - un + 1
1
= ^1 - unh #
.
2 - un + 1
1
3
Comme
G 2 - un G , on a :
2
2
3
5
G 1 + 2 - un G .
2
2
1
2
Donc :
G .
3
2 - un + 1
On en déduit que pour tout entier naturel n :
2
un + 1 - 1 G
u -1 .
3 n
Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
2 n
« un - 1 G c 3 m
2 - 1 ».
2 0
◗ Initialisation :
2 -1 Gc 3 m
2 - 1 , P^0 h est
vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh est
2 n+1
vraie, alors P^n + 1h : « un + 1 - 1 G c 3 m
2 -1 »
2
est vraie. On a vu que un + 1 - 1 G
u -1 .
3 n
Donc, en utilisant l’hypothèse de récurrence, on obtient
2 c 2 mn
#
un + 1 - 1 G
2 - 1 , soit :
3
3
2 n+1
2 -1 .
un + 1 - 1 G c 3 m
C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n,
2
P^nh est vraie. Comme 0 1 1 1 , la suite géométrique
3
2 n
de terme général c 3 m
2 - 1 converge vers 0.
Donc lim un - 1 = 0 . La suite u converge vers1.
Faire le point
0
0,2
u1 1u2 u0
2
Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
1
3
».
«
G un G
2
2
8
Livre du professeur - CHAPITRE 1
25 1 a. et b.
x
5 a. et b.
26 1 a. Faux.
2 Vrai.
Suites numériques
2 c.
6 b. et c.
b. Vrai.
3 Faux.
3 a. et c.
7 b.
c. Faux.
4 Vrai.
d. Faux.
4 c.
8 c.
Exercices d’application
1 Raisonnement par récurrence
27 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
5 Vrai.
28 1 a. Vrai, car si 6 n - 1 = 5k , alors :
6 n + 1 - 1 = 6 # 6 n - 1 = 6 # ^5k + 1h - 1 = 5^6k + 1h .
b. Vrai.
c. Faux.
2 a. Vrai, car si 6 n + 1 = 5k , alors :
6 n + 1 + 1 = 6 # 6n + 1 = 6 # ^5k - 1h + 1 = 5^6k - 1h .
b. Faux.
c. Vrai, par exemple n = 1 .
Démontrer par récurrence
29 1 Propriété pour tout entier n H 1 :
P ^n h : 1 3 + 2 3 + f + n 3 =
12 ^1 + 1h
; vrai.
4
◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors P^n + 1h est
aussi vraie.
2
n2 ^n + 1h
3
+ ^n + 1h3 .
13 + 23 + f + n3 + ^n + 1h =
4
Donc, en factorisant :
2
3
2 n
+ ^n + 1hE .
13 + 23 + f + ^n + 1h = ^n + 1h ;
4
^n + 1h2
3
6^n + 2h2 @.
Donc 13 + 23 + f + ^n + 1h =
4
La propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : pour tout entier n H 1 ,
2
n2 ^n + 1h
.
13 + 23 + f + n3 =
4
2 Propriété P^nh pour tout entier n H 1 :
1
1
1
+
+f+
1#2#3
2#3#4
n # ^n + 1h # ^n + 2h
n^n + 3h
=
.
4^n + 1h^n + 2h
◗ Initialisation : pourn = 1 ,
1^1 + 3h
1
1
1
=
= .
et
6
6
1#2#3
4^1 + 1h^1 + 2h
Donc P^1 h est vraie.
◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors P^n + 1h est
aussi vraie.
1
1
+
+f
Soit A =
1#2#3
2#3#4
1
1
+
+
.
^n + 1h^n + 2h^n + 3h
n # ^n + 1h # ^n + 2h
n^n + 3h
1
+
Donc A =
+
+
+
+
^
h
^
h
^
h
^
4 n 1 n 2
n 1 n 2h^n + 3h
soit, en factorisant :
n^n + 3h
1
1
H
>
+
A=
4
^n + 1h^n + 2h
^n + 3h
◗ Initialisation : 13 =
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
2
2
n 2 ^n + 1 h
.
4
1
n3 + 6n2 + 9n + 4
=
H;
>
^n + 1h^n + 2h
4^n + 3h
donc :
^n + 1h2 ^n + 4h
^n + 1h^n + 4h
=
=
A
;
4^n + 1h^n + 2h^n + 3h
4^n + 2h^n + 3h
la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : pour tout entier n H 1 ,
1
1
1
+
+f+
1#2#3
2#3#4
n # ^n + 1h # ^n + 2h
n^n + 3h
=
.
4^n + 1h^n + 2h
30 Propriété P^nh pour tout entier n H 0 :
« la fonction f n est dérivable sur R et pour tout réel x,
^ f nhl^ x h = nx n - 1 ».
1. Donc, pour tout réel x,
◗ Initialisation : f 0 : x
^ f 0hl^ x h = 0 , donc P^0 h est vraie.
◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors P^n + 1h est
aussi vraie.
Soit f n + 1 ^ x h = x n + 1 = x # f n ^ x h ,
donc ^ f n + 1hl^ x h = f n ^ x h + x # ^ f nhl^ x h soit, en utilisant
l’hypothèse de récurrence :
^ f n + 1hl^ x h = x n + x # nx n - 1 = ^n + 1hx n .
La propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : pour tout entier n, ^ f nhl^ x h = nx n - 1 .
7
31 Pour tout entier n H 1 , on note P^nh la propriété :
« n! H 2 n - 1 ».
◗ Initialisation : pour n = 1 , on a 1! = 1 et 21 - 1 = 1 .
Donc P^1 h est vraie.
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 1 , P^nh
est vraie, c’est-à-dire que : n! H 2 n - 1 .
On a ^n + 1h! = ^n + 1h # n! .
D’après l’hypothèse de récurrence, on a :
^n + 1h! H ^n + 1h # 2 n - 1 .
Or, n H 1 . Donc n + 1 H 2 et ^n + 1h # 2 n - 1 H 2 # 2 n - 1 .
On en déduit que ^n + 1h! H 2 n , c’est-à-dire que la
propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 1 ,
P^nh est vraie.
Donc pour tout entier n H 1 , n! H 2 n - 1 .
32 Soit P^nh la propriété définie sur N par :
« 4 n + 1 est divisible par 3 ».
Ce raisonnement est inexact, car on ne peut pas initialiser la récurrence.
33 Soit la propriété : « 1! + 2! + f + ^n - 1h ! G n! ».
◗ Initialisation : P^2 h : 1! G 2! est vraie.
◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors :
1! + 2! + f + ^n - 1h! + n! G ^n + 1h!
On a, en utilisant l’hypothèse de récurrence :
1! + 2! + f + ^n - 1h! + n! G n! + n!
Mais 2n! G ^n + 1h! . On a donc :
1! + 2! + f + ^n - 1h! + n! G ^n + 1h!
◗ Conclusion : pour tout entier n H 2 ,
1! + 2! + f + ^n - 1h! G n!
34 Pour tout entier n H 2 , on pose :
2
P^nh : « 2 n H ^n + 1h ».
2
1 Supposons que 2 n H ^n + 1h , démontrons que :
2
2 n + 1 H ^n + 2h .
2
D’après l’hypothèse de récurrence 2 # 2 n H 2^n + 1h .
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
9
On a :
2
2
y
15
2-
2^n + 1h - ^n + 2h = n
2 H 0 si n H 2 .
2
2
+
+
Donc 2^n 1h H ^n 2h . On en déduit que P^n + 1h
est vraie.
2 P^6 h est vraie, donc pour tout entier n H 6 :
2
2 n H ^n + 1h .
10
D
Étudier des suites
35 1 v = 1 , v = 4 , v = 9 , v = 16 .
1
2
3
4
On conjecture que pour tout entier naturel n, vn = n2 .
2 Propriété P^nh pour tout entier n H 0 : « vn = n2 ».
◗ Initialisation : 02 = 0 = v0 .
◗ Démontrons que si, pour un entier n, vn = n2 , alors
2
vn + 1 = ^n + 1h .
On a :
2
vn + 1 = vn + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = ^n + 1h .
Donc P^n + 1h est vraie.
◗ En conclusion, pour tout entier naturel n, vn = n2 .
36 1 La droite a pour équation y = 0,5x + 1 ; la
droite D a pour équation y = x .
On lit u1 =- 0,5 ; u2 . 0,8 et u3 . 1,4 .
2 Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
« un G 2 ».
◗ Initialisation : pour n = 0 , on a :
u0 =- 3 G 2 .
Donc P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 0 , P^nh
est vraie, c’est-à-dire que : un G 2 .
On en déduit que :
0,5un + 1 G 0,5 # 2 + 1 ,
soit 0,5un + 1 G 2 .
Ainsi un + 1 G 2 , c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est
vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 0 ,
P^nh est vraie.
Donc, pour tout entier n H 0 , un G 2 .
3 Pour tout entier n,
un + 1 - un = 0,5un + 1 - un = 1 - 0,5un = 0,5^2 - unh .
Comme un G 2 , on a :
2 - un H 0 .
On en déduit que pour tout entier n, un + 1 - un H 0 .
Donc la suite u est croissante.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
37 1 Voir le schéma ci-après.
Livre du professeur - CHAPITRE 1
1
0 1
v0 v 1
5
v2
10
v3
38 On pose, pour tout entier naturel n,
P^nh : un = 4 # 3 n - 1 .
◗ Initialisation : u0 = 4 # 30 - 1 = 3 . P^0 h est vraie.
◗ Démontrons que si P^nh est vraie alors :
un + 1 = 4 # 3 n + 1 - 1 .
En tenant compte de l’hypothèse de récurrence,
un + 1 = 3un + 2 = 3^4 # 3 n - 1h + 2 = 4 # 3 n + 1 - 1 .
◗ Conclusion : pour tout entier n, un = 4 # 3 n - 1 .
39 Démontrons par récurrence la propriété :
P^nh : « 1 G un + 1 G un ».
◗ Initialisation : comme u1 = 8 + 1 = 3 ,
P^0 h 1 G u1 G u0 est vraie.
◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors :
1 G un + 2 G un + 1 .
En tenant compte de l’hypothèse de récurrence et
comme f : x
x + 1 est une fonction croissante, on
a:
f ^1 h G f ^un + 1h G f ^unh ,
donc comme 1 G 2 , on a : 1 G un + 2 G un + 1 .
◗ Conclusion : la suite u est minorée par 1 et décroissante.
7
40 1 Pour tout réel x ! @ - 1 ; + 3 6 ,
6
2 0.
^ x + 1h2
La fonction f est strictement croissante sur @ - 1 ; + 3 6 .
1 Démontrons par récurrence la propriété :
P^nh : « un 2 2 ».
◗ Initialisation : P^0 h : u0 = 3 2 2 est vraie.
◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors un + 1 2 2 .
En tenant compte de l’hypothèse de récurrence et
comme f est une fonction croissante, on a f ^unh 2 f ^2 h,
donc comme f ^2 h = 2 , on a un + 1 2 2 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un 2 2 .
3 Pour tout entier naturel n :
-^unh2 + 3un - 2
^2 - unh^un - 1h
=
.
un + 1 - un =
un + 1
un + 1
f l^ x h =
La suite v semble croissante.
2 On pose pour tout entier n, P^nh :
« vn H 0 ».
◗ Initialisation : v0 = 0 , donc P^0 h est vraie.
◗ Démontrons que si vn H 0 , alors vn + 1 H 0 .
Si vn H 0 , alors 2vn + 1 H 1 ,
donc vn + 1 H 0 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, vn H 0.
3 vn + 1 - vn H vn + 1 H 0 d’après la question précédente. Donc, pour tout entier naturel n, vn + 1 H vn . La
suite v est croissante.
10
5
Suites numériques
Comme un 2 2 , 2 - un 1 0 et un - 1 H 0 , donc
un + 1 - un G 0 . Pour tout entier naturel n, un + 1 G un .
La suite u est décroissante.
48 a. • La suite u est décroissante.
41 Démontrons par récurrence la propriété :
3n - 1
».
P^nh : « pour tout entier n H 1 , un =
2
◗ Initialisation :
30 - 1
31 - 1
= 0 et u1 =
= 1 , P^0 h et
comme u0 =
2
2
P^1 h sont vraies.
◗ Soit un entier n H 1 . Démontrons que si P^nh est vraie,
3n + 1 - 1
alors un + 1 =
.
2
En tenant compte de l’hypothèse de récurrence
3n - 1
3n - 1 - 1
4 # 3n - 4 - 3n + 3
-3
=
un + 1 = 4
,
2
2
2
n+1 3
1
.
soit :
un + 1 =
2
3n - 1
.
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un =
2
2 Limite finie ou infinie d’une suite
42 a. Faux.
b. Faux.
c. Vrai.
d. Faux.
43 a. Faux.
b. Vrai.
c. Vrai.
d. Faux.
44 1 Faux.
2 Faux.
45 1 a. 0 G u 1 e + 1 1 e + n 2 1 H E c 1 m .
n
e
e
n
b. Pour tout réel e strictement positif, il existe un entier
1
p = 1 + E c e m tel que dès que n H p , on a 0 G un 1 e ,
donc lim un = 0 .
2 On démontre de même que :
lim
n "+3
1
= 0.
n
1
2 = 0 et
n "+3 n
lim
46 1 Comme la suite u converge vers , , pour
,l - ,
, il existe un entier p tel que si n H p , alors
2
un ! @ , - f ; , + f 6 .
2 Comme la suite u converge vers ,l , pour
,l - ,
, il existe un entier m tel que si n H m , alors
f1
2
un ! @ ,l - f ; , + f 6 .
Comme les deux intervalles précédents sont disjoints,
dès que n H sup ^ p, mh il y a impossibilité. Donc les
limites , et ,l ne peuvent pas être différentes.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f1
47 Soit e un réel strictement positif.
1 Pour x ! 60 ; + 3 6 ,
1 - 3x est telle que
x+2
1 0 . Donc la fonction f est décrois-
49 a. • La fonction f : x
7
-7
^ x + 2h2
sante sur 60 ; + 3 6 . La suite u est décroissante.
• On conjecture que la suite u converge vers - 3.
• Pour n H 69 999 , un ! @ - 3 - 10-4 ; - 3 + 10-4 6 .
f l^ x h =
7
• Pour tout réel e 2 0 , il existe un entier p = 1 + E c e m
tel que si n H p , alors un + 3 1 e .
Donc la suite u converge vers - 3.
x2
est telle que
b. • La fonction f : x
1 + x2
2x
H 0 . Donc la fonction f est croisf l^ x h =
^1 + x2h2
sante sur 60 ; + 3 6 . La suite u est croissante.
• On conjecture que la suite u converge vers 1.
• Pour n H 100 , un ! @ 1 - 10-4 ; 1 + 10-4 6 .
• Pour tout réel e 2 0 , il existe un entier p tel que si n H p,
1
alors un - 1 1 e (il suffit que p2 2 - 1 ).
e
Donc la suite u converge vers 1.
7
Utiliser des définitions
n "+3
• On conjecture que la suite u converge vers 0.
• Pour n H 20 000 , un ! @ - 10-4 ; 10-4 6 .
2
• Pour tout réel e 2 0 , il existe un entier p = 1 + E c e m
tel que si n H p , alors un 1 e .
Donc la suite u converge vers 0.
b. • La suite u est décroissante.
• On conjecture que la suite u converge vers 0.
• Pour n H 99 980 001 , un ! @ - 10-4 ; 10-4 6 .
• Pour tout réel e 2 0 , il existe un entier
1 2
p = 1 + E ca1 - k m tel que si n H p alors un 1 e .
e
Donc la suite u converge vers 0.
3
3-e
.
1e + x 2
2e
2x + 1
3-e m
2 a. On pose p = 1 + E c
. Pour tout entier
2e
n H p, on a 0 G un 1 e .
b. On en déduit que la suite u converge vers 0.
50 1 On considère une suite u qui converge vers , .
Pour tout réel e 2 0 , il existe un entier p tel que si n H p,
alors un ! @ , - e ; , + e 6 .
On pose M le plus grand des réels u0, u1, f, up, , + e .
Alors, pour tout entier naturel n, un G M .
Donc la suite u est majorée.
On démontre de même que la suite u est minorée.
2 Une suite peut être bornée sans pour autant
converger, par exemple, la suite géométrique de raison
- 1.
51 1 Soit un réel A.
• A 1 0 , pour tout entier naturel un 2 A .
• Si A H 0 , alors un 2 A + n 2 A2 .
2 Quel que soit le réel A, dès qu’on a n 2 A2 , on a un 2 A.
Donc la suite u diverge vers + 3 .
52 1 On résout :
n2 + 3
2 10 + n2 - 10n + 3 2 0 , car n H 1.
n
On calcule D = 88 ; x1 = 5 - 22 . 0,3 et
x2 = 5 + 22 . 9,7 .
Comme n est entier, on a un 210 + n H 10 .
un 2 10 +
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
11
Ainsi, à partir du rang n0 = 10 , tous les termes de la
suite u appartiennent à l’intervalle @ 10 ; + 3 6 .
2 On résout :
n2 + 3
un 2 A +
2 A + n2 - A # n + 3 2 0 , car n H 1 .
n
On calcule D = A2 - 12 .
• Si A 1 12 , on a D 1 0 , et, pour tout entier n,
n2 - A # n + 3 2 0 . On peut choisir n0 = 0 .
A
,
• Si A = 12 , on a D = 0 , et, pour tout entier n !
2
2- # +
n
A n 3 2 0 . On peut choisir n0 = 0 .
• Si A 2 12 , on a D 2 0 , et pour tout entier
A + A2 - 12
, n2 - A # n + 3 2 0 .
n2
2
A + A2 - 12 n +
On peut choisir n0 = E d
1.
2
Ainsi, à partir du rang n0 , tous les termes de la suite u
appartiennent à l’intervalle @ A ; + 3 6 .
3 Par définition, la suite u diverge vers + 3 .
Donc lim un =+ 3 .
1
2 a. un = n2 et vn =
. On a lim un =+ 3
n
n "+3
lim vn = 0 ; lim un # vn = lim n =+ 3 .
n "+3
2x2 - 3 est croissante sur
60 ; + 3 6 . La suite u est croissante.
On conjecture que la suite u diverge vers + 3 .
i. Pour n H 224 , alors un H 105 .
ii. Pour n H 707 107 , alors un 2 1012 .
A+3
• Pour tout réel A 2 0 , il existe un entier p H
2
tel que si n H p , alors un H A .
Donc la suite u diverge vers + 3 .
2 • La fonction f : x
2 x + 5 est croissante sur
60 ; + 3 6 . La suite u est croissante.
On conjecture que la suite u diverge vers + 3 .
i. Pour n H 3 # 109 , alors un 2 105 .
ii. Pour n H 3 # 1023 , alors un 2 1012 .
A - 5 m2
• Pour tout réel A 2 0 , il existe un entier p H c
2
tel que si n H p , alors un H A .
Donc la suite u diverge vers + 3 .
7
7
54 Soit A 2 0 . On a - 2n2 + 3 1 - A + n 2
A+3
.
2
Pour tout réel A 2 0 , il existe un entier
A+3 m
tel que si n H p , alors vn G - A .
p = 1 + Ec
2
La suite v diverge vers - 3 .
Utiliser des opérations sur les limites
55 1 a. lim u =+ 3 et lim v =- 3 ;
n
n
n "+3
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
n "+3
lim ^un + vnh = lim 1 - n2 =- 3 .
n "+3
n "+3
c. lim un =+ 3 et lim vn =- 3 ;
n "+3
n "+3
lim ^un + vnh = lim 3 = 3 .
n "+3
n "+3
d. lim un =+ 3 et lim vn =- 3 ;
n "+3
n
n "+3
un + vn = ^- 1h qui n’a pas de limite.
12
Livre du professeur - CHAPITRE 1
et
1
. On a lim un =+ 3 et
n
n "+3
lim vn = 0 ; lim un # vn = lim - n =- 3
c. un = n
2
et vn =-
n "+3
n "+3
n "+3
4
d. un = n et vn = . On a
lim un =+ 3
n
n "+3
lim vn = 0 ; lim un # vn = lim 4 = 4 .
n "+3
n "+3
et
n "+3
56 a. lim u = lim - 4n =- 3 .
n
n "+3
n "+3
b. lim vn = lim n2 =+ 3 .
n "+3
n "+3
57 a. lim u =+ 3 .
n
n "+3
b. lim vn = lim n3 =+ 3 .
n "+3
n "+3
3
= 0.
2
n "+3
n "+3 n
2
2
= lim
= 0 . Donc lim vn = 5 .
b. lim
n "+3 n + 1
n "+3 n
n "+3
58 a. lim u = lim
n
59 a. Pour tout entier n ! 0 ,
5
5
k
3n
n
=
un =
.
1
1
n a2 + k
2+
n
n
5
1
= 3 et lim 2 +
= 2.
Or, lim 3 n
n
n "+3
n "+3
3
Donc, par quotient, lim un = .
2
n "+3
b. Pour tout entier n ! 0 ,
2
2
n2 a1 - k
n a1 - k
n
n
=
.
un =
3
3
+1
na + 1k
n
n
2
3
= 1 et lim
+ 1 = 1.
Or, lim n =+ 3 ; lim 1 n
n "+3
n "+3
n "+3 n
Donc, par produit et quotient, lim un =+ 3 .
n a3 -
n "+3
60 a. La suite u est divergente.
b. On a vn =
Comme lim
n "+3
61 a. On a
n "+3
n "+3
lim un =+ 3
n "+3
1
= 0.
n "+3 n
n "+3
n "+3
n "+3
b. lim un =+ 3 et lim vn =- 3 ;
n "+3
lim vn = 0 ; lim un # vn = lim
lim ^un + vnh = lim n2 =+ 3 .
n "+3
n "+3
1
b. un = n et vn = 2 . On a
n
n "+3
53 1 • La fonction f : x
et
1
.
n+1 + n
n + 1 + n =+ 3 , on a lim vn = 0 .
n "+3
lim n2 =+ 3 et lim
n "+3
n "+3
1
= 0 , donc
n+1
lim un =+ 3 .
n "+3
b. On a
lim
n "+3
lim vn =- 3 .
1
= 0 et
n2
lim 2 n =+ 3 , donc
n "+3
n "+3
62 a. On a lim 3 = 0 et lim
n "+3 n
Donc lim un = 2 .
n "+3
Suites numériques
3
2 = 0.
n "+3 n
b. On a lim
n "+3
n =+ 3 et lim
donc lim vn =+ 3 .
n "+3
1
= 0,
n
3 Limites et comparaison
67 1 a. Vrai.
n "+3
63 a. lim u = lim 3n = lim 3 = 0 .
n
2
n
n "+3 n
3n
b. lim vn = lim
2 = lim 3 = 3 .
n "+3
n "+3 n
n "+3
n "+3
b. Faux.
c. Vrai.
2 Faux.
68 1 Vrai.
n "+3
2
2 Faux.
3 Vrai.
4 Vrai.
Théorème de majoration, de minoration
2
64 a. lim u = lim - n = lim - 1 =- 1 .
n
2
2
n "+3
n " + 3 2n
n "+3 2
2 + - -1/n
n
n 1
.
b. vn =
2n2
n2
1
Donc lim vn = lim d 2 n = .
2
n "+3
n " + 3 2n
69 1 C’est la définition de lim v .
n
n "+3
2 Comme à partir du rang p, vn 1 A et un G vn , on en
déduit que, pour tout entier n H p , un 1 A . On en déduit
que la suite u diverge vers - 3 .
En situation
70 a. Pour tout entier naturel n, n2 - n G u G n2 + n.
n
Comme lim n2 - n =+ 3 , on en déduit que :
65 1 Il semble que la suite u converge vers 0 :
n "+3
lim un =+ 3 .
n "+3
b. Pour tout entier naturel n, - 3n G un G - n , comme
lim - n =- 3 , on en déduit que lim un =- 3 .
n "+3
n "+3
71 1 La fonction x
2 Pour tout entier naturel n :
1 + un
1
1
+1 =
+1 =
+ 1 + 1 = vn + 1.
un + 1
un
un
Donc la suite v est arithmétique de raison 1 et de terme
1
+ 1 = 2 + 1 = 3.
initial v0 =
un
3 Pour tout entier n, vn = 3 + 1 # n = 3 + n .
1
1
1
=
+ 1 . Donc un =
.
Or, vn =
un
vn - 1
2+n
1
= 0 , la suite u converge vers 0.
Comme lim
n "+3 2 + n
x+1
66 1 La fonction f : x
est telle que :
2x3 + 1
3+
24x
6x
1
f l^ x h =1 0 sur 61 ; + 3 6 .
2
3
^2x + 1h
Donc la fonction f est décroissante.
La suite u est décroissante.
n
2 On a lim un = lim
3 = 0.
2
+
+
n" 3
n" 3 n
n+1
3 a. La distance entre un et 0 est égale à
.
2n3 + 1
b. On modifie l’algorithme comme ci-dessous.
c. i. Pour e = 10-2 on obtient N = 8 .
ii. Pour e = 10-5 on obtient N = 225 .
vn + 1 =
7
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
ALGO
Variables :
N : entier ; e : réel
Début :
Entrer (e)
N ! 0;
N+1
TantQue
H e faire
2N3 + 1
N ! N+1;
FinTantQue
Afficher (N) ;
Fin.
7
1
est strictement décroisx
sante sur @ 0 ; + 3 6 .
Donc pour tout entier k tel que 1 G k G n ,
1
1
.
H
1H
k
n
2 Pour tout entier n H 1 :
1
1
1
1
1
;
;
;…;
H
H
1H
2
n
3
n
n
1
1
.
H
n-1
n
En ajoutant membre à membre, on obtient :
1
1
1
+f+
un H
.
n
n . Donc un H n #
n
1 4444 2 4444 3
n termes
Ainsi, un H
3 Comme
n.
lim
n "+3
n =+ 3 , d’après le théorème de
minoration, on a lim un =+ 3 .
n "+3
72 1 Il semble que la suite u diverge vers - 3 .
2 a. Pour tout entier naturel n, on note P^nh la
propriété : « vn G 0 ».
◗ Initialisation : pour n = 0 , on a v0 = 0 G 0 .
Donc P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 0 , P^nh
est vraie, c’est-à-dire que : vn G 0 .
On en déduit que 2vn - 3 G - 3 , soit vn + 1 G - 3 .
Ainsi, vn + 1 G 0 , c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h
est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 0 ,
P^nh est vraie.
Donc, pour tout entier n H 0 , vn G 0 .
Or, vn + 1 - vn = 2vn - 3 - vn = vn - 3 .
Donc :
vn + 1 - vn G - 3 .
b. Pour tout entier naturel n,
vn = ^vn - vn - 1h + ^vn - 1 - vn - 2h + f + ^v1 - v0h .
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
13
Et, comme pour tout entier k, vk - vk - 1 G - 3 , on a :
vn G ^- 3h + ^- 3h + f + ^- 3h
1 444444 2 444444 3 .
n termes
Donc vn G - 3n .
c. Comme lim - 3n =- 3 , d’après le théorème de
n "+3
majoration, on a lim vn =- 3 .
n "+3
Ainsi, la suite v diverge vers - 3 .
n "+3
2
2
73 1 f ^ x h - ^ x + 1h = x - x + 1 = c 1 x - 1 m H 0.
2
4
Donc, pour tout réel x, f ^ x h H x + 1 .
2 D’après 1 , un + 1 - un = f ^unh - un H 1 . La suite u est
croissante.
3 un - u0 = ^un - un - 1 h + ^un - 1 - un - 1h + f
+^u1 - u0h .
Donc d’après 2 , un - u0 H 1 + 1 + f + 1 , soit
un H n + 3 .
On en déduit que lim un =+ 3 .
n "+3
4 Pour que un H 10 6 , il suffit que n + 3 H 103 , soit
n H 103 - 3 ; on prend, par exemple, N = 997 .
Théorème des gendarmes
-1
1
G un G
.
n+1
n+1
-1
1
= 0 et lim
= 0 , on
Comme lim
+
+
n
1
n
1
n "+3
n "+3
en déduit que lim un = 0 d’après le théorème des
n "+3
gendarmes.
b. Pour tout entier naturel n non nul, - 1 G cos n G 1,
-1
-1
1
on a
lim
2 G vn G
2 . Comme
2 = 0 et
n
n
n "+3 n
1
lim 2 = 0 , on en déduit que lim vn = 0 d’après le
n "+3 n
n "+3
théorème des gendarmes.
74 a. Pour tout entier naturel n,
1
est
+
n
k
1
1
1
.
décroissante. Donc
G
G
+
n
1
n+ n
n+ k
On en déduit que :
n
n
.
G un G
n+1
n+ n
n
1
2 lim
= lim
=1
n "+3 n + n
n "+3 + 1
1
n
n
1
= lim
= 1.
et lim
n "+3 n + 1
n "+3 + 1
1
n
Donc lim un = 1 d’après le théorème des gendarmes.
75 1 La suite de terme général v =
k
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
n "+3
76 1 Pour tout entier n H 2 :
n
3n + ^- 1h cos ^nh
-3
n-1
n
n
3n + ^- 1h cos ^nh - 3n + 3
3 + ^- 1h cos ^nh
=
=
.
n-1
n-1
2 Pour tout entier n H 2 :
- 1 G ^- 1hn cos ^nh G 1 , donc 2 G 3 + ^- 1hn cos ^nh G 4.
un - 3 =
14
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Comme n - 1 H 1 , on obtient :
2
4
.
G un - 3 G
n-1
n-1
4
.
On en déduit que un - 3 G
n-1
4
= 0 , par le théorème des gendarmes,
Avec lim
n "+3 n - 1
on obtient que lim un - 3 = 0 .
On en déduit que lim un = 3 .
n "+3
3 Pour que un - 3 G 0,01 , il suffit que
4
G 0,01 ,
n-1
c’est-à-dire que n H 401 .
À partir du rang N = 401 , on est sûr que la distance
entre un et 3 est inférieure à 0,01.
77 1 u . 1,9964 et u . 2 .
10
100
La suite u semble converger vers 2.
2 Pour tout entier naturel n, - 3 G - 3 sin n G 3 . On en
déduit que, pour tout entier naturel non nul n :
2n2 + 3
2n2 - 3
G un G 2
2+
n
1
n +1
22n
3
2n2
= lim
lim
2+
2 = 2.
1
n "+3 n
n "+3 n
De même,
2n2 + 3
2n2
= lim
lim
2+
2 = 2.
1
n "+3 n
n "+3 n
On en déduit que la suite u converge vers 2 en utilisant
le théorème des gendarmes.
3 a. D’après 2 , pour tout entier n :
-5
1
.
G un - 2 G 2
n2 + 1
n +1
5
.
b. On a donc un - 2 G 2
n +1
Pour que la distance entre un et 2 soit inférieure à 10-3 ,
5
il suffit que 2
G 10-3 , soit n H 71 .
n +1
c. Non, u74 . 2,0002 .
4 Convergence de certaines suites
78 1 Vrai.
2 Faux.
3 Vrai.
79 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Vrai.
Cas des suites monotones
80 1 La fonction
7
f : x
1 + x et la fonction
x
1 + x ont même sens de variations sur l’intervalle 6- 1 ; + 3 6 . Donc la fonction f est croissante sur
6- 1 ; + 3 6 .
2 Remarque : l’équation f ^ x h = x admet bien une
unique solution, car :
f ^ x h = x + 1 + x = x + 1 + x = x2 et x H 0
+ x2 - x - 1 = 0 et x H 0
+ x = 1 +2 5 .
1+ 5
On sait que a =
. 1,618 .
2
Suites numériques
7
La fonction f est croissante sur 6- 1 ; + 3 6, donc sur 61 ; a @.
Donc, pour tout réel x de 61 ; a @, f ^1 h G f ^ x h G f ^ah .
Or, f ^1 h = 2 , et f ^ah = a . Donc 2 G f ^ x h G a .
On en déduit que 1 G f ^ x h G a , c’est-à-dire f ^ x h ! 61 ; a @.
3 Pour tout entier naturel n, on note la propriété :
« 1 G un G a et un G un + 1 ».
◗ Initialisation : pour n = 0 , on a u0 = 1 .
Donc 1 G u0 G a .
Et u1 = 1 + 1 = 2 . Donc u0 G u1 .
Donc P^0 h est vraie.
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 0 , P^nh
est vraie, c’est-à-dire que :
1 G un G a et un G un + 1 .
D’après la question 2 , f ^unh ! 61 ; a @.
Donc 1 G un + 1 G a .
De plus, la fonction f est croissante sur 61 ; a @.
Donc f ^unh G f ^un + 1h .
On en déduit un + 1 G un + 2 .
Ainsi, la propriété P^n + 1h est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 0 ,
P^nh est vraie.
Donc, pour tout entier n H 0 , 1 G un G a et un G un + 1 .
4 D’après la question 3 , la suite u est croissante et
majorée (par a).
Donc la suite u converge.
81 1
Variables :
e, U, L : réels ; N : entier ;
Début :
Entrer(e) ;
N ! 0;
U ! 0;
5 + 29
L!
;
2
TantQue L – U H e Faire
N ! N+1;
5
U ! 6;
U+1
FinTantQue ;
Afficher(N) ;
Fin.
b. i. N = 6 ;
ii. N = 10 .
82 1 Démontrons par récurrence que pour tout entier
y
1
0
u0
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Comme f ^0 h = 1 et f ^ah = a on a bien :
0 G un + 1 G un + 2 G a .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n,
0 G un G un + 1 G a .
3 La suite u est croissante et majorée. Donc elle
converge vers la solution de l’équation f ^ x h = x .
Donc sa limite , est égale à a .
4 a. ALGO
1
u1
u2
u3
Il semble que la suite u soit croissante et converge vers
un réel compris entre 5 et 6.
2 a. f ^ x h = x + x2 - 5x - 1 = 0 , qui admet pour
5 + 29
solution a =
dans 60 ; + 3 6 .
2
b. Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel n, 0 G un G un + 1 G a .
◗ Initialisation : u1 = 1 .
Donc 0 G u0 G u1 G a .
◗ Hérédité : démontrons que si 0 G un G un + 1 G a est
vraie, alors :
0 G un + 1 G un + 2 G a .
La fonction f est dérivable sur 60 ; + 3 6 et
5
, donc f est croissante sur 60 ; + 3 6 .
f l^ x h =
^ x + 1h2
En utilisant l’hypothèse de récurrence,
f ^0 h G f ^unh G f ^un + 1h G f ^ah .
naturel n, un H 0 .
◗ Initialisation : u0 = 0 .
◗ Hérédité : démontrons que si un H 0 , alors un + 1 H 0.
D’après l’hypothèse de récurrence, u n2 + 3un + 1 H 0 ,
donc un + 1 H 0 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un H 0 :
un + 1 - un = u n2 + 2un + 1 H 0 .
Donc la suite u est croissante.
2 Si la suite u est majorée, comme elle est croissante, elle converge vers une solution de l’équation
2
x = x2 + 3x + 1 + ^ x + 1h = 0 + x =- 1 .
3 La suite étant positive, elle ne peut pas converger vers
- 1.
Donc la suite u n’est pas majorée. Comme elle est croissante, elle diverge vers + 3 .
4 a.
ALGO
Variables :
A, U : réels ; N : entier ;
Début :
Entrer(A) ;
N ! 0;
U ! 0;
TantQue U G A Faire
N ! N+1;
U ! U² + 3U + 1 ;
FinTantQue ;
Afficher(N) ;
Fin.
b. i. N = 4 ;
ii. N = 5 .
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
15
83 1 Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n, 0 G wn G 1 .
◗ Initialisation : w0 = 0,6 , donc w0 ! 60 ; 1 @.
◗ Hérédité : démontrons que si 0 G wn G 1 est vraie,
alors 0 G wn + 1 G 1 .
La fonction f : x
0,7x + 0,1 est croissante sur R. En
utilisant l’hypothèse de récurrence, f ^0 h G f ^wnh G f ^1 h.
Comme f ^0 h = 0,1 et f ^1 h = 0,8, on a bien
0 G wn + 1 G 1 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, wn + 1 G wn .
2 Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n, wn + 1 G wn .
◗ Initialisation : w1 = 0,56 , donc w1 G w0 .
◗ Hérédité : démontrons que si 0 G wn + 1 G wn est
vraie, alors 0 G wn + 2 G wn + 1 .
La fonction f est croissante sur R. En utilisant l’hypothèse de récurrence, f ^wn + 1h G f ^wnh .
Donc on a bien wn + 2 G wn + 1 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, wn + 1 G wn .
La suite w est décroissante.
3 La suite w est décroissante et minorée par 0. Donc elle
converge vers une solution de l’équation f ^ x h = x , qui
1
est ici .
3
7
Limite d’une suite géométrique
n
84 a. La suite de terme général c 2 m est une suite
3
2
géométrique de raison . Donc elle converge vers 0.
3
Donc lim un =- 1 (opération sur les limites).
n "+3
6 n
b. vn = 7 n cc 7 m - 1 m . La suite de terme général
6 n
c m est une suite géométrique de raison 6 , donc
7
7
elle converge vers 0 ; la suite de terme général 7 n est
géométrique de raison 7, donc elle diverge vers + 3 ,
donc lim vn =- 3 (opération sur les limites).
n "+3
85 a. Pour tout entier naturel n,
5 n
5n + 3
= 53 # c m .
n
8
8
n
5
5
Or,
1 1 . Donc lim c 8 m = 0 .
8
n "+3
On en déduit que lim un = 0 .
un =
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
n "+3
b. On factorise par les termes dominants au numérateur
et au dénominateur. Pour tout entier naturel n :
3 n
3 n
4 n # aa k - 1 k
4 n a 4 k -1
4
.
vn =
n =a 3 k #
2 n
n#c + 2
3
1 c mm
1+c m
3
3
3 n
4 n
On a : lim c 3 m =+ 3 ; lim c 4 m = 0
n "+3
n "+3
2 n
et lim c 3 m = 0 .
n "+3
Par produit et quotient, on obtient :
lim vn =- 3 .
n "+3
16
Livre du professeur - CHAPITRE 1
n
86 a. lim 1 = 0 et la suite de terme général c 1 m
3
n "+3 n
1
est une suite géométrique de raison
, donc elle
3
converge vers 0. Donc lim un = 0 (opération sur les
n "+3
limites).
n
3
b. vn = c 4 m est le terme général d’une suite géomé3
trique de raison
, donc convergeant vers 0.
4
Donc lim vn = 0 .
n "+3
87 Démontrons par récurrence pour tout entier n H 1
que : pour tout entier non nul k G n , uk = 2 # 3 k - 2 k .
◗ Initialisation :
u1 = 2 # 31 - 21 = 4 et u2 = 2 # 32 - 22 = 14 vérifiées.
◗ Hérédité : soit un entier n H 2 . Démontrons que si
pour tout entier k, 1 G k G n , on a uk = 2 # 3 k - 2 k ,
alors un + 1 = 2 # 3 n + 1 - 2 n + 1 .
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :
un + 1 = 5^2 # 3 n - 2 nh - 6^2 # 3 n - 1 - 2 n - 1h .
Donc : un + 1 = 10 # 3 n - 5 # 2 n - 4 # 3 n + 3 # 2 n .
Donc : un + 1 = 6 # 3 n - 2 # 2 n = 2 # 3 n + 1 - 2 n + 1 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 1 ,
un = 2 # 3 n - 2 n
2 n
un = 2 # 3 n c1 - c m m .
3
2 n
La suite de terme général c 3 m est une suite géomé2
qui converge vers 0. La suite de
trique de raison
3
terme général ^3 hn est une suite géométrique de raison
qui diverge vers + 3 . Donc lim un =+ 3 .
n "+3
88 Il s’agit de calculer la limite de la suite de terme
2 n
rc
2
1 + + f + c 3 m m , c’est-à-dire la
2
3
somme des n premiers termes d’une suite géométrique
2
de raison .
3
2 n+1
1-c 3 m
r
r
r 2 n+1
= 3 -3 c m
.
Donc :
sn =
2
2
2
2 3
13
2
converge vers 0.
Toute suite géométrique de raison
3
3r
. Le ressort a pour longueur
Donc lim sn =
2
n "+3
3r
cm.
2
général sn =
89 1 La suite de terme général u = 1 est une suite
k
k
géométrique de raison
n+1
1
=
10 k
1
. Donc :
10
10
1 n+2
1 - c 10 m
1
1
1
-1=
c1 - n m .
1
10
90
10
k=2
110
n+1
1
2 vn = 1, 2 + 7 f /
k p, donc :
10
k=2
/
7
7
1
.
1 - n m , donc lim vn = 1,2 +
90
90 c
10
n "+3
7
115
=
.
Soit lim vn = 1,2 +
90
90
n "+3
vn = 1,2 +
Suites numériques
Prépa Bac
Exercices guidés
90 1 Vrai. Démontrons par récurrence que pour tout
n
.
n+1
0
= 0 vraie.
◗ Initialisation : u0 =
1
n
, alors
◗ Hérédité : démontrons que si un =
n+1
n+1
.
un + 1 =
n+2
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :
n^n + 2h + 1
n
1
+
=
un + 1 =
n+1
^n + 1h^n + 2h
^n + 1h^n + 2h
^n + 1h2
=
.
^n + 1h^n + 2h
n+1
Donc un + 1 =
.
n+2
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n,
n
.
un =
n+1
2 Faux. Pour tout entier naturel n non nul :
n^n + 1h
1
1
1
=
+
.
Sn = 2 ^1 + 2 + f + nh =
2
n
2
2
n
2n
1
est décroissante et elle
La suite de terme général
2n
1
1
= 0.
converge vers , car lim
2
n " + 3 2n
n
3 Vrai. Pour tout entier naturel n, 0 G 1 + ^- 1h sin n G 2,
2
donc 0 G vn G
G 2 . La suite v est bornée par
n+1
0 et 2, et elle converge vers 0 d’après le théorème des
gendarmes.
entier naturel n , un =
91 1 a. Pour tout réel x de l’intervalle 60 ; 14 @ ,
f l^ x h = 1,4 - 0,1x H 0 . Donc la fonction f est croissante sur 60 ; 14 @.
b. Sur 60 ; 14 @, f ^ x h = x + x^0,4 - 0,05x h = 0 + x = 0
ou x = 8 .
c. La fonction f est croissante sur 60 ; 14 @. Si 0 G x G 8,
alors f ^0 h G f ^ x h G f ^8 h , soit f ^ x h ! 60 ; 8 @.
De même, si x appartient à l’intervalle 68 ; 14 @, alors
f ^ x h appartient à l’intervalle 68 ; 14 @.
2 a.
y
On peut conjecturer que la suite u est croissante et
semble converger vers 8.
b. Démontrons par récurrence, que pour tout entier
naturel n, 0 G un G un + 1 G 8 .
◗ Initialisation : u0 = 6 et u1 = 6,6 , donc 0 G u0 G u1 G 8 .
◗ Hérédité : démontrons que si 0 G un G un + 1 G 8 , alors
0 G un + 1 G un + 2 G 8 .
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a
0 G un G un + 1 G 8 et comme f est croissante sur
60 ; 8 @ , on a :
f ^0 h G f ^unh G f ^un + 1h G f ^8 h ;
donc 0 G un + 1 G un + 2 G 8 .
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n,
0 G un G un + 1 G 8 .
La suite u est donc croissante et majorée par 8.
c. La suite u est croissante et majorée par 8. Donc elle
converge vers une solution de l’équation f ^ x h = x ,
c’est-à-dire 0 ou 8. Or, pour tout entier naturel n, un H u0,
soit un H 6 .
Donc la suite u converge vers 8.
3 On a f ^8 h = 8 .
◗ Si u0 ! @ 0 ; 8 6 , la suite u est croissante et converge vers
8 comme vu ci-dessus.
◗ Si u0 ! @ 8 ; 14 @, la suite u est décroissante à partir du
deuxième terme et converge vers 8.
◗ Si u0 = 8 , la suite u est stationnaire à 8.
◗ Si u0 = 0 , la suite u est stationnaire à 0.
92 1 a. Pour tout entier naturel n,
1
1
1
# vn .
=
u 5 n 5
5
1
et de
Donc la suite v est géométrique de raison
5
terme initial v0 = u0 - 1 = 12 .
1 n
b. Pour tout entier naturel n, vn = 12 # c 5 m . Donc :
1 n
un = 1 + vn = 1 + 12 # c 5 m .
1
Comme 0 1 1 1 , lim un = 1 .
5
n "+3
2 a. Pour tout entier naturel n,
Sn + 1 - Sn = ^u0 + f + un + un + 1 - ^n + 1h - 1h
vn + 1 = un + 1 - 1 =
-^u0 + f + un - n - 1h = un + 1 - 1 = 12 # c
1 n+1
m
.
5
Donc Sn + 1 - Sn 2 0 . La suite S est croissante.
1 1
S1 - S0 = 12 # c 5 m ,
1 n
1 2
S2 - S1 = 12 # c 5 m , … , Sn - Sn - 1 = 12 # c 5 m .
En sommant ces égalités, on obtient :
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
b. D’après la question
5
1
1 2
1 n
+a k + f +a k m
5
5
5
n
1
1 -a k
1
1 n
5
#
#
= 3 a1 - a k k .
= 12
5
1
5
15
Comme S0 = u0 - 1 = 12 , on a :
1 n
1 n
Sn = S0 + 3 - 3 # a k = 15 - 3 # a k .
5
5
Sn - S0 = 12 # c
1
0 1
2 a.,
5 u0 u1 u2 u3
10
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
17
1
1 1 , on a : lim Sn = 15 .
5
n "+3
3 a. L’algorithme donné est erroné. De proche en
proche, on calcule la somme des termes un , puis le
terme Sn , jusqu’à ce que la distance entre Sn et 15 soit
inférieure à 10-3 .
ALGO
c. Comme 0 1
Variables :
N : entier ; a ,u réels ;
Début :
Entrer (a) ;
N ! 0;u ! a;
TantQue u H 0,01 Faire
N ! N + 1;
u ! u2 + u ;
FinTantQue
Afficher (N) ;
Fin.
ALGO
Variables :
N : entier ;
U , Somme , S : réels ;
Début :
N ! 0;
U ! 13 ;
Somme ! U ;
S ! Somme – N – 1 ;
TantQue S - 15 2 10-3 Faire
N ! N+1;
U ! U / 5 + 4/5 ;
Somme ! Somme + U ;
S ! Somme – N – 1 ;
FinTantQue ;
Afficher (N) ;
Fin.
b. Il s’agit de rajouter l’instruction : « Entrer (e) ; » et de
modifier la condition dans la boucle TantQue : « TantQue
S - 15 2 e Faire ».
c. i. N = 4 ;
ii. N = 8 .
Exercices d’entraînement
2
93 1 Pour tout entier naturel n, u
n + 1 - un = u n H 0 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
La suite u est croissante.
2 a. Pour tout x ! R , hl^ x h = 2x + 1 . Doù le tableau de
variations :
1
x
0 +3
-3 -1
2
+3
+3
h^ x h
0
0
1
4
On en déduit que, pour tout x appartenant à @ - 1 ; 0 6 , le
nombre h^ x h appartient aussi à @ - 1 ; 0 6 .
b. Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n, - 11 un 1 0 .
◗ Initialisation : u0 = a et a ! @ - 1 ; 0 6 .
◗ Hérédité : démontrons que si - 1 G un G 0 , alors
- 11 un + 1 1 0 .
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a un ! @ - 1 ; 0 6
et en utilisant la question 2 a. on a : h^unh ! @ - 1 ; 0 6,
donc - 11 un + 1 1 0 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, - 11 un 1 0 .
3 La suite u est croissante et majorée par 0, donc elle
converge vers une solution de l’équation h^ x h = x , soit
x2 = 0 , c’est-à-dire 0.
4 a. Voir ci-après l’algorithme complété.
b. Modifier les lignes :
Variables :
N : entier ; a, e, u réels ;
Entrer(e) ;
TantQue u H e .
18
Livre du professeur - CHAPITRE 1
c. i. N = 99 987 .
94
ii. N = 99 985 .
1 10w10 = ^10 + 1h w9 + 1 = 11 # 19 + 1 = 210 ,
donc w10 = 21 .
2 Il semble que la suite w soit une suite arithmétique de
raison 2 et de premier terme 1.
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel
n, wn = 1 + 2n .
◗ Initialisation : 1 + 2 # 0 = 1 = w0 .
◗ Hérédité : démontrons que si wn = 1 + 2n , alors
wn + 1 = 1 + 2^n + 1h .
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :
^n + 1hwn + 1 = ^n + 2h^1 + 2nh + 1 = 2n2 + 5n + 3
et ^n + 1hwn + 1 = ^n + 1h^2n + 3h , soit wn + 1 = 2n + 3.
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, wn = 1 + 2n .
w2012 = 4 025 .
95 Partie A
Comme
lim un =+ 3 , pour tout réel A, il existe un
n "+3
rang N tel que pour tout entier n H N , un ! @ A ; + 3 6 .
Comme pour tout entier n, un G vn pour tout réel A,
il existe un rang N tel que pour tout entier n H N ,
vn ! @ A ; + 3 6 , donc lim vn =+ 3 .
n "+3
Partie B
5
14
14
; u2 =; u3 =.
3
9
27
2 a. Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n H 4 , un H 0 .
1
67
◗ Initialisation : u4 = u3 + 3 - 2 =
H 0.
3
81
◗ Hérédité : démontrons que pour n H 4 , si un H 0 ,
alors un + 1 H 0 .
Comme n H 4 , n - 2 2 0 et en utilisant l’hypothèse de
récurrence, on a un + 1 H 0 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 4 , un H 0 .
b. Comme n H 5 , un H 0 , donc un + 1 H n - 2 H n - 3 .
c. lim n - 3 =+ 3 . Donc, d’après le théorème de
1 u1 =-
n "+3
comparaison, lim un =+ 3 .
n "+3
21
, soit :
2
1
21
.
vn + 1 =- 2 c 3 un + n - 2 m + 3^n + 1h 2
2
7
vn + 1 =- un + n - .
3
2
1
Donc, pour tout entier naturel n, vn + 1 = vn .
3
3 a. vn + 1 =- 2un + 1 + 3^n + 1h -
Suites numériques
1
La suite v est une suite géométrique de raison
et de
3
25
.
premier terme v0 =2
b. On en déduit que pour tout n ! N ,
25 c 1 mn
2 3
1
3
21
, donc :
et comme un =- vn + n 2
2
4
25 c 1 mn 3
21
+ n.
un =
4 3
2
4
vn =-
97 Partie A
25 c 1 mn
est le terme général d’une suite
4 3
1
géométrique de raison
elle converge vers 0.
3
3
21
=+ 3 .
Donc lim un = lim
n4
n "+3
n "+3 2
4 Pour tout entier n H 4 , un H 0 et un H n - 3 . Donc :
Sn = u0 + u1 + f + un H u0 + f + u4 + n - 3 .
Donc lim Sn =+ 3 en utilisant le théorème de compac. Comme
n "+3
raison.
96 1 a.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 u4 u3 u2 u1
1
1
un + 1 - 1
un - 1
un + 2
1
1
=
= .
3
un - 1
3^un - 1h
vn + 1 - vn =
Partie B
1 a. La fonction f définie est dérivable sur 60 ; 20 @ et
1
f l^ x h = ^10 - x h , d’où le tableau de variations :
5
0
10
20
10
0
0
b. D’après le tableau ci-dessus pour tout x ! 60 ; 20 @,
f ^ x h ! 60 ; 10 @.
u05
2 • Démontrons par récurrence que pour tout entier
b. Il semble que la suite u soit décroissante et converge
vers 1.
2 a. Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n, un H 1 .
◗ Initialisation : u0 = 5 , donc u0 H 1 .
◗ Hérédité : démontrons que si un H 1 , alors un + 1 H 1 .
La fonction f est dérivable sur @ - 2 ; + 3 6 et
9
f l^ x h =
2 0 . Donc la fonction f est une fonc^ x + 2h2
tion croissante sur @ - 2 ; + 3 6 . En utilisant l’hypothèse
de récurrence, on a un H 1 et comme f est croissante
sur @ - 2 ; + 3 6 on a f ^unh H f ^1 h .
Comme f ^1 h = 1 , on a un + 1 H 1 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un H 1 .
b. Pour tout entier naturel n :
^un - 1h2
=G0
un + 1 un
un + 2
d’après la question précédente.
Donc la suite u est décroissante.
c. La suite u est décroissante et minorée par 1. Donc la
suite u converge vers un réel , , solution de l’équation
f ^ x h = x , c’est-à-dire , = 1 .
3 a. Pour tout entier naturel n :
0
f ^xh
1
0
a. La suite u est croissante, donc pour tout entier n H n0,
on a un H un0 .
b. D’après la définition, l’intervalle ouvert @ , - 1 ; un0 6
contient , , donc il existe un rang N tel que pour tout
entier n H N , on a un ! @ , - 1 ; un0 6 .
c. D’après b., si n H sup ^N, n0h , un 1 un ce qui contredit
la question a.. Donc la suite u est majorée par , .
x
5
1
et de
Donc la suite v est arithmétique de raison
3
1
1
= .
terme initial v0 =
4
u0 - 1
1
n
+ .
b. Pour tout entier naturel n, vn =
4
3
12
1
= 1+
.
Donc un = 1 +
vn
3 + 4n
12
= 0 . Donc lim un = 1 .
c. On a lim
+
3
4n
+
n" 3
n "+3
naturel n, 0 G un G un + 1 G 10 .
◗ Initialisation : u0 = 1 et u1 = 1,9 , donc :
0 G u0 G u1 G 10.
◗ Hérédité : démontrons que si 0 G un G un + 1 G 10 ,
alors 0 G un + 1 G un + 2 G 10 .
La fonction f est croissante sur 60 ; 10 @. En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :
f ^0 h G f ^unh G f ^un + 1h G f ^10h
et comme f ^0 h = 0 et f ^10h = 10 , on en déduit que
0 G un + 1 G un + 2 G 10 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n,
0 G un G un + 1 G 10 .
3 La suite u est croissante et majorée par 10. Donc
elle est convergente vers une solution de l’équation
f ^ x h = x . Donc elle converge vers 10.
4 D’après cette modélisation, le nombre de foyers français possédant un téléviseur à écran plat ne dépassera
pas 10 millions.
98 Partie A
1 P1 : Faux ; P2 : faux ; P3 : vrai ; P4 : vrai.
2 La propriété P3 est la négation de la proposition P1.
Partie B
1 Soit un entier p H 1 .
a. 4^ p + 1h + 1 - 4^4p + 1h = 1 - 12p .
b. Si p H 1 , alors 1 - 12p 1 0 .
Donc 4^4p + 1h 2 4^ p + 1h + 1 .
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
19
2 Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n 2 1 , 4 n 2 4n + 1 .
◗ Initialisation : 42 2 4 # 2 + 1 est vraie.
◗ Hérédité : démontrons que si 4 n 2 4n + 1 , alors
4 n + 1 2 4^n + 1h + 1 ;
4 n + 1 = 4 # 4 n , donc en utilisant l’hypothèse de récurrence, 4 n + 1 2 4 # ^4n + 1h H 4^n + 1h + 1 d’après la
question 1 b..
◗ Conclusion : pour tout entier naturel, n 2 1 ,
4 n 2 4n + 1 .
0
• Pour n = 0 : 4 = 1 et 4 # 0 + 1 = 1 .
• Pour n = 1 : 41 = 4 et 4 # 1 + 1 = 5 .
f est dérivable sur 60 ; 1 @ et
10
f l^ x h =
2 0 , d’où le tableau des variations de f :
^ x + 4h2
99 1 La fonction
x
f l^ x h
0
1
+
1
1
2
2 Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n, un ! I .
◗ Initialisation : u0 = 0 , donc u0 ! I .
◗ Hérédité : démontrons que si un ! I , alors un + 1 ! I .
En utilisant l’hypothèse de récurrence, un ! I et le
tableau de variations ci-dessus, f ^unh ! I . Donc
un + 1 ! I .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un ! I .
3 a.
y
f ^xh
1
3x + 2
= x + ^1 - x h^ x + 2h = 0 .
x+4
Les solutions sont 1 et - 2.
La suite u étant positive, elle converge vers 1.
4 a. Pour tout entier naturel n :
3un + 2
-1
2un - 2
u
1
un + 4
=
=
.
vn + 1 = n + 1
5un + 10
un + 1 + 2
3un + 2
+2
un + 4
2
Donc vn + 1 = vn .
5
2
La suite v est une suite géométrique de raison .
5
1
1 c 2 mn
b. v0 =- . Donc vn =.
2
2 5
2v + 1
.
c. Pour tout entier naturel n, un = n
1 - vn
2 n
1-c 5 m
Donc :
.
un =
1 c 2 mn
1+
2 5
2
, donc elle
d. La suite v est géométrique de raison
5
converge vers 0. La suite u converge donc vers 1 (opérations sur les limites).
100
Partie 1
1 On peut compléter un tableau de suivi des variables :
i
Étapes
n
u
S
Initialisation 3
1
1
0
Boucle « Tant Que »
2#1+ 1- 0= 3 1+ 3= 4 0+ 1= 1
013
2 # 3 + 1 - 1 = 6 4 + 6 = 10 1 + 1 = 2
113
2
# 6 + 1 - 2 = 11 10 + 11 = 21 2 + 1 = 3
213
Fin de la boucle « Tant Que »
Affichage : u = 11 et S = 21.
2
Valeur de n
0
1
2
3
4
5
Affichage de u
1
3
6
11
20
37
Affichage de S
1
4
10
21
41
78
Partie 2
1 Elles représentent les valeurs successives de un et Sn .
2 a. Recopier et compléter le tableau suivant :
n
0
1
2
3
4
5
un
1
3
6
11
20
37
un - n
1
2
4
8
16
32
n
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
0
u0
u1
u2 u3 1
x
b. Il semble que la suite u soit croissante et convergente
vers 2.
c. Pour tout entier naturel n, on a :
^1 - unh^un + 2h
.
un + 1 - un =
un + 4
Comme un ! I , on a 1 - un H 0 et un + 2 H 0 . Donc,
pour tout entier n, un + 1 - un H 0 . La suite u est croissante.
d. La suite u est croissante et majorée par 1, donc elle
converge vers une solution de l’équation f ^ x h = x .
20
Livre du professeur - CHAPITRE 1
On peut conjecturer que un - n = 2 .
b. Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel n, un = 2 n + n .
◗ Initialisation : u0 = 20 + 0 = 1 vraie.
◗ Hérédité : démontrons que, si un = 2 n + n , alors
un + 1 = 2 n + 1 + n + 1 .
un + 1 = 2un + 1 - n . Donc, en utilisant l’hypothèse
de récurrence, un + 1 = 2^2 n + nh + 1 - n ; donc
un + 1 = 2 n + 1 + 2n + 1 - n , soit un + 1 = 2 n + 1 + n + 1 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un = 2 n + n .
3 Sn = ^2 0 + 0h + ^21 + 1h + f + ^2 n + nh
Sn = ^1 + 21 + f + 2 nh + ^1 + 2 + f + nh .
Suites numériques
Donc :
n^n + 1h
n^n + 1h
1 - 2n + 1
+
= 2n + 1 - 1 +
.
Sn =
2
2
1 2
5#6
= 78 .
Vérification : S5 = 26 - 1 +
2
101
Partie A
Soit un réel q. Si q ! @ 0 ; 16 , alors
1
2 1 et
q
n
1
1
,
lim c m =+ 3 . Donc, comme q n =
q
n "+3
1 n
c m
q
lim q n = 0 en utilisant les opérations sur les limites.
n "+3
Partie B
1 a. Pour n = 5 on obtient u = 5 000 # 0,85 = 1638,4 .
b. Modification :
Pour i allant de 1 à n faire u ! 0, 8u + 1500 ; FinPour
c. La suite u semble croissante et converger vers 7 500.
2 a. Pour tout entier naturel n,
vn + 1 = un + 1 - 7 500 = 0,8un + 1500 - 7 500
= 0,8^un - 7 500h = 0,8vn .
La suite v est une suite géométrique de raison 0,8 et de
premier terme v0 =- 2 500 .
b. Pour tout entier naturel n, vn =- 2 500 # 0,8 n .
Donc un = vn + 7 500 = 7 500 - 2 500 # 0,8 n .
3 • un + 1 - un = 2 500 # 0,8 n # 0,2 2 0 .
Donc la suite u est croissante.
• lim 0,8 n = 0 (suite géométrique de raison qui en
n "+3
valeur absolue est strictement inférieure à 1).
Donc lim un = 7 500 .
n "+3
4 a. On calcule un de proche en proche, jusqu’à ce que
la distance à 7 500 soit inférieure à 0,1.
b. Algorithme modifié.
Variables :
N : entier ; u ; e réels ;
Début :
N ! 0 ; u ! 5 000 ;
Entrer(e) ;
TantQue 7 500 - u H e Faire
N ! N+1;
u ! 0,8 u + 1 500 ;
FinTantQue
Afficher (N) ;
Fin.
102
1 a. b.
103
Partie A
1 La suite u est non majorée si pour tout réel M, il existe
un entier naturel n tel que un H M .
2 Soit un réel M.
a. On suppose qu’il existe un entier n0 tel que un0 H M .
Comme la suite u est croissante, pour tout entier n H n0 ,
un H M .
b. On en conclut que la suite u diverge vers l’infini.
3 Si la suite u est croissante et non majorée, alors
lim un =+ 3 .
n "+3
Partie B
1 Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n, un H 1 .
◗ Initialisation : u0 = 1 H 1 .
◗ Hérédité : démontrons que si un H 1 , alors un + 1 H 1 .
1
Si un H 1 , alors
2 0 . Donc un + 1 H un H 1 .
un
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un H 1 .
1
2 Pour tout entier naturel n, un + 1 - un =
H 0.
un
La suite u est croissante.
3 a. Si la suite u est majorée, comme elle est croissante,
elle converge.
b. La limite , de la suite u est solution de l’équation
1
par unicité de la limite d’une suite.
x = x+
x
4 Comme l’équation précédente n’a pas de solution, la
suite u ne converge pas. Donc la suite u n’est pas majorée
et alors lim un =+ 3 .
ALGO
c. i. N = 36 ;
c. La suite u semble croissante et converger vers 4.
2 Si la suite u converge, les limites possibles sont les
1
solutions de l’équation 2x - x2 = x + x^ x - 4h = 0.
4
Les limites possibles sont 0 et 4.
3 La fonction f est croissante sur 60 ; 4 @ .
Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel n, 0 G un G 4 .
◗ Initialisation : u0 = 1 , donc u0 ! 60 ; 4 @.
◗ Hérédité : démontrons que si 0 G un G 4 , alors
0 G un + 1 G 4 .
D’après l’hypothèse de récurrence, 0 G un G 4 et le fait
que f est croissante sur 60 ; 4 @, on a f ^0 h G f ^unh G f ^4h,
soit 0 G un + 1 G 4 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, 0 G un G 4 .
Pour tout entier naturel n,
1
un + 1 - un = un c1 - 4 un m H 0 d’après la question
précédente. La suite u est donc croissante.
4 La suite u est croissante et majorée par 4, donc elle
converge vers 4 d’après la question 2 .
ii. N = 46 .
y
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
n "+3
Problèmes
104
1
0
1 Pour tout entier naturel n :
1
2
+ u - un + 1 ;
u
3 n+1 3 n
2
2
soit vn + 1 =- ^un + 1 - unh =- vn .
3
3
vn + 1 = un + 2 - un + 1 =
1 u 0 u1
u2
u3
x
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
21
2
La suite v est une suite géométrique de raison et
3
de premier terme v0 = 1 .
2 Pour tout entier naturel n :
2
1
2
2
wn + 1 = un + 2 + un + 1 = un + 1 + un + un + 1 .
3
3
3
3
=
wn + 1 wn . La suite w est constante.
3 w0 = 1 . Donc pour tout entier naturel n, wn = 1 .
3
4 Pour tout entier naturel n, un =
w - vnh .
5^ n
n
2
Comme vn = c- 3 m et wn = 1 , on a :
un =
2 n
3c
1 - c- 3 m m .
5
2 n
3
Or, lim c- 3 m = 0 . Donc lim un = .
5
n "+3
n "+3
x
est croissante
1+x
sur 60 ; + 3 6 et f ^0 h = 0 et lim f ^ x h = 1 . Donc pour
x "+3
tout entier n, 0 G vn G 1 .
2 Vrai. Car dans ce cas, 1 + un converge vers un réel non
nul.
3 Vrai. Pour tout entier n, un G un + 1 .
Comme f est croissante, alors f ^unh G f ^un + 1h , c’est-àdire vn G vn + 1 .
vn
4 Faux. Pour tout entier naturel n, un =
.
1 - vn
Si la suite v converge vers 1, alors la suite u diverge.
105
106
1 Vrai. La fonction f : x
7
1 Si pour tout entier naturel n, un G M , la suite u
est majorée par M.
2 Si P1 et P5 sont vraies, alors la suite u converge.
3 Si P2 et P5 sont vraies, la suite u diverge vers + 3 .
4 Vrai.
107
1 a. On propose :
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 Si m H 83 , alors um H 5 .
2 Pour tout entier naturel n non nul,
1
H 0 . Donc la suite u est croissante.
n+1
3 Pour tout entier naturel n non nul et tout entier
naturel i inférieur à 2 n on a 2 n + i G 2 n + 2 n = 2 n + 1 ,
1
1
.
donc n + 1 G n
2 +i
2
4 a. La somme Sn comporte 2 n termes, chacun étant
1
supérieur à n + 1 d’après la question 3 .
2
2n
1
Donc Sn H n + 1 , c’est-à-dire Sn H .
2
2
b. Pour n H 1 ,
un + 1 - un =
1
1
1
k+a + k+ f
2
3
4
1
1
+c n
+f+ n
m.
2 +1
2 + 2n
Donc S0 + S1 + f + Sn = u2n + 2n = u2n+1 .
1
c. On a : S0 + S1 + f + Sn H ^n + 1h # . Donc :
2
n+1
n
1
+
. Donc la suite u n’est pas majorée.
u2 H
2
n+1
5 Comme lim
=+ 3 , on a alors lim un =+ 3.
2
+
n" 3
n "+3
Variables :
N, i : entiers ; U : réel ;
Début ;
Entrer(N) ;
U ! 1;
Pour i allant de 2 à N faire
1
U ! U # c1 - 2 m ;
i
FinPour ;
Afficher(U) ;
Fin.
109
1
b. La suite u semble décroissante et converger vers .
2
2 a. Pour tout entier, on a :
1
un + 1 = un c1 m,
+
^n 1h2
n^n + 2h
donc :
un + 1 =
un .
^n + 1h2
b. Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel n H 2 :
n+1
.
un =
2n
Livre du professeur - CHAPITRE 1
108
S0 + S1 + f + Sn = a1 +
ALGO
22
2+1
1
3
=
=
vraie.
4
4
2#2
n+1
◗ Hérédité : démontrons que si un =
, alors
2n
^n + 1h + 1
.
un + 1 =
2^n + 1h
En utilisant l’hypothèse de récurrence :
n^n + 2h
n^n + 2h
n+1
.
un + 1 =
2 un , soit un + 1 =
2 #
2n
^n + 1h
^n + 1h
^n + 2h
Donc :
.
un + 1 =
2^n + 1h
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 2 ,
n+1
.
un =
2n
• On a pour tout entier n H 2 ,
-1
un + 1 - un =
G 0,
2n^n + 1h
donc la suite u est décroissante.
1
n
= .
• lim un = lim
2
n "+3
n " + 3 2n
◗ Initialisation : u2 = 1 -
a. Démontrons par récurrence que pour tout entier
kn
kk
.
G
n H k,
n!
k!
kk
kk
vraie.
◗ Initialisation : pour n = k ,
G
k!
k!
kn
kk
, alors
◗ Hérédité : démontrons que si
G
n!
k!
kn + 1
kk
.
G
k!
^n + 1 h !
kn + 1
kn
k
#
=
On a
, en utilisant l’hypothèse
n
!
+
n
1
+
^n 1h!
kn + 1
kk
k
kk
#
, car
de récurrence,
G
G
k!
k!
n+1
^n + 1h!
k
G 1.
n+1
Suites numériques
kn
kk
.
G
n!
k!
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H k ,
x n kn
xn
=c m #
d’après la
k
n!
n!
x n c x mn k k
question précédente,
.
G k #
n!
k!
n
x
c. La suite de terme général c k m est géométrique de
x
inférieure à 1 en valeur absolue.
raison
k
x n
Donc lim c k m = 0 .
n "+3
x n kk
= 0.
On en déduit que lim c k m #
k!
n "+3
xn
= 0 d’après le théorème des gendarmes.
Donc lim
n " + 3 n!
b. Pour tout entier n H k :
110
1 u1 = 1 , u2 =
2
24
1
, u = , u5 =
,
9
625
2 3
567
.
1562 500
La suite u semble décroissante et convergente vers 0.
2 a. Pour tout entier n H 1 :
+
^n + 1hn 1
^n + 1hn
un
n!
n!
= n #
= n #
n!
un + 1
^n + 1h!
n
n
u10 =
n "+3
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Z
]] an + 1 = 0,9an + 0,1bn + 0,01cn
111 1
a. On a [ bn + 1 = 0,9bn + 0,1an + 0,01cn
]c
= 0,98cn
\ n+1
b. À l’aide du tableur, on obtient :
n "+3
que lim an = 5 500 et lim bn = 5 500 .
^n + 1hn
1 n
=
= c1 + m .
n
n
n
n
Comme ^1 + x h H 1 + nx , on a :
un
un
1
H 2.
H 1 + n # , c’est-à-dire
un + 1
n
un + 1
b. La suite u est strictement positive.
Pour tout entier naturel n, un H 2un + 1 H un + 1 .
Donc la suite u est décroissante.
u
u
u
un
3 a. En remarquant que n = 1 # 2 # f #
u0
u0
u1
un - 1
u
1
et que, pour tout entier naturel n, 0 1 n + 1 G , on a :
un
2
1
tout entier naturel n, 0 1 un G n - 1 .
2
1
b. lim n - 1 = 0 , donc d’après le théorème des
n "+3 2
gendarmes, lim un = 0 .
n "+3
On conjecture que la suite a est croissante à partir d’un
certain rang et converge vers 5 500, que la suite b est
croissante et converge vers 5 500 et que la suite c est
décroissante et converge vers 0.
c. Pour tout entier naturel n :
dn + 1 = an + 1 - bn + 1 = ^0,9an + 0,1bn + 0,01cnh
-^0,9bn + 0,1an + 0,01cnh .
Donc dn + 1 = 0,8^an - bnh = 0,8dn . La suite d est géométrique de raison 0,8 et de premier terme 3 000.
1 a. Les suites c et d sont géométriques. Donc pour tout
entier naturel n :
cn = 4 000 # ^0,98hn et dn = 3 000 # ^0,8hn .
b. On a pour tout entier naturel n :
an + bn + cn = 11000 et an = bn + dn .
1
Donc bn = 5 500 - ^dn + cnh , soit :
2
bn = 5 500 - 2 000 # 0,98 n - 1500 # 0,8 n
1
et an = 5 500 - ^cn - dnh , soit :
2
an = 5 500 - 2 000 # 0,98 n + 1500 # 0,8 n .
c. Comme lim cn = 0 et lim dn = 0 , on en déduit
n "+3
n "+3
Cela signifie qu’au bout d’un temps assez long, les populations des zones A et B se stabilisent chacune autour de
5 500 habitants.
112
1 On a naturellement pour tout entier naturel n
non nul :
1
mn + 1 = 3mn et an + 1 = an .
4
2 En prenant a = 1 , la suite u semble converge vers 0,5.
On peut conjecturer que le triangle sera entièrement
recouvert.
3 Pour tout entier naturel n, un + 1 - un est l’aire de
la surface recouverte en plus après n + 1 étapes du
processus.
3
un + 1 - un = mn + 1 # an + 1 = mn # an .
4
D’après 1 , les suites m et a sont géométriques de
1
, donc mn = 3 n - 1 et
raisons respectives 3 et
4
n-1
2
a c1 m
.
an =
8 4
3n
a2
.
Donc :
un + 1 - un = n + 1 #
2
4
4 En « additionnant » les égalités :
1
3
a2
#
#
4
4
2
6 000
u2 = u1 +
5 000
1 c 3 m2 a2
#
#
u3 = u2 +
4
4
2
…
4 000
a(n)
b(n)
c(n)
3 000
un = un - 1 +
2 000
3 n-1
a2 c 3 c 3 m2
+
+f+c m m ;
4
4
8 4
n-1
2
2
3
a
3a c
+
un =
1 - c 4 m m.
8
8
On obtient un = u1 +
1 000
0
1 c 3 mn - 1 a2
#
#
.
4
4
2
100
200
300
donc :
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
23
3 n-1
m
est une suite
4
3
inférieure à 1 en valeur
géométrique de raison
4
absolue, donc elle converge vers 0.
a2
On en déduit lim un =
. Donc le triangle sera entiè2
n "+3
rement recouvert.
Prendre des initiatives
5 La suite de terme général c
113
1 a. Pour tout entier naturel n,
Tn + 1 =
donc :
18Tn + 2 # 16
,
20
Tn + 1 = 0,9Tn + 1,6 .
b. On calcule le terme Tn jusqu’à obtenir une valeur inférieure à 40.
ALGO
Variables :
N : entier ; T : réel ;
Début :
N ! 0;
T ! 80 ;
TantQue T H 40 Faire
N ! N+1;
T ! 0,9 × T + 1,6 ;
FinTantQue ;
Afficher(N) ;
Fin.
On obtient N = 10 .
2 Pour tout entier naturel n, on a :
Un + 1 = Tn + 1 - 16 = 0,9Tn + 1,6 - 16 ,
donc :
Un + 1 = 0,9^Tn - 16h = 0,9Un .
La suite U est une suite géométrique de raison 0,9 et de
premier terme 64.
3 Pour tout entier naturel n, Un = 64 # ^0,9hn .
Donc Tn = 16 + 64 # ^0,9hn
3
ln
3
n
Tn 1 40 + ^0,9h 1
+ n 2 ln 08,9 .
8
3
ln c 8 m
Or,
. 9,3 et n est un entier.
ln ^0,9h
La température de 40 °C est atteinte au bout de 10 s.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
114
1 Si la suite u converge vers 1, tout intervalle
ouvert contenant 1 contient tous les termes à partir d’un
rang p.
1 3
On choisit l’intervalle E 2 ; 2 ; qui contient 1. Donc à
1 3
partir du rang p, un ! E 2 ; 2 ; .
Ainsi, à partir du rang p, la suite u est positive.
, 3,
2 Même raisonnement avec l’intervalle E
;
;
2 2 .
115
1 u4 = 0,2357 , u5 = 0,235711 .
2 La suite u est croissante et majorée par 1, donc elle est
convergente.
24
Livre du professeur - CHAPITRE 1
116
En utilisant un tableur, on
remarque que la suite u n’est pas
monotone, mais qu’elle semble
converger vers 1.
De plus, dès que n H 6 , alors
0 G un G 2 .
Pour tout entier naturel n, on note
P^nh la propriété : pour n H 6 ,
alors 0 G un G 2 .
◗ Initialisation :
pour n = 6 , on a u6 . 0,4 .
Donc P^6 h est vraie.
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 6 , P^nh
est vraie, c’est-à-dire que : 0 G un G 2 . Démontrons que
0 G un + 1 G 2 est vraie.
En utilisant l’hypothèse de récurrence,
u
2
+ 1 G 2,
0 G n +1 G
n
n
soit 0 G un + 1 G 2 , c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h
est vraie.
◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 6,
alors P^nh est vraie.
u
Pour tout entier naturel n H 6 , un + 1 - 1 = n .
n
2
Donc, d’après ce qui précède, 0 G un + 1 - 1 G .
n
2
= 0 , on a lim un - 1 = 0 .
Comme lim
n "+3 n
n "+3
=
Donc lim un 1 .
n "+3
1 + 3 + f + ^2n + 1h
.
^2n + 3h + ^2n + 5h + f + ^4n + 3h
^n + 1h^2n + 2h
• 1 + 3 + f + ^2n - 1h =
2
= ^n + 1h^n + 1h .
• Soit A = ^2n + 3h + ^2n + 5h + f + ^4n + 3h
^n + 1h^6n + 6h
= ^n + 1h^3n + 3h .
A=
2
^n + 1h^n + 1h
1
= .
Donc un =
3
^n + 1h^3n + 3h
1
La suite u est constante égale à .
3
117
118
On aun =
Pour tout entier n H 1 , on pose wn = nun .
nun + 4
, on a ^n + 1hun + 1 = nun + 4,
Comme un + 1 =
n+1
donc wn + 1 = wn + 4 .
La suite w est arithmétique de raison 4 et de premier
terme w0 = 1 .
Donc pour tout entier n H 1 ,
wn = 1 + 4^n - 1h = 4n - 3 .
4n - 3
.
On en déduit que, pour tout entier n H 1 , un =
n
4n
= 4.
On a lim un = lim
n "+3
n "+3 n
Suites numériques
7
tion x
4x + 5 (fonction affine de coefficient directeur positif ). En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a
5
1 G un G 5 et comme f est croissante sur E - 4 ; + 3 ;,
on a f ^1 h G f ^unh G f ^5 h, soit 3 G un + 1 G 5 . Donc
Pistes pour l’accompagnement
personnalisé
Revoir les outils de base
119
a. Pour tout entier naturel n, un + 1 - un = 7 2 0 .
Donc la suite u est croissante.
b. Pour tout entier naturel n, un + 1 - un = 2n + 4 H 0 .
Donc la suite u est croissante.
1 n+1
c. Pour tout entier naturel n, un + 1 - un =- c 2 m
G 0.
Donc la suite u est décroissante.
d. u0 = 4 , u1 = 3 et donc la suite u n’est pas croissante.
120
a. Faux. u5 = 5 et u6 = 9 .
b. Vrai.
c. Faux.
d. Vrai.
1 G un + 1 G 5 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, 1 G un G 5 .
La suite u est bornée.
123
a. On a lim
n "+3
1 n
b. On a lim c 3 m = 0 (suite géométrique de raison
n "+3
1
= 0.
inférieure à 1 en valeur absolue) et lim
3
+
n" 3 n
Donc lim vn = 0 .
- n2
2 =- 1 .
n "+3 n
c. On a lim wn = lim
121
Démontrons par récurrence, que pour tout entier
7
naturel n, un =
.
11
7
, vrai.
◗ Initialisation : u0 =
11
7
, alors :
◗ Hérédité : démontrons que si un =
11
7
.
un + 1 =
11
On a un + 1 = 100un - 63 , donc :
7
700 - 693
7
- 63 =
=
.
un + 1 = 100 #
11
11
11
7
.
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un =
11
La suite u est stationnaire.
y
1
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1
= 0.
n
n "+3
n "+3
0
n "+3
Donc lim un =+ 3 .
n "+3
Les savoir-faire du chapitre
122
n =+ 3 et lim -
6 n
d. tn = 6 n - 9 n = 9 n cc 9 m - 1 m . Donc en utilisant le
théorème sur la convergence des suites géométriques,
6 n
on a lim 9 n =+ 3 et lim c 9 m = 0 .
n "+3
n "+3
Donc lim tn =+ 3 .
n "+3
124
1 La suite u semble croissante et converger vers 2.
2 Pour tout entier naturel n :
1
^ u 2 + 12h - 4
4 ^ nh
1
1
= ^unh2 - 1 = vn .
4
4
vn + 1 = ^un + 1h2 - 4 =
1
et de
Donc la suite v est géométrique de raison
4
premier terme - 4.
3 La suite v converge vers 0 (sa raison est en
valeur absolue inférieure strictement à 1). Comme
un = vn + 4 , la suite u converge vers 2 (composée de
suites).
125
1 Vrai.
2 Faux.
3 Faux.
4 Vrai.
126
1 Faux.
1 Vrai.
3 Vrai.
4 Faux.
127
Partie A
AB
AC
x
1
=
=
, donc
, soit :
AC
BC
1
x-1
x2 - x - 1 = 0 .
1+ 5
2 Cette équation admet deux solutions
et
2
1- 5
.
2
1+ 5
Donc le nombre d’or est { =
.
2
^3 + 5 h^1 - 5 h
1
3+ 5
3 1+
=
=
^1 + 5 h^1 - 5 h
1+ 5
1+ 5
2
1+ 5
=
= {.
2
1 On doit avoir :
1u0
u1
u2 u3
x
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel
n, 1 G un G 5 .
◗ Initialisation : u0 = 1 , donc 1 G u0 G 5 .
◗ Hérédité : démontrons que si 1 G un G 5 , alors
1 G un + 1 G 5 .
La fonction f : x
4x + 5 est croissante sur
5
E; + 3 ; , car de même sens de variation que la fonc4
7
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
25
Partie B
1 Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel n :
P^nh : « pour tout entier naturel k G n , ak H 1 ».
◗ Initialisation : a0 = 1 , a1 = 1 ; vrai.
◗ Hérédité : soit un entier n H 1 ; démontrons que si P^nh
est vraie, alors P^n + 1h est vraie, c’est-à-dire an + 1 H 1 .
On a an + 1 = an + an - 1 . En utilisant l’hypothèse de
récurrence, an + 1 H 1 + 1 H 2 H 1 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, an H 1 .
a
2 • u0 = 1 = 1 .
a0
+ an
a
a
an
= 1+
.
• un + 1 = n + 2 = n + 1
an + 1
an + 1
an + 1
1
.
Donc pour tout entier naturel n, un + 1 = 1 +
un
3 Si la suite u converge, alors elle converge vers , solu-
1
, soit x2 - x - 1 = 0 .
x
Comme , doit être positive, , = { .
tion de l’équation x = 1 +
1
1
et { = 1 + . On soustrait
un
{
membre à membre, pour tout entier naturel n :
{ - un
1
1
=
.
un + 1 - { =
un
{
{un
4 a. On a un + 1 = 1 +
b. Pour tout entier naturel n :
un + 1 - { =
1 un - {
.
un
{
un - {
.
{
c. Démontrons par récurrence que pour tout entier
n
1
naturel n, un - { G d n 1 - { .
{
Comme un H 1 , on obtient un + 1 - { G
0
1
◗ Initialisation : d n 1 - { = 1 - { = u0 - { .
{
◗ Hérédité : démontrons que si :
n
1
un - { G d n 1 - { , alors :
{
n+1
1
un + 1 - { G d n
1-{ .
{
un - {
. En utilisant l’hypothèse de
On a un + 1 - { =
{
récurrence, on a un + 1 - { G
1 d1 n
{ {
n+1
1-{ .
1 n
1-{ .
{
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n,
n
1
un - { G d n 1 - { .
{
n
1
d. La suite de terme général d n est une suite
{
1
strictement inférieure à
géométrique de raison
{
1 en valeur absolue, donc elle converge vers 0, d’où
lim un - { = 0 .
Donc un + 1 - { G d
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
n+1
n "+3
Donc la suite u converge vers { .
26
Livre du professeur - CHAPITRE 1
128
1 En prenant u0 = 4 :
y
1
0
1
u2
u1
u0
x
La suite u semble être décroissante et converger vers
1,4.
2 Démontrons par récurrence que pour tout entier
2.
1 ,2 + 2
;
◗ Initialisation : u1 =
,
2
2
^, - 2 h
donc u1 - 2 H
H 0 . Donc u1 H 2 .
2,
◗ Hérédité : démontrons que si un H 2 , alors
un + 1 H 2 .
La fonction f est dérivable sur 6 2 ; + 3 6 et
^ x - 2 h^ x + 2 h
f l^ x h =
H 0.
2x2
Donc la fonction f est une fonction croissante sur
6 2 ; + 3 6.
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a un H 2 et f
est croissante sur 6 2 ; + 3 6 . Donc on a f ^unh H f ^ 2 h.
Comme f ^ 2 h = 2 , on a un + 1 H 2 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 1 , un H 2 .
naturel n H 1 , un H
1
2
3 un + 1 - un =
u +
2 c n un
m - un =
2 - ^unh2
.
2un
Comme un H 2 , on a un + 1 - un G 0 .
Donc la suite u est décroissante. Or, elle est minorée,
donc elle converge vers une solution de l’équation :
f ^ x h = x + x2 = 2 .
Donc la suite u converge vers 2 .
4 a. Pour tout entier naturel n,
un + 1 - 2 =
2
1
2
1
- 2=
u - 2h .
u +
2 c n un m
2un ^ n
Comme pour tout entier naturel n H 1 , un H 2
1 _u - 2 i2 1 _u - 2 i2
.
un + 1 - 2 G
G
n
2 n
2 2
b. Démontrons par récurrence que pour tout entier
n
1 2
naturel n H 1 , un - 2 G c 2 m ^u0 - 2 h .
◗ Initialisation :
2
1
1
u1 - 2 G
^u0 - 2 h G 4 ^u0 - 2 h.
2 2
◗ Hérédité : démontrons que si :
n
1 2
un - 2 G c 2 m ^u0 - 2 h ,
n+1
1 2
alors :
un + 1 - 2 G c 2 m ^u0 - 2 h .
Suites numériques
2
1
u - 2h .
2^ n
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :
On a un + 1 - 2 G
n
2
1 1 2
ca k u - 2 hm
2 2 ^ 0
n+1
^u0 - 2 h
1 2
,
G a k ^u0 - 2 h #
2
2
n
1
+
1 2
donc un + 1 - 2 G c 2 m ^u0 - 2 h .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 1 ,
n
1 2
un - 2 G c 2 m ^u0 - 2 h .
c. Pour que un soit une valeur approchée de 2 à 10-9
près, il suffit que :
n
10-9
1 2
1
c m # ^2 - 2 h 1 10-9 + 2 n ln c m 1 ln e
o
2
2
2- 2
J
N
-9
K ln c 10
mO
+ n 2 ln1^2h ln KK 2 -1 2 OO + n H 5 ,
K
O
ln c 2 m
L
P
car n est un entier.
5 a. On généralise la démarche du 4 c.
b. i. n = 4 ;
ii. n = 4 .
c. L’algorithme paraît converger très vite, la valeur initiale
de , paraît sans influence sur la vitesse de convergence.
un + 1 - 2 G
129
A. 1 • f ^1 h = 3 .
4
• Pour tout réel x de l’intervalle 61 ; + 3 6 , f l^ x h =- 2 ;
x
donc f l^1 h =- 4 .
• T1 a pour équation y =- 4x + 7 .
• La droite T1 coupe l’axe des abscisses au point de coor7
données a ; 0 k .
4
7
7
9
64
2 fc m=
, f lc 4 m =. La tangente T2 a pour
4
7
49
64
25
équation y =et coupe l’axe des abscisses
x+
49
7
175
au point d’abscisse x2 =
.
64
3 a. De même la tangente en An ^ xn ; f ^ xnhh a pour
8 - xn
4
.
équation xn + 1 =2 x+
xn
^ xnh
8xn - ^ xnh2
.
4
b. On a pour tout entier naturel n H 1 , xn + 1 = g^ xnh
7
et x1 = , où g est la fonction définie sur R par
4
8x - x2
.
g^ x h =
4
1 Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n H 1 , xn G 4 .
7
◗ Initialisation : x1 =
G 4.
4
◗ Hérédité : démontrons que si xn G 4 , alors xn + 1 G 4 .
La fonction g est dérivable sur 60 ; 4 @ et
4-x
gl^ x h =
H 0, donc g est une fonction crois2
sante sur 60 ; 4 @. En utilisant l’hypothèse de récurrence,
on a xn G 4 et comme g est croissante sur 60 ; 4 @ on a
g^ xnh G g^4h .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Donc xn + 1 =
Comme g^4h = 4 , on a xn + 1 G 4 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 1, xn G 4 .
2 On démontre aussi par récurrence que la suite de
terme général xn est croissante.
3 Donc, comme elle est majorée, la suite ^ xnh converge
vers une solution de l’équation g^ x h = x , c’est-à-dire la
solution de l’équation f ^ x h = 0 , c’est-à-dire 4.
B. 1 Soit la fonction f définie sur R par f ^ x h = x2 - 3,
de courbe représentative .
En toute abscisse a, la tangente à admet pour équation : y = 2ax - a2 - 3 ; elle coupe l’axe des abscisses
3
1
a2 + 3
en c
; 0 m , c’est-à-dire en d ca + a m ; 0 n .
2
2a
La méthode de Newton appliquée à l’équation f ^ x h = 0
conduit donc à l’étude de la suite v définie sur N par
1
3
, avec v0 = 3 , par exemple.
vn + 1 = cvn +
2
vn m
2 On démontre par récurrence que la suite v est
minorée par 3 .
3 Pour tout entier naturel n :
3 - ^vnh2
G 0.
vn + 1 - vn =
2vn
Donc la suite v est décroissante.
4 Comme la suite v est décroissante et minorée, elle
3
1
converge vers un réel , solution de x = c x + x m ,
2
c’est-à-dire vers , = 3 .
5 On calcule :
97
18 817
7
; v3 =
et v4 =
.
v0 = 3 ; v1 = 2 ; v2 =
56
10 864
4
Approfondissement
K^a + 1h
K^a + 1h
xn et Pn + 1 =
xn + 1
a
a
en transposant dans
Pn + 1 - Pn
P
= a c1 - n m ,
Pn
K
on obtient :
xn + 1 = ^1 + ahxn ^1 - xnh , soit en posant k = 1 + a :
xn + 1 = kxn ^1 - xnh .
• Pour tout entier naturel n, 0 G xn G 1 .
Car si xn 2 1 , alors xn + 1 1 0 .
2 a. Les seules limites possibles sont les solutions de
l’équation f ^ x h = x où la fonction f est définie sur R
par f ^ x h = kx^1 - x h ;
f ^ x h = x + x^k - 1 - kx h = 0 .
Les seules limites possibles de la suite x sont donc 0 et
k-1
.
k
k-1
b. Si k G 1 , alors
G 0 . La seule limite possible de
k
la suite ^ xnh est donc 0.
Pour tout entier naturel n :
k-1
- xn m G 0 .
xn + 1 - xn = kxn c
k
Donc la suite ^ xnh est décroissante. Or, elle est minorée
par 0. Elle est donc convergente.
On en déduit que la suite ^ xnh converge vers 0.
130
1 On a Pn =
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
27
c. On suppose que 11 k 1 2 .
• Le tableau de variations de la fonction f est :
x
f ^xh
0
0
1
2
k
4
1
0
1
k
1 , on montre par récurrence
4
2
1
que pour tout entier naturel n H 1 , 0 G xn G , puis en
2
1
utilisant le sens de variation de f sur ;0 ; 2 E , on montre
par récurrence que la suite ^ xnh est monotone à partir
du rang 1.
• On en déduit que la suite ^ xnh est convergente.
• Si la suite ^ xnh est croissante à partir du rang 1, elle
ne peut pas converger vers 0. Donc elle converge vers
k-1
.
k
• Si la suite ^ xnh est décroissante à partir du rang 1, pour
tout entier n H 1 , on a :
k-1
- xn m G 0 .
xn + 1 - xn = kxn c
k
k-1
k-1
- xn G 0 , soit xn H
Donc
.
k
k
La suite ^ xnh ne peut pas converger vers 0. Donc elle
k-1
.
converge vers
k
Vers le Supérieur
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
132
Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel n, un H 2 n + 3 .
◗ Initialisation : u0 H 23 ; vrai.
◗ Hérédité : démontrons que si un H 2 n + 3 , alors :
un H 2 n + 4 .
On a un + 1 = 3un - 5 .
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :
un + 1 H 3 # 2 n + 3 - 5 , soit un + 1 H 2 # 2 n + 3 + 2 n + 3 - 5 .
Comme pour tout entier naturel n, 2 n + 3 - 5 est positif,
on a un + 1 H 2 n + 4 .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n,
un H 2 n + 3 .
28
Livre du professeur - CHAPITRE 1
d’après le théorème de comparaison.
lim un =+ 3
n "+3
1 Soit f un réel strictement positif. Comme
1
= 0 , il existe un entier naturel n0 tel que si
n
f f
1
! E- 2 ; 2 ;.
n H n0 , alors
n
f f
1
Si m H n0 , alors
! E- 2 ; 2 ;.
m
Donc, pour tous entiers n et m supérieurs à n0 ,
1
1
G f , car la distance entre deux points d’un
n
m
intervalle est inférieure à la longueur de l’intervalle.
Donc la suite u est une suite de Cauchy.
2 a. En écrivant que um - un = um - , + , - un , on
obtient um - un = um - , + , - un , donc en utilisant
l’inégalité triangulaire, pour tous entiers m et n :
um - un G um - , + , - un .
lim
n "+3
lim un = , . Donc, à partir d’un certain rang n0 , on a
f
pour tout entier n H n0 : un - , G .
2
b. Si n et m sont deux entiers naturels supérieurs à n0,
f
f
et um - , G
; donc, d’après a.,
alors un - , G
2
2
um - un G f .
La suite u est une suite de Cauchy.
n "+3
134
a. Faux.
b. Faux.
c. Faux.
d. Vrai.
e. Faux.
n-1
2
2
a+f+c 3 m
a . C’est la
3
somme des n premiers termes d’une suite géométrique
2
et de premier terme a .
de raison
3
2 n
1-c 3 m
2 n
= 3a ;1 - c m E .
Donc :
Sn = a #
3
2
13
2
2 lim Sn = 3a , car la suite géométrique de raison
3
n "+3
inférieure à 1 en valeur absolue converge vers 0.
Ce procédé limite la profondeur du champ.
1 On a Sn = a +
n "+3
2 strictement supérieure à 1). Donc
133
En utilisant que 0 1
131
On a lim 2 n + 3 =+ 3 ( suite géométrique de raison
135
1 Démontrons par récurrence que, pour tout entier
naturel k H 1 , k! H 2k - 1 .
◗ Initialisation : 1! = 1 et 21 - 1 = 1 , donc vrai.
◗ Hérédité : démontrons que si k! H 2 k - 1 , alors :
^k + 1h! H 2k .
On a ^k + 1h! = ^k + 1h # k! . En utilisant l’hypothèse de
récurrence, on a ^k + 1h! H ^k + 1h # 2 k - 1 et, pour tout
entier naturel k H 1 , k + 1 H 2 , donc ^k + 1h! H 2 k .
◗ Conclusion : pour tout entier naturel k H 1 , k! H 2k - 1 .
2 D’après la question précédente,
1
1
un G 1 + 1 + + f + n - 1 .
2
2
Par ailleurs :
1
1- n
1
1
2
,
1 + + f + n-1 =
2
1
2
12
car c’est la somme des n premiers termes d’une suite
1
et de premier terme 1.
géométrique de raison
2
1
Donc un G 3 - n - 1 G 3 .
2
Donc la suite u est majorée par 3.
1
3 un + 1 - un =
H 0 . Donc pour tout entier
^n + 1h!
n H 1 , un + 1 H un .
La suite u est croissante et comme elle est majorée, elle
converge vers un réel inférieur à 3.
Suites numériques
2
C H A P I T R E
Limites et fonctions
continues
Introduction
1. Programme
Contenus
Limites de fonctions
Capacités attendues
Commentaires
Le travail réalisé sur les suites est étendu
aux fonctions, sans formalisation excessive.
Limite finie ou infinie d’une fonction à
l’infini.
Limite infinie d’une fonction en un point.
Limite d’une somme, d’un produit, d’un
quotient ou d’une composée de deux
fonctions.
Limites et comparaison.
Asymptote parallèle à l’un des axes de
coordonnées.
Continuité sur un intervalle, théorème
des valeurs intermédiaires
L’objectif essentiel est de permettre aux
élèves de s’approprier le concept de limite
tout en leur donnant les techniques de
base pour déterminer des limites dans les
exemples rencontrés en Terminale.
• Déterminer la limite d’une somme, d’un
produit, d’un quotient ou d’une composée
de deux fonctions.
• Déterminer des limites par minoration,
majoration et encadrement.
• Interpréter graphiquement les limites
obtenues.
La composée de deux fonctions est
rencontrée à cette occasion, mais sans
théorie générale.
On se limite à une approche intuitive de la
continuité et on admet que les fonctions
usuelles sont continues par intervalle. On
présente quelques exemples de fonctions
non continues, en particulier issus de
situations concrètes.
Le théorème des valeurs intermédiaires est
admis.
On convient que les flèches obliques d’un
tableau de variation traduisent la continuité
et la stricte monotonie de la fonction sur
l’intervalle considéré.
On admet qu’une fonction dérivable sur un
intervalle est continue sur cet intervalle.
• Exploiter le théorème des valeurs
intermédiaires dans le cas où la fonction
est strictement monotone, pour résoudre
un problème donné.
Ce cas particulier est étendu au cas où f est
définie sur un intervalle ouvert ou semiouvert, borné ou non, les limites de f aux
bornes de l’intervalle étant supposées
connues.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
 Des activités algorithmiques sont
réalisées dans le cadre de la recherche de
solutions de l’équation f ^ x h = k .
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole
de type algorithmique sont signalées par le symbole .
. Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités
2. Intentions des auteurs
Dans ce deuxième chapitre sur les « limites et fonctions
continues » :
• on transpose aux fonctions numériques ce qui a été
rencontré dans le chapitre 1 pour les suites au voisinage
de l’infini ;
• on précise la notion de limite en un point pour introduire la notion de continuité en un point ;
• on définit la continuité sur un intervalle pour introduire
le théorème des valeurs intermédiaires et déterminer
les éventuelles solutions de l’équation f ^ x h = k ;
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
1
• on introduit la notion d’asymptote à une courbe à
travers les asymptotes horizontales et verticales.
Toutes ces notions sont abordées à travers la résolution
de problèmes le plus souvent liés à la vie courante ou
aux autres disciplines.
De nombreux QCM, Vrai-Faux permettent de faire le
point rapidement sur la compréhension du cours et
aussi la mise en place de raisonnement par contreexemple.
Comme au chapitre précédent une attention particulière est portée sur le raisonnement, en particulier le
raisonnement par condition suffisante.
Tout au long de ce chapitre se précise l’utilisation
de logiciels : calculatrices graphiques, traceurs de
courbes, tableurs, logiciels de géométrie dynamique
ou de programmation. L’utilisation d’un logiciel de
calcul formel doit permettre, en fonction des élèves, de
surpasser les difficultés du calcul algébrique.
Partir d’un bon pied
Objectif
Réactiver chez l’élève :
– la limite d’une suite ;
– les lectures graphiques variées : image, antécédents ,
variations, signe d’une dérivée, inégalités.
A
1 b. c.
3 a. c.
B
1 Vrai.
2 c.
4 a.
1 Faux.
3 Vrai.
2 a. On a x1 = 4 , x2 = 14 , x3 = 2
2 Vrai.
4 Vrai.
Découvrir
Activité
1 Droites passant par un point
Objectif : Appréhender la notion de limite sur un exemple
géométrique en utilisant un logiciel de géométrie.
1 a. b. Lorsque x devient « très grand », le point M
s’éloigne de O sur l’axe des abscisses, le point N se
rapproche de Q et l’aire du triangle ANQ tend vers 0.
c. Lorsque l’abscisse du point M devient très proche de
2, le point N s’éloigne du point O sur l’axe des ordonnées, l’aire du triangle ANQ devient « très grande ».
2 a. En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle
OM
ON
=
MON on a :
,
QA
NQ
f ^xh
x
=
,
donc :
2
f ^xh - 1
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Objectif : Définir l’asymptote à une courbe à l’infini par
la distance entre un point de la courbe et un point sur la
droite qui tend vers 0.
1 Le point M a pour coordonnées ^ x ; f ^ x hh et N
a pour coordonnées ^ x ; 1h , donc pour tout réel x,
MN = f ^ x h - 1 .
2 Faux , par exemple prendre x 1 0 .
3 Vrai.
4 Faux.
C
2 Notion d’asymptote
horizontale
Activité
499 .
2
b. Pour tout réel x, f ^ x h - 1 = 2
.
x +4
Soit un réel f 2 0 .
2
2
MN 1 f + 2
1 f + x2 2 - 4 .
f
x +4
2
- 4 , alors MN 1 f . La distance MN
Donc si x 2
f
peut être rendue aussi petite qu’on le désire dès que x
dépasse une certaine valeur.
2
3 Si x 1 - 4 , alors MN 1 f . La distance MN
f
peut être rendue aussi petite qu’on le désire dès que x
est inférieur à une certaine valeur
3 Comportement à l’infini
des fonctions de base
Activité
Objectif : On sait visualiser le comportement des fonctions
de base en + 3 , il s’agit ici de mettre en place une définition
plus rigoureuse comme il a été fait avec la convergence des
suites numériques.
1 Voir ci dessous.
soit : x f ^ x h - x = 2 f ^ x h ,
x
donc : f ^ x h =
.
x-2
b. Lorsque x tend vers + 3 , f ^ x h tend vers 1.
QA # QN
3 a. On a Aire de ANQ =
, donc :
2
^ f ^ x h - 1h # 2
x
2
=
-1 =
.
g^ x h =
2
x-2
x-2
b. Lorsque x tend vers + 3 , l’aire de ANQ tend vers 0.
2
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
2 a. Si x0 = 107 , alors f ^ x0h H 1014 . Comme la fonc-
tion f est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors
f ^ x h H 1014 .
b. ◗ Si x0 = 105 , alors g^ x0h H 1014 . Comme la fonction g
est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors g^ x h H 1014 .
◗ Si x0 = 1028 , alors h^ x0h H 1014 . Comme la fonction h
est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors h^ x h H 1014 .
3 Soit A 2 0 .
a. Si x0 = A , alors f ^ x0h H A . Comme la fonction f
est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors f ^ x h H A .
b. ◗ Si x0 = 3 A , alors g^ x0h H A . Comme la fonction g
est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors g^ x h H A .
◗ Si x0 = A2 , alors h^ x0h H A . Comme la fonction h est
croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors h^ x h H A .
4
Comportement au voisinage de 0
Activité
Objectif : L’objectif est le même que pour l’activité 3 sauf
que le parallèle avec les suites numériques est absent.
1 La courbe 2 représente f et la courbe 1 représente g.
1
2 a. Si a = 10-2 , alors pour 0 1 x 1 a , on a
2 102 .
x
1
1
1
Comme sur @0 ; 1 @, 2 H , on a aussi 2 H 102 .
x
x
x
1
1
b. Si - 10-2 1 x 1 0 , alors
1 - 102 et 2 2 10 4 .
x
x
1
n
3 Pour 0 1 x 1 10-n , on a
2 10 .
x
4 On a lim f ^ x h =- 3 , lim g^ x h =+ 3
x "0
x 10
x"0
x 20
Exercices d’application
Savoir faire Démontrer en utilisant
les définitions
1
a. Il semble que :
lim x =+ 3 et lim
x "+3
x "-3
b. Pour tout réel x positif, x = x donc pour tout entier
naturel n non nul, si x H 10 n , alors x H 10 n .
Donc : lim x =+ 3 .
x "+3
On démontre de même que : lim
x =+ 3 .
x "-3
2 On pose f ^ x h =- x2 + 3x .
On a :
f ^ x h G - 10 n + - x2 + 3x G - 10 n + x2 - 3x - 10 n H 0.
2
Or ^- 10 nh - 3^- 10 nh - 10 n = 102n + 2 # 10 n 2 0 .
7
Comme la fonction x
x2 - 3x - 10 n est décroissante sur @ - 3 ; 1,5 @, pour tout réel x G - 10 n , on a :
f ^ x h G - 10 n .
On a lim f ^ x h =- 3 .
x "-3
3 a. On pose : g^ x h = f ^ x h - ^- 1h =
0 G g^ x h G 10-n +
2
.
1 + x2
2
G 10-n
1 + x2
+ x2 H 2 # 10n - 1 .
2 # 10 n - 1 , on a :
Donc si x H A avec A =
et lim g^ x h =+ 3 .
x =+ 3 .
0 G g^ x h G 10-n .
On en déduit que : lim g^ x h = 0 ,
x "0
x 10
x "+3
5 Détermination d’une solution
de l’équation f (x) = 0 par balayage
Activité
Objectif : Mettre en place un algorithme de base pour la
résolution approchée d’une équation du type f ^ x h = 0 .
7
7
x - 1 sont strictex3 et x
ment croissantes sur R, donc la fonction f est strictement croissante sur R.
1 Les fonctions x
f est strictement croissante sur R, si
f ^ x h 1 0 , c’est-à-dire f ^ x h 1 f ^ah , on a x 1 a .
De même si f ^ x h 2 0 , c’est-à-dire f ^ x h 2 f ^ah , on a
x 2 a.
On a f ^0 h =- 1 et f ^1 h = 1 , donc d’après ce qui
précède, 0 1 a 1 1 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
2 Comme
3 a. et b. Comme la fonction f est croissante sur R, tant
que f ^ x h reste négatif, alors x 1 a .
Dès que f ^ x h 2 0 , alors on a dépassé a ; d’où un encadrement de a d’amplitude 1/10.
c. Il suffit de modifier l’affichage final par :
« Afficher^ x - 0,1h ; ».
4 Il suffit d’ajouter « entrer n » , puis de modifier l’ins-
truction « x ! x + 0,1 » par « x ! x + 10 ^ ^- nh ».
soit :
lim
x "+3
f ^ x h =- 1 .
La courbe f admet la droite d’équation y =- 1
comme asymptote en + 3 .
On démontre de même que est asymptote à f en
-3.
b. La fonction f est dérivable sur R et :
4x
,
f l^ x h =^1 + x2h2
d’où le tableau de variations de f ci-dessous.
x
f l^ x h
f ^xh
0
-3
+
-1
0
1
+3
-
-1
Pour tout réel x, - 1 G f ^ x h G 1 , donc f est bornée sur
R.
4 L’intervalle @ 0,5 ; 1,5 6 est ouvert et contient 1.
Comme lim f ^ x h = 1 , il existe un réel a tel que pour
x "+3
tout réel x 2 a , f ^ x h ! @ 0,5 ; 1,5 6 .
Donc pour tout réel x ! @ a ; + 3 6 , f ^ x h 2 0 .
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
3
Savoir faire Déterminer une limite
en utilisant les opérations
x "+3
x+1
x
= lim
= 1.
x-1
x "+3 x
Donc lim f ^ x h = lim t = 1 .
5 On est en présence d’une forme indéterminée du
3
». Pour tout réel x non nul, on a :
3
1
1
x3 c1 - 2 m
c1 - 2 m
x
x
x3 - x
2
=
=x
.
2
2
x+2
a1 + k
x a1 + k
x
x
1
c1 - 2 m
x
= 1,
lim x2 =+ 3 et lim
x "+3
x " + 3 a1 + 2 k
x
1
1
= 0.
car lim 2 = 0 et lim
x "+3 x
x "+3 x
x3 - x
=+ 3 .
Donc lim
x "+3 x + 2
type «
6 Pour tout réel x H 0 ,
f ^ x h = x - x = x # x - x = x # ^ x - 1h .
Comme lim x =+ 3 et lim x - 1 =+ 3 , par
x "+3
◗ lim
x "+3
produit, on a : lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3
t "1
x "+3
b. ◗ lim f ^ x h =+ 3 , donc la courbe représentative de f
x "1
admet la droite d’équation x = 1 comme asymptote.
◗ lim f ^ x h = 1 , donc la courbe représentative de f
x "+3
admet la droite d’équation y = 1 comme asymptote.
Savoir faire Étudier la continuité
d’une fonction
11 ◗ On a : lim x = 1 et lim 1 = 1 et f ^1 h = 1 , donc
x "1
x 11
x "1
x 21
x
lim f ^ x h = f ^1 h . La fonction f est continue en 1.
x "1
◗ Comme f est continue sur @ - 3 ; 16 et sur @ 1 ; + 3 6 , f
est continue sur R.
x
1 1 , donc
x+1
f ^ x h = 0 . La fonction f est continue sur 60 ; + 3 6 .
12 Pour
tout réel
x H 0,
0G
13 a. Pour tout réel x H 0 , on a : x = x .
Savoir faire Déterminer une limite
7 On est en présence d’une forme indéterminée du
3
». Pour tout réel x strictement positif,
3
1
1
#
.
f ^xh =
1
x
1+
x
1
1
= 0 et lim
= 0 , en utilisant
Comme lim
x "+3 x
x "+3 x
les opérations sur les limites, lim f ^ x h = 0 .
type «
x "+3
2
= 0 et lim 3 cos ^ X h = 3 .
X "0
x "+3 x
2
Donc par composition, lim 3 cos a k = 3 .
x
x "+3
8
lim
9 On est en présence d’une forme indéterminée du
type « 3 - 3 ». Pour tout réel x 1 - 2 ,
2
x2 - ^ 2x2 - 3 h
- x2 + 3
=
2
x - 2x - 3
x - 2x2 - 3
3
3
- x2 c1 - 2 m
c1 - 2 m
x
x
=
=- x #
,
3
3
x- x
2- 2
1+ 2- 2
x
x
car ici x =- x .
1
3
= 0 et lim 2 = 0 , en utilisant les
Comme lim
x
x "-3
x "-3 x
opérations sur les limites, lim f ^ x h =+ 3 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f ^xh =
x "-3
10 a. ◗ lim ^ x + 1h = 2 et lim ^ x - 1h = 0 ,
x "1
x "1
x+1
=+ 3 , car x ! @ - 1 ; + 3 6 .
donc lim
x "1 x - 1
Donc lim f ^ x h = lim t =+ 3 .
x "1
4
t "+3
Livre du professeur - CHAPITRE 2
3x2 + 2x
.
x
Ainsi pour tout réel x 2 0 , f ^ x h = 3x + 2 .
Donc lim f ^ x h = 2 .
f ^xh =
Donc :
x"0
x 20
b. Pour tout réel x G 0 , on a : x =- x .
3x2 - 2x
= 3x - 2 .
Donc pour tout réel x 1 0 , f ^ x h =
x
=Donc lim f ^ x h
2.
x "0
x 10
c. lim f ^ x h ! lim f ^ x h . Il n’est pas possible de trouver
x"0
x 20
x"0
x 10
une fonction g continue telle que pour tout réel x ! 0 ,
f ^ x h = g^ x h .
Savoir faire Dénombrer
les solutions d’une équation f (x) = k
14 a. f l^ x h = 6x2 + 24x + 18 .
D = 144 ; x1 =- 3 et x2 =- 1 .
D’où le tableau :
x
-3
-3
f l^ x h
+
0
-1
-
0
9
+3
+
+3
f ^xh
-3
1
◗ Sur l’intervalle @ - 3 ; - 3 @, la fonction f est strictement croissante, continue, et d’intervalle-image
@ - 3 ; 9 @ contenant 0.
Limites et fonctions continues
On en déduit que l’équation f ^ x h = 0 admet une
unique solution a sur @ - 3 ; - 3 @.
◗ Sur l’intervalle 6- 3 ; + 3 6 , le minimum de f est 1.
Donc l’équation f ^ x h = 0 n’admet pas de solution sur
cet intervalle.
Travaux pratiques
17 Des limites en géométrie
1 Modéliser la situation et conjecturer
◗ Finalement, l’équation f ^ x h = 0 admet une unique
solution a sur R.
Par la calculatrice, a . - 4,05 .
b. Le tableau de signes de f ^ x h est sur R :
x
-3
f l^ x h
-
a
0
+3
+
D’où l’inéquation f ^ x h H 0 admet pour ensemblesolution 6a ; + 3 6 .
15 a. La fonction f est dérivable sur @ 0 ; + 3 6 et
3x - 2
, donc f l^ x h est du signe de 3x - 2 ,
x
d’où le tableau de variations ci-dessous.
f l^ x h =
On a m . - 1,17 .
x
0
f l^ x h
a
2
3
b
-
0
+
1
f ^xh
+3
1 Faire la construction (On a pris ici R = 3 ). Lorsque P se
+3
0
0
m
2
◗ Sur l’intervalle ;0 ; ; , la fonction f est strictement
3
décroissante, continue, et d’intervalle-image @ m ; 1 @
contenant 0.
On en déduit que l’équation f ^ x h = 0 admet une
2
unique solution a sur ;0 ; ; .
3
2
◗ Sur l’intervalle ; ; + 3 ; , la fonction f est strictement
3
croissante, continue et d’intervalle-image 6m ; + 3 6
contenant 0.
Donc l’équation f ^ x h = 0 admet une unique solution b
2
sur l’intervalle ; ; + 3 ; .
3
◗ Finalement, l’équation f ^ x h = 0 admet deux solutions sur R.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
b. 0,06 1 a 1 0,07 et 1,60 1 b 1 1,61 .
16 a. La fonction f n’est pas continue en - 1 , car :
lim f ^ x h = 1 ! f ^- 1h .
x "-1
x 1- 1
b. Pour tout réel k ! 6- 1 ; 2 @, l’équation f ^ x h = k admet
au moins une solution.
c. On remarque que la condition « f continue sur
6a ; b @ » n’est pas nécessaire pour conclure.
rapproche de A, AP tend vers 0.
AP
2 Le rapport
tend vers 1.
AN
2 Élaborer une démarche
1 La droite ^PT h est tangente au cercle en T, donc le
triangle OPT est rectangle en T. Le théorème de Pythagore permet d’écrire :
OP2 = OT2 + PT2 ,
2
soit :
PT2 = OP2 - OT2 = ^ x + Rh - R2 ,
PT2 = x2 + 2xR .
%
PT
2 Dans le triangle OPT on a cosOPT =
et dans le
OP
%
PT
PN
PN
=
.
. Donc
triangle PNT, cosOPT =
OP
PT
PT
x2 + 2xR
PT2
=
.
On en déduit que PN =
OP
x+R
xR
.
On a donc AN = PN - x =
x+R
R
AN
=
.
Donc :
AP
x+R
AN
R
3 lim
= lim
= 1.
x " 0 AP
x "0 x + R
donc :
18 Résolution approchée d’une équation par
dichotomie
Objectif : Mettre en place un autre algorithme pour déterminer les valeurs approchées d’une solution de l’équation
f ^xh = 0 .
1 a. La fonction f est dérivable sur R et :
f l^ x h = 12x3 - 12x2 - 24x = 12x^ x + 1h^ x - 2h .
b. Le signe de f l^ x h donne le tableau de variations
ci-après.
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
5
x
f l^ x h
0
-1
-3
0
-
0
+
2
0
-
14
+3
+3
f ^xh
- 18
2 a. ◗ Sur l’intervalle @ - 3 ; 0 6 , f possède un minimum
égal à 9, donc l’équation f ^ x h = 0 n’y a pas de solution.
◗ Sur l’intervalle 60 ; 2 6 , la fonction f est strictement
décroissante, continue, et d’intervalle-image @ - 18 ; 14 @
contenant 0. On en déduit que l’équation f ^ x h = 0
admet une unique solution a sur 60 ; 2 6 .
◗ Sur l’intervalle 62 ; + 3 6 , la fonction f est strictement
croissante, continue et d’intervalle-image 6- 18 ; + 3 6
contenant 0. Donc l’équation f ^ x h = 0 admet une
unique solution b sur l’intervalle 62 ; + 3 6 .
◗ Finalement, l’équation f ^ x h = 0 admet deux solutions sur R.
b. Par la calculatrice, 11 a 1 2 et 2 1 b 1 3 .
3 a. Si le produit f ^a h # f ^mh 1 0 , alors f ^a h et f ^mh
sont de signes contraires.
Si le produit f ^ah # f ^mh 2 0 , alors f ^ah et f ^mh sont
de même signe.
b. L’algorithme permet de déterminer des valeurs approchées par défaut ^ah et par excès ^b h de a avec une
précision de e, et pour cela, on prend a = 1 et b = 2 .
c. On obtient a . 1,042 par excès à 0,001 près.
d. On prend a = 2 et b = 3 . On obtient b . 2,605 à
0,001 près.
19 Comme une parabole ou comme une hyper-
bole ?
Objectif : Préciser la notion de courbe asymptote à une
autre.
x3
1 ◗ lim f ^ x h = lim
= lim x2 =+ 3 .
x "+3
x "+3 x
x "+3
=+
De même, lim f ^ x h
3.
x "-3
◗ lim ^ x
x "1
3- 2+
x
x h = 1 et lim ^ x - 1h = 0 .
x "1
Donc en utilisant le signe de x - 1 au voisinage de 1, on
obtient :
lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 .
x "1
x 11
x "1
x 21
2 Voir le graphique ci-dessous où on a tracé la parabole 1.
y
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
0
6
x "1
d’équation y =
2x - 1
convient.
x-1
c. Voir ci-dessus.
d. Les points d’intersection des courbes 1 et ont
2x - 1
des abscisses qui vérifient x2 + 1 =
, soit
x-1
x^ x2 - x - 1h = 0 . L’équation x2 - x - 1 = 0 a pour
1+ 5
et
discriminant 5, donc elle a deux solutions
2
1- 5
.
2
Donc 1 et ont pour trois points d’intersec1+ 5 5+ 5 m
,
tion de coordonnées ^0 ; 1h , c
;
2
2
- 5 5-5 5
1
c
m.
;
2
2
20 Claudine a-t-elle raison ?
Objectif : Conjecturer et prendre des initiatives dans la
mise en œuvre de la démonstration.
Pour que Claudine ait raison, au voisinage de + 3 ,
f ^ x h doit être très proche de x - 2 . Un logiciel de
calcul formel donne le résultat ci-dessous qui semble
confirmer cette conjecture.
1
En posant g^ x h = f ^ x h - ^ x - 2h , on obtient :
1
ax3 + ^b - ahx2 + ^c - bhx + d - c
d
=
.
x-1
x-1
En identifiant, nous obtenons le système suivant :
Z =
Z =
]a 1
]a 1
] b - a =- 1
]b = 0
.
[
+
[
]c - b = 1
]c = 1
] - =
] =
\d c 0
\d 1
Donc pour tout réel x différent de 1 :
1
.
f ^ x h = x2 + 1 +
x-1
b. On considère la parabole 1 d’équation y = x2 + 1 .
1
= 0 , la
Comme lim ^ f ^ x h - ^ x2 + 1hh = lim
x "+3
x "+3 x - 1
parabole 1 est très proche de en + 3 .
On obtient le même résultat en - 3 .
4 a. Voir la courbe ci-dessus.
1
2
b. f ^1 + hh = ^1 + hh + 1 +
1+h-1
1 + 2h
= h2 + 2h +
.
h
2x - 1
2
.
Donc f ^ x h = ^ x - 1h + 2^ x - 1h +
x-1
2x - 1
= ^ x - 1h2 + 2^ x - 1h .
Donc f ^ x h x-1
2
Comme lim 6^ x - 1h + 2^ x - [email protected] = 0 , l’hyperbole ax2 + bx + c +
+
+3
9
3 a. En réduisant au même dénominateur :
1
Livre du professeur - CHAPITRE 2
x
Limites et fonctions continues
g^ x h =
x
1
.
x-2
2+
26 1 Faux.
2 Vrai.
5 Faux.
4 Vrai.
lim ^ x2 + x - 2h =+ 3 . Donc lim g^ x h = 0 .
x "+3
x "+3
Donc lorsque l’on remplace f ^ x h par x - 2 , on commet
1
une erreur de l’ordre de 2 , qui est « proche de 0 »
x
lorsque x est « grand » : Claudine a raison.
21 Prendre des initiatives
Objectif : Initier les élèves à des problèmes de recherche.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
7
x + x2 + f + x n - 1
est dérivable et f ln^ x h = 1 + 2x + f + nx n - 1 2 0 sur
l’intervalle 60 ; 1 @. Elle est donc strictement croissante et
continue.
f n^0 h =- 1 et f n^1 h = n - 1 , donc 0 ! @ f n^0 h ; f n^1 h 6 .
D’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation f n^ x h = 0 admet une unique solution an dans l’intervalle 60 ; 1 @.
2 ◗ On a an - 1 + ^an - 1 h2 + f + ^an - 1 hn - 1 = 1 .
Donc f n^an - 1h = ^an - 1hn 2 0 .
Comme f n est strictement croissante sur 60 ; 1 @ et
f n^anh = 0 , on a an - 1 H an .
Donc la suite ^anh est décroissante.
1
1
1 2
1 n
+a k + f +a k - 1
◗ On a f na k =
2
2
2
2
1
1 n+1
-a k
1 n
2
- 1 =- a k 1 0 .
= 2
1
2
12
1
Donc pour tout entier n H 2 ,
G an . La suite ^anh est
2
1
minorée par .
2
◗ La suite ^anh est décroissante et minorée , donc elle
1
converge vers un réel , tel que
G , G an .
2
◗ Comme f n est strictement croissante sur 60 ; 1 @,
1
f n a k G f n^ , h G f n ^anh ,
2
1 n
- a k G f n^ , h G 0 .
soit :
2
Donc la suite de terme général f n^ , h converge vers 0
d’après le théorème des gendarmes.
n+1
, - ^, h
2
n
- 1,
◗ f n^ , h = , + ^ , h + f + ^ , h - 1 =
1-,
,
+
- 1 , car lim ^ , hn 1 = 0 .
qui converge vers
1-,
n "+3
,
1
- 1 = 0 , soit , = .
Donc on a
2
1-,
1 Pour n H 2 , la fonction f n : x
6 b.
2 c.
7 c.
3 a. et c.
8 c.
Exercices d’application
1 Limite d’une fonction à l’infini
27 1 a. Faux.
b. Vrai.
c. Faux.
2 Faux.
28 1 b.
2 b. et c.
Limites : lecture graphique
29 ◗ lim f ^ x h =+ 3 et lim f ^ x h =+ 3 .
1
1
x "+3
x "-3
◗ lim f 2^ x h = 2 et lim f 2^ x h =- 3 .
x "+3
x "-3
◗ lim f 3^ x h =- 3 et lim f 3^ x h =+ 3 .
x "+3
x "-3
◗ lim f 4^ x h = 2 et lim f 4^ x h =- 2 .
x "+3
x "-3
30 ◗ lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3
◗ lim g^ x h = 0 .
x "+3
◗ lim h^ x h n’existe pas.
x "+3
◗ lim k^ x h = 0 .
x "+3
Limite finie à l’infini
31 Démonstrations du cours
1 a. Soit un réel f strictement positif.
1
1
1
ou x H
.
G f + x Gf
f
x2
b. ◗ Pour tout réel f strictement positif, dès que
1
1
1
, on a 2 G f donc : lim 2 = 0 .
xH
f
x
x "+3 x
1
◗ Pour tout réel f strictement positif, dès que x G ,
f
1
1
on a 2 G f donc : lim 2 = 0 .
x
x "-3 x
2 ◗ Soit un réel f strictement positif :
1
1
Gf+xH 2 .
f
x
1
b. ◗ Pour tout réel f strictement positif, dès que x H 2 ,
f
1
1
= 0.
on a
G f donc : lim
x
x "+3 x
6x
.
^1 + x2h2
La fonction f est croissante sur @ - 3 ; 0 @ et décroissante sur 60 ; + 3 6 .
3
2 a. f ^ x h - ^- 1h G 10-4 +
G 10-4 .
1 + x2
32 1 Pour tout réel x, f l^ x h =-
Faire le point
25 1 a.
3 Faux.
6 Vrai.
4 b.
9 c.
5 c.
10 b.
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
7
3
G 10-4 + x G - 29 999 ou x H 29 999 .
1 + x2
Donc si x H 174 , alors f ^ x h - ^- 1h G 10-4 .
3
b. Soit f 2 0 , f ^ x h - ^- 1h G f +
G f.
1 + x2
3
3
3
- 1 ou x H
-1.
2 G f + x Gf
f
+
1 x
3
- 1 , alors f ^ x h - ^- 1h G f .
Donc si x H
f
Donc lim 6 f ^ x h - ^- [email protected] = 0 , soit lim f ^ x h =- 1 .
x "+3
x "+3
c. De même lim f ^ x h =- 1 .
x "-3
d. La droite d’équation y =- 1 est asymptote en + 3 et
en - 3 à la courbe représentative de f .
3 Le maximum de f sur R est f ^0 h = 2 .
Et pour tout réel x, f ^ x h 2 - 1 , car :
3
f ^xh + 1 =
2 0.
1 + x2
3
: 2x - 3 = 3 - 2x .
2
2
3 - 2x
2
3 - 4x
=
=
Donc f ^ x h - 2 G 0.
x
x
x2
x2
2
Donc f ^ x h - 2 G .
x
2 2
b. Soit un réel f 2 0 . Pour tout x H ,
Gf;
f x
donc f ^ x h - 2 G f .
On en déduit lim f ^ x h = 2 .
◗ Si 11 x G
x "+3
c. La droite est asymptote à la courbe f en + 3 .
35 Comme la fonction f est décroissante sur @ 0 ; + 3 6
et
lim f ^ x h = 0 , 0 est un minorant de f , donc pour
x "+3
tout x 2 0 , on a f ^ x h H 0 .
36 1 a.
33 1 Il semble que la limite de f en + 3 est 3.
2 a. Pour tout réel x 2 - 2 ,
f ^xh - 3 =
-2
2
.
1 0 . Donc f ^ x h - 3 =
x+2
x+2
b. Pour tout réel f 2 0 ,
f ^xh - 3 1 f +
2
1f
x+2
+x2
2
- 2.
f
2
- 2 , on a pour tout réel x 2 A ,
f
f ^xh ! @ 3 - f ; 3 + f 6.
Donc la limite de f en + 3 est 3.
La courbe représentative de f présente une asymptote
d’équation y = 3 en + 3 .
En posant A =
34 1 Pour x ! @ 0 ; + 3 6 , f l^ x h = 6 - 2x qui est du
3
x
signe de 6 - 2x .
x
3
0
f l^ x h
+
0
+3
-
7
3
f ^xh
y
y=2
1
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
0
f
1
Livre du professeur - CHAPITRE 2
2 a. On a :
y
%
%
OA
2
OMl
=
= .
et tanOAMl =
tanOMA =
OM
x
OA
2
y
%
%
2
= .
Comme OMA = OAMl , on a
2
x
4
La fonction f qui à x associe y est telle que f ^ x h = .
x
-5
5
#
b. Dès que 0 1 x G 4 10 , f ^ x h H 10 .
c. Lorsque x H 105 , alors 0 1 f ^ x h 1 4 # 10-5 .
Limite infinie à l’infini
x
2 a. Il semble que lim f ^ x h = 2 .
x "+3
b. Voir ci-dessus.
2x - 3
3 a. Pour tout x 2 1 , f ^ x h - 2 =
.
x2
3
◗ Si x H
: 2x - 3 = 2x - 3 . Donc 2x - 3 G 2x , et
2
2
2x
f ^ x h - 2 G 2 , soit f ^ x h - 2 G .
x
x
8
b. ◗ Lorsque l’abscisse x devient « grande » le point Ml se
rapproche du point O.
◗ Lorsque l’abscisse x devient « proche de 0 » le point Ml
s’éloigne de O.
c. Le graphique ci-dessus, obtenu en créant le « lieu » du
point N lorsque M varie, confirme les résultats du b.
37 Démonstrations du cours
1 a. Soit A un réel strictement positif.
Sur 60 ; + 3 6 , x2 H A + x H A .
b. Pour tout réel A 2 0 , on a déterminé un réel B =
tel que dès que x H B on a x2 H A ; donc :
lim x2 =+ 3 .
x "+3
A,
c. Soit A un réel strictement positif.
Sur @ - 3 ; 0 @, x2 H A + x G - A .
b. Pour tout réel A 2 0 , on a déterminé un réel B =- A ,
tel que dès que x G B on a x2 H A ; donc :
lim x2 =+ 3 .
Limites et fonctions continues
x "-3
2 Soit A un réel strictement positif.
Sur 60 ; + 3 6 , x H A + x H A2 .
Pour tout réel A 2 0 , on a déterminé un réel B = A2 tel
que dès que x H B on a x H A donc :
lim x =+ 3 .
Représentations graphiques
y
44 a.
x "+3
38 P est la définition de lim f ^ x h =- 3 .
2
x "+3
1
39 ◗ lim f ^ x h =- 3 .
0
x "+3
x
1
◗ lim g^ x h =- 3 .
x "+3
◗ lim h^ x h =- 3 .
x "+3
y
b.
◗ lim f ^ x h =+ 3 .
x "-3
◗ lim g^ x h =+ 3 .
1
◗ lim h^ x h =- 3 .
0
x "-3
x "-3
x
1
40 1 Voir la figure ci-dessous.
lim x2 =+ 3 et lim x2 =+ 3 .
x "+3
x "-3
2 Voir la figure ci-dessous.
3 ◗ lim g^ x h =- 3 et lim g^ x h =- 3 .
x "+3
x "-3
◗ lim h^ x h =+ 3 et lim h^ x h =+ 3 .
x "+3
x "-3
y
45 ◗ lim f ^ x h = 1
x "-3
◗ lim f ^ x h =+ 3 ;
h
x "-2
x 1- 2
f
◗ lim f ^ x h =- 3 .
x "-2
x 2- 2
1
0
◗ lim f ^ x h =- 3 ;
x "2
x 12
x
1
◗ lim f ^ x h =+ 3 .
x "2
x 22
g
◗ lim f ^ x h = 1 .
x "+3
41 1 Pour tout réel x, - 1 G sin x G 1 , donc f ne peut
pas admettre de limite infinie en + 3 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
r
2 Pour tout entier k, sin kr = 0 et sin a
+ 2kr k = 1 .
2
3 Si la fonction f a pour limite , en + 3 alors :
pour x 2 A , f ^ x h ! @ , - 0,25 ; , + 0,25 6 ,
ce qui est impossible d’après les résultats du 2 .
46 1 Les asymptotes à sont :
la droite d’équation x = 0 , la droite d’équation y =- 1
en - 3 et la droite d’équation y = 3 en + 3 .
2
y
y=3
f
1
2 Limite d’une fonction en un point
42 1 Faux.
2 Vrai.
43 1 b., d.
2 a., b.
3 Faux.
0
1
x
y = –1
4 Faux.
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
9
Utiliser les définitions
x
-3
-1
+3
47 Démonstration d’un résultat du cours
0
+3
2
+3
+3
+3
f ^ x h2
1 Soit A un réel strictement positif.
1
2 A +x2
1
1
.
1 x 1 0 ou 0 1 x 1
A
A
1
1
2 Pour tout réel A 2 0 , si x ! 0 et 1x1
,
A
A
1
1
alors 2 2 A . Donc lim 2 =+ 3 .
x
x"0 x
4
x
-3
0
1
f ^xh
-1
0
2
1
0
-
48 1 Il semble que lim f ^ x h =+ 3 .
1
1
2
+3
0
0
x "1
2
2 Pour tout réel x ! 1 , si x - 1 G a , alors ^ x - 1h G a2,
1
1
H 2 .
a
^ x - 1h2
3 a. Définition d’une fonction qui admet une limite
égale à + 3 en 1 :
« Pour tout réel A, il existe un réel f tel que si x - 1 G f
alors f ^ x h H A ».
1
b. D’après la question 2 , en posant f =
on
A
=+
prouve que lim f ^ x h
3.
donc :
x "1
4 La courbe représentative de f admet la droite d’équa-
tion x = 1 comme asymptote.
49 1 lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 ,
x "0
x 10
x "+3
b. lim ^- x2 ^ x + 2h + 1h =+ 3 .
x "-3
54 a. On a lim 1 = 0 , lim
x "+3
x
x "+3
4
= 0 , donc :
x3
1
4
+ 3 mE =+ 3 .
lim ; x3 c1 x
x
x "+3
3
1
= 0 , donc lim a x + k =- 3 et
b. On a lim
x
x "-3 x
x "-3
3
donc lim - 3x a x + k =- 3 .
x
x "-3
55 1 On a :
x"0
x 20
donc la fonction inverse n’admet pas de limite en 0.
2 On a :
53 a. lim x^ x - 3h =+ 3 .
2
r
m = sin a + kr k .
2
r + k2r
k étant un entier relatif, quand k tend vers + 3 ,
r
sin a + kr k prend alternativement les valeurs 1 et
2
- 1 , donc la fonction f n’admet pas de limite en 0, ni en
0- , ni en 0+ .
fc
lim a
x "+3
1
- 4 k =- 4 et lim ^ x2 + 3h =+ 3 ,
x
x "+3
1
donc lim ^ x2 + 3ha - 4 k =- 3 .
x
+
x" 3
2
10
2 Pour tout réel non nul,
# ^ x + 5h = 2 +
.
x
x
10
2
# ^ x + 5h = 2 .
= 0 , on a lim
Comme lim
x "+3 x
x "+3 x
56 a. f est bien définie sur R (pas de valeur interdite).
Pour tout réel x ! 0 , f ^ x h = x3 c- 1 +
3 Détermination de limites
Comme lim x3 =+ 3
2
4
- 3 m.
x
x
x "+3
50 1 Faux.
2 Faux.
3 Faux.
4 Faux.
51 1 Faux.
2 Faux.
3 Vrai.
4 Faux.
x
-3
-1
+3
0
2
-1
+3
+3
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
- f ^xh
2
x
-3
-3
-3
0
-1
+3
+3
2
+3
2
Livre du professeur - CHAPITRE 2
+3
+3
f ^xh
10
x "+3
De même, lim f ^ x h =+ 3 .
x "-3
Utiliser les opérations
52
2
4
- 3 m =- 1 , par produit, on a :
et lim c- 1 +
x
x
x "+3
lim f ^ x h =- 3 .
1
b. Pour tout réel x, on a 2 + 3x2 ! 0 . Donc g est définie
sur R.
Pour tout réel x ! 0 ,
x
1
=
.
g^ x h =
2
2
2
x c 2 + 3m
xc 2 + 3m
x
x
2
Comme lim x =+ 3 et lim c 2 + 3 m = 3 , par
x "+3
x "+3 x
quotient, on a : lim f ^ x h = 0 .
x "+3
De même lim f ^ x h = 0 .
x "-3
c. Pour x2 - 4x + 5 , D =- 4 . Donc pour tout réel x,
x2 - 4x + 5 ! 0 .
Donc h est bien définie sur R.
Limites et fonctions continues
Pour tout réel x ! 0 ,
1
1
x c9 + 3 m
x c9 + 3 m
x
x
=
.
h^ x h =
4
5
4
5
2
+ 2m
+ 2
x c1 1x
x
x
x
1
Comme lim x =+ 3 , lim c9 + 3 m = 9
x
x "+3
x "+3
4
5
+ 2 m = 1 , par quotient, on a :
et lim c1 x
x
x "+3
lim f ^ x h =+ 3 .
3
x "+3
De même lim f ^ x h =- 3 .
x "-3
57
-3
+3
0
g
+3
0
h
+3
-3
f+g
+3
0
f-g
+3
0
f
+3
g-h
-3
f /g
+3
+3
0
+3
58 a. On a lim ^4 - x2h = 0+ ; donc lim
x "2
x 12
x
=+ 3.
4 - x2
x
=- 3 .
x2
x "2 4
x
2 =+ 3 .
x "-2 4 - x
c. On a lim ^4 - x2h = 0- ; donc lim
x 1- 2
+
0 ; donc lim
x "2
x 12
x "+3
◗ lim f ^ x h = lim ^ x - 2h = 0 .
x "2
x "2
x
=- 3 .
4 - x2
x
1
=
4
4 - x2
- x c1 - 2 m
x
4
comme lim c1 - 2 m = 1 , donc :
x
x "+3
x
1
lim
2 = lim - x = 0 .
x
x "+3
x "+3 4
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
59 a. ◗ On a :
1
+ 2 k = 2 et lim ^ x2 - 1h =+ 3 ,
x
x "+3
par produit : lim f ^ x h =+ 3 .
lim a
x "+3
x "+3
1
◗ On a lim a + 2 k =+ 3 et lim ^ x2 - 1h =- 1 ,
x"0 x
x "0
x 20
x "+3
1
1
1
=et lim a- k =- 3 ,
4
x
x-4
x"0
donc par somme : lim f ^ x h =- 3 .
x"0
x 20
◗ On a lim
x"4
x14
1
1
1
=- 3 et lim a- k =- , donc par
x
4
x-4
x"4
somme lim f ^ x h =- 3 .
x"4
x14
b. Sur @ - 3 ; - 2 6 , f ^ x h =
4x + 1
.
^ x + 2h^ x + 3h
1
4x + 1
=- 3 ,
=- 7 et lim
◗ lim
+
+
2h
3h
x " - 2 ^x
x " - 2 ^x
x 1- 2
donc par produit : lim f ^ x h =+ 3 .
x "-2
x 1- 2
e. Si x est différent de 0,
par produit : lim f ^ x h =- 3 .
x 11
par somme : lim f ^ x h =+ 3 .
x 20
x 22
x "-2
x 2- 2
1
= 0 , par somme : lim f ^ x h =+ 3 .
x
1
x "-3
x "-3
1
2
m =+ 3,
◗ On a lim ^8x - 28x + 26h = 6 et lim cx-1
x "1
x "1
x "0
b. On a lim ^4 - x2h = 0- ; donc lim
d. On a lim ^4 - x
x "-3
60 a. ◗ On a lim
foh
2h =
c. ◗ Un logiciel de calcul formel donne pour x différent
de 1 :
^3 - 2x h3
1
= 8x2 - 28x + 26 .
1-x
x-1
◗ On a lim ^8x2 - 28x + 26h =+ 3
x "+3
0
x "-2
x 1- 2
x "0
x 10
x2 - 4x + 4
= x - 2.
x-2
◗ lim f ^ x h = lim ^ x - 2h =+ 3 .
0
0
x "2
x 22
x 10
par produit : lim f ^ x h =+ 3 .
d. ◗ On a pour x différent de 2,
f /h
g/h
x "2
x 12
x "+3
1
◗ On a lim a + 2 k =- 3 et lim ^ x2 - 1h =- 1 ,
x "0 x
x "0
x "1
x 11
0
fh
x "-3
et lim -
0
fg
1
+ 2 k = 2 et lim ^ x2 - 1h =+ 3 ,
x
x "-3
par produit : lim f ^ x h =+ 3 .
b. ◗ On a lim a
◗ lim
4x + 1
x " - 3 ^ x + 2h
= 11 et lim
x "-3
x 2- 3
1
=+ 3 , donc par
^ x + 3h
produit : lim f ^ x h =+ 3 .
x "-3
x 2- 3
c. Sur @ 5 ; + 3 6 , f ^ x h =
^ x - 5h^ x + 3h
^ x + 3h
=.
2
2^5 - x h
◗ lim f ^ x h =- 3 .
x "+3
◗ lim f ^ x h =- 4 .
x "5
d. ◗ lim ^2x - 1h =- 3 et lim
x " -1
x "-1
x 2- 1
3
=+ 3 , donc
^ x + 1h
par somme lim f ^ x h =+ 3 .
x "-1
x 2- 1
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
11
3
◗ lim ^2x - 1h =+ 3 et lim
x " + 3 ^ x + 1h
x "+3
= 0 , donc par
Comme
somme lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3
x "+3
x"0
x 20
+
quotient lim f ^ x h =+ 3 .
x"0
x 20
x"0
x 20
1
1-3
1 - 3x
x .
3
#
=
◗ Sur @ 0 ; + 3 6 : f ^ x h = 2
x
1
x +x
1+
x
1
= 0 , par somme et produit :
Comme lim
x "+3 x
lim f ^ x h = 0 .
x "+3
◗ La courbe représentative de f admet deux asymptotes d’équations respectives x = 0 et y = 0 .
^3x + 1h^ x - 1h
3x2 - 2x - 1
3 ◗ f l^ x h =
=
.
2
2
^x + xh
^ x2 - x h2
b. c. f l^ x h est du signe de x - 1 sur @ 0 ; + 3 6 , d’où le
tableau de variations de f :
x
0
1
f l^ x h
-
0
+3
c. lim ^ x2 + 1h =+ 3 , donc :
x "-3
lim
x "-3
x2 + 1 = lim
t "+3
t =+ 3
3
= 0.
x2 + 1
x
x
=
.
d. ◗ Pour x 2 0 ,
1
x+1
1+
x
1
= 0 , et lim x =+ 3 , on en
◗ Comme lim
x "+3
x "+3 x
x
=+ 3 .
déduit :
lim
x "+3 x + 1
donc par quotient : lim
x "-3
lim ^ x2 + 4h =+ 3 , donc :
x "-3
lim
x2 + 4 = lim
t "+3
t =+ 3 ;
2 En multipliant et en divisant f ^ x h par
x2 + 4 + x .
On obtient pour tout réel x :
4
.
f ^xh =
x2 + 4 + x
lim ^ x2 + 4 + x h =+ 3 ,
x "+3
donc lim f ^ x h = 0 par quotient de limites.
x "+3
c
v"c
v2
= lim t = 0+ ,
c2
t"0
v "+3
donc d’après le quotient des limites on obtient :
lim m =+ 3 .
donc lim
x "-3
lim f ^ x h = lim ^- 3x 4h =- 3 .
x "+3
1-
v"c
◗ lim f ^ x h = lim ^- 3x 4h =- 3 .
x "-3
b. ◗ lim g^ x h = lim 2x3 =+ 3 .
x "+3
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
t =+ 3
2
65 ◗ lim c1 - v m = 0 ,
2
On démontre de même que :
lim f ^ x h = lim an x n .
Théorèmes de comparaisons
x "+3
◗ lim g^ x h = lim 2x3 =- 3 .
x "-3
66 Démonstration du cours
1 ROC «
Composition de fonctions
5
x c1 + 2 m
2+
x
x
5
63 a. ◗ Pour x 2 0 ,
=
.
1
4x + 1
4+
x
12
t "+3
lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3
x "-3
x + 1 = lim
x "-3
Donc lim f ^ x h = lim an x n .
x "-3
x
lim
x "+3
x "-3
a
a
a1
+ 0 n E.
f ^ x h = an x n ;1 + n - 1 + f +
an x
an x
an x n - 1
1
Comme lim k = 0 pour tout entier naturel k non
x "+3 x
nul, on a :
a
a
a1
+ 0n E = 1.
lim ;1 + n - 1 + f +
an x
an x
an x n - 1
x "+3
x "-3
x "+3
2+
comme lim ^- x h =+ 3 , on a par somme :
62 1 Pour tout réel x non nul, et a ! 0 :
n
x "+3
x2 + 5
= lim t =+ 3 .
4x + 1
x "+3
t "+3
b. On a par somme, lim ^ x2 + x + 1h =+ 3 , donc :
◗ lim
x "-3
-1
2 a. ◗
x2 + 5
=+ 3 .
x " + 3 4x + 1
+3
f ^xh
x "+3
x "+3
64 1
+
+3
5
x2 = 1 .
1
4
4+
x
Donc par produit : lim
2 ◗ lim ^1 - 3x h = 1 et lim ^ x2 + x h = 0 , donc par
x "0
1
= 0 , on a par somme et quotient :
x
1+
lim
61 1 Il semble que lim f ^ x h = 0 et lim f ^ x h =+ 3.
lim
x "+3
Livre du professeur - CHAPITRE 2
lim f ^ x h =+ 3 » signifie que pour tout réel
x "+3
A, il existe un réel B tel que dès que x 2 B, alors f ^ x h 2 A.
2 Pour tout réel A, il existe un réel B tel que dès que
x 2 B , alors f ^ x h 2 A. Mais comme g^ x h H f ^ x h , on a
g^ x h 2 A . Donc lim g^ x h =+ 3 .
Limites et fonctions continues
x "+3
67 Pour tout réel x, - 1 G sin x G 1 .
Donc x G f ^ x h G x + 2 .
lim x =+ 3 , donc lim f ^ x h =+ 3 d’après le théox "+3
rème de minoration.
x "+3
tout réel x, - 1 G sin x G 1, donc
x G f ^ x h G 3x2 , lim x2 =+ 3 , donc lim f ^ x h =+ 3
2
x "+3
x "+3
(Théorème de minoration).
b. Pour tout réel x, - 1 G cos x G 1 .
3x
3x
3x
=- 3 .
, lim Donc G f ^xh G 2
4 x "+3 4
Donc lim f ^ x h =- 3 (Théorème de majoration).
x "+3
1
1
= lim
= 0,
x2
x "+3 x
donc lim f ^ x h = 0 (Théorème des gendarmes).
71 1 Comme lim
1
=+ 3 ,
x"0 x
2 lim
x 20
donc lim f ^ x h =+ 3 (Théorème de minoration).
x "0
72 a. ◗ lim u^ x h =
x "+3
lim v^ x h = 3 ,
x "+3
x "+3
Donc 1 H - cos ^ x h H - 1 , et 3 H 2 - cos ^ x h H 1 .
1
1
Par passage à l’inverse,
G
G 1.
3
2 - cos ^ x h
x
x
2 a. Pour tout réel x H 0 , on a :
G
G x.
3
2 - cos ^ x h
x
=+ 3 , par le théorème de minoraComme lim
x "+3 3
x
=+ 3 .
tion, on a : lim
x " + 3 2 - cos ^ x h
b. Pour tout réel x 1 - 1 ,
x - 1 G x + cos ^ x h G x + 11 0.
Donc pour tout réel x 1 - 1 , on a :
x + cos ^ x h
x+1
.
x-1 G
G
3
2 - cos ^ x h
x+1
=- 3 , par le théorème de majoComme lim
x "-3 3
x + cos ^ x h
=- 3 .
ration, on a : lim
x " - 3 2 - cos ^ x h
70 1 Pour tout réel x H 1 , on pose f ^ x h =
x
.
x+1
1
2 0 , donc la fonction f est croissante
^ x + 1h2
sur 61 ; + 3 6 .
f l^ x h =
1
x "+3
donc lim f ^ x h = 3 (Théorème des gendarmes).
69 1 Pour tout réel x, - 1 G cos ^ x h G 1 .
f l^ x h
x "+3
x "+3
68 a. Pour
x
x
= 0 (théorème des gendarmes).
x ^ x + 1h
Donc lim
+3
◗ lim u^ x h =+ 3 ,
x "-3
donc lim f ^ x h =+ 3 (Théorème de minoration).
x "-3
b. Par exemple :
y
f
u
J
O
x
I
v
73 a. Par définition, pour tout réel x,
E^ x h G x G E^ x h + 1 .
Donc x - 1 G E^ x h .
En conséquence x - 1 G E^ x h G x .
E^ x h
1
b. Donc pour x 2 0 , 1 G
G 1.
x
x
1
= 0.
Comme lim
x "+3 x
Donc lim f ^ x h = 1 (Théorème des gendarmes).
x "+3
+
1
f ^xh
4 Continuité
1
x
G
G 1.
2
x+1
2 ◗ x H 0 . D’après ce qui précède :
x
x x
G
G x,
2
x+1
x
=+ 3 , on a :
donc comme lim
x "+3 2
x x
=+ 3 (théorème de minoration).
lim
x "+3 x + 1
1
x
1
,
◗ De même
G
G
2 x
x ^ x + 1h
x
1
1
= lim
= 0.
comme lim
x "+3 2 x
x "+3 x
On a donc
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1
2
74 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Vrai.
75 1 Vrai.
2 Faux.
3 Vrai.
4 Faux.
76 1 Faux.
2 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
5 Faux.
Étudier la continuité
77 1 a. Vrai.
2 a. Vrai.
3 6- 3 ; 16 .
Livre du professeur - CHAPITRE 2
b. Faux.
b. Vrai.
c. Faux.
c. Vrai.
Limites et fonctions continues
13
78 f ^ x h = *
x pour 0 G x G 2
.
2 + 3^ x - 2h pour 2 1 x 1 5
On a f ^2 h = 2 et :
lim f ^ x h = lim 62 + 3^ x - [email protected] = 2 .
x "2
x 22
x "2
La fonction f est continue en 2.
79 a.
y
1
2 ◗ lim
x
x "-3
x 1- 3
x
La fonction f est continue sur R.
Z 2
]] x - 4 si x ! @ - 3 ; - 2 6 , @ 2 ; + 3 6
80 1 f ^ x h = [- x2 + 4 si x ! @ - 2 ; 2 6
.
]
0 pour x = 2 et pour x =- 2
\
y
1
1
x
2 La fonction f est-continue sur @ - 3 ; - 2 6 , @ - 2 ; 2 6
et @ 2 ; + 3 6 comme fonctions polynômes ; elle est aussi
continue en - 2 et 2, donc elle est continue sur R.
La fonction f n’est pas dérivable en - 2 et 2 (points
anguleux).
2
81 1 ◗ Si x ! - 1 , x - 1 = x - 1
x+1
◗ lim f ^ x h = lim ^ x - 1h =- 2 , donc pour que f
x " -1
soit continue en - 1 , il faut m =- 2 .
2 ◗ Pour x différent de 0,
-x
1 - x2 + 1
=
f ^xh =
x
1 + x2 + 1
en utilisant l’expression conjuguée du numérateur.
-x
◗ lim f ^ x h = lim c
m = 0 , donc pour que f
x "0
x " 0 1 + x2 + 1
soit continue en 0, il faut m = 0 .
Calculs de limite
82 1 Il semble que
la fonction f admette
- 1 comme limite en 1.
2 Pour
x2 - 3x + 2 ,
on a D = 1 ; x1 = 1 et
x2 = 2 .
Livre du professeur - CHAPITRE 2
x "-3
Donc lim f ^ x h =+ 3 et lim f ^ x h =- 3 .
0 1
0
^ x - 1h =- 4 et lim ^ x + 3h = 0 .
x "-3
1
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
83 1 Pour x ! R \ "- 3 ; 3 , ,
f ^xh =
La fonction f est continue en 0 et sur R.
b.
y
14
x "1
^ x - 3h^ x - 1h
x2 - 4x + 3
x-1
=
=
.
2x+3
^ x - 3h^ x + 3h
x
9
x-1
1
= .
Donc lim f ^ x h = lim
+
3
x
3
x "3
x "3
0 1
x " -1
Donc x2 - 3x + 2 = ^ x - 1h^ x - 2h .
Donc pour tout réel x ! 1 , f ^ x h = x - 2 .
Donc lim f ^ x h = 1 - 2 =- 1 .
x "-3
x 2- 3
La courbe représentative de f admet la droite d’équation x =- 3 comme asymptote.
1
1x-1
x .
=
◗ Pour x ! R \ "- 3 ; 3 ; 0 , , f ^ x h =
3
x+3
1+
x
1
= 0 , on a lim f ^ x h = 1 .
Comme lim
x "+3 x
x "+3
La courbe représentative de f admet la droite d’équation y = 1 comme asymptote.
5
1+
x+5
x .
=
1
4x + 1
4+
x
1
= 0 , par somme et quotient de
Donc comme lim
x "+3 x
x+5
1
= .
limites, on a : lim
4
+
4
x
1
+
x" 3
x+5
1
= lim t = .
◗ lim
2
4x + 1
t " 1/4
x "+3
-1
x
=
pour x 1 0 .
b. ◗
1
x2 + 1
1+ 2
x
1
Donc comme lim 2 = 0 , par somme et quotient de
x "-3 x
x
=- 1 .
limites, on a : lim
2
x "-3
x +1
84 a. ◗
1
= 0,
2x + 1
1
m = lim cos t = cos 0 = 1 .
donc lim cos c
+1
2
x
t"0
x" 3
85 a. On a lim
x "-3
b. Pour x ! 0 , on a :
1
r+
rx + 1
x .
=
3
2x + 3
2+
x
1
= 0 , par somme et quotient de
Donc comme lim
x "+3 x
rx + 1
r
=
;
limites, on a : lim
2
x " - 3 2x + 3
donc lim sin c
x "-3
Limites et fonctions continues
rx + 1
m = lim sin t = 1 .
2x + 3
r
t"
2
Utiliser un tableau
86 1 Vrai.
◗ Pour tout x ! @ - 3 ; 0 6 , f ^ x h 1 1 , donc l’équation
f ^ x h = 1 n’admet pas de solution dans @ - 3 ; 0 6 .
◗ Pour tout x ! @ 2 ; + 3 6 , f ^ x h 1 1 , donc l’équation
f ^ x h = 1 n’admet pas de solution dans @ 2 ; + 3 6 .
◗ La fonction f est continue et strictement décroissante
sur @ 0 ; 2 6 à images dans @ - 3 ; + 3 6 qui contient 1.
Donc l’équation f ^ x h = 1 admet une unique solution
dans @ 0 ; 2 6 .
2 Faux. L’équation f ^ x h =- 3 admet deux solutions : 2
et un réel de l’intervalle @ - 1 ; 0 6 .
3 Faux. L’image par f de l’intervalle @ 0 ; 4 @ est l’intervalle 6- 3 ; + 3 6 .
4 Faux.
87 ◗ L’image de 6- 2 ; 1 @ par f est 6- 1 ; 1 @ .
◗ L’image de 6- 2 ; 2 @ par f est 6- 1 ; 1 @.
◗ L’image de 6- 3 ; 1 @ par f est 6- 1 ; 2 @.
7
lim f ^ x h =+ 3, , donc
x "+3
l’ensemble-image est R. L’équation f ^ x h = 1 admet au
moins une solution.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
7
3- 2-
x
x
1 est définie et
dérivable sur R, f l^ x h = x^3x - 2h , d’où le tableau des
variations :
2
x
0
+3
-3
3
f l^ x h
0
0
+
+
-1
+3
f ^xh
-3
+
0
-
0
+3
+
0
+3
+3
g^ x h
-1
-1
D’après ce tableau l’équation g^ x h = 0 admet exactement trois solutions sur R : la première dans l’intervalle
@ - 3 ; 0 @, la seconde égale à 1, la troisième dans l’intervalle 62 ; + 3 6 .
-3
2
-2
+
0
-
0
6
+
144
9
- 16
b. L’équation f ^ x h = 30 admet une unique solution a
sur l’intervalle 6- 3 ; 6 @.
c. D’après le tableau, on a 4 1 a 1 5 .
d. En utilisant un balayage, on obtient 4,34 1 a 1 4,35 .
x x + 2 est définie et
continue sur 6- 2 ; 2 @.
Or f ^- 2h = 0 et f ^2 h = 4 . Comme 0 1 2 1 4 , l’équation f ^ x h = 2 admet au moins une solution sur 6- 2 ; 2 @.
2 La fonction f : x
^ x3 + 1hx2 est définie et continue
91 La fonction f : x
0
-
2
f ^xh
x5 - 5x + 2 est définie et dérivable sur 60 ; 1 @, f l^ x h = 5^ x 4 - 1h 1 0 , donc strictement décroissante sur 60 ; 1 @, à images dans 6- 2 ; 2 @ qui
contient 0. Donc l’équation f ^ x h = 0 admet une unique
solution dans 60 ; 1 @.
lim f ^ x h =- 3 et
gl^ x h
1
0
-3
16
7
x "-3
x
f l^ x h
89 1 ◗ f ^0 h = 2 ; f ^1 h =- 2 .
sur R,
x 4 - 4x3 + 4x2 - 1 est définie
et dérivable sur R, gl^ x h = 4x^ x - 1h^ x - 2h ; d’où le
tableau des variations :
x
Théorème des valeurs intermédiaires
7
7
d’où le tableau des variations de f sur 6- 3 ; 6 @ :
◗ L’image de 60 ; 2 6 par f est @ - 3 ; 2 @.
◗ L’image de @ - 3 ; 2 6 par f est @ - 3 ; 2 @.
◗ L’image de @ 2 ; + 3 6 par f est @ - 3 ; 16 .
2 a. L’équation f ^ x h = 0 admet deux solutions.
b. L’équation f ^ x h = 1 admet une solution.
90 1 La fonction f : x
92 La fonction g : x
93 a. Pour tout réel x dans 6- 3 ; 6 @ , f l^ x h = 3^ x2 - 4h ;
88 1 ◗ L’image de @ - 3 ; 0 6 par f est @ 1 ; 2 6 .
2 La fonction f : x
D’après ce tableau l’équation f ^ x h = 0 admet une solution unique notée a .
Or f ^1 h =- 1 et f ^2 h = 3 . Donc 11 a 1 2 .
-
31
27
94 1 La fonction f : x
7
x3 - 5x est définie et dérivable sur 6- 1 ; 0 @, f l^ x h = 3x2 - 5 1 0 sur cet intervalle,
donc la fonction f est strictement décroissante.
f ^- 1h = 4 et f ^0 h = 0 , donc l’intervalle-image est
60 ; 4 @ qui contient 3 ; donc l’équation f ^ x h = 3 admet
une unique solution a dans l’intervalle 6- 1 ; 0 @.
2
ALGO
Variables :
x, y : réels
Début
x ! - 1 ; y ! x3 - 5x ;
TantQue y 2 3 Faire
x ! x + 10-2
y ! x3 - 5x
FinTantQue ;
Afficher ^ x - 0,01 ; x h
Fin.
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
15
3 On a le tableau des variations de f ci-dessous :
x
-3
f l^ x h
b
5
3
0
+
-
15
9
10
f ^xh
a
5
3
0
c
+3
+
+3
3
15
-3
9
=
L’équation f ^ x h 3 admet trois solutions : a , mais
aussi - 2 1 b 1 - 1 et 2 1 c 1 3 .
◗ Pour obtenir une valeur approchée de b , on peut
initialiser « x » à - 2 . Il faut transformer la condition dans
la boucle Tant Que par : « y 1 3 ».
◗ Pour obtenir une valeur approchée de c , on peut
initialiser « x » à 2. Il faut transformer la condition dans la
boucle Tant Que par : « y 1 3 ».
3
3
- 10
95 La fonction f , continue sur R, a pour représenta-
tion graphique la courbe ci-dessous.
y
0
x
1
y=k
La droite d’équation y = k est parallèle à l’axe des
abscisses, donc :
◗ Si k ! @ - 3 ; - 5 6 , @ - 1 ; + 3 6 , l’équation f ^ x h = k
admet une unique solution.
◗ Si k ! @ - 5 ; - 16 , l’équation f ^ x h = k admet trois
solutions.
◗ Si k =- 5 ou k =- 1 , l’équation f ^ x h = k admet
deux solutions.
96 1 En utilisant la courbe donnée, il semble que
l’équation f ^ x h = 0 admette une solution : 1.
2 La fonction f est dérivable sur R et on a :
f l^ x h = 6x2 - 12x + 5,96 . Ce polynôme a un discri6
minant D = 0,96 , donc deux racines x1 = 1 et
30
6
, d’où le tableau des variations :
x2 = 1 +
30
x
f l^ x h
x2
x1
-3
+
0
-
0
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
M
+3
+
+3
f ^xh
-3
m
Avec m . 0,002 et m . 0,002 .
Donc l’équation f ^ x h = 0 admet trois racines sur R.
La conjecture n’est pas confirmée.
3 a. En développant f ^ x h = ^ x - 1h^ax2 + bx + c h et
en identifiant, on obtient a = 2 , b =- 4 et c = 1,96 ,
donc f ^ x h = ^ x - 1h^2x2 - 4x + 1,96h .
16
Livre du professeur - CHAPITRE 2
b. f ^ x h = 0 + x = 1 ou 2x2 - 4x + 1,96 = 0 .
Le discriminant de 2x2 - 4x + 1,96 est 0,32, donc les
2
2
, b = 1+
.
solutions sont a = 1 10
10
L’équation f ^ x h = 0 admet trois solutions a, 1 et b.
97 1 f l^ x h = 4x3 + 9x2 + 2 .
2 a. f ll^ x h = 12x2 + 18x = 6x^2x + 3h .
D’où le tableau :
x
0
- 3/2
-3
f l^ x h
0
+
-
0
+3
+
35,75
+3
f ^xh
-3
2
b. ◗ Sur l’intervalle @ - 3 ; - 3/2 @, la fonction f l est
strictement croissante, continue, et d’intervalle-image
@ - 3 ; 35,75 @ contenant 0.
On en déduit que l’équation f l^ x h = 0 admet une
unique solution a sur @ - 3 ; - 3/2 @.
◗ Sur l’intervalle 6- 3/2 ; + 3 6 , le minimum de f l est 2.
Donc l’équation f l^ x h = 0 n’admet pas de solution sur
cet intervalle.
◗ Finalement, l’équation f l^ x h = 0 admet une unique
solution a sur R.
Par la calculatrice, a . - 2,3 .
c. On en déduit le tableau de signes de f l^ x h sur R :
x
f l^ x h
-3
a
+3
- 0 +
3 D’où le tableau des variations de f sur R :
x
-3
a
+3
f ^xh
+3
+3
f ^ah
98 1 Le volume V de l’eau versée dans le récipient est
le volume du cylindre de rayon 10 et de hauteur 8 moins
le volume de la bille de rayon 4. Soit :
4
2 144
# r # 43 =
V = r # 102 # 8 r.
3
3
2 On doit avoir R ! @ 0 ; 10 @ .
3 Soit R le rayon de la nouvelle bille.
Le volume « eau + bille » est égal au volume du cylindre
de base de rayon 10 et de hauteur 2R, soit :
r # 102 # 2R = 200rR .
Ce volume est aussi égal à V plus le volume de la nouvelle
2 144
4
bille :
r + rR 3 .
3
3
Le rayon R de la nouvelle bille est solution du problème
si son rayon R vérifie l’équation :
(E) : x3 - 150x + 536 = 0 .
4 On pose f ^ x h = x3 - 150x + 536 . La fonction f est
dérivable et f l^ x h = 3^ x2 - 50h , d’où le tableau des
variations ci-après.
Limites et fonctions continues
x
0
f l^ x h
4
50
a
-
0
+
10
536
36
0
f ^xh
0
m
Avec m . - 171 , donc le problème a une solution a
entre 9 et 10.
Un balayage donne 9,74 1 a 1 9,75 ,
c’est-à-dire R . 9,7 cm à 0,1 près.
réel x est donné ci-dessous.
x -3
-2
5
5
-1
+3
+3
0
-3
Partie A
des variations :
gl^ x h
1
3
0
+
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
g^ x h
0
-
-3
26
27
-
0
x "0
x 10
1
=- 3 ,
x
x "0
x 10
^ 2+
◗ lim x
x "0
x h = 0 et lim
x"0
x 20
1
=+ 3 ,
x
x"0
x 20
g^ x h
1
1
, donc
2x + 1 - 2 m =
3c
x
3x 2
est du signe de g^ x h .
b.
x
0
-3
a
2 a. f l^ x h =
f l^ x h
-
-
0
+3
+
+3
+3
f l^ x h
+3
f ^xh
f ^ah
-3
3 a. d^ x h = f ^ x h - h^ x h =
1
= 0,
3
x "-3 x
Comme lim
1
.
3x
lim d^ x h = 0 .
x "-3
De même comme lim
1 Pour tout réel x, gl^ x h = 2x^3x + 1h ; d’où le tableau
x
donc lim f ^ x h =+ 3 par somme de limites.
x "-3
1
= 0,
◗ lim ^ x2 + x h =+ 3 et lim
x "+3
x "+3 x
donc lim f ^ x h =+ 3 par somme de limites.
1
= 0 , lim d^ x h = 0 .
3
x "+3 x
x "+3
+3
g^ x h
-3
1
= 0,
x
donc lim f ^ x h =+ 3 par somme de limites.
+3
3
-2
lim
x "-3
donc lim f ^ x h =- 3 par somme de limites.
+ 0
- 0
+
f ^xh
2 a. La courbe admet une asymptote horizontale
d’équation y = 1 en - 3 .
b. ◗ Pour x ! @ - 3 ; 3 6 on a - 11 f ^ x h 1 1 , donc l’équation f ^ x h = 2 n’admet pas de solution sur l’intervalle
@- 3 ; 3 6.
◗ Sur l’intervalle 63 ; 10 @, la fonction f est continue et
strictement croissante et l’ensemble des images est
6- 1 ; 3 @ qui contient 2. Donc l’équation f ^ x h = 2 admet
une unique solution sur 63 ; 10 @.
3 Les fonctions f et g ont des variations contraires, car
f l^ x h
gl^ x h =2 . Donc on obtient le tableau :
f ^xh
100
x "-3
x "0
99 1 Le signe de f ^ x h suivant les valeurs du nombre
1
x "-3
◗ lim ^ x2 + x h = 0 et lim
Exercices guidés
-3
Partie B
1 ◗ lim ^ x2 + x h = lim x2 =+ 3 et
x "+3
Prépa Bac
x
dans cet intervalle ; donc l’équation g^ x h = 0 admet sur
R une unique solution.
◗ Comme g^0,65h 1 0 et g^0,66h 2 0 , on a :
0,65 G a G 0,66 .
3 Si x ! @ - 3 ; a 6 , alors g^ x h 1 0 et si x ! @ a ; + 3 6 ,
alors g^ x h 2 0 .
+3
On peut en déduire que les courbes et sont asymptotes au voisinage de - 3 et de + 3 .
b. ◗ Si x 1 0 , alors d^ x h 1 0 ; donc la courbe est sous
la courbe .
◗ Si x 2 0, alors d^ x h 2 0 ; donc la courbe est au-dessus
de la courbe .
4
y
+
+3
-1
-3
2 ◗ Sur @ - 3 ; 0 @ , g^ x h 1 0 , l’équation g^ x h = 0
n’admet pas de solution dans cet intervalle.
◗ Sur 60 ; + 3 6 la fonction g est continue et strictement
croissante à images dans 6- 1 ; + 3 6 qui contient 0,
donc l’équation g^ x h = 0 admet une unique solution a
Livre du professeur - CHAPITRE 2
1
0
1
x
Limites et fonctions continues
17
101
Partie A
1 L’ensemble de définition de f est R\ "1 , .
2 La courbe admet la droite d’équation y = 1
comme asymptote horizontale en + 3 et en - 3 et la
droite 0 d’équation x = 1 comme asymptote verticale.
La courbe admet une tangente horizontale en
1
1
A a- ; - k .
2
3
1
1
3 a. lim
= 0 et lim
2 = 0.
x " + 3 ^ x - 1h
x "+3 x - 1
Donc lim f ^ x h = a , donc a = 1 .
Comme la fonction f est décroissante sur 60 ; 1 @, et s’an1
nule en a n ,on a a n G .
n
1
4 D’après les questions précédentes, 0 G a n G
.
n
1
= 0 , le théorème des gendarmes
Comme lim
n "+3 n
permet d’affirmer que la suite ^a nh converge vers 0.
Exercices d’entraînement
103
x "+3
b. ◗ f ^0 h = 0 , donc 1 - b + c = 0 , soit - b + c =- 1 .
1
b
c
1
1
+
=- ,
◗ f a- k =- , donc 1 +
9
3
3
2
3
2
4
2
4
4
- b + c =- .
soit :
3
9
3
◗ Après résolution du système, a = 4 et b = 3 .
1 Faux, car f ^0 h =- 2 .
2 Faux, car - 2 est le minimum de f sur R.
3 Vrai.
4 Faux, car la fonction f est décroissante sur 6 4 ; 9 @ par
exemple.
5 Faux, car les limites de f en - 3 et en + 3 sont infinies.
1
6 Faux, car lim
= 0.
x " + 3 f ^xh
Partie B
- 2^2x + 1h
qui est du signe de
^ x - 1h3
- 2^2x + 1h^ x - 1h , ce qui justifie le tableau des variations donné.
2 ◗ f l^0 h = 2 et f ^0 h = 0 , donc la tangente D à à
l’origine a pour équation y = 2x .
^2x - 5hx2
◗ On a d^ x h = f ^ x h - 2x =.
^ x - 1h2
5
et x ! 1 , alors d^ x h H 0 , donc la courbe – si x 1
2
est au-dessus de la droite D ;
5
alors d^ x h 1 0 , donc la courbe est en
– si x 2
2
dessous de la droite D ;
5
alors d^ x h = 0 , donc la courbe coupe la
– si x =
2
droite D .
y
3
1 f l^ x h =
1
0 1
x
104
1 c.
105
Partie A
2 c.
1 P l^ x h = 6x2 - 6x = 6x^ x - 1h .
Comme lim P^ x h =- 3 et lim P^ x h =+ 3 , on a le
x "-3
x "+3
tableau des variations suivant :
x
P l^ x h
P^ x h
^ f nhl^ x h = 3x2 - 2n 1 0,
car 0 G x G 1 . La fonction f n est continue et strictement décroissante sur 60 ; 1 @ et l’ensemble des images
est 62 - 2n ; 1 @, qui contient 0.
Donc l’équation f n ^ x h = 0 admet une unique solution
a n dans 60 ; 1 @.
2 Par balayage :
0,254 1 a2 1 0,255 et 0,167 1 a3 1 0,168 .
1
1 - n3
3 On a f a k =
. Donc pour tout entier n H 2 ,
n
n3
1
f a k1 0.
n
18
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 Pour tout entier n H 2 ,
Livre du professeur - CHAPITRE 2
1
0
-3
0
+
-
+3
0
+
-1
+3
-2
-3
2 ◗ Sur l’intervalle @ - 3 ; 1 @ , le maximum de P est
- 1. Donc l’équation P^ x h = 0 n’a pas de solution sur
@ - 3 ; 1 @.
◗ Sur l’intervalle 61 ; + 3 6 , la fonction P est strictement
croissante et continue, d’intervalle-image 6- 2 ; + 3 6
contenant 0 . Alors l’équation P^ x h = 0 admet une
unique solution sur 61 ; + 3 6
◗ Conclusion : l’équation P^ x h = 0 admet une unique
solution a sur R.
Comme P^1,6h =- 0,488 (négatif ) et P^1,7h = 0,156
(positif ) , on a : 1,6 1 a 1 1,7 .
3 D’après le tableau de variations de P, on a :
x
102
3 c.
-3
P^ x h
a
+3
- 0 +
Partie B
1 Pour tout réel x 2 1 :
-^1 + x3h - ^1 - x h^3x2h
P^ x h
=
.
2
3
^1 + x h
^1 + x3h2
Donc f l^ x h est du signe de P^ x h . D’où :
f l^ x h =
x
-1
f l^ x h
f ^xh
Limites et fonctions continues
-
a
0
+3
+
1
-1
x
, on a :
1
+ x2
x
lim f ^ x h = 0 .
2 Comme pour x ! 0 , f ^ x h =
x "+3
Comme lim ^1 - x h = 2 et lim ^1 + x3h = 0+ ,
x "-1
x 2- 1
x "-1
x 2- 1
lim f ^ x h =+ 3 .
x "-1
x 2- 1
On en déduit que admet une asymptote horizontale
d’équation y = 0 en + 3 , et une asymptote verticale
d’équation x =- 1 .
3 ◗ 1 : y = f l^0 h^ x - 0h + f ^0 h .
-1
1
=- 1 et f ^0 h =
= 1 , une
Comme f l^0 h =
1
1
équation de 1 est y =- x + 1 .
◗ Pour tout réel x 2 - 1 , on a :
^ x - 1hx3
, qui est négatif sur
f ^ x h - ^- x + 1h =
x3 + 1
@ 0 ; 16 , positif sur @ - 1 ; 0 6 et sur @ 1 ; + 3 6 , et nul en 0
et en 1. On en déduit que la courbe est en dessous de
la droite 1sur @ 0 ; 16 , et au-dessus de la droite 1 sur
@ - 1 ; 0 6 et sur @ 1 ; + 3 6 .
4 a. 2 : y = f l^1 h^ x - 1h + f ^1 h .
-2
1
=Comme f l^1 h =
et f ^1 h = 0 , une équa4
2
1
tion de 1est y =- ^ x - 1h .
2
b. Pour tout réel x 2 - 1 , on a :
1
1
1
- m
f ^ x h - ^1 - x h = ^1 - x hc
2
2
1 + x3
3
^1 - x h^1 - x h
=
.
2^1 + x3h
Or ^1 - x h^ x2 + x + 1h = 1 - x3 .
^1 - x h2 ^ x2 + x + 1h
1
.
Donc f ^ x h - ^1 - x h =
2
2^1 + x3h
c. Pour x2 + x + 1 , on a D =- 3 négatif.
Donc pour tout réel x, x2 + x + 12 0 .
On en déduit que pour tout réel x 2 - 1 ,
1
f ^ x h - ^1 - x h H 0 .
2
Ainsi la courbe est au-dessus de la droite 2 sur
@- 1 ; + 3 6.
y
5
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1
2
1 A
B
0
106
x
1
Partie A
1 gl^ x h = 12x2 - 3 = 3^4x2 - 1h .
Comme lim g^ x h =- 3 et lim g^ x h =+ 3 , on a le
x "-3
x
-3
-
gl^ x h
g^ x h
1
2
1
2
0
+
+3
0
-
+
-7
+3
-9
-3
2 ◗ Sur l’intervalle @ - 3 ; 1/2 @ , le maximum de g est
- 7. Donc l’équation g^ x h = 0 n’a pas de solution sur
@ - 3 ; 1/2 @.
◗ Sur l’intervalle 61/2 ; + 3 6 , la fonction g est strictement
croissante et continue, d’intervalle-image 6- 9 ; + 3 6
contenant 0. Alors l’équation g^ x h = 0 admet une
unique solution sur 61/2 ; + 3 6 .
◗ Conclusion : l’équation g^ x h = 0 admet une unique
solution a sur R.
Comme g^1,45h . - 0,155 (négatif ) et g^1,46h . 0,068
(positif ), on a :
1,45 1 a 1 1,46 .
3 D’après le tableau de variations de g, on a :
x
-3
g^ x h
-
Partie B
a
0
+3
+
1
3
x
1 a. Comme pour x ! 0 , f ^ x h = x
, on a :
1
4- 2
x
x
=+ 3 .
lim f ^ x h = lim
x "+3
x "+3 4
1+
9
b. Comme lim ^4x2 - 1h = 0+ et lim ^1 + x3h = ,
8
x " 1 /2
x " 1 /2
x 2 1 /2
x 2 1 /2
on a :
lim f ^ x h =+ 3 .
x "-1
x 2- 1
On en déduit que la courbe admet une asymptote
1
verticale d’équation x = .
2
1
2 a. Sur C
; + 3 9,
2
x g^ x h
x^4x3 - 3x - 8h
=
,
f l^ x h =
2
2
^4x - 1h
^4x2 - 1h2
donc du signe de g^ x h .
b. On a le tableau des variations de f suivant :
a
+3
1
x
2
0
+
f l^ x h
+3
+3
f ^xh
m
3+
a
1
3a
=
c. Pour démontrer que
, on calcule :
8
4a2 - 1
8^a3 + 1h - 3a^4a2 - 1h = 8a3 + 8 - 12a3 + 3a
=- 4a3 + 3a + 8 .
Or par définition de a , g^ah = 4a3 - 3a - 8 = 0 .
Donc 8^a3 + 1h - 3a^4a2 - 1h = 0 .
On en déduit que 8^a3 + 1h = 3a^4a2 - 1h , soit :
x "+3
tableau de variations ci-après :
Livre du professeur - CHAPITRE 2
f ^ah =
a3 + 1
3a
=
.
28
4a
1
Limites et fonctions continues
19
Partie C
1 a. Il semble que la courbe soit au-dessus de la
1
droite sur C ; + 3 9 .
2
1
b. Pour tout réel x 2 , il semble que la distance MN,
2
lorsque x tend vers + 3 , tende vers 0.
x
x+4
2 On pose d^ x h = f ^ x h =
.
4
4^4x2 - 1h
1
◗ Pour tout réel x 2 , d^ x h 1 0 . Donc la courbe est
2
1
au-dessus de la droite sur C ; + 3 9 .
2
J
N
4
K 1+ x
1O
# O= 0.
◗ lim d^ x h = lim K
x
x "+3
x "+3 K 4 1 - 1
O
c
m
2
x
4
L
P
Donc les deux courbes sont asymptotes en + 3 .
107
1 Pour x différent de 2 et de 0, on a :
7
4
+ 2m
2x
x
.
f ^xh =
2
1x
1
1
= 0 et lim 2 = 0 , on a :
◗ Comme lim
x "+3 x
x "+3 x
7
4
c1 - 2x + 2 m
x
= 1.
lim
2
x "+3
1x
Donc lim f ^ x h = lim - 2x =- 3 .
◗ On a de même lim f ^ x h =+ 3 .
x "-3
2 ◗ lim ^- 2x
x "2
7x - 8h =- 2 et lim ^ x - 2h = 0- .
x "2
x 12
Donc lim f ^ x h =+ 3 .
x "3
La courbe est asymptote à la droite D en + 3 .
108
1 Pour tout réel x ! 1 , on a :
P^ x h
- 2x3 - 3x2 - 1
= 3
.
^ x3 - 1h2
^ x - 1h2
En posant P^ x h =- 2x3 - 3x2 - 1 .
2 a. Pour tout réel x, f l^ x h =- 6x2 - 6x =- 6x^ x + 1h ,
qui s’annule en 0 et - 1 .
D’où le tableau des variations :
0
x
+3
-3
-1
f l^ x h =
P^ x h
x "+3
2+
-2
1 0,
x-2
donc la courbe est en dessous de la droite D .
-2
= 0,
c. Comme lim
x
x "+3 - 2
lim 6 f ^ x h - ^- 2x + [email protected] = 0 .
P l^ x h
- 2x c1 -
x "+3
◗ Pour tout réel x appartenant à @ 2 ; + 3 6 ,
-2
1
-3
f l^ x h
+3
0
+
3
+
+3
0
+3
-
-5
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f ^xh
-3
-3
3
4 a. Pour tout réel x ! 2 , on a :
- 2x2 + 7x - 8
- ^- 2x + 3h
f ^ x h - ^- 2x + 3h =
x-2
-2
=
.
x-2
-2
b. ◗ Pour tout réel x appartenant à @ - 3 ; 2 6 ,
2 0,
x-2
donc la courbe est au-dessus de la droite D .
20
-3
P^ x h
2
Livre du professeur - CHAPITRE 2
-3
b. ◗ P admet un maximum égal à - 1 sur @ - 1 ; + 3 6 ,
donc l’équation P^ x h = 0 n’admet pas de solution dans
cet intervalle.
◗ Sur @ - 3 ; - 16 , P est continue et strictement décroissante à images dans @ - 2 ; + 3 6 qui contient 0 ; donc
l’équation P^ x h = 0 admet une unique solution a dans
@ - 3 ; - 16 .
◗ Conclusion : L’équation P^ x h = 0 admet une unique
solution a dans .
◗ - 1,68 1 a 1 - 1,67 .
c. D’après le tableau de variations de P, on a :
◗ De même, lim f ^ x h =- 3 .
La courbe admet une asymptote d’équation x = 2 .
3 Pour tout réel x appartenant à @ - 3 ; 2 6 , @ 2 ; + 3 6 ,
- 2x2 + 8x - 6
qui est du signe de
f l^ x h =
^ x - 2h2
- 2x2 + 8x - 6 , qui admet deux racines 1 et 3, d’où le
tableau des variations de f :
-
-1
x
x "2
x 22
0
+
+3
x "2
x 12
x
0
-
+3
a
+ 0 -
3 f l^ x h est du signe de P^ x h , d’où le tableau des varia-
tions :
x
-3
f l^ x h
1
a
+
0
+3
-
-
f ^ah
+3
f ^xh
0
-3
0
4 a. La droite T a pour équation y =- x - 1 .
x3 ^ x + 1h
.
^ x - 1h^ x2 + x + 1h
d^ x h est du signe de x^ x + 1h^ x - 1h .
◗ Pour x ! @ - 3 ; 0 6 , @ 0 ; 16 , d^ x h 1 0 . Donc la courbe
est sous la droite T.
◗ Pour x ! @ - 1 ; 0 6 , @ 1 ; + 3 6 , d^ x h 2 0 . Donc la courbe
est au-dessus de la droite T.
1
5 La droite a pour équation y =- ^ x + 1h .
2
On pose :
^ x + 1h2 ^ x2 - x + 1h
1
.
k^ x h = f ^ x h + ^ x + 1h =
2
2^ x - 1h^ x2 + x + 1h
b. Soit d^ x h = f ^ x h - ^- x - 1h =
Limites et fonctions continues
k^ x h est du signe ^ x - 1h , donc :
◗ si x 1 1 , alors k^ x h 1 0 et la courbe est en dessous
de la courbe ;
◗ si x 2 1 , alors k^ x h 2 0 et la courbe est au-dessus de
la courbe .
6
y
T
1
0
x
1
109
3 La distance est minimum pour a .
4 a. En utilisant le tableau ci-dessus, les réels cherchés
a et b vérifient :
f l^ah 1 0 et f l^b h 2 0 , et b - a G e .
b. L’algorithme complété est ci-dessous :
ALGO
Variables :
e, a, b, m : réels ;
Début :
Entrer^ e h ;
a!0;b!1;
TantQue b - a 2 e Faire
a+b
m!
2
l
Si f ^mh 1 0 Alors a ! m ;
Sinon b ! m ;
FinSi ;
FinTantQue ;
Afficher^a ; bh ;
Fin.
1 Pour tout réel x ! 0 ,
1
=- f ^ x h .
^- x h2
Donc la fonction f est impaire et la courbe f admet
l’origine O comme centre de symétrie.
2 ◗ Pour tout réel x 2 0 , g^ x h = x2 + 1 , donc :
lim g^ x h = 1 .
f ^- x h =- x
1+
x "0
1
◗ lim 2 = 0 , donc lim
x "+3 x
x "+3
1+
1
= 1.
x2
Donc lim g^ x h =+ 3 .
x "+3
3 Pour tout réel x de @ 0 ; + 3 6 , gl^ x h =
x
2 0,
x
1
donc la fonction g est croissante sur @ 0 ; + 3 6 .
4 Pour tout réel x 2 0 ,
g^ x h - 1
x2 + 1 - 1
x
=
=
,
2+ +
x
x
1 1
x
g^ x h - 1
= 0.
donc lim
x
x "0
La courbe g au voisinage du point A^0 ; 1h est très
proche de la droite d’équation y = 1 .
y
5
1
2+
c. On obtient :
e
a
b
m
0,01 0
1
Entrée dans la boucle « Tant Que »
0,5
1
0,5
0,5
0,75
0,75
0,5
0,625
0,625
0,5625
0,625
0,5625
0,5625
0,593 75 0,593 75
0,578 125
0,593 75 0,578 125
0,585 937 5 0,593 75 0,585 937 5
Sortie de la boucle « TantQue ».
Affichage de a = 0,585 937 5 et b = 0,593 75
f l^mh
- 0,5
1,1875
. 0,23
. - 0,16
. 0,02
. - 0,07
. - 0,02
g
A
0
Problèmes
x
1
111
110
2
2
1 f ^ x h = ^ x - 1h + ^ x2 - 0h .
Donc f ^ x h = x 4 + x2 - 2x + 1 .
2 a. ◗ Pour tout réel x, f l^ x h = 4x3 + 2x - 2 .
◗ Pour tout réel x, f ll^ x h = 12x2 + 2 2 0 .
b. ◗ lim f l^ x h =+ 3 et lim f l^ x h - 3 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
x "+3
x "-3
◗ La fonction f l est continue et strictement croissante
sur R, d’intervalle-image R qui contient 0. Donc l’équation f l^ x h = 0 admet une unique solution a dans R.
◗ f l^0 h =- 2 et f l^1 h = 4 , donc 0 1 a 1 1 .
c.
x -3
a
+3
0
+
f l^ x h
+3
+3
f ^xh
f ^ah
a. Vrai, car la fonction f est impaire.
x
= f ^0 h = 0 .
b. Vrai, lim
x "0 x + 1
f ^ x h - f ^0 h
1
= lim
= 1.
c. Vrai, lim
x-0
x "0
x "0 x + 1
x
= 1.
d. Vrai, lim f ^ x h = lim
x "+3 x + 1
x "+3
La droite d’équation y = 1 est asymptote à la courbe en + 3 .
x
=- 1 .
e. Vrai, lim f ^ x h = lim
+1
x
x "-3
x "+3
La droite d’équation y =- 1 est asymptote à la courbe
en - 3 .
112
1 ◗
lim f ^ x h = lim
x "+3
x "+3
◗ lim f ^ x h = lim
x "-3
Livre du professeur - CHAPITRE 2
x "-3
x4
=+ 3 .
x3
x4
=- 3 .
x3
Limites et fonctions continues
21
2 a. Par réduction au même dénominateur et identification, on obtient :
1
2
2
.
f ^xh = x x
x+1
x-1
2
2
1
=+ 3 .
m = 0 et lim
b. ◗ lim c x x+1
x-1
x"0 x
x "0
x "0
x 10
114
La droite d’équation x = 0 est asymptote à la courbe .
2
1
2
=+ 3 .
m = 1 et lim
◗ lim c x +
x
x
1
x
1
x" 1
x" 1
x 2- 1
Donc lim f ^ x h =- 3 .
x "-1
x 2- 1
De même lim f ^ x h =+ 3 .
x "-1
x 1- 1
La droite d’équation x =- 1 est asymptote à la courbe
.
2
1
2
=+ 3 .
m =- 1 et lim
◗ lim c x x
x+1
x "1 x - 1
x "1
x 21
Donc lim f ^ x h =- 3 .
x "1
x 21
De même lim f ^ x h =+ 3 .
x "1
x 11
La droite d’équation x = 1 est asymptote à la courbe .
3 Pour tout réel x de D, f l^ x h 2 0 , donc la fonction f
est croissante sur chaque intervalle de définition. D’où
le tableau des variations :
0
1
x -3
-1
+3
+3
-3
+3
+3
+3
-3
-3
1
2
2
4 a. d^ x h = f ^ x h - x =.
x
x+1
x-1
1
1
1
= 0 , lim
= 0 et lim
= 0.
lim
+
x
x
1
x
1
x "+3
x "+3
x "+3
Donc lim d^ x h = 0 .
x "+3
x "-3
b. Les courbes et sont asymptotes en - 3 et en + 3.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 Le polynôme x2 + xa + a2 a un discriminant
égal à - 3a2 , négatif. Donc il ne s’annule pas si a est non
nul. Donc l’ensemble de définition de f est :
D = @- 3 ; a 6 , @ a ; + 3 6.
^1 - a2hx2 + ax + a2
2 Pour tout réel x de D, f ^ x h =
^ x - ah^ x2 + ax + a2h
1
◗ Si a = 0 , alors f ^ x h =
qui n’admet pas de limite
x
finie en 0.
◗ Si a ! 0 , lim ^ x - ah^ x2 + ax + a2h = 0 ,
x "a
lim ^^1 - a2hx2 + ax + a2h = a2 ^3 - a2h .
x "a
2
Il est donc nécessaire que a = 3 , soit a =- 3 ou
a= 3.
Livre du professeur - CHAPITRE 2
- 2x + 3
.
x2 - 3 x + 3
3
.
3
3 , alors f ^ x h =
- 2x - 3
.
x
3x+3
2+
3
.
3
1 Pour que la courbe présente une asymptote
verticale, il faut que la limite de f ^ x h lorsque x tend vers
b soit infinie.
Donc comme lim ^ax2 - 9h = ab2 - 9 , on doit avoir
x "b
ab2 - 9 ! 0 .
Cette condition nécessaire est suffisante.
Donc la courbe admet une asymptote verticale en b
pour les couples ^a ; bh tels que ab2 - 9 ! 0 .
2 On a lim f ^ x h = lim ax . Cette limite doit être
x "+3
x "+3
finie, donc on doit avoir a = 0 , pour que la courbe présente une asymptote horizontale en + 3 ou en - 3 .
Cette condition nécessaire est suffisante.
Donc la courbe admet une asymptote horizontale en
+ 3 et en - 3 pour les couples ^0 ; bh .
x2 - 9
3 a. f est définie sur R\ "2 , par f ^ x h =
.
x-2
◗ lim f ^ x h = lim x =- 3 .
x "-3
x "-3
◗ lim ^ x2 - 9h =- 5 et lim ^ x - 2h = 0- , donc :
x "2
x "2
x 12
lim f ^ x h =+ 3 .
x "2
x 12
◗ lim ^ x2 - 9h =- 5 et lim ^ x - 2h = 0+ , donc :
x "2
x "2
x 22
lim f ^ x h =- 3 .
-3
De même, lim d^ x h = 0 .
22
◗ Si a =
f ^xh =
x" 3
De même, lim f ^ x h =+ 3 .
et :
lim
x "- 3
Donc lim f ^ x h =-
x"0
x 20
113
Donc
x 20
Donc lim f ^ x h =- 3 .
f ^xh
◗ Si a =- 3 , alors f ^ x h =
x "2
x 22
◗ lim f ^ x h = lim x =+ 3 .
x "+3
x "+3
b. Pour tout réel x de R\ "2 , , f l^ x h =
x2 - 4x + 9
2 0.
^ x - 2h2
Pour le numérateur, D =- 20 .
D’où le tableau :
x -3
f l^ x h
2
+3
+
+
+3
+3
f ^xh
-3
-3
5
.
x-2
◗ Si x 1 2 alors d^ x h 2 0 , donc la courbe est au-dessus
de la droite D .
◗ Si x 2 2 alors d^ x h 1 0 , donc la courbe est en
dessous de la droite D .
c. On pose d^ x h = f ^ x h - ^ x + 2h =-
115
1 ◗
lim f ^ x h = lim x =- 3 .
x "-3
x "-3
◗ lim f ^ x h = lim 8 x =+ 3 .
x "+3
Limites et fonctions continues
x "+3
2 f ^1 h = 1 et lim f ^ x h = lim x = 1 .
119
1 a. Tout polynôme de degré 3 est continu et d’intervalle-image R, car lim x3 =- 3 et lim x3 =+ 3.
x "1
x "1
x 11
Donc la fonction f est continue en 1.
◗ f ^4h = 16 et lim f ^ x h = lim 8 x = 16 .
x "-3
x"4
x"4
x 24
Donc la fonction f est continue en 4.
◗ Comme ailleurs elle est composée de fonctions
usuelles, la fonction f est continue sur R.
116
2
◗ si 0 G x 1 1 , f ^ x h = 0 + ^ x - 0h = x2 ;
2
◗ si 1 G x 1 2 , f ^ x h = 1 + ^ x - 1h = x2 - 2x + 2 ;
2
◗ si x = 2 , f ^2 h = 2 + ^2 - 2h = 2 .
y
7
x
x "1
120
a. Le dessin suggère que :
◗ pour tout réel x 2 0 , - x G f ^ x h G x ;
◗ pour tout réel x 1 0 , x G f ^ x h G - x .
b. Comme lim x = 0 et lim - x = 0 , d’après le théo-
La fonction f est continue en 1.
◗ lim f ^ x h = lim ^ x2 - 2x + 2h = 2 = f ^2 h .
x "2
x "2
x 12
x "0
La fonction f est continue en 2.
La fonction f est donc continue sur 60 ; 2 @.
117
admettre une solution dans @ 0 ; + 3 6 .
1
2 a. Pour tout x 2 0 , gl^ x h = 1 + 2 2 0 .
x
x 0
a
+
+
gl^ x h
x "0
+3
+3
0
-3
b. La fonction g est continue et strictement croissante
sur @ 0 ; + 3 6 , d’intervalle-image R qui contient 0. Donc
l’équation g^ x h = 0 admet une unique solution a .
Comme cette équation est équivalente à (E), l’équation
(E) admet une unique solution.
Par balayage, 2,411 a 1 2,42 .
3 (E) + x2 - 2x - 1 = 0 qui est une équation du
second degré de discriminant 8 et qui admet deux solutions 1 + 2 et 1 - 2 . Donc a = 1 + 2 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 ◗ Sur @ 0 ; + 3 6 , f l^ x h =-
1
- 3x2 1 0 .
x2
1
=+ 3 , donc lim f ^ x h =+ 3 .
◗ lim
x"0 x
x"0
118
x 20
x 20
3
◗ lim - x =- 3 .
x "+3
x "0
rème des gendarmes lim f ^ x h = 0 .
1 Au vu du graphique, l’équation (E) semble
g^ x h
x "+3
et f ^- 3h =- 6 , f ^0 h = 3 et f ^2 h =- 1 . D’après
le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation
f ^ x h = 0 admet au moins trois solutions, et donc exactement trois solutions : une dans 6- 3 ; 0 @, une dans
60 ; 2 @, et une dans 62 ; + 3 6 .
b. L’équation x3 + 1 = 0 n’admet qu’une seule solution dans R, car la fonction x
x3 + 1 est strictement
croissante sur R.
2 ◗ lim f ^ x h = lim x2 = 1 = f ^1 h .
x "1
x 11
x "+3
x "-3
1
1
x "-3
2 Tout polynôme de degré n pair ne s’annule pas obliga-
toirement au moins une fois sur R : en effet la parabole
d’équation y = x2 + 1 ne coupe pas l’axe des abscisses.
3 a. On pose f ^ x h = x3 - 6x + 3 .
Comme lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 ,
1 La fonction f est définie sur 60 ; 2 @ par :
0
x "+3
Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il
s’annule au moins une fois sur R.
b. On raisonne de la même façon pour un polynôme de
degré n impair, car lim x n =- 3 et lim x n =+ 3 .
La fonction f est continue et strictement décroissante
sur @ 0 ; + 3 6 , d’intervalle-image R. Donc l’équation
f ^ x h = 1 admet une unique solution.
2 On a 0,724 1 a 1 0,725 .
121
Partie A
1 Un point M^ x ; y h appartient à f si, et seulement si :
x H 0 ; y H 0 et y = 1 - 1 - x2 , soit y - 1 =- 1 - x2 ,
2
donc en élevant au carré x2 + ^ y - 1h = 1 .
2 On en déduit que f est un quart de cercle de centre
A^0 ; 1h et de rayon 1.
3 L’aire est égale à l’aire du carré de côté 1 cm moins
l’aire du quart de cercle défini ci-dessus soit :
r
= 1 - cm2.
4
Partie B
1 Pour tout réel x de 60 ; 1 @ , l’aire du rectangle OHMP est
x # f ^ x h . Donc on doit avoir :
r
x^1 - 1 - x2 h = 1 - .
4
r
Donc :
x 1 - x2 = x - 1 + .
4
Et comme les deux membres sont positifs sur 60 ; 1 @, en
élevant au carré, on obtient l’équation :
r 2
x2 ^1 - x2h = a x - 1 + k sur l’intervalle 60 ; 1 @.
4
r
3
2 a. On a gl^ x h =- 4x + 2 et gll^ x h =- 12x2 1 0.
2
r
r
◗ gl^0 h = 2 2 0 et gl^1 h =- 2 10 ;
2
2
◗ gl est continue et strictement décroissante sur 60 ; 1 @ ,
r
r
d’intervalle-image 9- 2 ; 2 - C qui contient 0.
2
2
Donc l’équation gl^ x h = 0 admet une unique solution
x0 sur 60 ; 1 @.
◗ 0,4 1 x0 1 0,5 .
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
23
b.
x 0
gl^ x h
g^ x h
x0
0
g^ x0h
+
1
-
a
b
2
^r - 4h
. 0,05 ,
16
r2
- r + 2 . - 0,5 .
g^ x0h . 0,2 et b =
16
c. Sur 60 ; x0 @, g^ x h 2 0 .
Sur 6 x0 ; 1 @ la fonction g est strictement décroissante et
continue, d’intervalle-image 6b ; g^ [email protected] qui contient 0.
Donc l’équation g^ x h = 0 admet une unique solution a
sur 60 ; 1 @.
On a 0,787 1 a 1 0,788 .
r 2
3 g^ x h = 0 équivaut à x2 ^1 - x2h = a x - 1 +
k.
4
Avec a =
Donc l’aire du rectangle OHMP est égale à l’aire si, et
seulement si, x = a .
122
1 a. Sur 60 ; + 3 6 , l’équation f ^ x h = y
+x=
y.
Donc la fonction réciproque de f est la fonction définie
sur 60 ; + 3 6 par y
y.
b. La courbe de f et de g sont symétriques par rapport à
la droite D d’équation y = x , car :
M^ x ; y h ! f + y = x2 + x = y + Ml^ y ; x h ! g.
2 a. La fonction f est représentée graphiquement par
la courbe ci-dessous :
y
7
3 a. Sur 60 ; 16 , on a :
x3
x
x
f ^xh
x
1
x
1
x =
=
=
.
x
x
x
1-x
f ^xh
x
= lim
= 0.
Donc : lim
1-x
x "0 x
x "0
La fonction f est dérivable en 0 et f l^0 h = 0 .
b. La fonction f est strictement croissante sur 60 ; 16 , car
les fonctions f et g ont même sens de variation.
4 lim g^ x h =+ 3 , donc lim f ^ x h = lim
t =+ 3 .
x "1
x "1
t "+3
La courbe admet pour asymptote la droite d’équation
x = 1.
5
y
1
0
1
x
Partie B
1 Voir la figure ci dessous.
1
0
1
x
La fonction f est continue et strictement croissante
sur R, d’intervalle-image @ - 1 ; 16 . Donc pour tout réel
y ! @ - 1 ; 16 , l’équation f ^ x h = y admet une unique
solution dans R.
x
=y
b. ◗ Si y ! 60 ; 16 , alors x H 0 . L’équation
1+ x
y
x
= y , soit x =
équivaut à
.
1+x
1-y
x
=y
◗ Si y ! @ - 1 ; 0 @, alors x G 0 . L’équation
1+ x
y
x
= y , soit x =
équivaut à
.
1-x
1+y
◗ La fonction réciproque de la fonction f est définie sur
y
@ - 1 ; 16 par : y
.
1
y
7
123
Partie A
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 Si x ! 60 ; 16 , alors g^ x h H 0 . Donc f est bien définie
sur 60 ; 16 .
x2 ^3 - 2x h
2 0.
^ x - 1h2
D’où le tableau des variations de g :
x 0
gl^ x h
+
2 Pour x ! 60 ; 16 , gl^ x h =
g^ x h
24
1
+3
0
Livre du professeur - CHAPITRE 2
2 Le cercle C a pour centre le point de coordonnées
^0,5 ; 0h et pour rayon 0,5. Donc son équation est :
1 2
1
a x - k + y2 =
, soit x2 + y2 - x = 0 .
2
4
3 a. La droite ^OAh a pour équation y = tx .
b. ◗ Les coordonnées de M vérifient les équations du
cercle C et de la droite ^OAh .
Soit :
Z
]] x = 1 2
y = tx
+
* 2
+ [ 1 t t , car x ! 0 .
x + y2 - x = 0
]] y =
1 + t2
\
1
t
Donc M c
;
m.
1 + t2 1 + t2
On a AN = MO , donc si N^ xN , yN h on a :
Z
]] xN - 1 =- 1 2
1+t
.
[
]] yN - t =- t 2
1+t
\
t2
t3
m.
Donc N c
;
2
1+t
1 + t2
Limites et fonctions continues
4 En reportant les coordonnées de N, on obtient que les
coordonnées de N vérifient l’équation :
x^ x2 + y2h - y2 = 0 .
5 M^ x ; y h appartient à la cissoïde de Dioclès si, et
x3
seulement si, y2 =
, soit y = f ^ x h ou y =- f ^ x h.
1-x
La courbe est une partie de la cissoïde. L’autre
partie est la symétrique de par rapport à l’axe des
abscisses.
124
1 ◗
150
y = 130
100
Partie A
lim g^ x h = lim x3 =+ 3 .
x "+3
x "+3
◗ Sur 60 ; + 3 6 , gl^ x h = 3x2 - 1200 = 3^ x2 - 400h .
D’où le tableau :
x
0
gl^ x h
-
20
a
0
+
- 100
a
+3
- 0 +
g^ x h
x "0
2
+
et lim x = 0 .
x "0
Donc lim f ^ x h =+ 3 (opérations sur les limites).
x "0
◗ lim ^ x + 50h =+ 3 ,
x "+3
1200x + 50
1200
= 0.
m = lim
2
x
x "+3
x "+3 x
Donc lim f ^ x h =+ 3 (opérations sur les limites).
lim c
x "+3
2 Pour tout x de @ 0 ; + 3 6 , on a :
g^ x h
1200x + 100
=
.
3
x
x3
3 f l^ x h est du signe de g^ x h sur @ 0 ; + 3 6 , d’où le
tableau des variations de f :
f l^ x h = 1 -
x
0
gl^ x h
a
-
0
+3
+3
+
+3
g^ x h
f ^ah
x
5 Graphiquement l’équation f ^ x h = 130 admet 20 et
C^ x h
1200 + 50
= x + 50 +
= f ^ x h.
x
x2
D’après la partie B, pour avoir un coût moyen minimum,
il faut produire entre 3 400 et 3 500 objets.
2 Le nombre minimum et le nombre maximum d’objets
que l’entreprise doit fabriquer pour être rentable est
obtenu en résolvant l’inéquation CM ^ x h G 130 , soit une
production comprise entre 2 000 et 6 000 objets.
1 CM ^ x h =
125
Partie B
1 ◗ lim ^ x + 50h = 50 , lim ^1200x + 50h = 0
x "0
50
Partie C
tement croissante sur 620 ; 40 @, d’intervalle-image
6- 16 100 ; 15 900 @ qui contient 0. Donc l’équation
g^ x h = 0 admet une solution unique a dans l’intervalle
620 ; 40 @.
On a 34 1 a 1 35 à l’aide d’un balayage.
0
10
60 comme solutions.
0
2 g^40h = 15 900 . La fonction g est continue et stric-
x
10
0
- 16 100
3
100
+3
+3
g^ x h
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
y
4
1 Pour tout entier n H 2 , pour tout x ! 60 ; 1 @ :
f n ^ x h - f n + 1 ^ x h = x n ^1 - x h + x H 0 .
Donc la courbe n est au-dessus de la courbe n + 1 sur
60 ; 1 @ .
2 Pour tout entier n H 2 , pour tout x ! 60 ; 1 @ :
^ f nhl^ x h = n^ x n - 1 - 1h G 0 . La fonction f n est donc
décroissante et continue sur 60 ; 1 @, d’intervalle-image
62 - n ; 1 @ qui contient 0. Donc l’équation f n ^ x h = 0
admet une unique solution an dans 60 ; 1 @.
3 D’après la question 1 , f n ^an + 1 h - f n + 1 ^an + 1 h H 0 .
Donc f n ^an + 1h H 0 . Or la fonction f n est décroissante
sur 60 ; 1 @ et f n ^anh = 0 .
On en déduit que an + 1 1 an .
La suite de terme général an est décroissante et minorée
par 0, donc elle converge.
126
1 a. Pour n H 1 , pour tout x ! 60 ; + 3 6 ,
nx n - 1
G 0 . La fonction f n est décois^ f nhl^ x h =^1 + x nh2
sante sur 60 ; + 3 6 .
1
b. Pour tout n H 1 , f n ^0 h = 1 et f n ^1 h = .
2
1
Les courbes n passent toutes par A^0 ; 1h et B a1 ; k .
2
c. Soient deux entiers n et m non nuls avec n 1 m .
x n ^ x m - n - 1h
.
f n ^xh - f m ^xh =
^1 + x nh^1 + x mh
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
25
◗ si x ! 60 ; 1 @, ^ x m - n - 1h G 0 alors f n ^ x h - f m ^ x h G 0 .
Donc la courbe n est sous la courbe msur 60 ; 1 @ ;
◗ si x ! 61 ; + 3 6 , ^ x m - n - 1h H 0 , alors :
f n ^ x h - f m ^ x h H 0 , donc la courbe n est au-dessus de
la courbe msur 61 ; + 3 6 .
2 a. On conjecture que :
◗ si x ! 60 ; 16 , alors lim f n^ x h = 1 ;
n "+3
◗ si x ! @ 1 ; + 3 6 , alors lim f n^ x h = 0 ;
n "+3
◗ si x = 1 , f n^1 h est une suite constante égale à 0,5.
b. ◗ Si x ! 60 ; 16 , alors la suite géométrique de
raison x converge vers 0. Donc : lim x n = 0 , donc
n "+3
lim f n^ x h = 1 (opérations sur les limites) ;
n "+3
◗ si x ! @ 1 ; + 3 6 , alors lim x n =+ 3
et lim f n^ x h = 0 ;
n "+3
n "+3
◗ si x = 1 , f n^1 h est une suite constante égale à 0,5.
Z
]1 si x ! 60 ; 16
]1
3 a. f ^ x h = [
si x = 1
.
2
]]
0 si x ! @ 1 ; + 3 6
\
b. La fonction f n’est pas continue en 1.
127
Sachant que 2 cos a cos b = cos ^a + bh + cos ^a - bh,
on a :
f n + 1 ^cos x h = cos ^n + 1hx + cos ^n - 1hx - cos ^n - 1hx.
Soit f n + 1 ^cos x h = cos ^n + 1hx
Conclusion : pour tout entier n, f n ^cos x h = cos ^nx h .
b. Comme x ! 6- 1 ; 1 @, on pose x = cos t
f n ^ x h = 0 + x = cos t et f n ^cos t h = 0 .
r
r
+k
Or fn ^cos t h = 0 + cos nt = 0 + t =
où k
2n
n
est un entier relatif quelconque.
r
kr
+
m , où k est un
Donc f n ^ x h = 0 + x = cos c
2n
n
entier relatif.
r
r
+ k k , où k est
Les solutions sont les n réels cos a
2n
n
un entier variant de 0 à n - 1 .
1 a. ◗ f 2^ x h = 2x f 1^ x h - f 0^ x h = 2x2 - 1 ;
Prendre des initiatives
128
Les fonctions f doivent vérifier : pour tout réel x,
f ^ x h = ^ f ^ x hh2 , soit f ^ x h^1 - f ^ x hh = 0 .
Le problème a deux solutions : les fonctions constantes
égales à 0 et à 1, car elles doivent être continues sur R.
Sinon, on peut en construire d’autres, par exemple :
y
◗ f 3^ x h = 2x f 2^ x h - f 1^ x h = 4x3 - 3x ;
◗ f 4^ x h = 2x f 3^ x h - f 2^ x h = 8x
4-
b. f 5^ x h = 2x f 4^ x h - f 3^ x h = 16x
1;
20x
3+
8x
5-
1
2+
2
0
x
On pose g^ x h = f ^ x h - x sur 60 ; 1 @.
L’équation f ^ x h = x + g^ x h = 0 .
La fonction g est continue sur 60 ; 1 @ avec g^0 h = f ^0 h H 0
et g^1 h = f ^1 h - 1 G 0 , car f prend ses valeurs dans
l’intervalle 60 ; 1 @. Donc g^1 h G 0 G g^0 h .
L’équation g^ x h = 0 admet au moins une solution dans
60 ; 1 @. Il en est donc de même pour l’équation f ^ x h = x .
2
4
0
1
3
5
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1
129
1
1
Il semble que l’équation f n^ x h = 0 admette exactement
n solutions dans 6- 1 ; 1 @.
3 a. Démontrons pour tout entier n la propriété Pn :
« f n ^cos x h = cos ^nx h ».
Initialisation : P0 : « f 0 ^cos x h = cos 0 = 1 » : vrai.
Hérédité : Démontrons que si Pn est vraie alors Pn + 1 :
« f n + 1 ^cos x h = cos ^n + 1hx » est aussi vraie .
On a f n + 1 ^cos x h = 2 cos x fn ^cos x h - f n - 1 ^cos x h en
tenant compte de l’hypothèse de récurrence :
f n + 1 ^cos x h = 2 cos x cos nx - cos ^n - 1hx .
26
0
5x .
Livre du professeur - CHAPITRE 2
130
◗ Pour tout réel x, - 1 G sin x G 1 ; donc :
x - 1 G x - sin x G x + 1 .
◗ Pour tout réel x, - 1 G cos x G 1 , donc :
2x - 1 G 2x + cos x G 2x + 1 .
Comme x tend vers + 3 , en raisonnant sur @ 1 ; + 3 6 , les
réels ci-dessus peuvent être considérés comme strictement positifs. Donc :
1
1
1
.
G
G
2x + 1
2x + cos x
2x - 1
Et en multipliant membres à membres ces réels strictement positifs :
x-1
x - sin x
x+1
.
G
G
2x + 1
2x + cos x
2x - 1
1
x-1
x
= lim
=
;
◗ lim
2
x " + 3 2x + 1
x " + 3 2x
1
x+1
x
= .
◗ lim
lim
2
2
x
2
x
1
x "+3
x "+3
1
D’après le théorème des gendarmes, lim f ^ x h = .
2
x "+3
Limites et fonctions continues
Pistes pour l’accompagnement
personnalisé
136
1 En multipliant f ^ x h et en divisant f ^ x h par
x2 + x + 1 + x , on obtient que pour tout réel x,
x+1
.
x2 + x + 1 + x
2 En mettant « x » en facteur au numérateur et au dénominateur, puis en simplifiant on obtient pour tout réel
x 20 :
1
1+
x
.
f ^xh =
1
1
+ 2 +1
1+
x
x
f ^xh =
Revoir les outils de base
131
a. La suite u diverge vers + 3 .
b. La suite u converge vers 3.
c. La suite u n’a pas de limite.
d. La suite u converge vers 0 (suite géométrique de
raison 0,5 inférieure à 1 en valeur absolue).
132
1 b.
2 c.
1
1
= 0 , lim 2 = 0 .
x
x "+3 x
1
Donc lim a1 + k = 1
x
x "+3
lim
3 c.
x "+3
Les savoir-faire du chapitre
133
1 Les solutions de l’inéquation
3
1 10-4
1 + x2
sont les réels de l’ensemble :
@ - 3 ; - 3 # 10 4 - 1 6 , @ 3 # 10 4 - 1 ; + 3 6 .
3
2 a. f ^ x h + 2 =
.
+
1 x2
D’après la question 1 , pour tout réel x 2 3 # 10 4 - 1 ,
on a :
0 G f ^ x h + 2 G 10-4 .
b. D’une façon générale, pour tout entier naturel n, il
existe un réel a tel que x 2 a , on a :
0 G f ^ x h + 2 G 10-n .
Donc lim f ^ x h =- 2 .
x "+3
c. La droite d’équation y =- 2 est asymptote à la
courbe représentative de f en + 3 .
134
1
lim ^2x
x "+3
2-
2
3x h = lim 2x =+ 3 .
x "+3
2x
2x
2 lim
= lim
2
2 = 0.
x "-3 x + 4
x "-3 x
x "2
x 12
x "2
x 12
◗ lim x2 = 4 et lim ^ x2 - 4h = 0+ ,
x "2
x 22
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
x "+3
donc lim f ^ x h = lim
t "+3
t =+ 3 .
x
2 lim
2 =+ 3 .
x " 1 ^ x - 1h
Donc lim f ^ x h = lim t =+ 3 .
t "+3
r
3 lim
= 0.
x" 3 x
138
1 On a :
y2 - x2 = 16 + y = x2 + 16 ou y =- x2 + 16 .
Donc est la réunion de la courbe représentative de f et de la courbe 0 représentative de - f .
2 ◗ La fonction x
x2 + 16 est décroissante sur
@ - 3 ; 0 @, donc la fonction f est décroissante sur
@ - 3 ; 0 @, car la fonction racine carrée est croissante.
◗ La fonction x
x2 + 16 est croissante sur 60 ; + 3 6,
donc la fonction f est croissante sur 60 ; + 3 6 , car la
fonction racine carrée est croissante.
◗ lim ^ x2 + 16h =+ 3 , donc lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3
-3
0
+3
+3
+3
f ^xh
4
16
.
x2 + 16 + x
Comme lim ^ x2 + 16 + x h =+ 3 , on a :
3 On a f ^ x h - x =
x "+3
lim ^ f ^ x h - x h = 0 ,
x "+3
Donc lim f ^ x h = lim sin t = 0 .
x "-3
Mathématiques au fil du temps
x "-3
lim ^ x2 - 3x h = lim x2 =+ 3 ,
x "1
x "+3
x
x "+3
x "+3
x "-3
d. Vrai.
e. Faux. Pour tout x ! @ 3 ; + 3 6 , f ^ x h ! @ 1 ; 4 6 .
◗ De même lim f ^ x h =+ 3 .
x "2
x 22
1
a. Vrai, car l’ensemble des images est R.
b. Vrai, car sur @ - 3 ; 16 , f ^ x h 2 0 et sur @ a ; + 3 6 ,
f ^ x h 2 0 (avec f ^ah = 0 ) et l’intervalle @ 1 ; a 6 a pour
ensemble-image @ - 3 ; 0 6 .
c. Vrai. Il s’agit des droites d’équations respectives y = 0
( lim f ^ x h = 0 ) et y = 1 ( lim f ^ x h = 1 ).
x "+3
donc lim f ^ x h =+ 3.
135
137
7
donc lim f ^ x h =- 3 .
x "2
1+
x "+3
7
3 ◗ lim x2 = 4 et lim ^ x2 - 4h = 0- ,
x "2
1
1
+ 2 + 1m = 2 .
x
x
1
(opération sur les limites).
Donc lim f ^ x h =
2
x "+3
et lim c
t"0
la droite D d’équation y = x est asymptote à en + 3 .
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
27
4
3 Pour tout x 2 0 , v l^ x h =
x
12 800
2 0.
^ x + 80h2
0
+3
v l^ x h
+
160
v^ x h
1
0
0
1
140
1 La fonction u est définie sur
u^ ph =
y = –x
p
@ f ; + 3 6 par :
pf
f2
; ul^ ph =1 0.
p-f
^ p - f h2
f
+3
ul^ ph
+3
En lien avec les sciences
139
u^ ph
f
1 Si on appelle d la distance entre les villes A et
d
.
B, le temps, en heures, mis pour aller de A à B est
80
d
Celui pour aller de B vers A est
. Le temps mis pour le
x
2d
parcours total est
.
v^ x h
d
d
2d
+
=
,
Donc tout réel x 2 0 :
80
x
v^ x h
160x
1
1
2
+
=
. Donc v^ x h =
.
soit
80
x
x + 80
v^ x h
2 ◗ lim v^ x h = 0 .
x "0
◗ lim v^ x h = lim
x "+3
160x
= 160 .
x
lim u^ ph = f et lim ^ p - f h = 0+ ,
p "+3
28
Livre du professeur - CHAPITRE 2
p" f
p2 f
donc lim u^ ph =+ 3 .
p" f
p2 f
Vers le supérieur
141
a. Faux.
b. Vrai.
c. Faux.
d. Vrai.
e. Faux.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
x "+3
2
Limites et fonctions continues
3
C H A P I T R E
Compléments sur les
fonctions numériques
Introduction
1. Programme
Contenus
Calculs de dérivées : compléments
Capacités attendues
• Calculer les dérivées des fonctions :
x
7
x
^u^ x hhn , n entier relatif non nul ;
• Calculer la dérivée d’une fonction
x
f ^ax + bh où f est une fonction
dérivable, a et b deux nombres réels.
7
À partir de ces exemples, on met en
évidence une expression unifiée de la
dérivée de la fonction x
f ^u^ x hh , mais
sa connaissance n’est pas une capacité
attendue.
7
u^ x h ;
7
Commentaires
Les techniques de calcul sont à travailler
mais ne doivent pas être un frein à la
résolution de problèmes. On a recours, si
besoin à un logiciel de calcul formel.
AP Exemples de fonctions discontinues, ou à
dérivées non continues.
• Connaître la dérivée des fonctions sinus et On fait le lien entre le nombre dérivé de la
cosinus.
fonction sinus en 0 et la limite en 0 de sin x .
x
• Connaître quelques propriétés de ces
fonctions, notamment parité et périodicité. En dehors des exemples étudiés, aucun
développement n’est attendu sur les notions
• Connaître les représentations graphiques de périodicité et de parité.
de ces fonctions.
On fait le lien entre les résultats obtenus
en utilisant le cercle trigonométrique et les
représentations graphiques des fonctions
x
cos x et x
sin x .
Fonctions sinus et cosinus
7
7
E [SPC] Ondes progressives sinusoïdales,
oscillateur mécanique.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
2. Intentions des auteurs
On a regroupé dans un même chapitre ces deux paragraphes du programme qui, traités individuellement,
n’auraient pas donnés assez de matière pour les activités de découverte et les travaux pratiques. Ils peuvent
aisément être partagés en deux petits chapitres dans les
progressions que les professeurs établiront, en traitant
de préférence les fonctions trigonométriques avant les
compléments sur la dérivation pour disposer des fonctions sin et cos dans l’utilisation des nouvelles formules
de dérivation.
• on introduit les notions de périodicité et de parité, sans
trop insister comme le demandent les commentaires du
programme ;
• on donne les formules de dérivation au programme
exceptées celles concernant les fonctions exp et ln qui
seront vues dans les chapitres 4 et 5.
Les exercices ont pour but d’assimiler les nouvelles
formules (sans oublier de voir des cas de non dérivabilité) et de réinvestir les notions déjà vues concernant les
fonctions (tangentes, limites, études de variations).
Du point de vue mathématique :
• on étudie les fonctions sinus et cosinus. La dérivabilité en zéro fait l’objet d’une activité de découverte et la
dérivabilité sur R est traitée en exercice ;
Livre du professeur - CHAPITRE 3
Compléments sur les fonctions numériques
1
Partir d’un bon pied
Objectif
Réactiver les connaissances du cours de Première concernant la dérivation et la trigonométrie et revoir la notion de
composée de deux fonctions rencontrées dans le chapitre 2.
2 b.
3 b.
A
1 c.
B
1 Vrai ; g^0 h = f ^3 # 0 - 2h = f ^- 2h .
4 a.
5 c.
2
2 Faux ; g^0 h = f ^- 2h = ^- 2h = 4 .
3 Vrai ; voir calcul du 2 .
2
4 Faux ; g^ x h = ^3x - 2h = 9x2 - 12x + 4 .
5 Vrai ; voir calcul du 4 .
6 Vrai ; voir calcul du 4 .
7 Faux ; gl^ x h = 18x - 12 .
8 Faux ; voir calcul du 7 .
9 Vrai ; 6^3x - 2h = 18x - 12 .
C 1 a. Le point A est associé aux réels x + k # 2r avec
k entier relatif.
b. Le point B est associé au réel - x , C au réel x + r , D
au réel r - x .
c. cos ^- x h = cos x ; cos ^r + x h =- cos x ;
cos ^r - x h =- cos x ; sin ^- x h =- sin x ;
sin ^r + x h =- sin x ; sin ^r - x h = sin x .
2 a. Vrai.
e. Faux.
b. Vrai.
f. Vrai.
c. Faux.
g. Faux.
d. Faux.
h. Vrai.
Découvrir
1 Variations des fonctions
sinus et cosinus
Activité
Objectif
Introduire les fonctions sinus et cosinus et utiliser le cercle
trigonométrique pour visualiser leurs variations sur l’intervalle 6- r ; r @.
2 Quand M varie de la position K à la position L, C varie
de - 1 à 0 et S de 0 à - 1 .
r
On en déduit que sur l’intervalle ;- r ; - 2 E la fonction
cosinus est croissante et la fonction sinus est décroissante.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
3 En faisant le même type d’observations sur les trois
autres intervalles, on obtient les tableaux de variations
des fonctions cosinus et sinus sur 6- r ; r @ suivants :
x
cos x
x
sin x
2
0
1
-r
r
-1
-1
-r
-
r
2
0
r
2
1
-1
Livre du professeur - CHAPITRE 3
2 Dérivabilité de sinus
et cosinus en zéro
Activité
r
0
Objectif
Étudier la dérivabilité en zéro des fonctions sinus et cosinus.
1 a. On applique le théorème de Thalès :
OC
CM
=
, C étant le projeté orthogonal de M sur ^OI h.
OI
IT
CM # OI
sin x # 1
sin x
=
=
Donc IT =
.
OC
cos x
cos x
b. Aire de OIM G aire du secteur OIM G aire de OIT
sin x
;
+ 0,5 # 1 # sin x G 2x # 12 G 0,5 # 1 # cos
x
sin x
.
en multipliant par 2, on obtient : sin x G x G
cos x
En divisant par x 2 0 l’inéquation sin x G x , on obtient :
sin x
G1;
x
sin x
cos x
,
en multipliant par
H 0 l’inéquation x G
cos x
x
sin x
on obtient : cos x G
.
x
r
sin x
Finalement, pour tout x de E 0 ; 2 E, cos x G
G 1 . (1)
x
sin ^0 + hh - sin 0
sin h
=
; l’encadrement (1) et
c.
h
h
sin h
= 1.
le théorème des gendarmes donnent : lim
h"0 h
Donc sinus est dérivable en zéro et sinl^0 h = 1 .
- sin2 h
cos h - 1
cos2 h - 1
2 a.
=
=
h
h^cos h + 1h
h^cos h + 1h
- sin h
sin h
#
=
.
h
cos h + 1
cos ^0 + hh - cos 0
cos h - 1
=
; avec l’égalité précéh
h
dente et le résultat de 1 c. on obtient :
cos h - 1
= 1 # 0 = 0.
lim
h
h"0
Donc, cosinus est dérivable en zéro et cosl^0 h = 0 .
3 Notion de parité
pour les fonctions
Activité
Objectif
Introduire la notion de parité par une approche graphique.
1 a. Le programme a conclu « F EST PAIRE » pour les
fonctions x
3 et x
x2 , x
x ,x
cos x .
b. Les quatre courbes sont symétriques par rapport à
l’axe des ordonnées.
2 a. Le programme a conclu « F EST IMPAIRE » pour les
1
x, x
et x
fonctions x
sin x .
x
b. Les trois courbes sont symétriques par rapport à l’origine du repère.
7
7
7
7
7
7
7
4 Vers la dérivée
de x 7 f (ax + b)
Activité
Objectif
Conjecturer la formule de dérivation de x
Cas 1
1 g = R .
Compléments sur les fonctions numériques
7
f ^ax + bh .
2 g^ x h = 9x2 - 30x + 25 ; gl^ x h = 18x - 30
(g est dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables sur R).
3 f l^ x h = 2x ;
- 3f l^- 3x + 5h =- 3 # 2^- 3x + 5h = 18x - 30 :
on retrouve gl^ x h .
Cas 2
1
1 g = R \ '- 1 .
2
1
2
(g est dérivable sur R\ '- 2 1
^2x + 1h2
comme inverse de fonction ne s’annulant pas sur
1
R\ '- 2 1 ).
1
3 f ^ x h =- 2 ;
x
-1
2
:
2f l^2x + 1h = 2 #
2 =^2x + 1h
^2x + 1h2
on retrouve gl^ x h . Pour le cas général, on conjecture
que :
gl^ x h = a # f l^ax + bh .
2 gl^ x h =-
2
1 f ^ x h = sin x ; f l^ x h = cos x .
Tangente en 0 : y = x .
2 f ^ x h = x + cos x ; f l^ x h = 1 - sin x .
Tangente en 0 : y = x + 1 .
3 f ^ x h = sin x + cos x ; f l^ x h = cos x - sin x .
r
r
+ 1.
Tangente en
: y =- x +
2
2
3
1 f est dérivable sur R comme sommes de fonctions dérivables sur R.
2 f l^ x h =- sin x - cos x .
x
f l^ x h
f ^xh
Objectif
Utilisation de la quantité conjuguée pour étudier une limite
indéterminée avec une expression comportant des racines
carrées.
4
1 a. La calculatrice affiche 0.
f ^0 + hh - f ^0 h
h2 + 1 - 1
=
;
h
h
quand h tend vers zéro, numérateur et dénominateur
tendent vers zéro.
h2 + 1 - 1
h2 + 1 - 1
h
=
=
;
c.
2+ + h
2+ +
h
^
1 1
h h
1 1
h
quand h tend vers zéro, le numérateur tend vers 0 et
le dénominateur vers 2, donc le quotient tend vers 0 :
f l^0 h = 0 .
f ^1 + hh - f ^1 h
h2 + 2h + 2 - 2
2
=
h
h
h^h + 2h
h2 + 2h + 2 - 2
=
=
2
2
h^ h + 2h + 2 + 2 h
h^ h + 2h + 2 + 2 h
+
h 2
=
;
h2 + 2h + 2 + 2
quand h tend vers zéro, le numérateur tend vers 2 et
le dénominateur vers 2 2 , donc le quotient tend vers
1
1
:
.
f l^1 h =
2
2
La calculatrice affiche 0,707 qui est une valeur appro1
.
chée de
2
b.
Exercices d’application
Savoir faire Étudier une fonction
trigonométrique
3r
4
0
5 Utilisation de la quantité
conjuguée
Activité
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f l^ x h = 1 - sin x H 0 , car, pour tout réel x, sin x G 1 ;
donc f est croissante sur R.
gl^ x h = 1 + cos x H 0 , car, pour tout réel x, cos x H - 1 ;
donc g est croissante sur R.
-
0
7r
4
+
0
1
2r
-
2
1
- 2
hl^ x h = cos x # cos x + sin x # ^- sin x h
= cos2 x - sin2 x = cos ^2x h .
Savoir faire Utiliser les nouvelles
formules de dérivation
1
1
=
.
2 x+1
x+1
b. f l^ x h = 2r # ^- sin ^2rx hh =- 2r sin ^2rx h .
5 a. f l^ x h = 2 #
6
f l^ x h = 2 # ^- sin x h # cos x =- 2 sin x cos x
et gl^ x h =- 2 cos x sin x .
7 1 La fonction cosinus est dérivable sur R, donc f
est dérivable sur R ; f l^ x h =- 3 sin x cos2 x .
2 5 - x2 est strictement positif sur I, donc f est déri-x
.
vable sur I ; f l^ x h =
5 - x2
3 La fonction x
0,5x2 - 7 est dérivable sur R, donc f
3
est dérivable sur R ; f l^ x h = 4x^0,5x2 - 7h .
4 La fonction x
2x + 1 est dérivable et ne s’annule
- 12
.
pas sur I, donc f est dérivable sur I ; f l^ x h =
^2x + 1h4
cos x
8 hl^ x h =
, donc hl^0 h = 0,5 .
2 1 + sin x
On obtient : y = 0,5x + 1 .
7
7
9
3
1 f l^ x h = 4^2x + 1h^ x2 + x - 1h .
2 f l^ x h =
- sin x
.
2 2 + cos x
10 f ^ x h = ^ x2 - x + 1h3 , donc f est dérivable sur R et
2
pour tout réel x : f l^ x h = 3^2x - 1h^ x2 - x + 1h .
1
f et g sont dérivables sur R comme sommes de
fonctions dérivables sur R.
Livre du professeur - CHAPITRE 3
2
On étudie le signe de la dérivée : ^ x2 - x + 1h est positif,
car c’est un carré.
Compléments sur les fonctions numériques
3
La dérivée est donc du signe de ^2x - 1h , c’est-à-dire
négative pour x G 0,5 et positive pour x H 0,5 .
La fonction f est donc décroissante sur @ - 3 ; 0,5 @ et
croissante sur 60,5 ; + 3 6 ; elle admet bien un minimum
3 3
27
en x = 0,5 qui vaut f ^0,5h = 0,753 = c 4 m =
.
64
Travaux pratiques
11 Le navigateur distrait
f l^ x h =
1
3
Faire le point
2+
x
1
5x - 3 x
1
=
5
x2 + 1
15 x2 + 1
16x2 - 9
=
;
15 x2 + 1 ^5x + 3 x2 + 1 h
x H 0 , donc f l^ x h est du signe de 16x2 - 9 .
3
Les racines de 16x2 - 9 sont ! , donc f est décrois4
3
3
sante sur ;0 ; 4 E et croissante sur ; 4 ; 10 E .
Conclusion : Robinson doit rejoindre la côte à 750 m de
A.
3
34
, donc il mettra 2 heures et
Remarque : f c 4 m =
15
16 minutes pour rejoindre la maison.
12 Étude de la fonction tangente
r
+ nr avec n ! Z .
2
sin x
2 Si n est pair, tan ^ x + nrh =
= tan x , et si n est
cos x
- sin x
sin x
=
= tan x .
impair, ^tan x + nrh =
- cos x
cos x
- sin x
=- tan x .
tan ^- x h =
cos x
On en déduit que tan est périodique de période r et
impaire.
r
3 Sur ;0 ;
;
2 les fonctions sinus et cosinus sont dérivables et la fonction cosinus ne s’annule pas.
cos2 x + sin2 x
1
=
= 1 + tan2 x H 0 ,
tanl^ x h =
cos2 x
cos2 x
r
donc tan est croissante sur ;0 ; 2 ; .
r
4 lim tan x =+ 3 , donc la droite d’équation x =
2
r
1 cos x ! 0
x"
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
x1
+x!
2
r
2
est asymptote à la courbe de la fonction tangente.
r
5 Le tracé sur ;0 ;
;
2 permet d’obtenir le tracé sur
r
E; 0 E par symétrie par rapport à l’origine. Puis on
2
translate par les translations de vecteurs krOI avec
k ! Z.
1 f ^ t h = 1,5 cos ^4rt h .
32,5
3,25 s .
10
3 a. g^ t h = 1,5 cos ^4r^t + 3,25hh = 1,5 cos ^4rt + 13rh
=- 1,5 cos ^4rt h .
2 r0 =
Livre du professeur - CHAPITRE 3
17 1 b.
5 c.
18 1 Vrai.
5 Faux.
2 c.
6 a.
3 a.
4 c.
2 Faux.
6 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
Exercices d’application
1 Fonctions cosinus et sinus
19 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Vrai.
20 1 a.
2 b.
3 a.
4 b.
21 1 b.
2 c.
3 c.
4 a.
5 b.
22 1 f l^ x h =- 1 - 2 sin x .
2
x
1
.
2 x
3 f l^ x h =- 3 sin x - 2 cos x + 1 .
2 f l^ x h = cos x -
23 1 f l^ x h = 2x cos x - x2 sin x .
2 f l^ x h = ^3x2 + 4x h sin x + ^ x3 + 2x2 + 1h cos x .
3 f l^ x h =
1
2 x
x sin x .
cos x -
24 1 f l^ x h = sin x .
2
cos x
+ x sin x
x
cos
2 f l^ x h =
.
cos2 x
4 cos x
3 f l^ x h =
.
^2 + sin x h2
25 1 - 1 G sin x G 1 ,
donc x2 + 3x - 1 G f ^ x h G x2 + 3x + 1 .
2 lim f ^ x h =+ 3 , car lim x2 + 3x - 1 =+ 3 ; de
x "+3
même en - 3 .
x "+3
26 1 Pour tout x 2 3 , on a :
x2 - 1 G x2 + cos x G x2 + 1 ;
1
x2 + cos x
x
donc
, car x - 3 2 0 .
G
x-3
x-3
21
x
2 On a lim
= lim x =+ 3 .
3
x
x "+3
x "+3
Par un théorème de comparaison, on a :
x2 + cos x
=+ 3 .
lim
x-3
x "+3
2-
13 Le mouvement du bouchon
4
b. Lorsque cos ^4rt h = 1 , donc lorsque t = 0,5k avec k
entier et k H 7 .
4 a. v^ t h = 6r sin ^4rt h .
b. v^ t h = 0 + 4rt = kr + t = 0,25k avec k entier et
k H 13 .
Compléments sur les fonctions numériques
27 1 cos x H - 1 , donc f ^ x h H x - 1 ;
donc lim f ^ x h =+ 3 .
34 1
lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 .
r
2
r
x 22
x "-3
2 - 1 G sin x G 1 et x 2 0 , donc -
donc lim f ^ x h = 0 .
1
1
;
G f ^xh G
x
x
x "+3
3 sin x G 1 , donc f ^ x h G 1 -
x
x ;
x
x"0
x
2
sin
x
2
2 f ^xh =
+
, donc lim f ^ x h = .
3
3 x
3
x"0
sin
x
1
3 f ^xh =
#
, donc lim f ^ x h = 1 .
x
cos x
x"0
x
=- 3 .
cos x
3 lim
x "0
x 10
x2 + sin x
=- 3 .
x sin x
30 1 lim cos x - 1 = lim cos x - cos 0 = cosl^0 h
x"0
x
=- sin 0 = 0 .
2 lim
r
x"
2
cos x
.
r
x2
r
et on obtient :
2
r
r
cos a + h k - cos
2
2 = cosla r k =- sin r =- 1.
lim
2
2
h
h"0
On pose h = x -
31 1 lim sin ^3x h = 1 .
3x
1
sin x
2 lim
= .
5
x " 0 5x
x"0
x "-3
et lim g^ x h =+ 3 .
x "+3
+ cos x = 0 + x =- 32r
r
r
3r
ou x =
ou x =
.
2
2
2
3r
3 Sur ;- 2r ; E
2 , cos x H 0 , donc g^ x h G f ^ x h .
3r
r
Sur ;- 2 ; - 2 E , cos x G 0 , donc g^ x h H f ^ x h .
r r
Sur ;- 2 ; 2 E , cos x H 0 , donc g^ x h G f ^ x h .
r 3r
Sur ; 2 ; 2 E , cos x G 0 , donc g^ x h H f ^ x h .
3r
Sur ; 2 ; 2r E , cos x H 0 , donc g^ x h G f ^ x h .
r
36 1 MN f 2 p.
0
2 Tout point de la courbe de la fonction sinus est
l’image d’un point de la courbe de la fonction cosinus
r
par la translation de vecteur u f 2 p.
0
2 Dérivée de x
7 f (ax + b)
3 lim
sin ^2x h
sin ^2x h
2
2
#
= lim
= .
3x
2x
3
3
x "0
37 1 Faux.
2 Faux.
3 Vrai.
4 Vrai.
4 lim
sin ^3x h
sin ^3x h
2x
3
3
#
#
= lim
= .
2
2
3x
sin ^2x h
sin ^2x h
x"0
38 1 Vrai.
2 Faux.
3 Faux.
4 Vrai.
39 1 b.
2 a.
3 b.
4 a.
40 1 c.
2 c.
3 c.
4 a.
41 1 a.
2 a. et c.
3 b.
x"0
x"0
32 1 Vrai, car sin r = 1 .
2
2
2
2 Faux, car f ^ x h = 0 +
= kr + x =
avec k
x
kr
entier non nul.
3 Vrai, car - x G f ^ x h G x si x H 0 et x G f ^ x h G - x si
x G 0.
2
sin X
4 Vrai, en posant X =
= 2.
, lim f ^ x h = lim 2
x x "+3
X
X "0
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
+
ou x =-
x 20
x
r
2
35 1 x2 - 1 G g^ x h , donc lim g^ x h =+ 3
2 f ^ x h = g^ x h
29 1 lim x - 1 =+ 3 .
x " 0 sin x
x"0
r
2
f ^xh
28 1 f ^ x h = sin x + 1 , donc lim f ^ x h = 2 .
r
2
r
x2
2
-
f l^ x h
x "+3
x"
x"
2 f l^ x h = tan2 x H 0 .
3
donc lim f ^ x h =- 3 .
2 lim
r
2
r
x1
2
x "-
33 1 f ^- x h =- x - sin x =- f ^ x h .
2 x - 1 G f ^xh G x + 1 ,
lim f ^ x h =- 3 .
donc
lim f ^ x h =+ 3 et
x "+3
x "-3
3 f l^ x h = 1 + cos x .
4 f l^ x h = 0
+ cos x =- 1 + x = r + k # 2r avec
k ! Z.
5 cos x H - 1 , donc f est croissante sur R.
Livre du professeur - CHAPITRE 3
5 b.
42 1 On conjecture que f admet un maximum en 2
valant 0,5.
2 Pour x 2 1 :
x
- x-1
x - 2^ x - 1h
2 x-1
=
f l^ x h =
2
x
2x2 x - 1
-x + 2
= 2
;
2x x - 1
f l^ x h est du signe de - x + 2 , donc f est croissante sur
61 ; 2 @ et décroissante sur 62 ; + 3 6 . Ainsi, f admet un
maximum en 2 valant f ^2 h = 0,5 .
Compléments sur les fonctions numériques
5
43 1 Pour h 2 0 ,
^1 + hh h
f ^1 + hh - f ^1 h
1+h
=
=
tend vers
h
h
h
+ 3 quand h tend vers 0 : f n’est pas dérivable en 1.
2 Pour h 2 0 ,
f ^1 + hh - f ^1 h
h h
=
= h tend vers 0 quand h
h
h
tend vers 0 : f est dérivable en 1 et f l^1 h = 0 .
Impossible, car a 2 0 .
3r
Donc b =
et a = 2 . On obtient finalement :
4
3r
k.
f ^ x h = sin a 2 x +
4
50
3
2
f l^0 h =- 1
f ^0 h =
sin ^a + hh - sin a
sin a cosh + sinhcos a - sin a
=
h
h
cosh - 1
sinh
= sin a #
+ cos a #
.
h
h
2 Avec les résultats de l’activité 2 page 92,
sin ^a + hh - sin a
= sin a # 0 + cos a # 1 = cos a .
lim
h
h"0
3 cos x = sin a x +
r
k,
2
donc cosl^ x h = cos a x +
51 1 f ^ x + rh = cos a2x - r + 2r k = cos a2x - r k
3
r
k =- sin x .
2
= f ^ x h.
2 a. f l^ x h =- 2 sin a2x -
b. f l^ x h = 0 + 2x -
1
4
2 f est dérivable sur R\ % / et f l^ x h =
.
2
^1 - 2x h3
1
3 f est dérivable sur @ 2 ; + 3 6 et f l^ x h =
.
x
-1
4
2
r
4 f est dérivable sur R et f l^ x h =- 2r sin c2rx +
m
4 .
46 1 La fonction f est dérivable sur R\ % 3 / et
12
.
^3 - 4x h4
2 La fonction f est dérivable sur @ 1 ; + 3 6 et
-1
1
2 x-1 =
.
f l^ x h =- 2 #
x-1
^ x - 1h x - 1
3 La fonction f est dérivable sur R et
- 2 cos 2x
.
f l^ x h =
^2 + sin 2x h2
4 La fonction f est dérivable sur R et
4x + 5 k5
4 a 4x + 5 k5
#
= 8a
.
f l^ x h = 6 #
3
3
3
-4
x
4
=
f ^xh
Livre du professeur - CHAPITRE 3
0
+
1
2
-1
r
3
1
k = 2c
cos x - sin x m
6
2
2
= 3 cos x - sin x = f ^ x h .
r
3 f l^ x h =- 2 sin a x +
k;
6
5r
r
r
si x ! ;0 ; 6 E , x +
! ; 6 ; r E ; donc f l^ x h G 0 ;
6
5r 11r
r
C, x +
si x ! 9
;
! 6r ; 2r @ ; donc f l^ x h H 0 ;
6
6
6
11r
13r
r
si x ! ; 6 ; 2r E, x +
! ;2r ; 6 E ; donc f l^ x h G 0 .
6
4
x
f ^xh
3
4
1
r
= kr + x =
+ k avec k ! Z .
f l^ x h = 0 + rx 4
4
49 f ^0 h = sin b = 2 ,
2
r
3r
donc on a b =
ou b =
;
4
4
f l^ x h = a cos ^ax + bh , donc f l^0 h = a cos b =- 1 .
r
2
Si b = , alors cos b =
et a =- 2 .
4
2
1
2
-
2 2 cos a x +
f l^ x h = 0 +
48 f est dérivable sur R et f l^ x h = 2 r sin arx - r k .
0
1
+
r
52 1 f ^ x + 2rh = f ^ x h .
f l^ x h
2
3
r
r
r
x
+
=
+ kr + x =
+ k # 2r
2
3
2
3
2r
3
r
6
-r
f l^ x h
47 f est dérivable sur R et f l^ x h = cos a x + r k .
avec k ! Z .
r
r
r
= kr + x =
+k
avec
3
6
2
d.
4
f l^ x h =- 3 # ^- 4h # ^3 - 4x h
r
k.
3
k ! Z.
r
2r
Deux solutions sur l’intervalle d’étude :
et
.
6
3
r
2r
c. f l^ x h est positive sur ;0 ; 6 E et ; 3 ; r E et négative
r 2r
sur ; 6 ; 3 E .
3
45 1 f est dérivable sur R et f l^ x h = 3 c 3 x - 1 m .
6
r
3
=
2
+ *b 6 .
- a sin b =- 1
a=2
+ *cos b =
3
44 1
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
*
11r
6
5r
6
0
0
3
-2
53 f a r k = g a r k =
+
0
2
2r
-
3
r
+1 ;
2
2
1
f l^ x h = cos x x + 1 + sin x
2 x+1
1
et gl^ x h =
,
2 x+1
r
r
1
donc f la k = gla k =
.
r
2
2
+1
2
2
Les deux courbes ont donc la même tangente au point
r
d’abscisse
.
2
2
Compléments sur les fonctions numériques
54 1 v^ t h = 4r cos c 2r t - r m ,
T
T
3
4r
1
#
= 4r .
donc v^0 h =
T
2
r
8r2
2r
2 a^ t h =- 2 sin c
t - m,
T
3
T
2
8r
3 m
=- 16r2 3 .
donc a^0 h = 2 # c2
T
2r
r
r
5
1
3 v^ t h = 0 +
=
+ kr + t =
+ k
t3
2
24
4
T
avec k ! N .
3 Dérivée de x
55 1 Faux.
56 1 a. et b.
7
u ^ xh et x 7 (u(x))n
2 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
2 a., b. et c.
5 Vrai.
3 b. et c.
3x2
.
2 x3 + 1
1
2 f l^ x h =
.
1
2
2x
1x
- sin x
3 f l^ x h =
.
2 cos x
57 1 f l^ x h =
63 1 f ^ x + 2rh = f ^ x h .
2 f ^- x h =-
ni impaire.
3 a. f l^ x h = cos x sin2 x + cos x sin x
= sin x cos x^sin x + 1h .
r
b. Sur ;0 ; 2 E , sin x H 0 et cos x H 0 , donc f l^ x h H 0 .
r
Sur ; 2 ; r E , sin x H 0 et cos x G 0 , donc f l^ x h G 0 .
3r
Sur ;r ; 2 E , sin x G 0 et cos x G 0 , donc f l^ x h H 0 .
3r
Sur ; 2 ; 2r E , sin x G 0 et cos x H 0 , donc f l^ x h G 0 .
x
x
x
2
2 f l^ x h = 3^cos x - sin x h^sin x + cos x h .
3
1
3 f l^ x h = 4 c
+ 1 m^ x + x h .
2 x
-6
.
^2x + 1h4
2 f l^ x h =
4 sin x
.
^cos x h5
3 f l^ x h =
- 2^cos x + sin x h
.
^sin x - cos x h3
60 1 f l^ x h = 18x^3x2 - 1h2 ; T : y = 72x - 64 .
2x + 1
; T : y =- 0,5x + 0,5 .
2 x2 + x + 1
- sin x
3 f l^ x h =
;
2 1 + cos x
2
r 2
3
+
.
T : y =x+
4
12
2
2 f l^ x h =
f ^xh
0
Livre du professeur - CHAPITRE 3
+
0
5
6
3r
2
r
-
0
+
0
0
2r
-
1
6
0
64 1 AM semble minimale lorsque x = 0,5 .
M
2
^ x - 1h2 + ^ x - 0h = x2 - x + 1 .
2x - 1
3 a. gl^ x h =
est du signe de 2x - 1 ,
2 x2 - x + 1
1
1
donc négative sur ;0 ; 2 E et positive sur ; 2 ; + 3 ; .
b.
1
x
0
+3
2
0
+
gl^ x h
1
1
3
g^ x h
2
3
4 La distance minimale vaut
lorsque M^0,5 ; 0,5 h.
2
2 AM =
Prépa Bac
Exercices guidés
61 1 Initialisation : ^u1hl = ul et 1ul u0 = ul .
Hérédité : on suppose que, pour un entier naturel n,
^u nhl = nul u n - 1 ; alors :
^u n + 1hl = ^u n # uhl = ^u nhl u + u n ul = nul u n - 1 u + u n ul
= ^n + 1hul u n .
^u nhl
- nul
1 l
nul u n - 1
2 c n m =- 2n == n+1 .
2n
u
u
u
u
3 En utilisant les exposants négatifs, le résultat de la
question 2 s’écrit : ^u-nhl =- nul u-n - 1 .
Donc, pour tout entier relatif n, ^u nhl = nul u n - 1 .
r
2
0
f l^ x h 0
58 1 f l^ x h = 4 c1 - 1 ma x + 1 k .
2
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1
1
sin3 x + sin2 x , donc f n’est ni paire
3
2
4
3
59 1 f l^ x h =
-x
,
^ x2 + 1h x2 + 1
1
2
=donc f l^1 h =;
4
2 2
1
2
3 2
2
=
; on obtient y =.
f ^1 h =
x+
2
4
4
2
62 f l^ x h =
65 1 lim sin x = lim sin x #
x = 1 # 0 = 0,
x "0 x
x
donc f est continue en zéro.
f ^0 + hh - f ^0 h
sin h
1
2 lim
#
= lim
=+ 3 ,
h
h"0
h"0 h
h
donc f n’est pas dérivable en zéro.
-1
1
3
, donc lim f ^ x h = 0 ;
G f ^xh G
x
x
x "+3
donc y = 0 est asymptote à la courbe de f en + 3 .
x "0
Compléments sur les fonctions numériques
7
Exercices d’entraînement
66 Partie A
1
lim g^ x h =- 3 ; lim g^ x h =+ 3 .
x "-3
x "+3
x
x2 + 1 +
2 gl^ x h =
x
2
2+
2 0 , donc g est stricte-
1
2 - 3x
; donc f l1^ x h est du signe
2 1-x
2
de 2 - 3x , c’est-à-dire positif sur ;0 ; 3 E et négatif sur
2
; ; 1; .
3
68 1 a. f l ^ x h =
1
ment croissante sur R.
3 Le théorème des valeurs intermédiaires assure
l’existence de a et la stricte monotonie son unicité ;
0,7 1 a 1 0,8 .
4 On en déduit que a est négative sur @ - 3 ; a @ et positive sur 6a ; + 3 6 .
b.
x
f l1^ x h
Partie B
1 lim f ^ x h =- 3 ;
x "-3
x2
3
pour x 2 0 , f ^ x h = x c
1+
x "+3
x
2+
1
x
xg^ x h
.
x2 + 1
=
3 a. g^a h = 0 , donc
=
x2
a2 + 1 =
x2 + 1 - x
x2 + 1
1
;
a
a4 - 1
a3
1
=
.
donc f ^ah =
a
3
3a
b.
x
x
-3
-
g^ x h
-
f l^ x h
+
0
0
0
+
lim
x "+3
lim
x "-1
x 2- 1
0
+
-
0
+
@- 1 ; + 3 6.
x
=- 3 , donc lim f ^ x h =- 3 ;
x+1
x " -1
3x2
H 0 , donc f est croissante sur
^ x + 1h4
f l^ x h
f ^xh
+3
+
1
1 - x + xn
r
2
2 m
+ sin x #
k = 2 ccos x #
4
2
2
= cos x + sin x .
b. f l^ x h =- 3 sin x cos2 x - 3 cos x sin2 x
r
=- 3 sin x cos x cos a x - k avec 2 a..
4
2 a. 2 cos a x -
3
x
sinx
cosx
3r
r
0
-r - r - r
4
4
2
2
0 - 0 +
+
+
- 0 +
+
+ 0 -
r
cos a x - r k
- 0 +
+
+ 0 4
0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 f l^ x h
1
1
2
2
f ^xh
2
-1
-1
-1
2
y
1
Ta passe par l’origine + - af l^ah + f ^ah = 0
+ - 3a3 + a3 ^a + 1h = 0 + a3 ^a - 2h = 0
4
Donc T0 : y = 0 et T2 : y =
x sont les deux tangentes
27
passant par l’origine.
Livre du professeur - CHAPITRE 3
3 3
0
7
3 Ta : y = f l^a h^ x - ah + f ^a h .
8
2
2
.
3
4
-3
+ a = 0 ou a = 2 .
-
69 1 f ^ x + 2rh = f ^ x h .
+3
-1
0
x "+3
a4 - 1
3a
x
1
-1
2 1-x
n-1
n
^1 x h x
x n - 1 62n - ^2n + 1hx @
2nx
=
f ln^ x h =
.
2 1-x
2 1-x
b. f ln^ x h est du signe de 2n - ^2n + 1hx , c’est-à-dire
2n
E et négatif sur ; 2n ; 1; .
positif sur ;0 ;
2n + 1
2n + 1
2n
.
c. xn =
2n + 1
2
3 a. xn + 1 - xn =
2 0 (on peut aussi
^2n + 3h^2n + 1h
2x
).
dériver x
2x + 1
b. lim xn = 2 .
x
= 1 ; donc lim f ^ x h = 1 .
x+1
x "+3
2 f l^ x h =
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
+
-
-3
67 1
+3
a
-1
f ^xh
+
2 a. f ln^ x h = nx n - 1
donc lim f ^ x h =+ 3 .
2 f l^ x h = x2 -
f 1^ x h
c. x1 =
1
m,
x2
2
3
0
–�
�
––
2
0
�
–
2
�
x
5 a. On développe ^a - bh^a2 + ab + b2 h .
b. f ^ x h = 0 + cos x = sin x
ou cos2 x + cos x sin x + sin2 x = 0 en utilisant la factorisation de a..
Compléments sur les fonctions numériques
r
+ kr avec k ! Z .
4
cos2 x + cos x sin x + sin2 x = 0 + 1 + 0,5 sin ^2x h = 0
+ sin ^2x h =- 2 : impossible.
cos x = sin x + x =
70 1 On conjecture que la fonction est décrois-
r
r r
sante sur ;0 ; 4 E , puis croissante sur ; 4 ; 2 E . Elle varie
de 3,14 à 2,14 qui semble être son minimum, puis de
2,14 à 3,14.
2 a. Le triangle DBM est rectangle en M. On a
DM = DB # cos x = 2 cos x et, si on appelle h la hauteur
issue de M du triangle DBM, on a :
h = DM # sin x = 2 cos x sin x = sin ^2x h .
2 # sin ^2x h
= sin ^2x h .
L’aire de DBM est f ^ x h =
2
b. Ainsi, ^ x h = r - sin ^2x h .
3 ‘ ^ x h =- 2 cos ^2x h . La dérivée est donc négative sur
r
r r
;0 ; E et positive sur ; ; E .
4
4 2
On obtient le tableau de variations suivant :
^ x h
r
2
r
4
0
- 0
‘^ x h
+
r
r
r-1
4 L’aire de la zone bleue décroît sur ;0 ;
r
E
4 , croît sur
r r
; ; E et admet un minimum qui vaut r - 1 .
4 2
5 L’aire de la zone bleue sera minimale lorsque l’aire
du triangle DBM sera maximale, c’est-à-dire lorsque sa
hauteur sera maximale. Cela sera réalisé lorsque le point
M sera sur la perpendiculaire à ^DBh passant par A, donc
lorsque le triangle DBM sera rectangle et isocèle en M.
r
L’angle _DB ; DM i aura pour mesure
.
4
71 1 Avec la calculatrice, on conjecture une solution
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
vérifie f ^ah = 0 + a - cos a = 0 + cos a = a . C’est
ce que l’on a conjecturé avec la calculatrice.
72 1 f ^0 h = g^0 h = 1 .
1
1
x
- .
et gl^ x h =
2
4
2 x+1
1
On a f l^0 h = gl^0 h = . Les courbes représentatives
2
des deux fonctions admettent la même tangente au
point d’abscisse 0.
x
x2
3 a. d^ x h = f ^ x h - g^ x h = x + 1 - 1 +
.
2
8
1
1
x
- +
d l^ x h =
2
4
2 x+1
2
2 x+1
x x+1
=
+
4 x+1
4 x+1
4 x+1
2 + ^ x - 2h x + 1
=
.
4 x+1
b. h^ x h = 2 + ^ x - 2h x + 1 ,
1
donc hl^ x h = x + 1 + ^ x - 2h #
2 x+1
2^ x + 1h + ^ x - 2h
3x
=
=
.
2 x+1
2 x+1
La fonction h est décroissante sur @ - 1 ; 0 @ et croissante
sur 60 ; + 3 6 et comme h^0 h = 0 , cette fonction admet
un minimum en 0 qui vaut 0, donc la fonction h est positive sur son ensemble de définition.
c. Comme 4 x + 1 est un réel positif, on a : pour tout
réel x 2 - 1 ; d l^ x h H 0 .
4 a. lim d^ x h =+ 3 , car lim f ^ x h =+ 3
2 f l^ x h =
Problèmes
x
5 On a trouvé en 4 c. un encadrement du réel a qui
de valeur approchée 0,74.
2 On sait que pour tout réel x, on a - 1 G cos x G 1 ,
donc, si x 2 1 , on ne pourra jamais avoir cos x = x .
r
3 Si x ! 9; 0 9 , on a cos x H 0 et x 1 0 , l’équation
2
cos x = x n’a pas de solution.
r
Si x 1 1 - 1 , l’équation cos x = x n’a pas de solu2
tion, car pour tout réel x , - 1 G cos x .
Conclusion : si x 1 0 , l’équation n’a pas de solution.
4 a. f l^ x h = 1 + sin x 2 0 si x ! 60 ; 1 @ , donc f est
strictement croissante sur cet intervalle.
b. f ^0 h =- 1 ; f ^1 h 2 0 et f est continue et strictement croissante sur 60 ; 1 @, donc l’équation f ^ x h = 0
admet une solution unique a sur cet intervalle.
c. Avec la calculatrice, on obtient :
0,739 1 a 1 0,740 .
Livre du professeur - CHAPITRE 3
x "+3
x "+3
x2
=+ 3 .
et lim - g^ x h = lim
x "+3
x "+3 8
b.
x
-1
+3
d l^ x h
d^ x h - 3
8
+
+3
5 La fonction d est négative sur @ - 1 ; 0 @ et positive
sur 60 ; + 3 6 , donc la courbe représentative de f est
en dessous de celle de g sur @ - 1 ; 0 @ et au-dessus sur
60 ; + 3 6 .
73 1 f ^ x + 2rh = sin ^ x + 2rh + sin ^n^ x + 2rhh
n
= sin x + sin ^nx + 2rnh = sin x + sin ^nx h = f n^ x h .
La fonction f n est 2r -périodique.
0
2 Pour n = 0 , cos ^nrh = cos 0 = 1 et ^- 1h = 1 .
n
On suppose que pour un entier n, on a cos ^nrh = ^- 1h
n+1
et on démontre que : cos ^^n + 1hrh = ^- 1h
n
n+1
cos ^nr + rh =- cos ^nrh =-^- 1h = ^- 1h .
Par récurrence, on a bien l’égalité pour tout entier n.
3 f n^rh = sin r + sin ^nrh = 0 . La courbe n passe bien
par le point A^r ; 0h .
4 f ln^ x h = cos x + n cos ^nx h .
L’équation de la tangente en A est :
n
y = f ln^rh^ x - rh + f n^rh = ^- 1 + n^- 1h h^ x - rh .
Compléments sur les fonctions numériques
9
5 a. On prend x = 0 dans l’équation précédente, on
n
n
obtient yn =- r^- 1 + n^- 1h h = r^1 - n^- 1h h .
n
b. Selon la parité de n, la quantité ^- 1h vaut 1 ou - 1 ,
donc la suite ^ ynh diverge, elle n’a pas de limite.
74 1 ^ AB ; AD h = 2^CB ; CD h = 2x .
2 a. On trace la hauteur 6DH @ issue de D dans le triangle
CAD. On a DH = CD # sin x = 2 cos x sin x = sin ^2x h .
1
Ainsi, aire de CAD = sin ^2x h et l’aire du secteur circu2
laire intercepté par l’angle de mesure 2x vaut x.
r
b. Comme l’aire du demi-disque inférieur est égale à ,
2
r
1
+ sin ^2x h + x .
on a : a^ x h =
2
2
3 a. et b. L’aire balayée est égale à l’aire du demi-disque
diminuée des aires du triangle CAD et du secteur circulaire ABD, mais comme x est négatif on obtient :
r
1
- a sin ^- 2x h + ^- x hk
a^ x h =
2
2
r
1
=
+ sin ^2x h + x.
2
2
4 a. al^ x h = cos ^2x h + 1 H 0 , car - 1 G cos ^2x h G 1 .
r r
9.
La fonction a est croissante sur C ;
2 2
b.
r
r
x
2
2
+
al^ x h
r
a^ x h
0
5 Avec la calculatrice on trouve - 0,30 1 x 1 - 0,29 .
4
x2
x2
ou y =- 1 .
4
4
x
x
2
2 a. f l^ x h =
=.
x2
x2
2 14 14
4
Cette dérivée est positive sur 6- 2 ; 0 @ et négative sur
60 ; 2 @ .
b. Dérivabilité en - 2^h 2 0h :
^- 2 + hh2
1
f ^- 2 + hh - f ^- 2h
4
= lim
lim
h
h
h"0
h"0
et y =
lim
h"0
1-
4h - h2
4
= lim
h
h"0
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
et f n’est pas dérivable en 0.
3 Dans le calcul suivant, h 1 0 :
sin ^r + hh
f ^r + hh - f ^rh
= lim
lim =
h
h
h"0
h"0
sin ^- hh
- sin h
1
#
= lim
= lim
h
-h
h"0
h " 0 - -h
sin ^- hh
1
#
= lim =- 3 .
-h
-h
h"0
La fonction f n’est pas dérivable en r .
cos x
4 f l^ x h =
. Le signe de f l^ x h est celui de
2 sin x
cos x , d’où le tableau de variations suivant :
x
f l^ x h
f ^xh
10
r
2
0
+
r
-
1-
0
Livre du professeur - CHAPITRE 3
0
4
-1
h
=+ 3.
2
^2 + hh2
4
h
f ^2 + hh - f ^2 h
= lim
h
h"0
2
- 4h - h
- 4h - h2
4
= lim
= lim
h
2h
h"0
h"0
4
- -1
h
= lim =- 3 .
2
h"0
La fonction f n’est dérivable ni en - 2 ni en 2.
c.
0
2
x
-2
lim
h"0
f l^ x h
f ^xh
+
1
0
0
3
4 La courbe 2 s’obtient à partir de 1 par symétrie par
rapport à l’axe ^Ox h .
5 Soit M un point quelconque de 1. Les coordonnées de
M sont c x ;
=
1
4h - h2
= lim
2h
h"0
Dérivabilité en 2^h 1 0h :
75 1 Si x ! 60 ; r @ , sin x H 0 ; donc la fonction f est
bien définie.
2 Dans le calcul suivant, h 2 0 :
f ^hh - f ^0 h
sin h
sin h
1
#
= lim
= lim
lim
.
h
h
h
h"0
h"0
h"0
h
sin h
= 1 et, de plus,
Or, d’après le cours, lim
h"0 h
f ^hh - f ^0 h
1
=+ 3 . Donc lim
=+ 3
lim
h
h"0
h"0 h
+ x ! 6- 2 ; 2 @
2
76 1 ^E h + y2 = 1 - x
1-
x2 m
et MF =
4
3x2
-2 3x+4 =
4
De même, on a MF l =
2
2
^x - 3 h + 1 - x
4
x 3
+2 .
2
Compléments sur les fonctions numériques
2
c x 3 - 2m = x 3 - 2 .
2
2
Comme x ! 6- 2 ; 2 @ on a :
78 1 Le périmètre est égal à 12, donc 2x + y = 12 et
x 3
x 3
- 2 1 0 et
+ 220 ;
2
2
x 3
x 3
+2+
+ 2 = 4.
donc MF + MF l =2
2
Pour des raisons de symétrie par rapport à l’axe ^Ox h ,
on aura le même résultat si M est un point quelconque
de 2.
77 1 La fonction f est définie sur 6- a ; + 3 6 et la
fonction g sur C- 3 ;
3
C.
2
Les courbes représentatives de f et g se coupent si, et
3
3
seulement si, - a G , c’est-à-dire a H - .
2
2
2 Avec le logiciel, on trouve a =- 0,75 .
3 On résout : f ^ x h = g^ x h + x + a = 3 - 2x
+ 3x = 3 - a + x = 3 -3 a .
2a + 3
3-a
3-a
m=
+a =
On calcule f c
.
3
3
3
2a + 3
3-a
m.
On obtient bien B c
;
3
3
4 Équation de Tf :
3-a
mc x - 3 a m + f c 3 a m .
y = f lc
3
3
3
1
Or, f l^ x h =
,
2 x+a
1
3-a
m=
donc f lc
;
3
2a + 3
2
3
2a + 3
1
cx - 3 a m +
.
d’où : y =
3
3
2a + 3
2
3
Équation de Tg :
3-a
mc x - 3 a m + g c 3 a m .
3
3
3
-1
-1
3-a
m=
Or, gl^ x h =
, donc glc
;
3
2a + 3
3 - 2x
3
-1
2a + 3
3-a
cx m+
.
d’où : y =
3
3
2a + 3
3
J
N
1
K
O
1
5 Un vecteur directeur de Tf est V K
O,
K 2 2a + 3 O
3
L
P
2a + 3
p.
donc un vecteur directeur est aussi v f2
3
1
J
N
1
K
O
1
O
Un vecteur directeur de Tg est W K
2a + 3 O, donc un
K
K
O
3
L
P
2a + 3
p.
vecteur directeur est aussi w f
3
-1
6 Les deux tangentes sont perpendiculaires si, et
2a + 3
m- 1 = 0
seulement si, v : w = 0 + 2 c
3
4a + 3
3
+ 3 = 0 + a =- 4 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
y = glc
Livre du professeur - CHAPITRE 3
l’inégalité triangulaire donne 2x H y en considérant le
triangle aplati comme possibilité.
2 Avec les deux renseignements du 1 on obtient
2x H 12 - 2x + x H 3 .
Comme y H 0 , on a aussi :
2x + y H 2x + 12 H 2x + x G 6.
Conclusion : 3 G x G 6 .
3 La valeur conjecturée est x = 4 et le triangle semble
être équilatéral.
4 On trace la hauteur 6 AH @ issue de A, on a, d’après le
théorème de Pythagore :
^12 - 2x h2
y2
48x - 144
= x2 =
.
AH2 = x2 4
4
4
48x - 144
= 12x - 36 .
Donc AH =
2
5 L’aire de ABC est égale à :
1
f ^ x h = ^12 - 2x h 12x - 36 = ^6 - x h 12x - 36 .
2
12
6 a. f l^ x h =- 12x - 36 + ^6 - x h #
2 12x - 36
6^6 - x h
- 18x + 72
- 9x + 36
12x - 36
=
=
=
.
12x - 36
12x - 36
2 3x - 9
3x - 9
b. Cette dérivée est positive sur 62 ; 4 @ et négative sur
6 4 ; 6 @, donc la fonction f admet un maximum en 4.
7 Si x = 4 , alors y = 12 - 8 = 4 et le triangle est équilatéral. L’aire maximale est f ^4h = 2 12 = 4 3 .
Pistes pour l’accompagnement
personnalisé
Revoir les outils de base
79 sin ^ x + rh =- sin x ; cos ^r - x h =- cos x ;
r
r
k = cos x ; cos a - x k = sin x ;
2
2
cos ^- x h + cos x = 2 cos x ; sin ^- x h - sin x =- 2 sin x .
sin a x +
80 sin x H 1 S = 9 r ; 5r C ;
6
r
r
cos x 1 0 S = C - r ; - 9 , C ; r C ;
2
2
r
2
3r
sin x G S = 9; - C.
2
4
4
2
6
81 a. x =- r + k # 2r (k entier)
2
r
+ k # 2r (k entier)
b. x =
3
-r
+ k # 2r ( k entier).
ou x =
3
r
+ k # 2r (k entier)
c. x =
5
4r
+ k # 2r (k entier).
ou x =
5
r
d. cos x =- cos
+ cos x = cos 34r :
4
3r
+ k # 2r (k entier)
x=
4
3r
+ k # 2r (k entier).
ou x =4
Compléments sur les fonctions numériques
11
82 a. sin a x + r k = sin r
6
2
+ x+
r
r
=
+ k # 2r
6
2
r
+ k # 2r (k entier).
3
r
3r
r
r
=
+ k # 2r ou 3x =
+ k # 2r
b. 3x 2
4
2
4
+ 3x = 54r + k # 2r ou 3x = 34r + k # 2r (k entier).
r
2r
5r
2r
+k#
+k#
ou x =
(k entier).
+ x = 12
3
4
3
r
r
+ k # 2r ou 2x =- + k # 2r
c. 2x =
4
4
r
r
+ x = 8 + k # r ou x =- 8 + k # r (k entier).
r
x
5r
d. cos a + k = cos
+ 2x + r3 = 56r + k # 2r
2
3
6
x
r
5r
+
=+ k # 2r
ou
2
3
6
+ k # 2r
+ 2x = r2 + k # 2r ou 2x =- 7r
6
+ x = r + k # 4r ou x =- 73r + k # 4r (k entier).
+x=
- cos x
. On retrouve bien la dérivée négasin2 x
r
r
tive sur C0 ; C et positive sur 9 ; r 9 .
2
2
lim sin x = lim sin x = 0+ ;
3 f l^ x h =
x"0
x 20
x "r
x 1r
donc lim f ^ x h = lim f ^ x h =+ 3 .
x"0
x 20
x "r
x 1r
87 1 Le dénominateur ne s’annule jamais, car
- 1 G cos x G 1 ; donc f est définie sur R .
2 Pour tout réel x, f ^- x h = f ^ x h grâce à la parité de la
fonction cosinus ; de plus, f ^ x + 2rh = f ^ x h .
- sin x^cos x - 2h + cos x sin x
3 f l^ x h =
^cos x - 2h2
2 sin x
=
^cos x - 2h2
qui est du signe de sin x , donc positif sur 60 ; r @. La fonction f est croissante sur cet intervalle.
4 Par parité, cette fonction est décroissante sur 6- r ; 0 @ .
83 f ^0 h =- 1 + c =- 1 ;
f ^- 2h =- 5 + 4a - 2b - 1 =- 5 ;
f l^- 2h = 1 (1 est le coefficient directeur de la tangente
T) et f l^ x h = 2ax + b , donc - 4a + b = 1 .
b=3
4a - 2b =- 4
On a donc le système : )
+
*a = 1 .
- 4a + b = 1
2
1 2
Donc f ^ x h = x + 3x - 1 .
2
Étudier une fonction trigonométrique
x - 1 + ^ x - 1h #
89 a. f l^ x h = cos ^2x h + x # ^- 2 sin ^2x hh
84 f l^ x h =- 1 sin a x k .
2
2
x
x
Si x ! 60 ; 2r @, alors
! 60 ; r @ et sin a k H 0 ; donc
2
2
f l^ x h G 0 et f est décroissante sur 60 ; 2r @.
85 gl^ x h = 1 cos a x k .
2
x
x
Si x ! 60 ; 2r @, alors
! 60 ; r @ et cos a k H 0 sur
2
2
x
r
r
90 ; C et cos a k G 0 sur 9 ; r C , donc f l^ x h H 0
2
2
2
sur le premier intervalle et f l^ x h G 0 sur le second. La
r
fonction f est croissante sur 9 ; r C et décroissante sur
2
r
9 ; r C.
2
86 1
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
7 f (ax + b)
1
2 x-1
2^ x - 1h + ^ x - 1h
3
x-1
3
#
=
=
=
2
2
2 x 1
x 1
88 f l^ x h = 1
Les savoir-faire du chapitre
2
Étudier une fonction du type x
= cos ^2x h - 2x sin ^2x h .
-2
-1
2 2x + 3 =
b. f l^ x h =
.
+
2x 3
^2x + 3h 2x + 3
r
cos a - x k
3
c. f l^ x h =
.
2a r - k
sin
x
3
1
90 1 Si x 2 1 , f l^ x h =
20
2
2x - 1
1
1
et f a k = 0 1 f ^ x h pour tout x de C ; + 3 9 , donc f
2
2
est croissante sur son ensemble de définition.
1
1
f a + hk - f a k
2
2 = lim 2h
2 lim
h
h"0
h"0 h
2
1
= lim
=+ 3 , donc f n’est pas dérivable en .
2
h"0 h
3 lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3
x
2 La fonction f semble décroissante sur C0 ;
r
C ; crois2
r
sante sur 9 ; r 9 . Les limites en 0 et en r semblent être
2
égales à + 3 .
12
Livre du professeur - CHAPITRE 3
x-1.
1
2
f l^ x h
f ^xh
+3
+
+3
0
Compléments sur les fonctions numériques
4 y = f l^5 h^ x - 5h + f ^5 h
2 sin x cos x
2 1 + sin2 x
sin ^2x h
=
.
2 1 + sin2 x
r
Si x ! 90 ; C , on a 2x ! 60 ; r @ et sin ^2x h H 0 .
2
Donc la dérivée est positive sur cet intervalle.
3 f l^ x h =
+ y = 13 ^ x - 5h + 3 = 13 x + 34 .
91 a. D = C 1 ; + 3 9 ; f l^ x h =
4
b. D = @ - 3 ; 0 6 ; f l^ x h =
2
.
4x - 1
-3
.
2 - 3x
4
2
c. D = R ; f l^ x h = 15^5x + 4h .
x
3
d. D = R ; f l^ x h =- 4^1 - x h .
8
1
.
e. D = R \ % / ; f l^ x h =
2
^- 2x + 1h3
-3
1
.
f. D = C ; + 3 9 ; f l^ x h =
2
+
^6x 3h 6x + 3
Étudier une fonction du type
+
2
2
1
lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3
^x -
-1
.
x2 + 1 h
On obtient lim f ^ x h = 0 .
x "-3
93 ◗ Pour toute valeur de a non nulle, f a 1 k = 0 .
a
• Si a est positif,
4
lim ^ax - 1h =+ 3 , donc lim ^ax - 1h =+ 3 ;
x "+3
4
lim ^ax - 1h =- 3 , donc lim ^ax - 1h =+ 3 .
x "-3
• Si a est négatif,
4
lim ^ax - 1h =- 3 , donc lim ^ax - 1h =+ 3 ;
x "+3
4
lim ^ax - 1h =+ 3 , donc lim ^ax - 1h =+ 3 .
x "-3
0
-
f ^xh
f ^xh =
3
x "+3
f l^ x h
95 1
d. D = R ; f l^ x h = 4^cos x - sin x h^sin x + cos x h .
x "-3
r
2
0
Approfondissement
u ou un
2x - 1
92 a. D = R ; f l^ x h =
.
2 x2 - x + 3
- sin x
.
b. D = R ; f l^ x h =
2 2 + cos x
2
1
^1 + 2 x h .
c. D = @ 0 ; + 3 6 ; f l^ x h = 3
x
x "+3
r
2
-
x "-3
3
◗ f l^ x h = 4a^ax - 1h .
1
• Si a est positif, f l^ x h H 0 lorsque x H
et f l^ x h G 0
a
dans l’autre cas, d’où les variations de f conformes au
tableau.
1
3
• Si a est négatif, ^ax - 1h H 0 lorsque x G , donc,
a
comme a est négatif f l^ x h G 0 dans ce cas, et f l^ x h H 0
1
lorsque x H , d’où les variations de f conformes au
a
tableau.
x2 + 1
.
1
1
x
x
3 Si x est positif, la dérivée est clairement strictement
positive.
Si x est négatif,
1
1
-1 + 1 + 2
x-x 1+ 2
x =
x
f l^ x h =
1
1
-x 1 + 2
1+ 2
x
x
1
.
f l^ x h = 1 1
1+ 2
x
1
1
Or, 1 + 2 2 1 , donc
11 ;
1
x
1+ 2
x
donc f l^ x h 2 0 .
x
2 f l^ x h = 1 +
4
=
2+
x
x+
-3
f l^ x h
f ^xh
2+
+3
+
+3
0
5
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
94 1 Pour tout réel x,
f ^ x + rh = 1 + sin2 ^ x + rh =
= 1 + sin2 x = f ^ x h .
2
1 + ^- sin x h
Donc f admet pour période r .
2 Pour tout réel x,
2
f ^- x h = 1 + sin2 ^- x h = 1 + ^- sin x h
= 1 + sin2 x = f ^ x h .
Donc f est paire.
On remarque qu’en + 3 la courbe longe la droite
d’équation y = 2x .
6 lim ^ f ^ x h - 2x h = lim ^ x2 + 1 - x h
x "+3
x "+3
= lim
x "+3
Livre du professeur - CHAPITRE 3
1
= 0.
x2 + 1 + x
Compléments sur les fonctions numériques
13
4
C H A P I T R E
Fonction
exponentielle
Introduction
1. Programme
Contenus
Fonction exponentielle
Fonction x
7 exp ^ x h
Relation fonctionnelle, notation e x .
Capacités attendues
démo BAC Démontrer l’unicité d’une
fonction dérivable sur R, égale à sa dérivée
et qui vaut 1 en 0.
démo BAC
Démontrer que
x
lim e = + 3 et
x "+3
lim e x = 0 .
x "-3
• Utiliser la relation fonctionnelle pour
transformer une écriture.
• Connaître le sens de variation et la
représentation graphique de la fonction
exponentielle.
x
• Connaître et exploiter lim e = + 3 et
x "+3 x
lim x e x = 0 .
x "-3
Commentaires
La fonction exponentielle est présentée
comme l’unique fonction f dérivable sur R
telle que : f l = f et f ^0h = 1.
L’existence est admise.
On étudie des exemples de fonctions de la
forme x
exp ^u^ x hh , notamment avec
u^ x h = - kx ou u^ x h = - kx2 ^k 2 0h qui
sont utilisées dans des domaines variés.
7
On fait le lien entre le nombre dérivé de la
fonction exponentielle en 0 et la limite en 0
x
de e - 1 .
x
E [SPC et SVT] Radioactivité.
AP Étude de phénomènes d’évolution.
• Calcul de la dérivée de la fonction
x
e u^ x h
7
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole
de type algorithmique sont signalées par le symbole .
. Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités
2. Intentions des auteurs
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Conformément au programme, la fonction exponentielle est présentée comme l’unique
fonction dérivable sur R valant 1 en 0 et égale à sa dérivée.
Des résultats sur les limites et sens de variations nourrissent des activités et problèmes qui
privilégient des approches contextualisées où les outils informatiques et les logiciels de
calculs formels ont toute leur place. La résolution de problèmes a été privilégiée.
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
1
Partir d’un bon pied
Objectif
Réactiver les connaissances du cours de Première concernant les calculs sur les puissances et les suites géométriques. Une activité fait travailler sur la dérivation, prévision de l’étude de la dérivée de la fonction x
e u^ x h .
7
1 b.
A
2 a.
3 b.
4 a.
B a. f l^ x h = 8x + 12 .
b. f l^ x h =- 4 cos a- 4x +
r
k.
3
x
1
c. f l^ x h = glc 2 - 5 m .
2
2 a. et b.
C 1 a. et b.
3 Des fonctions « transformant
les sommes en produits »
Activité
Objectif : Étudier, à partir d’une propriété des suites
géométriques, la relation fonctionnelle caractéristique de
la fonction exponentielle et les premières propriétés de
cette fonction.
1 un = q n ; up = q p , donc :
environ 750 millions ; au bout de 21 heures, il vaut
environ 1 500 millions ; au bout de 25 heures, il vaut
environ 3 000 millions.
4 Taux d’évolution entre 16 et 17 h :
750 - 640
# 100 . 17 % ;
640
Taux d’évolution entre 20 et 21 h :
1500 - 1280
# 100 c 17 % ;
1280
Taux d’évolution entre 24 et 25h :
3 000 - 2 560
# 100 . 17 % .
2 560
La suite ^unh semble être une suite géométrique de
premier terme u0 = 40 et de raison environ 1,17.
5 À l’aide du tableur, on trouve environ 46 h.
un # up = q n + p = un + p .
2 Pour tout réel x,
f ^ x h = f ^ x - a + a h = f ^ x - a h # f ^a h = 0 ,
car f ^ah = 0 .
3 a. f ^ x h = f ^ x + 0h = f ^ x h # f ^0 h ;
or, f ^ x h ! 0 , donc f ^0 h = 1 .
x
x
x 2
b. f ^ x h = f a + k = 9 f a kC 2 0 .
2
2
2
c. 1 = f ^0 h = f ^ x + ^- x hh = f ^ x h # f ^- x h ,
1
.
donc, comme f ^ x h ! 0 , f ^- x h =
f ^xh
d. On pose un = f ^nh , donc :
un + 1 = f ^n + 1h = f ^nh # f ^1 h = f ^1 h # un .
On a bien une suite géométrique de raison f ^1 h .
4 Comme les fonctions y
y + x et f sont dérivables
sur R, la fonction g est dérivable comme composée de
deux fonctions dérivables sur R.
gl^ y h = 1 # f l^ x + y h et, de plus, comme :
f ^ x + y h = f ^ x hf ^ y h,
on a aussi :
gl^ y h = f ^ x hf l^ y h . ( f l^ x h = 0 , car x est fixé).
D’où f l^ x + y h = f ^ x hf l^ y h .
En prenant y = 0 , comme x est quelconque, on obtient
pour tout réel x : f l^ x h = f l^0 h # f ^ x h .
En posant k = f l^0 h on a le résultat attendu.
5 f ^0 h = 1 ; pour tout réel x, f ^ x h 2 0 ;
1
; la suite ^ f ^nhh est géométrique de
f ^- x h =
f ^xh
raison f ^1 h , f l^ x h = k # f ^ x h , où k est un réel non nul.
2 Loi de refroidissement
de Newton, modélisation discrète
4 Fonction f telle que f ’ = f
et f (0) = 1
3 a. et c.
Découvrir
1 Croissance d’une population
de bactéries
Activité
Objectif : Faire le lien entre une suite géométrique et une
croissance exponentielle.
1 2 Voir graphique de la question 1 .
3 Au bout de 17 heures, le nombre de bactéries vaut
Activité
Objectif : Approcher à l’aide d’une loi de la physique, le
principe d’une décroissance exponentielle.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
2
c. On a T2 = 60 # ^k + 1h + 20 = 69 , donc k . - 0,1 .
Ainsi, Tn . 60 # 0,9 n + 20 .
3 T20 . 60 # 0,920 + 20 . 27,3 °C .
1 La variation de température entre les minutes n et
n + 1 est Tn + 1 - Tn et, comme il y a proportionnalité avec
la différence entre Tn et 20 °C, on a bien :
Tn + 1 - Tn = k^Tn - 20h.
2 a. un + 1 = Tn + 1 - 20 = Tn + k^Tn - 20h - 20
= ^k + 1h^Tn - 20h = ^k + 1hun .
La suite ^unh est géométrique de premier terme
u0 = 80 - 20 = 60 et de raison ^k + 1h .
n
n
b. un = 60 # ^k + 1h , donc Tn = 60 # ^k + 1h + 20 .
2
Livre du professeur - CHAPITRE 4
7
Activité
Objectif : Construire une représentation graphique approchée d’une fonction vérifiant les propriétés de la fonction
exponentielle.
1 a. Le coefficient directeur de la tangente à l’origine
est f l^0 h = f ^0 h = 1 .
b. C’est le segment porté par la droite d’équation
y = x + 1.
c. f ^1 h . 2 .
2 a. f ^0,5h . 1,5 .
b. f l^0,5h . 1,5 . On trace le segment porté par la droite
d’équation y = 1,5x + 0,75 .
c. f ^1 h . 2,25 .
Fonction exponentielle
3 Les tangentes aux points d’abscisses 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8
ont respectivement pour coefficients directeurs : 1,2 ;
1,44 ; 1,728 ; 2,0736.
Les segments consécutifs ont pour points d’origine
ceux de coordonnées : ^0 ; 1h ; ^0,2 ; 1,2h ; ^0,4 ; 1,44h ;
^0,6 ; 1,728h ; ^0,8 ; 2,0736h.
Exercices d’application
Savoir faire Utiliser les propriétés
algébriques de la fonction exponentielle
1
a. Faux ;
b. vrai ;
c. vrai ;
1
e x ce x + x m
e
e 2x + 1
= lim
c. lim
x
x "+3 e + 2
x "+3 ex 1 + 2
c
m
ex
1
ce x + x m
e
= lim
=+ 3 .
x "+3 1 + 2
c
m
ex
1
1
= 0.
d. lim e x = 1 , car lim
x "+3
x "+3 x
8 a. Si x 1 0 , alors - x 2 0 ; e-x 21 , donc 1 - e-x 1 0.
b. Si x H 0 , alors - x G 0 ; e-x G 1 , donc 1 - e-x H 0 .
De plus, comme e-x 2 0 , on a f ^ x h 11 .
d. vrai.
Savoir faire Étudier une fonction
2 a. e2x # e-2x = e2x - 2x = e0 = 1 ;
2x + 1 # 1 - x
2x + 1 + 1 - x
x+2
du type x
=e
=e
b. e
;
e
x+2
e
+2+x-2
^ x + 2 h - ^-x + 2 h
x
=e
= e 2x ;
c. -x + 2 = e
e
e x ^e2x + 1h
e 3x + e x
=
= ex .
d. 2x
e +1
e 2x + 1
b. vrai ;
c. vrai ;
2
b. f l^ x h =- xe-x .
e x
.
c. f l^ x h =
2 x
d. f l^ x h =- sin ^ x hecos^ x h .
10 f l^ x h = ^3x2 + 2x h e x3 + x2 = x^3x + 2h e x3 + x2 .
x
d. faux.
faisant intervenir la fonction
exponentielle
exp a
f ^xh
x "+3
f ^ x h = e x + x - 1 , donc f l^ x h = e x + 1 .
La tangente au point d’abscisse 1 a pour équation
réduite : y = f l^1 h^ x - 1h + f ^1 h avec f l^1 h = e + 1 et
f ^1 h = e .
On obtient donc y = ^e + 1h^ x - 1h + e = ^e + 1hx - 1 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
x "+3
b. lim e x
x "-3
+x+1
lim e x a1 -
x "+3
x
k =+ 3 .
ex
e x ^e x - 1h
e 2x - e x
= lim
= 1.
x
x
x "0
x "0
x
5
c. lim e-x ^ x + 5h = lim c x + x m = 0 .
e
x "+3 e
x "+3
d. lim e1 -
1
x
= e.
1 -1
e x 2 0 pour tout x non nul.
x2
c. f l^ x h =- sin xecosx 1 0 sur 60 ; r @.
x "+3
=+ 3 , car lim ^ x2 + x + 1h =+ 3 .
x "-3
Travaux pratiques
13 Distance minimale entre un point fixe et
7 a. lim e1 - x = 0 , car lim ^1 - x h =- 3 .
2
1
b. f l^ x h =
1 - x2
1 - x2 x
m e =- 3 , car lim c
2
2 m =- 1 .
1+x
x "+3 1 + x
x "+3
+
R.
x "+3
x "+3
4
k
27
0
12 a. f l^ x h =- 3e-3x 1 0 , donc f est décroissante sur
1
= 0 , car lim ^e-x h =+ 3 .
b. lim
e-x
x "-3 1
x "-3
e x + e-x
=+ 3 , car lim ^e-x h = 0
c. lim
2
x "+3
x "+3
x
et lim ^e h =+ 3 .
d. lim c
-
+3
x h =- 3 ,
car lim ^e-x h = 0 et lim ^ x h =+ 3 .
x "+3
0
b. lim
x "-3
x "+3
0
+
11 a. lim ^e x - x h =
5
2
3
-
-3
f l^ x h
Savoir faire Étudier une fonction
6 a. lim ^e-x -
u(x)
9 a. f l^ x h =- 2e1 - 2x .
1
1- x
-x
1
e
ex - 1
e
3 1
= x
.
-x =
1
e +1
1+e
1+ x
e
xx
e
1
e
1
2
= 2x - 2x = e-x - e-2x .
e 2x
e
e
4 a. Vrai ;
7e
une courbe
1 Distance minimale environ 0,78 pour le point d’abscisse environ - 0,4.
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
3
x2 + e2x . Pour minimiser OA, il faut minimiser
2 + 2x
x
e , car la fonction racine carrée est croissante sur
60 ; + 3 6 .
f l^ x h = 2e2x + 2x ; f ll^ x h = 4e2x + 2 2 0 . Comme la
dérivée seconde de f est positive, la dérivée est strictement croissante sur R.
2 OA =
x
-3
f ll^ x h
+3
t
1 UC ^ t h = 10e- 1,4 .
+3
1
est décroissante sur 60 ; + 3 6 .
7e
–kx
et x
7e
–kx2
,
où k 0
1 a. Les fonctions f k sont décroissantes sur R. La limite
en - 3 semble être + 3 et la limite en + 3 semble être
égale à 0.
b. 0,2 est en vert, 0,5 est en rouge, 1 est en bleu, 1,5
est en violet.
Si k 1 k l , on conjecture que k est en dessous de k' sur
l’intervalle @ - 3 ; 0 @ et au-dessus sur 60 ; + 3 6 . Toutes
les courbes k se coupent au point ^0 ; 1h .
c. f lk ^ x h =- ke-kx 1 0 , car k est strictement positif,
d’où la stricte décroissance des fonctions f k sur R.
lim - kx =- 3 , donc lim e-kx = 0 ;
x "+3
x "+3
lim - kx =+ 3 , donc lim e-kx =+ 3 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
x "-3
x "+3
x "-3
donc lim gk ^ x h = lim gk ^ x h = 0 .
x "+3
x "-3
Livre du professeur - CHAPITRE 4
UC ^ t h
0
10
+3
0
lim UC ^ t h = 0
t "+3
3
4 a. L’équation réduite de ^T h : y =-
50
t + 10 .
7
50
70
= 1,4 = x .
t = 10 + t =
7
50
5 La tension à l’instant t = 1,4 s est environ égale à
3,7 V.
UC ^1,4h = 10e-1 ; or, e-1 . 0,37 , la tension a baissé
d’environ 63 %.
b. y = 0 +
Faire le point
19 1 b.
2 c.
3 b.
20 1 b.
2 b.
3 b. et c. 4 b.
5 c.
21 1 Vrai.
2 Faux.
3 Faux.
4 Vrai.
5 Vrai.
3 Faux.
4 Vrai.
5 Vrai.
22 1 Faux. 2 Vrai.
x "-3
Supposons k 1 k l et x H 0 : on a alors kx G k l x , puis
- kx H - k l x et enfin e-kx H e-k l x .
Si x G 0 , on a alors kx H k l x , puis - kx G - k l x et enfin
e-kx G e-k l x .
2 a. Les fonctions gk ont pour limite 0 en + 3 et - 3 .
Elles sont croissantes sur @ - 3 ; 0 @ et décroissantes sur
60 ; + 3 6 .
Elles vérifient gk ^0 h = 1 .
b. C0,1 est en bleu, C0,5 est en violet, C1 est en rouge,
C3 est en vert.
Si k 1 k l , alors C k est au-dessus de C k l .
c. lim - kx2 = lim - kx2 =- 3 ,
4
t
x "+3
Comme f l est continue et strictement croissante sur
R et qu’elle prend des valeurs négatives et positives, il
existe un réel unique a tel que f l^ah = 0 .
On a donc : f l négative sur @ - 3 ; a @ et positive sur
6a ; + 3 6 , donc f admet un minimum en a .
Avec la calculatrice, on trouve a . - 0,43 et
OA = f ^ah . 0,78 .
4 1. Le coefficient directeur de ^T h est ea .
ea
.
2. Le coefficient directeur de la droite ^OAh est
a
3. Le produit des deux coefficients directeurs vaut
a
e 2a
=- =- 1 , donc les deux droites sont perpena
a
diculaires.
14 Étude des fonctions x
t
2 U lC ^ t h =# 10e- 1,4 1 0 , donc la fonction UC
1,4
lim f l^ x h =- 3 ; lim f l^ x h =+ 3 .
x "-3
15 En Sciences physiques :
décharge d’un condensateur
+
f l^ x h - 3
2
glk ^ x h =- 2kxe-kx , ce qui est négatif si x est positif et
positif si x est négatif.
D’où le sens de variations confirmé.
Si k 1 k l , on a alors kx2 G k l x2 , puis - kx2 H - k l x2 et
2
2
enfin e-kx H e-k l x , d’où la position relative confirmée.
6 a.
Exercices d’application
1 La fonction exponentielle
23 1 Vrai.
2 Faux.
3 Vrai.
4 Vrai.
24 1 Faux.
2 Faux.
3 Vrai.
4 Faux.
25 1 Faux : pour a = b = 0 , on a e2a = 1 et e2b = 1 ,
on aurait donc 11 1 si l’inégalité était vraie.
2 Vrai :
Fonction exponentielle
e 2a # e 2b =
e 2a # e 2b = e a # e b = e a + b .
3 Vrai : pour a = b = 0 , on a e2a + e2b = 1 + 1 = 2 et
2ea + b = 2 # 1 = 1 .
e 2a
e 2a
1
4 Vrai : -2a
= 2a -2a
=
.
a
a
1 + ea
e +e
e ^e + e h
26 1 Faux.
2 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
27 1 b.
2 c.
3 a.
4 a.
2x
-2x
+2
e2x + e-2x
28 a. f ^ x h2 - g^ x h2 = e + e
4
4
4
=
=1;
4
e2x + e-2x
= f ^2x h ;
2
c. 2g^ x h # f ^ x h = 2
e x - e-x
e x + e-x
#
2
2
e2x - e-2x
= g^2x h .
2
=
2 Étude de la fonction exponentielle
x+y x - x+y x
e
e
e
29 1 f l^ x h = e
= 0 , donc f est
2x
e
constante sur R.
2 On a, par exemple, f ^0 h = e y et comme f est
constante, on aura pour tout x réel, f ^ x h = e y .
3 D’après les deux questions précédentes, on a, pour
tous réels x et y :
ex + y
= ey + ex + y = ex # ey .
ex
1
4 e-x + x = e-x # e x = e0 = 1 , donc e-x = x ;
e
1
ex
e x - y = e x # e-y = e x # y = y .
e
e
30 a. e ;
b. e3 ;
c.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
e
= ^e
3
2 e3x + 2 = ^e x h # e2 ;
-4
e1 - 4x = e # ^e x h
;
; e
= ^e
x h5 #
2
2
+ 2x
33 1 e3x - 2e x = e x ^e2x - 2h
3 Vrai.
4 Faux.
37 1 Faux.
2 Faux.
3 Vrai.
38 a.
2
lim e x =+ 3 , car lim x2 =+ 3 .
x "-3
x "-3
e 2x - 1
=- 1 , car lim e2x = 0 .
b. lim 2x
x "-3 e + 1
x "-3
1
1
c. lim e x2 = 1 , car lim 2 = 0 et lim e X = 1 .
x
+
+
X "0
x" 3
x" 3
1
x
d. lim
x = 0 , car lim e =+ 3 .
x "+3 1 + e
x "+3
4
2
3
x
x "+3
x "-3
ex
=+ 3 ;
x
4
ex
de plus, lim x =+ 3 , donc lim
2 =+ 3 .
x "-3
x "+3 x
e 2x - 1
1 - e-2x
= lim
b. lim 2x
-2x = 1 ,
x "+3 e + 1
x "+3 1 + e
car lim e-2x = 0 .
2
x "+3
lim
x " -+ 3
xc
ex
- 1 m =+ 3 .
x
ex - 1
1 - e-x
= lim
d. lim
x
-x = 1 .
x "+3 1 + e
x "+3 1 + e
40 1 f l^ x h = 1 - e x . On a f l positive si x est négatif
et f l négative si x est positif.
e2 .
2
e x - 3 = e x # e-3 ;
e 3x
2 Vrai.
x "+3
e3 - x = e3 # e-x ;
e
36 1 Faux.
c. lim ^e x - x h =
32 1 L’instruction « expexpand » développe les expo-
5x + 2
4 Faux.
Or, lim x 4 =+ 3 et lim =
2
2
3 Faux.
x
c. h^ x h = ^e x + 1h - e 4x - 1
= e2x + 2e x + 1 - e2x - 1 = 2e x .
x h4 # ^ y h2
2 Vrai.
x
x
39 a. e = e # x2 .
2
4
= e2x + e-2x + 2 - ^e2x + e-2x - 2h = 4 ;
e-x + e x
1 + e 2x
+
b. g^ x h =
x
1-e
1 - e-x
e x ^e-x + e x h
1 + e 2x
=
=0;
x
1-e
1 - ex
nentielles.
2
e2x + 1 = ^e x h # e ;
35 1 Vrai.
4
2
.
1+e
31 a. f ^ x h = ^e x + e-x h2 - ^e x - e-x h2
4x + 2y
d’exponentielles.
e2x + e-2x + 2
4
4
4
b. 2 f ^ x h2 - 1 = 2
=
34 L’instruction « linéariser » simplifie des produits
2
= ^e x h # ^e x h .
x
0
-3
f l^ x h
f ^xh
Livre du professeur - CHAPITRE 4
+
0
2
+3
-
Fonction exponentielle
5
f ^2 h = 5 - e2 1 0 . La fonction f est
continue et strictement décroissante sur 60 ; 2 @ et
change de signe sur cet intervalle, donc l’équation
f ^ x h = 0 admet une solution unique a sur 60 ; 2 @.
4 On trouve a . 1,51 .
5 a. On peut définir un variable z qui prend la valeur
x - a puis qu’on affiche, ensuite on affiche x.
b. On obtient successivement 0,5 et 0,6 ; 0,50 et 0,51 ;
0,505 et 0,506.
3 f ^0 h = 2 ;
e 2x + 1
1
= , car lim e2x = 0 ;
2x
4
x "-3 e + 4
x "-3
2x ^ + -2x h
2x +
e 1 e
e
1
= lim 2x
lim 2x
-2x h = 1 .
x "+3 e + 4
x " + 3 e ^1 + 4e
1
.
b. On a bien trouvé
4
c. L’instruction est la même, mais elle se termine par
+ infinity .
e x ^e x + e-x h
e 2x + 1
2 lim
=
lim
x
-x =+ 3 ;
x
x " + 3 2e - 3
x " + 3 e ^2 - 3e h
41 1 a. lim
2 On a u0 2 0 par hypothèse. Supposons que pour un
entier n, on a un 2 0 et démontrons que un + 1 2 0 . On a
un + 1 = un e-un avec un 2 0 et e-un 2 0 , donc un + 1 2 0 .
u
3 Tous les termes sont non nuls : n + 1 = e-un avec
un
- un 1 0 , donc e-un 11 .
Cette suite est (strictement) décroissante.
4 Cette suite et décroissante et minorée par 0, donc elle
converge vers une limite , .
La fonction x
xe-x étant continue, on a :
, e- , = , + ,^e- , - 1h = 0 + , = 0 .
7
3 Croissance comparée
ex + 1
ex
1
1 m
= lim c #
+
=+ 3 ;
x
x
2
2
2
x
x "+3
x "+3
1 - 4x
1
x
= lim c x - 4 # x m = 0 .
lim
x
e
e
e
x "+3
x "+3
46 1
lim
2
e x ^1 + e-x h
ex + 1
= lim
= 0.
2
x
x -x
x
x " + 3 1 - 5e
x " + 3 e ^e - 5e h
lim
42 1 On trouve a environ égal à 2,7 et l’abscisse du
point de contact égale à 1.
2 f l^ x h = e x - a . L’équation de la tangente au point
d’abscisse k est : y = f l^k h^ x - k h + f ^k h .
On obtient y = ^e k - ah^ x - k h + e k - ak .
3 Cette droite est l’axe des abscisses si, et seulement si,
ek - a = 0
ek - a = 0
*
*
.
+
- k^e k - ah + e k - ak = 0
e k ^1 - k h = 0
On obtient alors k = 1 ; a = e .
n2 - n - 1
= 1,
n2
n "+3
n2 - n - 1
m = e.
donc lim exp c
n2
n "+3
1
1
2 lim ar k = r , donc lim cos ar - k =- 1 ,
n
n
n "+3
n "+3
43 1
lim
donc lim exp acos ar n "+3
1
kk = e-1 .
n
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
lim 61 - e-n - 1 @ = 1 ,
x4
e x - x4
= lim c1 - x m = 1 ;
x
e
e
x "+3
x "+3
c. lim
-x
d. lim ^3x3 - x2h
x "+3
e2
.
e-1
x "+3
(d’après l’exercice précédent, on a
qui donne aussi lim x n e-x = 0 ).
lim x n e x = 0 , ce
x "-3
x "+3
49 1 b.
on a lim
x "+3
Livre du professeur - CHAPITRE 4
= lim ^3x3 e-x - x2 e-x h = 0
2 c.
3 c.
ex
ex
# x , donc,
=
x
x
ex
=+ 3 et lim x =+ 3 ,
comme lim
x "+3 x
x "+3
45 1 La suite ^u h semble décroissante et tendre
n
6
x "-3
=0;
50 1
n "+3
vers 0.
e x + 3x
ex
3
= lim c 3 + 2 m =+ 3 ;
3
x
x
x "+3
x "+3 x
48 a. lim
x "-3
un
e
1
de premier terme e et de raison .
e
2 Comme 0 1 q 1 1 cette suite converge vers 0.
1 - qn + 1
1 - e-n - 1
3 Sn = u0 #
= e#
1-q
e-1
e
e2 6
=
1 - e-n - 1 @
e-1
n "+3
x
est + 3 .
n
ex
e nt
1 c et m
2
.
n =
n =
x
nn t
^nt h
x
3 Comme t =
, t tend vers + 3 lorsque x tend vers
n
+3.
n
ex
1 et
D’où, lim n = lim n c m =+ 3 .
t
x "+3 x
t "+3 n
n
n
n X
4 x n e x = ^- X h e-X = ^- 1h
X .
e
n
n X
5 lim x n e x = lim ^- 1h
X = 0.
e
x "-3
X "+3
b. lim ^ x2 + 4x - 1he x = lim ^ x2 e x + 4xe x - e x h
44 1 un + 1 = 1 , donc cette suite est géométrique
donc lim Sn =
x
47 1 On conjecture que la limite en + 3 de e
n
Fonction exponentielle
ex
=+ 3 .
x
2 Pour tout
x H 1, x H
ex
ex
G
. Comme
x
x
raison on aura lim
x "+3
x , donc
1
1
G
x
x
et
ex
=+ 3 , par compax "+3 x
lim
ex
=+ 3 .
x
n
n 1
e^n + 1hx = e nx + x = e nx # e x = ^e x h # e x = ^e x h .
Par récurrence sur n, on a bien démontré la propriété
pour tout entier naturel n.
Si n est négatif, alors - n est un entier naturel, donc,
-n
d’après ce qui précède, e-nx = ^e x h .
-n
1
1
Or, e-nx = nx et ^e x h = x n , d’où l’égalité des
e
^e h
deux expressions dans ce cas également.
+
51 On pose X = 3x .
e 3x
eX
3
eX
#
=
=
.
2x
2X
2
X
3
Or, lorsque x tend vers + 3 , X également.
1
e 3x
eX
3
#
= lim
=+ 3 .
X
x " + 3 2x
X "+3 2
Donc lim
e 2X
eX
1
#
= lim
=+ 3.
X
x " + 3 4x
X "+3 2
2 On pose X = 2x . lim
3 On pose X = 3x .
X
-x
3 = lim - 1 # X = 0 .
lim 3x = lim
3
eX
x "+3 e
x "+3 X
X "+3
2
ex
eX
4 On pose X = x2 . lim
= lim
=+ 3 .
x "+3 x
x "+3 X
2x
52 1
e
x
2 c1 - 2x m
e 2x - x 2
x
e
= 1.
lim 2x
2 = lim
2x
x2
x "+3 e + x
x "+3 e
c
m
1
x2
e 2x
lim ^e3x -
x h = lim
4 Dérivée de x
53 1 Faux.
3 Vrai.
4 Faux.
54 1 Faux ; si u est décroissante, f également ; en
effet f l = ^euhl = ul eu .
2 Vrai, car ul est positive.
3 Vrai, car une exponentielle est toujours strictement
positive.
4 Faux, car f l = ^e-uhl =- ul e-u et si ul est négative,
- ul sera positive et f sera croissante.
55 1 Première méthode
n
n 1
ne nx ^e x h - e nx # ne x ^e x h
= 0.
^e x h2n
b. La dérivée de f est nulle pour tout réel, donc la fonction f est constante sur R.
f ^0 h = 1 , donc pour tout réel x, f ^ x h = 1 .
n
e nx
= 1 + ^e x h = e nx .
c. On a
^e x hn
2 Seconde méthode
On cherche à démontrer que pour tout réel x et pour
n
tout entier naturel n, e nx = ^e x h .
-
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
a. f l^ x h =
période 2r , la fonction f l’est également. On a donc,
pour tout réel x, f ^- x h = f ^ x h et f ^ x + 2rh = f ^ x h .
2 f l^ x h = sin xe- cosx H 0 sur l’intervalle 60 ; r @ (c’est le
signe du sinus).
x
0
f ^xh
r
e
e-1
3
xc
7 exp(u(x))
2 Vrai.
56 1 Comme la fonction cosinus est paire et de
2
e 3x
- 1 m =+ 3 .
x
x "+3
x "+3
ex
1
3 lim ^e x - x2 - x h = lim x2 c 2 - 1 m
x
x
+
+
x" 3
x" 3
=+ 3 .
2
Pour n = 0 , chacune des deux expressions vaut 1, donc
l’égalité est vraie.
n
Supposons que pour un entier n, on a e nx = ^e x h ,
n+1
démontrons que e^n + 1hx = ^e x h .
4 Tangente au point d’abscisse
r
:
2
r
r
r
ka x - k + f a k .
2
2
2
r
r
+ 1.
On obtient y = 1 a x - k + 1 = x 2
2
y = f la
57 On se place sur l’intervalle C - r ; r 9 .
2
2
1 La limite de la fonction tangente en -
r
est + 3 .
2
2 a. lim tan x =+ 3 et lim e X =+ 3 ,
limite en
r
est - 3 , la
2
X "+3
r
2
r
x1
2
x"
donc lim e tan x =+ 3 .
r
2
r
x1
2
x"
b. lim tan x =- 3 et lim e X = 0 ,
X "-3
r
2
r
x 22
x "-
donc lim e tan x = 0 .
r
2
r
x 22
x "-
c. f a-
r
k=
2
lim f ^ x h = 0 , donc la fonction est
r
x "- 2
continue en -
r
.
2
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
7
b. Comme x ! 60 ; 1 @, ^1 - x h H 0 et, d’après la partie A,
e x - x 2 0 et g^ x h H 0 .
Ainsi, pour tout x ! 60 ; 1 @, f ^ x h - x H 0 , donc la courbe
de f est au-dessus de la droite sur 60 ; 1 @.
3 a.
b. La dérivée est clairement strictement positive, donc f
r r
9.
est croissante sur C ;
2 2
c. d.
r
r
x
2
2
f l^ x h
Partie C
y
1
1
+
+3
f ^xh
0
f
0,2
Prépa Bac
0
58 1 a. f l^ x h = - 4e
x
2x
e + 1h + 4e # 2e
^e2x + 1h2
4e x ^e2x - 1h
4e3x - 4e x
=
=
.
^e2x + 1h2
^e2x + 1h2
2
b. On a 4e x 2 0 et ^e2x + 1h 2 0 , donc la dérivée est du
signe de ^e2x - 1h .
Or, e2x - 12 0 + 2x 2 0 + x 2 0 . La fonction f est
bien croissante sur l’intervalle 60 ; + 3 6 .
2 On montre que f est paire :
4
x
4e-x
e
= 1f ^- x h = 1 - -2x
1 + e 2x
e +1
e 2x
x
4e
= 1= f ^ x h,
1 + e 2x
d’où la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
59 Partie A
1 gl^ x h = e x - 1 , ce qui est positif sur
négatif sur @ - 3 ; 0 @.
2
x
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
g^ x h
-3
0
60 ; + 3 6 et
+3
0
Le minimum de g est 0, donc pour tout réel x, g^ x h H 0 .
3 On a d’après ce qui précède :
e x - x - 1 H 0 + e x - x H 12 0 .
Partie B
1 Pour tout réel x tel que 0 G x G 1 , on a par croissance
de f , f ^0 h G f ^ x h G f ^1 h or f ^0 h = 0 et f ^1 h = 1 ,
donc 0 G f ^ x h G 1 , ce qui signifie f ^ x h ! 60 ; 1 @.
x^e x - x h
ex - 1
2 a. f ^ x h - x = x
e -x
ex - x
^1 - x hg^ x h
e x - 1 - xe x + x2
=
=
.
xe
x
ex - x
8
Livre du professeur - CHAPITRE 4
u0 u1 u2 u3
1
x
2 Par récurrence sur n, montrons que pour tout n,
Exercices guidés
x ^ 2x
0,2
1
G un G 1 .
2
1
Initialisation : u0 = , donc la propriété est vraie pour
2
n = 0.
Supposons que pour un n arbitrairement choisi,
1
1
G un G 1 et démontrons que
G un + 1 G 1 .
2
2
Comme f est croissante sur 60 ; 1 @, on a :
1
f a k G f ^unh G f ^1 h ,
2
1
1
mais d’après la partie A,
G f a k ; donc on obtient
2
2
1
G un + 1 G 1 . Par récurrence, on a montré la propriété
2
pour tout entier n.
D’après la partie A, on sait que pour tout x ! 60 ; 1 @ ,
x G f ^ x h , donc comme un ! 60 ; 1 @ on a un G f ^unh ,
c'est-à-dire un G un + 1 .
Ainsi, on a montré que pour tout entier n,
1
G un G un + 1 G 1 .
2
3 La suite ^unh est croissante et majorée (par 1), donc
elle converge vers une limite , et comme f est continue,
on a :
e, - 1
= , + ^1 - ,h^e , - , - 1h = 0
f ^, h = , + ,
e -,
+ ^1 - ,hg^ , h = 0 .
D’après la partie A, g^ , h = 0 + , = 0 , c'est impossible,
1
car on doit avoir
G , G 1.
2
Conclusion : , = 1 .
60 Partie 1
1
lim g^ x h = lim e x ^1 - x + e-x h =- 3 .
x "+3
x "+3
x
2 gl^ x h = e - ^e x + xe x h =- xe x , donc la dérivée est
positive si x est négatif et négative si x est positif.
Fonction exponentielle
3
x
-3
+
gl^ x h
g^ x h
0
0
2
Exercices d’entraînement
+3
-
61 1 b. e x - 1 = 0 + e x = 1 + x = 0 .
-3
4 a. La fonction g est continue et strictement
décroissante sur 60 ; + 3 6 ; de plus, g^0 h = 2 2 0 et
lim g^ x h =- 3, donc il existe un réel unique a
x "+3
appartenant à 60 ; + 3 6 , tel que g^ah = 0 .
b. Avec la calculatrice, on trouve 1,27 G a G 1,28 .
c. On a g^ah = 0 , donc ea - aea + 1 = 0 , donc :
1
.
a-1
lim g^ x h = 1 et g est croissante sur @ - 3 ; 0 @, donc
x "-3
g est strictement positive sur cet intervalle.
Finalement, si x ! @ - 3 ; a @, g^ x h H 0 et si x ! 6a ; + 3 6,
g^ x h G 0 .
4g^ x h
4^e x + 1h - 4xe x
= x
.
^e x + 1h2
^e + 1h2
ce qui est bien du signe de g^ x h .
2
x
0
a
0
+
Al^ x h
A^ x h
A^ah =
4a
=
ea + 1
0
2e x ^e x - 1h - 2e x # e x
- 2e x
=
.
2
^e x - 1h
^e x - 1h2
4 a. gl^ x h =
62 1
lim f ^ x h = 1 et lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3
-
4^a - 1h
x "-3
x
-3
f ^xh
+3
0
+3
1
3
-1
x+ 2.
2 2
nx
63 1 On a lim e nx = 1 , donc lim e =+ 3 .
x
x"0
x"0
4 y = f l^0 h x + f ^0 h =
4x
= A^ x h.
ex + 1
Cette aire est maximale lorsque A atteint son maximum,
c’est-à-dire en a .
Cette aire vaut 4^a - 1h .
2 Tangente à la courbe de f en M :
y = f l^ah^ x - ah + f ^ah .
- 4e x
,
^e x + 1h2
x 20
x 20
nx
nx
e
e
= lim n #
. En posant y = nx , on a
x
nx
x "+3
ey
=+ 3 .
lim nx =+ 3 , donc lim n
x "+3
y "+3 y
lim
x "+3
e nx
=+ 3 .
x "+3 x
Conclusion : lim
- 4ea
4
^ x - ah + a
.
^e + 1h
^ea + 1h2
Cette tangente a pour coefficient directeur :
donc y =
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
x 20
4a
= 4^a - 1h .
a
a-1
x # f ^xh =
e nx ^nx - 1h
nxe nx - e nx
=
. Comme e nx
x2
x2
et x2 sont positifs, la dérivée est du signe de ^nx - 1h,
1
c’est-à-dire négative pour tout x ! C 0 ; C et positive
n
1
pour tout x ! 9 ; + 3 9 .
n
1
La fonction f n est donc décroissante sur C 0 ; C et
n
1
+
9
9
croissante sur
; 3 .
n
3 D’après la question 2 , la fonction f n admet bien un
1
1
qui vaut f n a k = ne .
minimum en x =
n
n
1
et yn = ne .
On a donc xn =
n
2 f ln^ x h =
4
- 4ea
1 = - 4^a - 1h .
a
2 =
2
a
a
a2
^e + 1h
a
k
a 1
La droite ^PQh a pour coefficient directeur :
- 4^a - 1h
f ^ah
-4
=
=
.
-a
a2
a^ea + 1h
Ces deux droites ont le même coefficient directeur, donc
elles sont parallèles.
m=
2e x
=+ 3 (asymptote verticale).
X
x"0 e - 1
donc lim
+3
Partie 3
1 L’aire du rectangle est égale à :
f l^ x h =
x"0
Donc la courbe de f admet en + 3 une asymptote horizontale d’équation y = 1 .
- e-x
2 f l^ x h =
1 0.
2 1 + e-x
Partie 2
1 Al^ x h =
x
x"0
x 20
ea =
5
2e x
2e x
= lim
x "+3 e - 1
x " +3 ex 1 - 1
c
m
ex
2
= lim
= 2.
x "+3 1 - 1
ex
+
3 a. lim ^e x - 1h = 0 et lim 2e x = 2 ,
lim
2 c.
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
9
4
lim xn = 0 ; lim yn =+ 3 . La suite ^ xnh converge
n "+3
x
n "+3
vers 0, ^ ynh est divergente.
f l^ x h
64 Partie A
f ^xh
1 gl^ x h = e x - 1 , qui est positive si x est positif et néga-
tive sinon.
-1
1- 2
+
0
1+ 2
0
+3
+
f ^ x1h
f ^ x2h
0
3 ^T h : y =- x + 1
x
-3
gl^ x h
g^ x h
0
+3
4
+
0
Le minimum de g est 0, donc g est positive sur R.
2 On a e x - x - 1 H 0 , donc e x - x H 12 0 .
Partie B
x
x
e
x "+3
x "+3
- 1m
xc
x
1
= lim
=0
x
x "+3 e
-1
x
1
=- 1 .
lim = f ^ x h = lim
x
x "-3
x "-3 e
-1
x
b. La courbe de f admet deux asymptotes horizontales
d’équations y = 0 en + 3 et y =- 1 en - 3 .
1 a.
lim f ^ x h = lim
2 f l^ x h =
1
-3
f l^ x h
f ^xh - 1
+
0,1
0
0
b. On étudie le signe de f ^ x h - x .
- xg^ x h
x^1 - e x + x h
x
-x =
= x
.
f ^xh - x = x
x
e -x
e -x
e -x
Or, g^ x h et le dénominateur sont positifs, donc le signe
est celui de - x .
Conclusion : la courbe de f est au-dessus de ^T h sur
@ - 3 ; 0 @ et en dessous sur 60 ; + 3 6 .
4
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f
+3
0
1
e-1
3 a. ^T h : y = x .
lim f ^ x h = 0 , donc la courbe de f admet
x "+3
l’axe des abscisses comme asymptote horizontale.
2 a. f l^ x h =- 2xe-x - ^1 - x2 h e-x = e-x ^ x2 - 2x - 1h .
b. D = 8 , donc les racines sont :
2-2 2
= 1 - 2 et x2 = 1 + 2 .
x1 =
2
10
g
^1 - x he x
e x - x - x^e x - 1h
=
^e x - x h2
^e x - x h2
x
65 1
66 1 a. b. La suite ^u h semble converger vers 0,2.
n
y
Livre du professeur - CHAPITRE 4
0,1 u1 u2
0,5
x
2 a. La fonction f est clairement croissante sur 60 ; 0,5 @
^ f l^ x h = 2e2x - 2 2 0h.
◗ Initialisation : 0 G u0 G 0,5 .
Hérédité : supposons que pour un entier n, on a
0 G un G 0,5 , démontrons que 0 G un + 1 G 0,5 .
Par croissance de f , on a f ^0 h G f ^unh G f ^0,5h, donc
e-2 G un + 1 G e-1 , donc 0 G un + 1 G 0,5 .
Conclusion : pour tout entier n, 0 G un G 0,5 .
◗ Initialisation : on a u0 = 0 et f ^u0h = u1 = e-2 , donc
u0 G u1 .
Hérédité : supposons que pour un entier n, on a
un G un + 1 , démontrons que un + 1 G un + 2 .
Par croissance de f , on a f ^unh G f ^un + 1h ,
donc un + 1 G un + 2 .
Conclusion : pour tout entier n, 0 G un G un + 1 G 0,5 .
b. La suite ^unh est croissante et majorée, donc elle
converge vers une limite , .
c. , . 0,203 .
1
ex
=+ 3 , donc lim
x = 0,
x "+3 x
x "+3 e
x
x
-x
= 0.
donc lim
x = 0 , ce qui équivaut à lim xe
x "+3
x "+3 e
1
1
+
= 0.
b. lim e-x 1 + x = lim e-x # x
x
x2
x "+3
x "+3
67 1 a. On a lim
Fonction exponentielle
2 f l^ x h =- e-x
1 + x + e-x #
1
2 1+x
Problèmes
- 1 - 2x
m.
2 1+x
La dérivée est du signe de - 1 - 2x , c’est-à-dire positive
1
1
sur ;- 1 ; - 2 E et négative sur ;- 2 ; + 3 ; .
3 D’après le signe de la dérivée, f est croissante, puis
décroissante, donc elle admet un maximum pour
1
x =- .
2
1
1
1
e
=
.
f a- k = e 2
2
2
2
= e-x c
4
x
-1
f l^ x h
f ^xh
0
1
2
+
0
+3
-
e
2
0
70 Partie A
1 f l^ x h = ^- 0,25x + 2h e-x . Cette dérivée s’annule
pour x = 8 , est positive pour x ! 6 4 ; 8 @ et négative
pour x ! 68 ; 20 @.
2
x
4
8
20
+
0
f l^ x h
f ^xh
4e3
0
16
Partie B
1 Bénéfice = f ^ x h .
2 Le prix d’une centrale doit être de 800 € pour
réaliser un bénéfice maximal. Ce bénéfice vaut environ
80,34 centaines d’euros, donc 8 034 €, à l’euro près.
71 Partie A
68 1 a. V = 36 000^e-2,4 - e-4,8h . 2 970 cm3.
b. Lorsque v = 0 , V = 0 . Lorsque l’outil n’est pas en
mouvement, il n’y a pas de copeaux.
2 a.
eh - 1
eh - e0
= expl^0 h = 1 .
= lim
h
h
h"0
h"0
1 lim
Donc lim f ^ x h = 1 .
x"0
2
lim f ^ x h = lim
x "+3
x "+3
1
= 0.
ex
-1
x
Partie B
1 La somme proposée est la somme des termes d’une
1
Le maximum est atteint pour x environ égal à 347 et il
vaut 9 000.
b. f l^ x h = 36 000^- 0, 002e-0,002x + 0, 004e-0,004x h
= 72e-0,002x ^- 1 + 2e-0,002x h .
Avec la calculatrice, on a f l^ x h H 0 sur l’intervalle
60 ; 347 @ et f l^ x h G 0 sur 6347 ; 1200 @.
c. La fonction f est croissante sur 60 ; 347 @ et décroissante sur 6347 ; 1200 @.
Elle admet bien un maximum en x . 347 .
3 Comme la fonction « volume de copeaux » est la
fonction f , il y a bien une vitesse de coupe conduisant à un volume de copeaux maximal, c’est environ
347 m $ min-1 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
69 1 f ^0 h = 1 , donc c = 1 .
suite géométrique de premier terme 1 de raison e n .
Donc :
1 n
ae n k
1
2
n-1
1
1-e
C
91 + e n + e n + f + e n =
=
1
1 .
1-en
1-en
1
1
1-e
n
2 un =
#
1 = ^1 - e h
1
n
1-en
1-e
n
1
= ^e - 1hf a k .
n
1
3 lim f a k = 1 , donc lim un = e - 1 .
n
n "+3
n "+3
72 1 P^ X G 2 000h = 1 - e-1 . 0,63 .
2 P^ X H 10 000h = 1 - ^1 - e-5h = e-5 . 0,0067 .
x
73 1 I^ x h = 110e- 28 .
I l^ x h =sante.
f l^ x h = ^2ax + bhe-x - ^ax2 + bx + c he-x
= e-x ^- ax2 + ^2a - bhx + b - 1h ;
f l^0 h = 2 , donc b - 1 = 2 , c’est-à-dire b = 3 .
On a donc f l^ x h = e-x ^- ax2 + ^2a - 3hx + 2h .
f ll^ x h =- e-x ^- ax2 + ^2a - 3hx + 2h
+ e-x ^- 2ax + 2a - 3h
= e-x ^ax2 + ^- 4a + 3hx + ^2a - 5hh ;
f ll^0 h =- 1 , donc 2a - 5 =- 1 , c’est-à-dire a = 2 .
2 La courbe n° 1, car la fonction vaut 1 en 0 et le coefficient directeur de la tangente en 0 vaut 2.
110 - x
e 28 1 0 , donc la fonction I est décrois28
x
I ^xh
0
110
100
3,09
2
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
11
3 La lumière a perdu la moitié de son intensité à environ
19,4 m de profondeur.
74 1 f l^ x h = e x - 1 . La dérivée est positive si x est
positif, négative si x est négatif.
x
-3
f l^ x h
f ^xh
0
0
+3
+
76 Partie A
1 f l^ x h = e x - 1 . La dérivée est positive lorsque x est
positif.
Donc f est croissante sur 60 ; + 3 6 et l’on a f ^0 h = 1 .
2
0
D’après le tableau de variations, on peut dire que f est
positive sur R. Donc e x - ^ x + 1h H 0 , donc 1 + x G e x .
2 1 + y G e y , donc 1 - x G e-x , ce qui équivaut pour
1
1
.
H 1 - x , c’est-à-dire e x G
1-x
ex
1
1
1
3 a. On pose x =
et d’après 1 , 1 +
Gen ;
n
n
1 n
donc a1 + k G e .
n
1
1
1
b. e n + 1 G
(on a bien
11 ), donc on
+1
1
n
1n+1
1
n+1
1 n+1
obtient e n + 1 G
, donc e G a1 + k
.
n
n
4 a. On a, d’après les questions précédentes,
1 n
1 n+1
a1 + k G e G a1 + k
, c’est-à-dire :
n
n
u
1
3
un G e G un a1 + k + 0 G e - un G n G .
n
n
n
3
= 0 , on aura lim ^e - unh = 0
b. Comme lim
n "+3 n
n "+3
d’après le théorème des gendarmes. Donc la suite ^unh
converge vers e.
tout x 21 à
lim f ^ x h = lim x c
x "+3
La fonction f est continue et strictement croissante sur
60 ; + 3 6 , grâce à sa valeur en 0 et sa limite en + 3 on
peut en déduire que l’équation f ^ x h = n , avec n 2 0 , a
une unique solution sur 60 ; + 3 6 .
3 a. f ^ x h = 1
1
k . f ^ xk h + 0,1f ^ xk h
10
donc f ^ xk + 1h . 1,1 # f ^ xk h .
b.
1 a. f ^ xk + 1h = f a xk +
+ x = 0.
b. f ^ x h = 2 pour a2 . 1,15 ; f ^ x h = 3 pour a3 . 1,51 .
Partie B
1 On a f ^a nh = n et f ^a n + 1h = n + 1 . Si on avait
a n 2 a n + 1 , alors par croissance de f , on aurait
f ^a nh 2 f ^a n + 1h , c’est-à-dire n 2 n + 1 , ce qui est faux.
Par l’absurde, on a montré que, pour tout entier non nul
n, a n G a n + 1 , c’est-à-dire la suite ^a nh est croissante.
2 Supposons la suite ^a nh majorée par A. Alors, pour
tout entier non nul n, on aurait a n G A , ce qui entraînerait f ^a nh G f ^ Ah , mais cette inégalité contredit la limite
de f en + 3 .
Conclusion : cette suite est croissante et non majorée,
elle tend vers + 3 .
3 f ^a nh = n , donc
donc
75 Partie B
x "+3
ex
- 1 m =+ 3 .
x
f ^a nh
n
= an ;
ean
e
ean - a n
n
= an
ean
e
+ 1-
an
n
= an .
ean
e
Or, comme ^a nh tend vers + 3 quand n tend vers l’infini,
a
le quotient ann tend vers 0.
e
ean
= 1.
Conclusion : lim
n "+3 n
k
1
10
= 1,2 ; donc c + C =
,
kd
12
kc + C
kd
k
5
- c .
donc C =
6
kd
k
2 lim N^ t h = d .
kc
t "+3
t
t
t
t
k
kd e kd c c e kd + C m - e kd ^kc e kd h
kd
3 N l^ t h =
2
t
k
c c e kd + C m
kd
77 1 N^0 h =
c. On a uk + 1 . 1,1uk avec u0 = 1 , donc uk . 1,1 k .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
2 a. f ^ xk + 1h . 1,01 # f ^ xk h .
t
=
b. uk . 1,01 k .
12
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Ckd e kd
2
t
k
c c e kd + C m
kd
.
Si la constante C est négative, la fonction N est strictement décroissante sur 60 ; + 3 6 , sinon elle est croissante.
Fonction exponentielle
Cas pour C négative :
r
= 300 . La population ne peut pas
a
dépasser 300 millions d’habitants.
b. Le modèle donne 263 millions pour 2000 et 272 pour
2010 : il n’est plus satisfaisant.
4 a. La limite est
81 Partie A
2
2
2
1 f l1^ x h = 1 # e-x + x # ^- 2x h e-x = ^1 - 2x2h e-x .
78 1 a. v^ t h = 10 - Ce-t .
b. v^0 h = 1 , donc C = 9 .
c. lim v^ t h = 10 .
t "+3
La vitesse limite est de 10 mètres par seconde.
2 La distance parcourue sera également de 500 mètres.
On trouve que le parachute doit être déclenché au bout
de 50 s (au bout de 51 s, il sera en dessous de 500 m).
3 On constate que v l^ t h = Ce-t .
D’où v l^ t h + v^ t h = 10 .
79 1 v^0 h = 1 .
D’où :
- 10 ^K - 1h
= 1 + K + 1 =- 0,2 10 + 0, 2 10 K
2 - 2K
+ K = -11++00,2,2 1010 .
10
2 lim v^ t h =
. La vitesse limite est donc sensi2
t "+3
blement plus faible.
- 40Ke 10 t
3 v l^ t h =
^2 - 2Ke 10 t h
et v2 ^ t h =
10K2 e
v l^ t h + v2 ^ t h =
10 t
+ 10 + 20Ke
2
^2 - 2Ke 10 t h
10K2 e
10 t
10 t
Cette dérivée est du signe de 1 - 2x2 , c’est-à-dire posi1
1
tive sur ;0 ;
; + 3 ; ; donc la
E et négative sur ;
2
2
1
fonction f 1 est croissante sur ;0 ;
E, puis décrois2
1
sante sur ;
; + 3 ;.
2
2
1
2 lim xe-x = lim ue-u #
= 0.
+
+
u
x" 3
u" 3
La courbe représentative de f 1 est asymptote à l’axe des
abscisses en + 3 .
3
1
x
0
+3
2
+
0
f l1^ x h
1
f 1^ x h
2e
2
4 f 1^ x h - x = x^e-x - 1h ;
0 1 e 1 1; donc cette différence est négative. La
courbe 1 est en dessous de la droite D .
5
.
+ 10 - 20Ke
2
^2 - 2Ke 10 t h
10 t
=
10
.
4
80 1 On a :
P^0 h = 5,3 + 0,03y0 = 0,00053y0 + ^5,3r - 0,00053y0h
Partie B
2
2
1 f l3^ x h = 3x2 # e-x + x3 # ^- 2x h e-x
2
= x2 ^3 - 2x2he-x
ce qui est du signe de 3 - 2x2 .
+ y0 = 5,3 .
0,159
2 P^ t h =
.
0,00053 + 0,02947e-0,03t
P est strictement croissante (sa dérivée est strictement
positive).
3 On teste le modèle avec un tableur :
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
or, x est positif, donc
-x2
f l3^ x h
+
3
2
0
f 3^ x h
3
2
3 -1,5
e
2
x
0
+3
-
2
2 f 3^ x h - f 1^ x h = x^ x2 - 1h e-x . Comme x est positif,
cette différence est positive si x est supérieur ou égal à 1.
La courbe 3 est en dessous de la courbe 1 sur 60 ; 1 @ et
au-dessus sur 61 ; + 3 6 .
3
Le modèle est satisfaisant sur cette période.
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
13
Partie C
2
2
1 f ln^ x h = nx n - 1 # e-x + x n # ^- 2x h e-x
83 1 f ^0 h = 1 = e0 .
2
= x n - 1 ^n - 2x2he-x , ce qui est du signe de n - 2x2 .
n
E
La dérivée est positive sur ;0 ;
2 et négative sur
n
;
; + 3 ; , donc la fonction f n est croissante sur
2
;0 ;
n
n
E
;
; + 3 ;.
2
2 , puis décroissante sur
n
2 Si n = 2 , alors
= 1 ; or, f n ^1 h = e-1 . Toutes les
2
courbes n passent par le point S2 ^1 ; e-1h .
2 La courbe de la fonction exponentielle semble être
au-dessus de celle de la fonction polynôme.
x2
3 gl^ x h = e x - 1 - x ; gll^ x h = e x - 1 - x ;
2
g^3 h ^ x h = e x - 1 .
4 a. b. c. g^3 h ^ x h H 0 pour tout réel x positif et négative
sinon.
x
0
-3
^3h
g ^xh
-
gll^ x h
0
+3
+
0
On en déduit que, pour tout réel x, gll^ x h H 0 .
5 a. b.
x
0
-3
+3
82 1 La courbe de f semble symétrique par rapport
a
à l’axe des ordonnées, cette fonction semble décroissante sur @ - 3 ; 0 @ et croissante sur 60 ; + 3 6 .
Elle semble admettre un minimum en 0 qui vaut a.
x
x
2 lim exp a k =+ 3 et lim exp a- k = 0 ,
a
a
x "+3
x "+3
donc lim f a^ x h =+ 3 ;
x "+3
a
-x
x
3 f a^- x h =
aexp a
k + exp a kk = f a^ x h ,
a
a
2
donc cette fonction est paire.
Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
-x
a
1
x
4 f l a^ x h =
kk
# aexp a k - exp a
2
a
a
a
1
2x
x
= exp a- kcexp c
m - 1m.
2
a
a
2x
m H 1 ; donc f la^ x h H 0 , par syméOr, si x H 0 , exp c
a
trie, la dérivée est négative si x est négatif.
5
x
0
-3
f la^ x h
f a^ x h
-
0
0
gl^ x h
-
g^ x h
0
+
0
On déduit de ce tableau de variations que la fonction
g est positive pour tout réel x ; donc la courbe de la
fonction exponentielle est bien au-dessus de celle de la
fonction f .
7 a. Dans la colonne D, on calcule la valeur absolue de la
différence des deux expressions, c’est-à-dire la distance
entre les deux courbes.
b. Toutes les valeurs de ce tableau comprises entre 0 et
0,38 (valeurs incluses).
Pistes pour l’accompagnement
personnalisé
84 a. Les limites en - 3 et + 3 sont respectivement
+
0 et + 3 .
b. exp ^0 h = 1 ; exp ^1 h = e .
a
6 D’après le tableau de variations,
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
gl^ x h
Revoir les outils de base
+3
+3
+3
+
On en déduit que, pour tout réel x positif, gl^ x h H 0 et,
pour tout réel x négatif, gl^ x h G 0 .
6 a. b.
x
0
-3
+3
x "+3
x
x
lim exp a k = 0 et lim exp a- k =+ 3 ,
a
a
x "-3
x "-3
donc lim f a^ x h =+ 3 .
gll^ x h
minimum en 0 qui vaut a.
7
f a admet un
c. y = x + 1 .
Les savoir-faire du chapitre
85 a. e20 ;
b. e-3 ^e2x + e-2x + 2h - 2e x
= e2x - 3 + e-2x - 3 + 2e-3 - 2e x ;
c. e x + 2 .
86 a. 0 ;
14
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
b. 1 ;
c. + 3 ;
d. 1.
Vers le Supérieur
87 1 f l^ x h = ^2x + 2h e x2 + 2x .
2 f l^ x h = ^1 + 2x h e2x .
3 f l^ x h =
91 1 Si f n’est pas la fonction nulle, alors il existe un
x
^ x + 2he
.
^1 - 2e x h2
réel u tel que f ^u h ! 0 .
On a alors f ^u h = f ^u + 0h = f ^u hf ^0 h et, comme
f ^u h ! 0 , alors f ^0 h = 1 .
2 S’il existe un réel a tel que f ^a h = 0 , alors pour tout
réel u, on a :
f ^u h = f ^u - a + ah = f ^u - ahf ^ah = 0 ;
donc f est la fonction nulle.
3 f ^u + t h = f ^u h f ^ t h , donc f l^u + t h = f ^u h f l^ t h .
4 On prend t = 0 et on obtient, pour tout réel u,
f l^u h = f ^u hf l^0 h .
On a une relation du type f l = kf , où k est une
constante ; donc f ^ x h = e kx .
88 1 f l^ x h = e3x + 3xe3x = ^1 + 3x h e3x .
x
f l^ x h
1
3
0
-
-3
-
f ^xh
-
2
+3
+
1
3e
2
2
2 f l^ x h = e x + 2x2 e x = ^1 + 2x2h e x 2 0 .
x
-3
f l^ x h
+3
+
92 1
f ^xh
3 f l^ x h =
- 4e2x
1 0.
^1 + e2x h2
x
-3
f l^ x h
+3
-
f ^xh
2 Pour 23 € l’article, la demande est d’environ
20 000 articles, donc le montant de la demande est
environ égal à 460 000 €.
3 Le prix unitaire doit être inférieur à 30 €.
4 f l^ x h =- 20e-0,1x 1 0 , donc la fonction f est
décroissante.
5 a. Le prix d’équilibre est d’environ 21 €.
b. L’entreprise peut espérer vendre 25 000 objets.
Approfondissement
89 1
Années
0
Population
5,30
10
7,15
20
9,66
30
13,04
40
17,60
93 1 La fonction f est définie sur R\ "a , .
a
50
23,75
2 Si a H 0 , lim xe x - a =+ 3 ,
60
32,06
1
x "a
x 2a
Les valeurs obtenues sont proches de celles du tableau.
2 P l^ t h = 0,03P^ t h .
3 La limite de P^ t h en + 3 est + 3 .
Ce modèle ne peut être valable sur une longue période.
4 Évolution d’une population de bactéries, etc.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
90 1
lim M^ t h = C .
x "+3
car lim
x "a
x 2a
1
Si a 1 0 , lim xe x - a =- 3 ,
x "a
x 2a
car lim
2 Cette limite peut être représentée par la masse du
rongeur à l’âge adulte.
3 Ml^ t h = Cabe-at exp ^- be-at h . La fonction M doit
être croissante, donc b doit être strictement positive.
4 a. M^ t h = 750 exp ^- 3,9e-0,04t h .
b.
1
=+ 3 et lim eu =+ 3 .
x-a
u "+3
x "a
x 2a
1
=+ 3 et lim eu =+ 3 ;
x-a
u "+3
1
lim xe x - a = 0 , car lim
x "a
x 2a
x "a
x 2a
1
=- 3 et lim eu = 0 ;
x-a
u "-3
1
lim xe x - a =+ 3 ,
x "+3
car lim
x "+3
1
= 0 et lim eu = 1 ;
x-a
u"0
1
lim xe x - a
x "-3
3 On calcule
95, page 117.
=- 3
, car lim
x "-3
1
= 0 et lim eu = 1 .
x-a
u"0
1
lim a xe x - a - x - 1 k d’après l’exercice
x "+3
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
15
1
; on obtient :
x-a
1
1
lim aa + a k eu - a + a k - 1 k
u
u"0 u
◗ Cas -
On pose u =
= lim
u"0
1
1a10 :
4
x
1^ u
e - 1 h + ae u - a - 1 = 0 ,
u
eu - 1
= 1.
u
u"0
car lim
-3
a
f l^ x h
f ^xh
+
+
x1
0
x2
0
-
+3
+
0
+3
-3
-3
◗ Cas a = 0 :
Comme la limite est nulle, la droite d’équation y = x + 1
est asymptote à la courbe de f a en + 3 .
On pourrait faire le même raisonnement en - 3 , donc
cette droite est aussi asymptote à la courbe en - 3 .
1
1
x
4 f la^ x h = e x - a 2 e x-a
^ x - ah
1
x
= e x - a c1 m
^ x - ah2
1
x2 - ^2a + 1hx + a2
= e x-a f
p.
^ x - ah2
x
f l^ x h
f ^xh
0
-3
1
+
0
0
+3
+
+3
+3
e
-3
◗ Cas a 2 0 :
x
-3
f l^ x h
f ^xh
+
x1
0
a
-
+3
-3
x2
0
+3
+
+3
0
La dérivée est du signe de x2 - ^2a + 1hx + a2 .
D = 4a + 1 .
1
Si a 1 - , alors D 1 0 et la dérivée est positive, la
4
fonction est strictement croissante sur son ensemble de
définition.
x
-3
f l^ x h
f ^xh
+3
a
+
+
0
-3
+3
-3
1
, alors D = 0 et la dérivée est positive, la
4
fonction est croissante sur son ensemble de définition.
On a le même tableau de variations que précédemment.
1
Si a 2 - , alors D 2 0 , les deux racines sont :
4
1
1
x1 = a + 4a + 1
2
2
1
1
et x2 = a + +
4a + 1 .
2
2
On a de façon évidente x2 2 a .
Si a =-
On aura x1 1 a si, seulement si,
1
1
1
2
2
+ 11 4a + 1 + a 2 0
1
1 a 1 0 , on aura x1 2 a .
4
.
1
ul
, alors Nl =- 2 .
N
u
L’équation s’écrit :
ul^ t h
1
1
- 2
=a
- 2
+ - ul^ t h =- au^ t h + 1.
u^ t h
u ^t h
u ^t h
1
Les fonctions u sont du type u^ t h = Ce- at + .
a
1
1
= 2a,
Donc N^ t h =
, avec N^0 h =
1
1
- at
Ce +
C+
a
a
1
.
ce qui équivaut à C =2a
a
2a
=
.
Finalement , N^ t h =
1 - at
2 e- at
1- e
2
On pose u =
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Si -
4a + 1
94 Nl^ t h = aN^ t h - N2 ^ t h .
16
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
5
C H A P I T R E
Fonction logarithme
népérien
Introduction
1. Programme
Contenus
Fonction logarithme népérien
Fonction x
7 ln x .
Relation fonctionnelle, dérivée.
Capacités attendues
• Connaître le sens de variation, les limites
et la représentation graphique de la
fonction logarithme népérien.
Commentaires
On peut introduire la fonction logarithme
népérien grâce aux propriétés de la
fonction exponentielle ou à partir de
l’équation fonctionnelle.
• Utiliser, pour a réel strictement positif et b On souligne dans les cadres algébrique et
réel, l’équivalence ln a = b + a = eb .
graphique que les fonctions logarithme
• Utiliser la relation fonctionnelle pour
népérien et exponentielle sont réciproques
transformer une écriture.
l’une de l’autre. Tout développement
théorique sur les fonctions réciproques est
• Connaître et exploiter lim ln x = 0 .
exclu.
x "+3 x
On fait le lien entre le nombre dérivé de la
fonction logarithme en 1 et la limite en 0
de ln x .
x
On évoque la fonction logarithme décimal
pour son utilité dans les autres disciplines.
E [SI] Gain lié à une fonction de transfert.
E [SPC] Intensité sonore, magnitude d’un
séisme, échelle des pH.
AP Équations fonctionnelles.
Calcul de dérivées : compléments
Dérivée de x
7 ln ^u^ x hh
2. Intentions des auteurs
– proposer de nombreuses applications ou problèmes
issus de situations concrètes qui font intervenir la fonction logarithme népérien (décibel, pH, etc.).
Les outils informatiques ou l’utilisation de logiciels de
calcul formel ont une place privilégiée dans les résolutions des différents problèmes.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Ce chapitre fait suite au chapitre 4 consacré à la fonction
exponentielle. Conformément au programme, le lien de
réciprocité entre les deux fonctions est au cœur des activités d’introduction et des exercices.
Les exercices et TP proposés poursuivent un double
objectif :
– faire acquérir aux élèves une certaine aisance dans les
études de fonctions faisant intervenir l’exponentielle et
le logarithme népérien ;
Livre du professeur - CHAPITRE 5
Fonction logarithme népérien
1
3 On obtient que ln 8 . 2,08 à 10-2 près.
4 a. On peut donc définir lna, pour tout réel a stricte-
Partir d’un bon pied
Objectif
Les activités de cette page ont été conçues pour réactiver
les connaissances concernant la fonction exponentielle (A)
et préparer à l'étude d'une fonction réciproque (B et C).
A
1 c.
2 c.
B
1 En + 3 :
3 b.
4 b.
5 a.
lim 2x =+ 3 et lim e y =+ 3 ,
y "+3
x "+3
donc lim f ^ x h =+ 3 .
1,10 1,79 2,89 -2,30 -4,61 6,21
8,52
c. On peut conjecturer, aux arrondis près, que :
ln 2 + ln 3 = ln 6 et 3 # ln 2 = ln 8 .
5 On peut conjecturer que lim ln a =+ 3
x "+3
et lim ln a =- 3 .
a"0
x "+3
En - 3 : lim 2x =- 3 et lim e y = 0 ,
x "-3
x "-3
2 Pour tout x réel : f l^ x h = 2e2x 2 0 .
3 La fonction f est continue strictement croissante
lim f ^ x h =- 4 et
x "-3
2 Une approche graphique
du logarithme népérien
Activité
y "-3
donc lim f ^ x h =- 4 .
sur R,
ment positif, comme étant l’unique antécédent de a par
la fonction exponentielle.
b. ln3 ln6 ln18 ln0,1 ln0,01 ln500 ln5 000
lim f ^ x h =+ 3 . Donc,
x "+3
Objectif : On prépare le lien entre les courbes de deux
fonctions réciproques.
y
d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f ^ x h = 0 admet une unique solution a sur R.
Par balayages successifs, on obtient 0,69 1 a 1 0,70 .
C 1 Tracé de la courbe à main levée.
2 a. 2.
b. - 1 .
c. 0.
3 a. f est continue, strictement croissante sur 6- 5 ; 4 @ .
De plus, f ^- 5h =- 6 et f ^4h = 3 . Donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, chaque élément de
6- 6 ; 3 @ a bien un unique antécédent par f .
b.
x
-6
-5
-4
-3
-2
g^ x h
-5
- 4,5
-4
-3
-2
x
-1
0
1
2
g^ x h
0
0,5
1
2
3
4
Découvrir
1 Une approche numérique
du logarithme népérien
Activité
Objectif
Les activités sont conçues pour amener une découverte
progressive de la fonction logarithme népérien et de ses
propriétés, en variant les types d'approche (numérique,
graphique, fonctionnelle ).
On introduit la notation via l'étude de l'équation e x = a .
1 Voir le cours.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
x
f ^xh
-3
x
1 2 et 3 On remarque que les deux courbes sont symé-
triques par rapport à la droite d’équation y = x .
Activité
3 Images de suites numériques
Objectif : On montre que la fonction exponentielle transforme une progression arithmétique en une progression
géométrique, ainsi que le résultat correspondant pour la
fonction logarithme népérien.
1 a. un = 3 + 5n .
n
b. vn = e3 # ^e5h .
v est donc une suite géométrique de premier terme e3
et de raison e5 .
c. La fonction exponentielle transforme une suite arithmétique de raison r en une suite géométrique de raison e r .
2 a. gn = 2 # 3 n .
b.
+3
+3
0
2 a. La fonction exponentielle étant continue, strictement croissante sur R, on justifie l’existence de la
soution par le théorème des valeurs intermédiaires.
b. Par balayages successifs, on obtient :
0,693 1 ln 2 1 0,694 .
On peut donc prendre 0,69 comme valeur approchée.
2
B
S 1
0
ln3
J
K
1
E G H
A C
g
Livre du professeur - CHAPITRE 5
La suite est arithmétique de premier terme ln2 et de
raison ln3.
Fonction logarithme népérien
c. La fonction logarithme népérien transforme une suite
géométrique de raison r en une suite arithmétique de
raison lnr.
4 Relation fonctionnelle
et fonctions logarithmes
Activité
Objectif
On met en place les propriétés que l’on peut déduire de
l’équation fonctionnelle.
1 f ^1 h = f ^1 h + f ^1 h . D’où f ^1 h = 0 .
1
2 f ^1 h = f a k + f ^ x h .
x
1
D’où : f a k =- f ^ x h .
x
3 a. On obtient y0 f l^ xy0h = f l^ x h .
b. En appliquant la relation à x = 1 , on en déduit que :
f l^1 h
.
f l^ y0h =
y0
Activité
4
f ^xh =
ex
;
2
e x ^e2x + 2h - e x # 2e2x
donc f l^ x h =
^e2x + 2h2
e x ^2 - e3x h
e3x + 2e x - 2e3x
=
=
.
2
^e2x + 2h
^e2x + 2h2
2
On a e x 2 0 et ^e2x + 2h 2 0 , donc on étudie le signe
2
x
de 2 - e .
2 - e2x H 0 + e2x G 2 + 2x G ln 2
+ x G 12 ln 2 + x G ln 2 .
On obtient le tableau de variations suivant :
x
+3
-3
- ln 2
e
x2 +
f l^ x h
+
2
4
f ^xh
Savoir faire
Étudier une fonction
comportant un logarithme népérien
5 Loi de Kepler
Objectif
Grâce au tableur, on met en lumière une loi de Kepler, que
l’on vérifie à la dernière question.
3 d. On peut conjecturer une relation affine entre ln T
et ln R , du type :
ln T = 1,4987 # ln R - 22,31 .
-22,31
# e1,4987 # lnR .
D’où T = e
4 On utilise la régression linéaire : T . 365,3 jours ; ce
qui semble bien valider la loi établie à la question 3 .
5 a. lim ln x =- 3 et lim ln x =+ 3 .
x "0
x "+3
D’où : lim f ^ x h = lim f ^ x h =+ 3 .
x "0
x "+3
2 ln x
. Donc f l^ x h est du signe de ln x .
x
b. et c. f l^ x h =
On a donc :
x
f l^ x h
f ^xh
Exercices d’application
0
1
+3
-
+
+3
+3
0
6 a. Par somme, de limites, lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3
b. lim ln x =- 3 et lim ^1 + ln x h =- 3 .
Savoir faire Utiliser le logarithme
népérien pour résoudre des équations
ou des inéquations
1
a. x = ln 5 ; b. x = ln 4 ;
d. il n’y a pas de solution.
c. x =- ln 2 ;
c. il n’y a aucune solution ;
d. il n’y a aucune solution.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
D’où, par produit de limites : lim f ^ x h =+ 3 .
x "0
1
2 ln x
1 + 2 ln x
+
=
.
c. f l^ x h =
x
x
x
f l^ x h est du signe de 1 + 2 ln x .
x
x2 -
f est dérivable sur R et on a f l^ x h = 2x^e
2h .
x2 2
On a e
2 H 0 + x ln 2
+ x ! @ - 3 ; - ln 2 @ , 6 ln 2 ; + 3 6 .
On obtient le tableau de variations suivant :
x
0
+3
-3
- ln 2
ln 2
+
+
f l^ x h
f ^xh
x "0
f l^ x h H 0 + 1 + 2 ln x H 0
+ ln x H - 12 + x H 1e
On a donc :
2 a. x = e5 ; b. x = e-4 ;
3
x "0
f l^ x h
f ^xh
1
e
0
+3
-
+
+3
+3
1
4
7 a. En 0 lim ln x =- 3 et lim 1 =+ 3 .
x "0
x "0
x
D’où lim f ^ x h =- 3 .
x "0
Livre du professeur - CHAPITRE 5
Fonction logarithme népérien
3
En + 3 , d’après le cours, lim f ^ x h = 0 .
x "+3
1 - ln x
.
x
f l^ x h est du signe de 1 - ln x .
On a donc :
b. f l^ x h =
x
0
f l^ x h
f ^xh
e
+3
+
1
e
-3
0
8 a. Par différence de limites, lim f ^ x h =+ 3 .
x "0
ln x
= 0,
b. D’après le cours, lim
x "+3 x
ln x
m = 1 . Donc, par produit :
d’où lim c1 +
x
x "+3
lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3
c. f l^ x h = 1 -
1
x-1
=
.
x
x
On a donc :
x
0
f l^ x h
f ^xh
1
-
+3
+
+3
2 a. Il s’agit du coefficient directeur, de la pente de la
droite ^ ABh .
b. 6,93 ; 1,82 ; 0,95 ; 0,36 ; 0,01.
Il semble que le taux de variations décroisse vers 0.
c. Par exemple, pour a = 100 000 .
ln ^ x + 1h - ln x
d. On veut
1 10-n .
x+1-x
1
1
D’où ln a1 + k 1 10-n . D’où x 2 10-n
.
x
-1
e
On voit donc bien que le taux d’accroissement peut être
rendu aussi proche de 0 que l’on veut.
11 Une approximation de ln2
1
1
2 0.
2n + 1
2n + 2
1
1
1
vn + 1 - vn =
2n + 1
2n + 2
2n + 1
1 un + 1 - un =
1
1 0.
2n + 3
2 On a un G ln 2 et vn H ln 2 . Les inégalités sont strictes,
car les suites sont strictement monotones.
Voici un exemple avec Xcas, et une application avec
n = 51 .
On obtient un encadrement à 0,1 près, ce qui est vraiment très moyen !
+
+3
1
Travaux pratiques
9 Qui est le plus grand ?
Étape 1
1 a. On a 3 4 2 43 et 89 2 98 .
b. On peut conjecturer que 2 0142 015 2 2 0152 014 .
2 b. 2 015 ln 2 014 . 15 330 et 2 014 ln 2 015 . 15 323 .
La conjecture semble donc vérifiée.
Étape 2
2 On a vu (Savoir Faire, exercice 7) que :
x
0
f l^ x h
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f ^xh
e
+
-3
+3
-
1
e
0
La fonction est donc décroissante sur 6e ; + 3 6 .
ln n
est donc décroissante pour n H 3 .
La suite
n
Pour n = 1 , on constate que 12 1 21 , et pour n = 2,
23 1 32 .
Étape 3
n
On a pour n H 3, n n + 1 2 ^n + 1h .
Et le résultat est inversé pour n = 1 et n = 2 .
10 « Vitesse de croissance » de la fonction ln
1 Alors que les abscisses varient de 1 à 5, les valeurs des
ordonnées varient à peine de 0 à 1,5.
4
Livre du professeur - CHAPITRE 5
12 Logarithme décimal
Partie A
1 log 10 = 1 , log 100 = 2 , log 0,001 =- 3 .
2 On encadre x par deux puissances de 10 consécutives,
et on utilise la croissance du logarithme népérien.
On obtient :
3 1 log 1789 1 4
4 1 log 25 665 1 5
- 3 1 log 0,00933 1 - 2 .
1
3 La dérivée est égale à
. La fonction est donc
x ln 10
strictement croissante sur @ 0 ; + 3 6 .
Partie B
1 L = 70 dB .
L
2 I = I0 e 10 ln 10 = 0,01 W $ m-2 .
L
3 I = I0 e 10 ln 10 . 100 W $ m-2
4 a. f ^10-12 h = 0 .
Fonction logarithme népérien
10
x
m = ln 10 ^ln x + 12 ln 10h
10-12
= 10 log x + 120 .
10
.
c. f l^ x h =
x
La fonction est donc strictement croissante sur @ 0 ; + 3 6 .
5 C’est vrai, on retrouve une propriété classique du
logarithme décimal.
b. f ^ x h = 10 log c
70
6 a. I70 = I0 e 10 ln 10 = 10-5 W $ m-2 .
80
I80 = I0 e 10 ln 10 = 10-4 W $ m-2 .
L’intensité sonore est donc de 1,1 # 10-4 W $ m-2 , ce qui
correspond à un niveau sonore de 80,4 dB.
On retrouve quasiment le niveau sonore de la machine
la plus bruyante.
25 a. Ensemble de définition : @ 0 ; + 3 6 ;
-1 + 5
.
2
b. Ensemble de définition : @ 0 ; + 3 6 ;
pas de solution.
c. Ensemble de définition : @ 1 ; 3 6 ;
deux solutions : x = 0 et x = 2 .
6
d. Ensemble de définition : C ; + 3 9 ;
5
deux solutions : x = 2 et x = 3 .
une solution : x =
26 a. x = 0 ;
e-1 k
;
2
c. Pas de solution ;
d. x = e3 .
b. x = ln a
27 a. x = ln 3 - 2 ;
- ln 4 + 1
;
2
5
c. x = 2 - ln
.
12
b. x =
Faire le point
16 1 b.
2 b.
3 c.
17 1 b.
2 c.
3 c.
18 1 Faux.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Faux.
19 1 Faux.
2 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
4 c.
5 a.
6 a.
28 1 X = 1 ou X = 2 .
2 a. x = e ou x = e2 ;
b. x = 0 ou x = ln 2 .
29 1 X = ! 6 .
2 a. x = e 6 ou x = e- 6 .
b. x = ln 6 .
30 1 Faux.
Exercices d’application
2 Faux.
3 Faux.
4 Faux.
22 a. x = ln 4 ;
b. x = e-3 ;
c. x = e2 ;
d. x = e ou x =
5 Faux.
23 a. x = ln 4 ;
6
b. x = ln
;
5
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
c. x =
ln 2
;
2
8
1
.
e
d. pas de solution.
24 a. Ensemble de définition : @ - 2 ; + 3 6 ;
une solution : x = 0 .
5
b. Ensemble de définition : C ; + 3 9 ;
2
5+e
.
une solution : x =
2
c. Ensemble de définition : @ - 3 ; 16 ;
une solution : x = 1 - e2 .
d. Ensemble de définition : @ 0 ; + 3 6 ;
pas de solution.
4 Vrai.
b. x ! @ 3 ; + 3 6 ;
c. x ! 6e-1,5 ; + 3 6 ;
d. x ! 6e2 ; + 3 6 .
21 a = 2 ; b =- 3 ; c = 5 ; d = 1 ; e = 49 ; f = 1 .
3
3 Vrai.
31 a. x ! @ 0 ; e @ ;
1 La fonction logarithme népérien
20 1 Vrai.
2 Faux.
32 a. Ensemble de définition : @ - 1 ; + 3 6 , solution :
x ! @ - 1 ; 0 @.
b. Ensemble de définition : @ - 2 ; + 3 6 , pas de solution.
c. Ensemble de définition : @ - 3 ; 3 6 , solution :
x ! 63 - e ; 3 6 .
33 a. + 3 ;
b. ln 2 ;
c. ln 3 ;
d. + 3 .
34 a. + 3 ;
b. - ln 2 ;
c. - 3 ;
d. + 3 .
2 Propriétés algébriques
35 1 c.
2 a.
3 b.
4 b.
36 1 Faux.
2 Faux.
3 Vrai.
4 Vrai.
37 1 Vrai (propriété fondamentale du logarithme).
2 Faux, car seul 0 vérifie 2x = x et ce n’est pas un
élément de l’ensemble de définition de cette équation.
3 Vrai, par stricte croissance du logarithme, car 2x 2 x
pour x 2 0 .
Livre du professeur - CHAPITRE 5
Fonction logarithme népérien
5
4 Vrai, par stricte croissance du logarithme népérien.
5 Vrai : x = 0 .
38 1 Vrai.
2 Vrai.
5 Faux.
4 Vrai.
b. On en déduit le tableau de variations suivant :
x
0
f l^ x h
3 Faux.
6 Vrai.
f ^xh
39 a = 2 ln 2 + ln 3 ; b = 3 ln 2 ; c = 2 ln 3 ;
2
1
; f = 2 ln 3 - 1 .
d = ln 3 - ln 2 ; e = ln 2 +
2
e
+
+3
-
1
4
-3
-3
y
4
1
0
40 a = 2 ln 2 + 2 ln 5 ; b = 2 ln 2 - 2 ln 5 ;
1
ln 5 - ln 2 ; d = 2 + ln 2 + ln 5 ;
2
1
1
- ln 5 ; f = 2 ln 2 + ln 5 - 0,5 .
e=
2
2
x
1
c=
5 Pour k ! C - 3 ;
1
: une solution.
4
1
Pour k ! C
; + 3 9 : aucune solution.
4
41 a = 4 ln x ; b = 1 - ln x ; c = 1 ln x - 1 ;
Pour k =
2
d = 1 + ln x ; e =
1
ln x - 0,5 ; f = ln x - 0,5 .
2
42 a = ln 20 ; b = ln 6 ; c = ln
7
d = ln 36 ; e = ln
1
9 : deux solutions.
4
3
c m
2
53 1 p =
= 0,01 .
25
c m
2
2 La probabilité considérée est égale à 1 - 0,4 n , si on
choisit n ordinateurs.
On doit donc résoudre :
ln 0,001
.
1 - 0,4 n 2 0,999 + 0,4 n 1 0,001 + n 2
ln 0,4
On doit donc choisir au moins 8 ordinateurs.
3
;
5
e
; f = ln 125 e .
2
43 a = ln 72 ; b = ln 1 ; c = ln 5 ;
9
e = ln 15 ; f = ln e 15 .
6
; c = ln 2 ;
21
e
1
3
; e = ln 2 ; f = ln ^25e2h .
d = ln
2e
2 2
44 a = ln 2e3 ; b = ln 1
54 1 f l^ x h = 1 + ln x .
ln x - 1
.
^ln x h2
2 ln x
3 f l^ x h =
.
x
sin x
4 f l^ x h =
+ ln x cos x .
x
2 f l^ x h =
3 Étude de la fonction logarithme
népérien
45 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Vrai.
46 1 Faux.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Faux.
47 1 Vrai.
2 Faux.
3 Faux.
4 Faux.
48 a.Vrai.
49 1 b.
b. Faux.
c. Faux.
d. Vrai.
2 c.
50 1 x = e
1+ 5
2
ou x = e
1- 5
2
5 Vrai.
55 1 lim ln x =- 3 et lim ln x =+ 3 .
x "0
D’où : lim f ^ x h = lim f ^ x h =+ 3 .
x "0
f l^ x h
2 x = 1.
n
51 P H 0,99 + a 5 k G 0,01 + n H ln 0,01 .
n
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
5
6
D’où n H 25,26 . On doit lancer au moins 26 fois.
ln
52 1 f ^ x h = ln x^1 - ln x h .
D’où lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =- 3 .
x "0
x "+3
1
2 ln x
1 - 2 ln x
2 f l^ x h =
=
.
x
x
x
3 a. 1 - 2 ln x H 0 + 0 1 x G e .
6
x "+3
2 ln x
2 f l^ x h =
. Donc f l^ x h est du signe de ln x .
x
On a donc :
x
0
1
+3
.
6
x "+3
Livre du professeur - CHAPITRE 5
f ^xh
-
+
+3
+3
0
3 Il s’agit d’une application du théorème des valeurs
intermédiaires sur les intervalles @ 0 ; 16 et @ 1 ; + 3 6 .
4 f ^ x h = k + ln x = ! k + x = e! k .
56 1 La première entrée met en mémoire la fonction,
la deuxième calcule sa dérivée, la troisième permet de
résoudre f l^ x h 2 0 et d’en déduire donc les variations
de f , les deux dernières de déterminer les limites de f
en l’infini.
Fonction logarithme népérien
2 Pour le signe de f l^ x h , celle-ci est du signe de 2x + 1 .
Pour les limites, la composition des limites donne le
résultat, car x2 + x + 1 tend vers + 3 en !3 .
3 On retrouve bien les variations. Seules les limites ne
sont pas évidentes, du fait de la croissance « lente » du
logarithme.
57 1 Au bout de n années, le capital sera de
1000 # 1,03 n ; il aura doublé lorsque :
ln 2
. 23,5 .
200 # 1,03 n = 4 000 + n =
ln 1,03
Donc, il faudra attendre 24 ans.
2 a. b. On retrouve le même résultat. Il suffit de refaire
le calcul du 1 avec un capital de départ de C.
3 Si on appelle t le taux de placement, on a :
ln 2
.
n=
ln ^1 + t h
58 1 f est définie sur @ 0 ; 16 , @ 1 ; + 3 6 .
2 lim f ^ x h =
x "0
2 L’équation de la tangente à la courbe en M^ x0 ; y0h
est :
y=
a
a
x - x0h + a ln x0 =
x - a + a ln x0 .
x0 ^
x0
D’où le résultat par identification avec l’équation réduite
de D.
3 On a, par la deuxième équation, x0 = e , car a = 0
n’est pas solution du système.
e
Donc a =
. 1,36 .
2
e
k.
2
Les résultats sont donc bien cohérents.
Et les coordonnées de M sont ae ;
61
f ^1 h = 0 n’apporte aucune information ;
f ^3 h = 0 + 3a + b = 0 .
On a f l^ x h = a ln x +
lim f ^ x h = 0
La tangente considérée dans l’énoncé a pour équation :
x "+3
lim f ^ x h =- 3 et lim+ f ^ x h =+ 3 .
x " 1-
y = ^a + bh^ x - 1h + 0 .
x "1
1
.
x^ln x h
On en déduit le tableau de variations suivant :
x
0
1
+3
3 f l^ x h =-
f l^ x h
f ^xh
-
+
0
+3
59 1 lim ln x =- 3 et lim - 1 =- 3 .
x "0
D’où a + b =- 2 .
On en déduit donc que a = 1 et b =- 3 .
x
2
;
2x - 1
62 a. f l^ x h =
b. f l^ x h =
2x + 1
;
x
x+1
c. f l^ x h =
- x2 + 1
;
x^ x2 + 1h
2+
0
-3
x "0
ax + b
. Donc f l^1 h = a + b .
x
d. f l^ x h = ln ^2 - x h -
D’où, par somme : lim g^ x h =- 3 ;
x "0
-1
= 0.
x "+3 x
lim ln x =+ 3 et lim
x "+3
x "+3
1
2
+ 2 2 0.
g est dérivable sur @ 0 ; + 3 6 et gl^ x h =
x
x
Par le théorème des valeurs intermédiaires on obtient
alors l’existence d’une unique solution x0 à l’équation
g^ x h = 0 .
L’encadrement est obtenu par balayage.
2
5#
5 ln x0
x0
10
2 f ^ x0h =
=
= 2 .
x0
x0
x0
60
y
b. f l^ x h =
1
;
2x
c. f l^ x h =
ex
;
e +1
d. f l^ x h =
cos x
.
sin x
x
-x
64 a. f l^ x h = - e
-x ;
1+e
b. f l^ x h =- tan x ;
c. f l^ x h =
a = 1,36
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1
;
x ln x
63 a. f l^ x h =
D’où lim g^ x h =+ 3 .
x+1
.
2-x
3
.
2x
65 1 un + 1 = 1,2 . Donc comme u est une suite à
un
termes positifs, elle est croissante.
1
0
1
x
1 À l’aide du logiciel, on conjecture que a . 1,36 , pour
un point de contact de coordonnées ^2,5 ; 1,25h .
2 un H 100
+ 1,2n H 125 + n H
Il faut donc que n dépasse 27.
66 1 Vrai.
Livre du professeur - CHAPITRE 5
2 Faux.
ln 125
.
ln 1,2
3 Vrai.
Fonction logarithme népérien
7
1 - 2x
1
- 2x =
. On en déduit le tableau
x
x
de variations de f :
67 1
3 f l^ x h =
x
On conjecture que f ^ x h 1 0 sur l’intervalle considéré.
2 Il suffit de remarquer que x 1 x + 1 pour x 2 0 , d’où
x
1 1 , d’où le résultat.
x+1
1
2
0
f l^ x h
+
f ^xh
-
+3
-
1
3
ln 2 2
2
-3
-3
f admet un maximum strictement négatif, elle est donc
bien strictement négative.
4 Croissances comparées
76 1 lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 .
68 a. Faux.
b. Vrai.
c. Vrai.
69 a. Vrai.
1
2 f l^ x h =
+ 1 . D’où le tableau :
x
x
0
b. Vrai.
c. Faux.
70 1 a. 1 ;
b. - 3 ;
c. - 3 ;
2
x "0
d. Vrai.
f l^ x h
d. 0 ;
x
. La limite est donc 0.
2
x
x
x+1
x
1
= 2#
+
. La limite est donc + 3 .
b.
ln x
ln x
ln x
1
ln x
ln x
#
. La limite est donc 0.
c. 2 =
x
x
x
ln ^ x2h
ln x
=2
. La limite est donc 0.
d.
x
x
x
ex
.
2 =
X2
^ln x h
Comme X tend vers + 3 , par croissances comparées, la
limite demandée est + 3 .
72
x
Or, pour x H 1 ,
1
x
n-1
1
xn - 1
#
+3
+
+3
f ^xh - 3
e. - 3 .
71 a. ln x = 1 ln
73 1 ln x =
n
x "+3
3 On applique le théorème des valeurs intermédiaires à
la fonction strictement croissante continue f .
4 Il suffit de remarquer grâce à la calculatrice que
f ^1,557h 1 0 ; f ^1,558h 2 0 .
77 1
lim f ^ x h =+ 3 et lim f ^ x h =+ 3 ,
x " -1
x "+3
ln ^1 + x h
x
m.
+
1+x
1+x
1
x
2 f l^ x h = 1 =
.
1+x
1+x
D’où le tableau :
car f ^ x h = ^1 + x hc
x
0
-1
f l^ x h
ln x
.
x
-
raison de limites.
ln X
2 x n ln x =- n .
X
Or, lim X =+ 3 . D’où le résultat par composition des
+
+3
+3
f ^xh
G 1 , d’où le résultat par compa-
+3
0
y
x " 0+
limites, en utilisant le 1 .
3 a. - 3 (en factorisant par x2 ) ;
b. - 3 (en factorisant par x3 ) ;
c. 0 (en développant).
x
x
74 a. e = e #
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
ln x
x
produit de limites.
ex
- 1 m . La limite est donc + 3 .
b. e x - ln x = ln x c
ln x
x
ln x
ln x
# x . La limite est donc 0.
c. x =
x
e
e
75 1 La limite est - 3 (pas de forme indéterminée).
ln x
1
- x m.
x
x
On retrouve donc le résultat, par produit de limites.
2 f ^xh = xc
8
1
x
. La limite est donc + 3 , par
ln x
Livre du professeur - CHAPITRE 5
0
1
x
3 0 est le minimum de f , donc f ^ x h 2 0 pour x ! 0 .
1
1
! 0 , donc f a k 2 0 , d’où le résultat.
n
n
1
On en déduit n ln a1 + k 1 1 , d’où :
n
1 n
1 n
ln a1 + k
k 1 e.
n 1 e + a1 +
e
n
4 a.
Fonction logarithme népérien
3
78 1 Faux, il suffit de prendre u = 1 .
n
n
n
2 Vrai, car ln ^u0 q h = ln ^u0h + n ln ^q h .
1
ln a1 + k
ln ^n + 1h
n
3 Vrai, car
-1 =
0,
+3
ln n
ln ^nh
puisque le numérateur tend vers 0 et le dénominateur
vers + 3 .
4 Vrai : un =
n
/^ln ^k - 1h - ln k h = ln 1 - ln n .
k=2
Donc u diverge vers - 3 .
x
0
f ^xh
Partie B
1 OM =
a
+3
-
+
2
x2 + 4^lnh .
2f ^ x h
4 # 2 ln x
2 a. hl^ x h = 2x +
=
.
x
x
Donc hl est du signe de f sur @ 0 ; + 3 6 .
Donc :
x
-1
a
+
hl^ x h
+3
h^ x h
Prépa Bac
Exercices guidés
79 1 a. u = 1 ; u = 2 ; u = 3 .
1
2
3
2
3
4
b. Ce sont les mêmes.
c. On montre que un = wn pour tout entier naturel n.
Initialisation : la propriété est vraie pour n = 0 .
Hérédité : on suppose la propriété vraie pour un entier
naturel n ;
1
1
=
un + 1 =
n
2 - un
2n+1
1
n+1
= wn + 1 .
=
=
2n + 2 - n
n+2
n+1
La propriété est donc vérifiée au rang n + 1 .
◗ La propriété est donc vraie pour tout entier naturel n.
1
2
3
2 a. v1 + v2 + v3 = ln
+ ln + ln
2
3
4
1#2#3
1
= ln
= ln
=- ln 4 .
4
2#3#4
1#2#f#n
=- ln ^n + 1h .
b. Sn = ln
2 # f # ^n + 1h
Donc lim Sn =- 3 .
n "+3
4
.
x
Par opérations sur les limites, on a :
lim f ^ x h =+ 3 et lim f ^ x h =- 3 .
1 f l^ x h = 2x +
x "0
x "+3
D’où le tableau de variations :
x
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
81 1 d. g est continue et strictement croissante ; de
plus, lim g^ x h =- 3 et lim g^ x h =+ 3 .
x "0
x "+3
On peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, d’où l’existence et l’unicité de a . On obtient l’encadrement par balayages successifs.
e.
x
0
+3
a
+
g^ x h
2 f ^ x h = x ln x #
lim f ^ x h = 0 .
1
, ce qui permet de justifier que
x+1
x "0
80 Partie A
0
f l^ x h
x
# ln x , ce qui permet de justifier que
x+1
lim f ^ x h =+ 3 .
f ^xh =
x "+3
^1 + ln x h^ x + 1h - x ln x
g^ x h
=
.
2
^ x + 1h
^ x + 1h2
D’où le résultat.
3 f l^ x h =
+3
Exercices d’entraînement
+
f ^xh - 3
+3
82 1 Faux.
f est continue et strictement croissante ; de plus,
lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 .
x "0
b. La fonction h possède un minimum qui n’est atteint
que pour x = a .
Or, OM = h . Donc la distance OM est minimale pour le
point A^a, g^ahh .
2 TA a pour équation : y = gl^ah^ x - a h + g^ah .
Le coefficient directeur de cette tangente est donc
2
.
gl^ah =
a
g^ah
.
Or, le coefficient directeur de ^OAh est
a
g^ah
2 ln ^ah
=
.
Et
a
a
Le produit des coefficients directeurs est donc égal à
4 ln ^ah
=- 1 , car, comme f ^ah = 0 ,on a :
a2
4 ln ^ah =- a2 .
x "+3
On peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, d’où l’existence et l’unicité de a .
Par balayages successifs, on obtient a . 0,84 .
2 Vrai.
6 Vrai.
5 Faux.
3 Vrai.
7 Vrai.
4 Faux.
8 Faux.
83 1 a.
x
ln x^1 - ln x h
Livre du professeur - CHAPITRE 5
0
1
-
e
+
+3
-
Fonction logarithme népérien
9
b. Le tableau donne le signe de f ^ x h - g^ x h . On en
déduit que est au-dessus de ′ sur @ 1; e 6 , en dessous
sur @ 0 ; 16 , @ e ; + 3 6 et que les deux courbes se coupent
aux points A^1 ; 0h et B^e ; 1h .
1 - 2 ln x
2 a. hl^ x h =
;
x
hl^ x h est du signe de 1 - 2 ln x .
1
hl^ x h H 0 + 1 - 2 ln x H 0 + ln x G
+xG e.
2
On a donc :
x
0
+3
e
hl^ x h
+
-
x "+3
-1
- x2 - x - 1
-1 =
.
x^ x + 1h
x^ x + 1h
Or, - x2 - x - 1 a un discriminant strictement négatif,
donc - x2 - x - 11 0 sur R. Donc f l^ x h 1 0 sur
@ 0 ; + 3 6 . D’où le résultat annoncé.
c. La fonction f est continue et strictement décroissante
sur @ 0 ; + 3 6 , lim f ^ x h =+ 3 et lim f ^ x h =- 3 .
b. f l^ x h =
x "0
1
4
h^ x h
1
= 1 , donc par continuité du logarithme,
x
1
lim ln a1 + k = ln 1 = 0 .
x
x "+3
Donc lim f ^ x h =- 3 .
lim 1 +
x "+3
b. Sur cet intervalle, on a, du fait de la position relative
des courbes, MN = h^ x h .
1
La distance maximale est donc de
et elle est obtenue
4
pour x = e .
x "+3
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un
unique réel a appartenant à @ 0 ; + 3 6 tel que f ^ah = 0.
Par balayage, on obtient a . 0,806 .
2 a. b.
y
1
x
84 1 a. f ^ x h = ln ^1 + e h .
x
e
ln ^1 + hh
= 0 , avec h = e x .
h
h"0
b. On a donc lim f ^ x h = 1 .
On utilise le fait que lim
x "-3
c. f ^ x h = f ^ x h x ln ^e x ^1 + e-x hh .
x
= x + e-x ln ^1 + e-x h .
e
x
On utilise alors que lim
x = 0 et que lim X ln X = 0,
X "0
x "+3 e
-x
avec X = e .
D’où lim f ^ x h = 0 .
x "+3
d. Deux asymptotes horizontales y = 0 et y = 1 .
-t
1
1
2 a. g^ t h =
.
2 - 1+t =
+ th
^
1
^1 + t h
D’où g^ t h 1 0 pour t 2 0 . D’où le résultat.
b. g^0 h = 0 . Donc g^ t h 1 0 pour t 2 0 par stricte
décroissance de g.
ex
3 f l^ x h =- e-x ln ^1 + e x h + e-x #
1 + ex
-x
x
= e # g^e h.
Or, e x 2 0 . Donc g^e x h 1 0 .
Donc f l^ x h 1 0 .
D’où le tableau de variations suivant :
x
0
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f ^xh
1
0
x
1
85 1 a. lim 1 + 1 =+ 3 , donc lim ln a1 + 1 k =+ 3.
x
Donc lim f ^ x h =+ 3 .
x "0
x "0
x "0
10
x
1
c. On utilise la continuité de g pour affirmer que g^unh
converge vers g^ , h et le fait que un + 1 converge vers , .
D’où le résultat, car un + 1 = g^unh .
d. Le résultat est immédiat par le 1 c.
86 1 Vrai, car f ^1 h = ln 2 .
n
2 Vrai, car f n^2 h = ln 2 # 2 n .
x
3 Faux, car f l1^ x h = ln ^1 + x h +
1+x
et f l1^0 h = ln 2 ! 0 .
4 Faux, car f n + 1^ x h - f n^ x h = x n ln ^1 + x h^ x - 1h .
Donc f n + 1^ x h - f n^ x h 1 0 sur @ 0 ; 16 .
Problèmes
b. D est la médiatrice de 6 MN @, d’où le résultat du c. et
du d.
e. Posons N^a ; bh .
a+x
b + ex
=
On a
d’après le c.
2
2
x
On a ^a - x h + ^b - e h = 0 .
x
D’où *a - b = e - x .
a + b = x + ex
D’où N^e x ; x h .
f. On a bien ln ^ xN h = yN .
-
0
0,2
2 a. M^ x ; e x h .
y
1
4
0
87 1 Tracé à faire à main levée.
+3
f l^ x h
0,2
Livre du professeur - CHAPITRE 5
x
88 1 a. ln ab = ln a + ln b .
b. ln aa #
1
1
k = ln a + ln a k .
a
a
Fonction logarithme népérien
1
k = ln 1 = 0 .
a
D’où le résultat puisque ln aa #
c. ln a
1
a
= ln a - ln b .
k = ln a + ln
b
b
3 On veut exp a3 - 3 exp a
t
kk 1 0,02 .
20
3 - ln 0,02
m . 16,7 années.
3
Au bout de 17 ans.
D’où t 2 20 ln c
2 a. ln c = ln ^ c # c h = 2 ln ^ c h . D’où le résultat.
b. ◗ La propriété est vraie pour n = 0 .
◗ On la suppose vraie pour un entier naturel n ;
ln a n + 1 = ln ^a # a nh = ln a + ln a n = n ln a + ln a
= ^n + 1h ln a .
D’où la propriété au rang n + 1 .
◗ On peut donc en déduire que la propriété est vraie
pour tout entier naturel n.
92 1 lim ln x =- 3 et lim 1 =+ 3 ,
2
x "0
x "0
x
d’où lim f n^ x h =- 3 ;
x "0
lim f n^ x h = 0 par croissances comparées.
x "+3
2 Vérification.
3 f ln^ x h est du signe de n - 2 - 2n ln x .
89 1 150,75 euros.
f ln^ x h 2 0 + n - 2 - 2 ln x 2 0
2
n-2
n-2
+ x 1 e 2n .
2n
On a donc le tableau de variations suivant :
+ ln x 1
x
0
e
f ln^ x h
f n^ x h
n-2
2n
+
+3
0
-3
n-2
-n
m^1 - ^1 + t h h
3 On a C =
= 10 000 euros.
t
4 n étant un nombre entier de mois, on peut utiliser
la calculatrice ou résoudre une équation en utilisant le
logarithme.
On trouve n = 60 : il faut cinq ans.
90 1 lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h = 0 .
a
a
x "0
x "+3
1 - ln x - a
2 f l^ x h =
.
x2
3 f l^ x h est du signe de 1 - ln x - a .
En posant xa = e1 - a , on obtient donc le tableau
suivant :
x
0
+3
xa
f la^ x h
+
f a^ x h
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Avec ya =
ya
-3
1
1-x
-1 =
.
x
x
On a le tableau de variations suivant :
3 a. f l^ x h =
0
1-a+a
1
= 1-a .
1-a
e
e
x
1
. Donc A appartient à la courbe de la foncxa
tion inverse.
4 ya =
91 1 On a f ^0 h = 1 . Donc e3 + k = 1 .
On a donc an = e 2n .
n-2
1+n#
2n = n e - n2-n2 .
4 bn =
n-2
2
e 2n
5 On conjecture que A^1 ; 1h appartient à toutes les
courbes, que a a une limite finie tandis que b tend vers
l’infini.
6 f n^1 h = 1 . Donc A^1 ; 1h appartient à toutes les
courbes.
n-2
1
converge vers
. L’exponentielle étant
2n
2
continue, a converge vers e .
n-2
1
, donc b tend vers + 3.
Donc e- 2n converge vers
e
93 1 u = 1 ; u = 7 ; u = 37 ; u = 533 .
1
2
3
4
2
12
60
840
1
1
1
2 un + 1 - un =
+
2n + 2
2n + 1
n+1
1
1
1
=
=
.
2n + 1
2^n + 1h
2^n + 1h^2n + 1h
D’où k =- 3 .
k
t
2 f l^ t h =
exp a3 + k exp a kk 1 0 , car k 1 0 .
20
2
D’où le résultat.
f l^ x h
f ^xh
0
1
+
+3
-
0
D’où f ^ x h G 0 pour x 2 0 . D’où le résultat.
1
1
- 1.
b. On a pour tout x 2 0 : ln a k G
x
x
1
D’où ln x H 1 - .
x
p+1
.
On applique le a. et le b. à x =
p
Livre du professeur - CHAPITRE 5
Fonction logarithme népérien
11
4 a. et b.
2n - 1
/
2n - 1
2n - 1
1
1
.
G / ln ^ p + 1h - ln p G /
p
p+1
p=n
p=n
1
; de plus, x
a
1
1
D’où :
.
un G ln 2n - ln n G un +
2n
n
D’où le résultat.
c. On en déduit que :
1
.
0 G ln 2 - un G
2n
D’où le résultat par le théorème d’encadrement des
limites.
est différent de 0, donc :
1
f = C ; 0 9 , @ 0 ; + 3 6.
a
ln ^ X + 1h
3 lim f a^ x h = lim a #
= a.
X
x "0
X "0
On doit donner à la fonction f a la valeur a en 0 pour
qu’elle soit continue en 0.
4 lim f a^ x h =+ 3 , car
lim ln ^ax + 1h =- 3 et
94 1 Comme a est strictement positif, la limite de
x est négatif.
p=n
2+
ax
1 en + 3 ou - 3 est + 3 .
De plus, lim ln X =+ 3 , donc on obtient :
X "+3
lim ln ^ax2 + 1h =+ 3 et lim ln ^ax2 + 1h =+ 3 .
x "-3
x "+3
2
2 f ^- x h = ln ^a^- x h + 1h = ln ^ax2 + 1h = f ^ x h ,
donc f est paire.
2ax
3 f l^ x h =
et comme x 2 0 et a 2 0 , on aura
ax2 + 1
pour tout réel strictement positif, f l^ x h 2 0 et f est
croissante sur @ 0 ; + 3 6 .
x
f ^xh
0
-3
f l^ x h
-
+3
+
+3
+3
1
1
x "- a
x
lorsque a = 1 .
gla ^ x h
Validation des conjectures
2a
1 a. (A) : y =
^ x - 1h + ln ^a + 1h
a+1
- 2a
^ x + 1h + ln ^a + 1h.
(B) : y =
a+1
- 2a
+ ln ^a + 1h , ce qui
b. Lorsque x = 0 , y =
a+1
prouve que les deux tangentes se coupent sur l’axe des
ga ^ x h
ordonnées.
c. D’après les calculs précédents, on a bien :
- 2a
+ ln ^a + 1hm .
M c0 ;
a+1
x-1
2 a. gl^ x h =
.
^ x + 1h
x
gl^ x h
g^ x h
1
-3
-
0
+3
+
ln 2 - 1
95 1 Avec le logiciel, il semble que l’image de 0 existe,
pourtant cette fonction n’est pas définie en 0. Son
1
ensemble de définition semble être C ; + 3 9 , la
a
fonction semble décroissante sur cet ensemble.
Livre du professeur - CHAPITRE 5
-
1
a
0
+
+3
-
0
La fonction ga est négative sur son ensemble de définition. On conclut que la fonction f a est décroissante sur
son ensemble de définition.
96 1 Elle est égale à 10-7 .
2 On peut dire qu’elle est supérieure à 10-7 .
ln ^3 # 10-2h
. 11,5 .
ln ^10h
ln 6H+ @
4 C’est vrai, car pH =.
ln 10
3 pH =-
Donc si on pose 6H+ @ = x , pHl^ x h =-
1
1 0.
x ln 10
97 Partie A
1
2 0.
x
f est donc strictement croissante sur @ 0 ; + 3 6 .
b. On a lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 .
1 a. f l^ x h = 1 +
b. D’après le tableau de variations de g, l’ordonnée de M
admet bien un minimum lorsque x = 1 .
c. Cette ordonnée minimale vaut ln 2 - 1 .
12
x "- a
1
ln x + ln aa + k
ln ^ax + 1h
X
= lim
lim
x
x
x "+3
x "+3
1
ln aa + k p
ln x
f
X
= lim
+
= 0.
x
x
x "+3
La courbe représentative de f admet deux asymptotes :
1
l’une verticale d’équation x =- , l’autre horizontale
a
en + 3 , d’équation y = 0 .
ax
- ln ^ax + 1h
+1
ax
5 a. f la^ x h =
x2
ax - ^ax + 1h ln ^ax + 1h
=
.
x2
b. gla ^ x h = a - ^a ln ^ax + 1h + ah =- a ln ^ax + 1h .
0
4 Le point M semble avoir une ordonnée minimale
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
2 On résout ax + 12 0 , on obtient x 2 -
x "0
x "+3
La fonction f étant par ailleurs continue et strictement
croissante sur @ 0 ; + 3 6 , par le théorème des valeurs
intermédiaires, il existe un unique réel a appartenant à
@ 0 ; + 3 6 tel que f ^ah = 0 .
d. f ^1 h = 1 et lim f ^ x h =- 3 . Donc 0 1 a 1 1 .
x "0
Partie B
a. gl^ x h =
4x - 1
.
5x
Fonction logarithme népérien
On en déduit le tableau de variations suivant :
1
x
0
+3
4
+
gl^ x h
1 + 2 ln 2
5
1
b. g est strictement croissante sur 9 ; 1 C .
2
1
1
Donc, si
G x G 1 , g a k G g^ x h G g^1 h .
2
2
1
2 + ln 2
1
4
Or, g^1 h =
. 0,54 2 .
1 1 et g a k =
2
5
2
5
On a donc bien le résultat annoncé.
c. Soit x 2 0 .
g^ x h = x + 4x - ln x = 5x + x + ln x = 0 .
1
2 a. ◗ Pour n = 0 : u0 =
et u1 ! 60,5 ; 1 @ par le 1 b.
2
◗ On suppose la propriété vraie au rang n. Comme g est
croissante, on en déduit :
g^0,5h G g^unh G g^un + 1h G g^1 h .
Or, g^0,5h ! 60,5 ; 1 @ et g^1 h ! 60,5 ; 1 @ d’après le 1 b.
Par ailleurs, g^unh = un + 1 et g^un + 1h = un + 2 .
On obtient donc bien la propriété au rang n + 1 .
◗ Donc la propriété est vraie pour tout entier naturel n.
b. La suite u est croissante et majorée par 1 d’après la
question précédente. Elle converge donc vers un point
fixe de g compris entre 0 et 1 qui est, d’après le 1 c., une
solution de f ^ x h = 0 . Donc u converge vers a .
3 u10 . 0,567124 .
Donc 0,567 1 a 1 0,568 .
g^ x h
98 1 Par définition, on a e-18m = 0,5 .
ln 2
.
18
2 Au bout de 36 jours :
Donc m =
m = m0 e-36m = m0 e-2 ln 2 =
m0
= 0,25 ng .
4
3 On doit résoudre :
e- mt = 0,1 + t =
ln 10
. 59,8 .
m
Au bout de 60 jours.
4
y
0
3 On résout f ^ x h = x .
ln ^1 + x h
= 0 + ln ^1 + x h = 0 + x = 0 .
On obtient
1+x
Le point d’intersection de la courbe et de la droite est le
point 0.
Partie B
1 Si 0 G x G 4 , alors par croissance de f , on aura
f ^0 h G f ^ x h G f ^4h , c’est-à-dire :
ln 5
0 G f ^xh G 4 G 4.
5
2 Par récurrence :
Initialisation : on a bien u0 ! 60 ; 4 @.
Hérédité : supposons que pour un entier n, on a
un ! 60 ; 4 @, démontrons que un + 1 ! 60 ; 4 @.
D’après la question 1 , on a f ^unh ! 60 ; 4 @, donc
un + 1 ! 60 ; 4 @.
Par récurrence sur n, on a prouvé la propriété.
ln ^1 + unh
b. un + 1 - un =G 0 , car un H 0 .
1 + un
La suite ^unh est décroissante.
c. La suite ^unh est décroissante et minorée par 0, donc
elle converge vers une limite , .
d. On résout f ^ , h = , ; on obtient , = 0 .
101
1 lim f ^ x h =- 3 et
0
5
99 1 b.
2 d.
3 c.
5 ln ^unh + vn = ln ^1 + e-vnh + vn .
f l^ x h
x
1 - ln ^ x + 1h
^ x + 1h2
^ x + 1h2 - 1 - ln ^1 + x h
=
.
^ x + 1h2
1 f l^ x h = 1 -
+3
+
+3
f ^xh - 3
4 b.
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante, ln ^1 + e-vnh 2 ln ^e-vnh = vn .
D’où ln ^unh + vn 2 - vn + vn .
Partie A
lim f ^ x h =+ 3
x "+3
par somme de limites.
1
2 f l^ x h =
+ x 2 0 pour x 2 0 .
x
x
0
m
0,5
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f ^xh
x "0
1
100
2x2 + 4x + 3
, or 2x2 + 4x + 3 a un discri^ x + 1h2
minant strictement négatif, donc ce polynôme est
toujours strictement positif ; donc la fonction N est strictement croissante sur @ - 1 ; + 3 6 .
b. N^0 h = 0 , donc par stricte croissance de N, cette fonction est négative sur @ - 1 ; 0 @ et positive sur 60 ; + 3 6 .
c. On en déduit le sens de variations de f puisque f l est
du signe de N :
0
x
-1
+3
+
f l^ x h
2 a. N l^ x h =
3 f est continue, strictement croissante :
lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 .
x "0
x "+3
Donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f ^ x h = 0 admet une unique solution sur @ 0 ; + 3 6 .
Or, f ^1 h =- 0,5 et f ^2 h = ln 2 + 12 0 .
Donc 11 a 1 2 .
4 Cet algorithme applique la méthode de dichotomie
pour déterminer une valeur approchée de a à 10-n près.
Livre du professeur - CHAPITRE 5
Fonction logarithme népérien
13
x
0
-2
-3
f l^ x h
+
-
+3
+
f ^xh
2e x
2 0.
^e + 3h2
Donc f est strictement croissante sur R.
2 f l^ x h =
x
Les savoir-faire du chapitre
105
1 a. 3.
1
e. .
3
2 f l^ x h = e x - 3 .
x
c.
ln 3
-3
f l^ x h
d. 4 .
i. x2 .
+3
-
f ^xh
1
3
1 a. f l^0 h =.
f ^0 h63 - ln ^ f ^0 [email protected] =20
20
b. f vérifie (E) si, et seulement si, pour tout t ! 60 ; + 3 6 :
1
f l^ t h =f ^ t h63 - ln ^ f ^ t [email protected]
20
l^ h
1
3
+ ff ^ tt h = 20
ln ^ f ^ t hh 20
1
3
.
+ gl^ t h = 20
g^ t h 20
2 Pour tout t ! 60 ; + 3 6 :
t
1
1
3
.
gl^ t h =
e 20 =
g^ t h 20
20
20
1
^ln 7 - ln 3h.
2
g. 2x + 3 . h. x2 .
b. - 5 .
1
f. .
e
+
3 - 3 ln 3
102
t
a. f ^ t h = exp ^g^ t hh = exp ^3 + Ce 20 h
De plus, f ^0 h = 1 , donc C =- 3 .
t
Donc f ^ t h = exp ^3 - 3e 20 h .
b. lim 3 - 3e
t "+3
t
20
=- 3 . Donc lim f ^ t h = 0 .
t "+3
c. On veut exp a3 - 3 exp a
t
kk 1 0,02 .
20
3 - ln 0,02
m . 16,7 années.
3
Donc au bout de 17 ans.
D’où t 2 20 ln c
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Pistes pour l’accompagnement
personnalisé
Revoir les outils de base
103
104
4e x
-2x
2x
.
2 ; f l^ x h = 2e - 2e
x
^e + 3h
1 f l^ x h = ^ x2 + 2x h e x .
f l^ x h est du signe de x
14
2+
2x .
Livre du professeur - CHAPITRE 5
1 a. x = e 4 .
b. x = ln 4 .
d. x = ln 5 - 3 .
2
2 a. Ensemble de définition : E
; + 3 ; ; ensemble
3
solution : "2 , .
2
b. Ensemble de définition : E ; + 3 ; ; ensemble solu3
tion : @ 2 ; + 3 6 .
c. Ensemble de définition : @ 1 ; + 3 6 ; ensemble solution : "2 , .
d. Ensemble de définition : @ 1 ; + 3 6 ; ensemble solution : Q .
c. x = e 4 - 2 .
107
a. + 3 .
108
1 2 ln 3 .
b. - 3 .
c. 1 .
2 ln 3 .
3 ln 3 .
1
2 0 si x 2 0 .
x
Donc f est strictement croissante sur R.
1
b. f l^ x h = ln x + 1 ; f l^ x h = 0 + x =
e
1
f l^ x h 2 0 + x 2 .
e
1
x
0
e
+
f l^ x h
109
d. + 3 .
a. f l^ x h = 2x +
f ^xh
-
+3
1
e
1 - ln x
f l^ x h est du signe de 1 - ln x .
x2
f l^ x h = 0 + x = e ; f l^ x h 2 0 + x 1 e .
c. f l^ x h =
1 f l^ x h = 2e2x + 3 ; f l^ x h = ^1 - x h e-x .
2 f l^ x h =
106
x
0
f l^ x h
f ^xh
Fonction logarithme népérien
e
+
-3
+3
-
1
e
0
d. f l^ x h =
2x
2+
est du signe de x, donc f est décrois-
x
2
sante sur @ - 3 ; 0 6 et croissante sur 60 ; + 3 6 .
Approfondissement
110
1 La courbe est quasi rectiligne, ce qui semble indiquer que le logarithme décimal du nombre de séismes
est une fonction affine de la magnitude.
2 Pour M = 3 , on a N = 2 # 102 , d’où :
log ^N h = log 2 + 2 .
3 Pour M = 6 , on a N = 3 # 10-1 , d’où :
log ^N h = log 3 - 1 .
On en déduit que *a - 3b = log 2 + 2 .
a - 6b = log 3 - 1
D’où b . 0,94 et a . 5,12 .
111
Ceci étant vrai pour tous x et y, des réels strictement
positifs, ceci signifie que f est solution de (E), car f est
bien continue sur @ 0 ; + 3 6 .
D’où f ^ x h = k ln x .
D’où g^ x h = kx ln x .
Vers le Supérieur
113
1 a. C^10h c 7,3 milliers d’euros ;
C^20h . 11,1 milliers d’euros.
Le coût de fonctionnement n’a pas doublé, il n’y a pas
proportionnalité.
40 # 0,1
0,2x - 2
2 a. f l^ x h = 2 =
.
0,1x + 1
0,1x + 1
On en déduit donc le tableau suivant :
x
0
f l^ x h
17
f ^xh
1 a. et b. On peut utiliser une feuille de tableur :
10
-
60
+
57,2
b. Le coût est minimal pour 10 bateaux, il est égal à 7,3
milliers d’euros, à 100 euros près.
3 a. B^q h = 3q - C^q h = q + 40 ln ^0,1q + 1h - 15 .
b. Il faut louer au moins 4 bateaux.
1
si on pose f ^ x h = ln x .
x
Donc T a pour équation :
1
1
y = ^ x - ah + ln a + x - y - 1 + ln a = 0 .
a
a
1
b. v a1 ; k est un vecteur directeur.
a
114
2 Il s’agit de vérifier que dans les chiffres présents dans
la déclaration du contribuable, la répartition suit une loi
de Benford, ce qui n’est généralement pas le cas lorsque
les chiffres ont été « inventés ».
112
1 k ln ^ x # y h = k^ln x + ln y h = k ln x + k ln y .
g^ x h
.
x
Soient x et y des réels strictement positifs, on a :
g^ xy h = xg^ y h + yg^ x h
^ h
^ h
^ h
+ g xyxy = g yy + g xx
2 On pose f ^ x h =
2 OA et v sont orthogonaux si, et seulement si :
a # 1 + ln a #
1
= 0 + a2 + ln a = 0 .
a
1
2 0 si x 2 0 .
x
b. f est continue strictement croissante sur @ 0 ; + 3 6 .
De plus, lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 .
a. f l^ x h = 2x +
x "0
x "+3
D’où le résultat, par application du théorème des valeurs
intermédiaires.
c. Par balayage, on obtient que l’unique solution de
f ^ x h = 0 est a c 0,653 .
D’où A^0,653 ; - 0,426h .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
+ f ^ xy h = f ^ x h + f ^ y h.
1 a. f l^ x h =
Livre du professeur - CHAPITRE 5
Fonction logarithme népérien
15
6
C H A P I T R E
Calcul intégral
Introduction
1. Programme
Contenus
Capacités attendues
Intégration
Définition de l’intégrale d’une fonction
continue et positive sur 6a ; b @ comme aire
sous la courbe.
Notation
#a
b
f ^ x h dx .
Commentaires
On s’appuie sur la notion intuitive d’aire
rencontrée au collège et sur les propriétés
d’additivité et d’invariance par translation et
symétrie.
On peut mener un calcul approché d’aire
(parabole, hyperbole, etc.) pour illustrer
cette définition.
Théorème : si f est une fonction continue
et positive sur 6a ; b @ , la fonction F définie
x
sur 6a ; b @ par F^ x h = # f ^ t h dt est
Il est intéressant de présenter le principe
de la démonstration du théorème dans le
cas où f est positive et croissante.
a
dérivable sur 6a ; b @ et a pour dérivée f .
Primitive d’une fonction continue sur un
intervalle.
• Déterminer des primitives des fonctions
usuelles par lecture inverse du tableau des
dérivées.
• Connaître et utiliser les primitives de ul eu,
ul un (n entier relatif, différent de - 1) et,
l
l
pour u strictement positive, u , u .
u u
Théorème : toute fonction continue sur un
intervalle admet des primitives.
Une primitive F de la fonction continue et
positive f étant connue, on a :
b
#a f ^ x hdx = F^bh - F^ah .
Il est intéressant de démontrer ce théorème dans le cas d’un intervalle fermé borné,
en admettant que la fonction a un minimum
On admet le cas général.
On fait observer que certaines fonctions
comme x
exp ^- x2h n’ont pas de primitive « explicite ».
7
Intégrale d’une fonction continue de signe
quelconque.
• Calculer une intégrale.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
• Utiliser le calcul intégral pour déterminer
une aire.
Linéarité, positivité, relation de Chasles.
• Encadrer une intégrale.
Valeur moyenne.
 Pour une fonction monotone positive,
mettre en œuvre un algorithme pour
déterminer un encadrement d’une
intégrale.
La
formule
b
#a f ^ x hdx = F^bh - F^ah,
établie pour une fonction continue
et positive, est étendue au cas
d’une fonction continue de signe
quelconque.
L’intégration par parties n’est pas un attendu
du programme.
La notion de valeur moyenne est illustrée par
des exemples issus d’autres disciplines.
E [SPC] Mouvement uniformément
accéléré.
E [SI] Valeur moyenne, valeur efficace dans
un transfert énergétique.
AP Calcul du volume d’un solide.
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole
de type algorithmique sont signalées par le symbole .
. Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités
Livre du professeur - CHAPITRE 6
Calcul intégral
1
2. Intentions des auteurs
Après avoir revu et précisé les notions de suites numériques, limites et continuité d’une fonction numérique,
après avoir complété l’herbier des fonctions usuelles
avec la fonction exponentielle et logarithme népérien,
on introduit dans ce chapitre le concept d’intégrale
d’une fonction numérique sur un intervalle fermé.
Comme il a été procédé historiquement le moteur
de cette notion est le calcul d’aire. Cela justifie l’introduction de la notion d’intégrale par l’intégrale de a à b
^a G bh d’une fonction continue et positive sur l’intervalle 6a ; b @.
Le lien avec les primitives permet de généraliser.
Découvrir
Partir d’un bon pied
Objectifs
Réactiver chez l’élève :
– les formules de dérivation et approcher la lecture inverse
du tableau des dérivées ;
– le calcul d’aire de figures usuelles ou un encadrement de
l’aire lorsque les formules n’existent pas ;
– la caractérisation d’une surface plane à l’aide des coordonnées des points qui la composent.
a 1 a. et c.
2 a. b. et c.
3 b. et c.
4 b.
B 1 Faux.
2 Vrai.
3 Faux.
5+2
# 2 = 7 cm2 .
2
◗ Aire de l’ellipse : l’ellipse est comprise dans un rectangle
d’aire 7 # 4 = 28 cm2 , et contient un rectangle d’aire
5 # 2 = 10 cm2 .
◗ Surface sous la parabole : elle est comprise dans
un rectangle d’aire 3 # 2,5 = 7,5 cm2 , et contient un
rectangle d’aire 1 # 2 = 2 cm2 .
4
1 + a + 1k
20
3
#4 =
◗ Aire du trapèze vert :
cm2 .
2
3
D 1 a. et b.
y
C ◗ Aire du trapèze ABCD :
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1
0
1
x
2 L’ensemble coloré est l’ensemble des points M^ x ; y h
vérifiant :
0 G x G 4 et 0 G y G x et y H x - 2 .
2
Livre du professeur - Chapitre 6
Ce chapitre favorise l’introduction naturelle d’algorithmes permettant de calculer une valeur approchée
d’une intégrale inaccessible par le calcul algébrique.
Comme le préconise le programme, on a évité une trop
grande technicité pour rester le plus proche du sens lié
à ces notions.
La notion de valeur moyenne très utilisée dans d’autres
disciplines est aussi mise en valeur.
En accompagnement personnalisé, on aborde la notion
de volume d’un solide et on prépare les lois continues
en probabilité en abordant la notion d’intégrale généralisée.
Calcul intégral
1 aire sous une hyperbole à
l’aide de rectangles
Activité
Objectif : Aborder le calcul de l’aire de la surface sous la courbe
par la méthode des rectangles en utilisant un algorithme.
1 a. La surface contient les cinq rectangles inférieurs,
et est contenue dans les cinq rectangles supérieurs.
1
Les hauteurs des rectangles inférieurs sont f a1 + k ,
5
2
5
f c1 + m , … et f a1 + k ; les hauteurs des rectangles
5
5
1
4
supérieurs sont f ^1 h , f a1 + k , … et f a1 + k .
5
5
1
1
1
5
# f a1 + k + f + # f a1 + k G Donc
5
5
5
5
1
1
4
# f ^1 h + f + # f a1 + k ,
G
5
5
5
1
d’où les inégalités indiquées en factorisant par .
5
b. En utilisant les résultats du logiciel, on a :
1
1627
1
1879
#
#
, c’est-à-dire :
GG
5
504
5
504
1879
1627
.
GG
2 520
2 520
1879
1627
Or
. 0,6 (par défaut) et
. 0,8 (par excès) .
2 520
2 520
Donc 0,6 G G 0,8 .
2 a. La surface contient les n rectangles inférieurs, et
est contenue dans les n rectangles supérieurs, qui sont
1
.
de largeur
n
1
Les hauteurs des rectangles inférieurs sont f a1 + k ,
n
n
2
+
+
a
k
a
k
, … et f 1
; les hauteurs des rectangles
f 1
n
n
1
n-1 k
supérieurs sont f ^1 h , f a1 + k , … et f a1 +
.
n
n
1
1
1
n
# f a1 + k + g +
# f a1 + k G Donc
n
n
n
n
1
1
n-1 k
# f ^1 h + f +
# f a1 +
,
G
n
n
n
1
.
d’où les inégalités indiquées en factorisant par
n
b. Comme Sn =
n
/
f c1 +
k
m
n
, on calcule de proche
k
f c1 + m
n
en proche la somme en ajoutant
pour un
n
entier k allant de 1 à n.
Pour que l’algorithme affiche Sn et Tn , on propose
d’ajouter l’instruction :
Afficher(S + (f (1) - f (2))/n) ;
c. Pour tout entier n H 1 :
1 9a
n - 1 k kC
# f ^1 h + f + f a1 +
Tn - Sn =
n
n
1
n
9- a f a1 + k + f + f a1 + kkC
n
n
1
1
1
1
1
# ^ f ^1 h - f ^2 hh =
#a - k =
=
.
n
n
1
2
2n
d. Pour que Sn et Tn soient des valeurs approchées de
1
à 0,001 près, il suffit que
G 0,001 , c’est-à-dire
2n
n H 500 .
Après programmation, on obtient : 0,693 G G 0,694 .
3 Au 1 b., on a : 0,6 G G 0,8 .
Donc 1,82 G e G 2,23 .
Au 2 d. on a : 0,693 G G 0,694 .
Donc 1,9997 G e G 2,0018 .
On peut conjecturer que e = 2 , c’est-à-dire = ln ^2 h .
k=1
n
2 aire sous une parabole
à l’aide de trapèzes
Activité
Objectif : Aborder le calcul de l’aire de la surface sous la
courbe par la méthode des trapèzes en utilisant un algorithme, puis une méthode exacte.
1 Pour tout entier k entre 0 et n - 1 :
yM + yN
1
k 2
k + 1 2m
1
m
#
# cc m + c
=
2
n
2n
n
n
1
2
^ 2
h
k =
3 # k + ^k + 1 h .
2n
2 a. Pour tout entier k entre 0 et n - 1 , la droite ^MN h
k k+1
E.
est au-dessus de la parabole sur ; ;
n
n
Donc le trapèze ABNM contient la surface située sous la
parabole, l’axe des abscisses, et les droites d’équation
k
k+1
et x =
et x =
. On en déduit que Sn est une
n
n
valeur approchée par excès de .
b. On propose :
k =
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
ALGO
Variables :
n, k : entiers ; S : réel ;
Début :
Entrer(n) ;
S ! 0;
Pour k allant de 0 à n - 1 Faire
2
k2 + ^k + 1h
;
S ! S+
2n3
FinPour ;
Afficher(S) ;
Fin.
c. On obtient S10 = 0,335 et S100 = 0,33335 .
1
On conjecture que = .
3
3 a. Pour tout entier n H 1 :
n-1
n-1
n
1 ^ 2
k2
k2
2
h
+
+
=
/
^
h
Sn = /
k
k
1
3 + /
3
3
k = 0 2n
k = 0 2n
k = 1 2n
Sn =
n-1
0
k2
n2
.
3 +2 /
3 +
2n
2n3
k = 1 2n
Donc :
Sn =
b. Comme
n-1
/ k2 =
k=1
1
1
+ 3
2n
n
n-1
/ k2 .
k=1
n^n + 1h^2n + 1h
- n2 , on a :
6
1
1 n^n + 1h^2n + 1h
1
1
+ 3c
- n2 m =
+
.
2n
6
3
n
6n2
1
c. On en déduit que lim Sn = .
3
n "+3
Sn =
Activité
3 aire et primitives
Objectif : Relier la problématique du calcul d’une aire aux
calculs de primitives.
2+3
# 2 = 5 u. a .
2
x
2 + a + 2k
x2
2
2 Aire de OMNC =
#x =
+ 2x .
2
4
x
3 a. f ^ x h =
+ 2 . Donc la fonction F est la dérivée de
2
la fonction f .
22
0
+ 2 # 2 m - a + 0k = 5 .
b. F^2 h - F^1 h = c
4
4
1 Aire de OABC =
4 Fonction « aire sous
la courbe »
Activité
Objectif : Démontrer, dans le cas d’une fonction f continue
et croissante, que la fonction « aire sous la courbe » entre a
et x est la primitive de f qui s’annule en a.
1 ^a h = 0 .
^b h - ^ah est l’aire de S, en unités d’aire.
2 a. La fonction f est croissante sur 6t ; t + h @ .
Donc le domaine sous la courbe de f sur 6t ; t + h @
contient le rectangle inférieur de largeur h et de
longueur f ^ t h , et est contenu dans le rectangle supérieur de largeur h et de longueur f ^t + hh .
Comme ce domaine a pour aire ^t + hh - (t) (car
h 2 0 ), on a :
h # f ^ t h G ^t + hh - ^ t h G h # f ^t + hh .
b. La fonction f est croissante sur 6t + h ; t @.
Donc le domaine sous la courbe de f sur 6t + h ; t @
contient le rectangle inférieur de largeur ^- hh et de
longueur f ^t + hh , et est contenu dans le rectangle
supérieur de largeur ^- hh et de longueur f ^ t h .
Comme ce domaine a pour aire ^ t h - ^t + hh (car
h 1 0 ), on a :
^- hh # f ^t + hh G ^ t h - ^t + hh G ^- hh # f ^ t h .
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
3
^t + hh -^ t h
G f ^t + hh ;
h
^ h ^ hh
si h 1 0 , f ^t + hh G
G f ^ t h,
-h
^t hh ^t h
G f ^t h.
c’est-à-dire : f ^t + hh G
h
Comme la fonction f est continue en t,
lim f ^t + hh = f ^ t h .
c. Si h 2 0 , f ^ t h G
Savoir faire
Déterminer des primitives
4 a. Une primitive sur R de f est x
7
b. Une primitive sur @ 0 ; + 3 6 de g est :
x2
1
+ 2x - 2 .
x
2
2x
c. Une primitive sur @ 0 ; + 3 6 de h est x
3 4
x - x2 + 2x .
4
7
h"0
Par le théorème des gendarmes, la limite du taux d’accroissement de entre t et t + h , lorsque h tend vers 0,
est égale à f ^ t h .
Donc la fonction est dérivable en t et Al^ t h = f ^ t h .
x3
3 Une primitive de la fonction carrée est : x
.
3
Donc l’aire sous la parabole sur 60 ; 1 @ est :
1
F^1 h - F^0 h = .
3
7
Exercices d’application
76
x.
5 Les primitives de f sont les fonctions définies sur R
7
par x
ln ^1 + e x h + k .
Comme la courbe cherchée passe par le point A^0 ; 1h,
on a :
ln ^1 + e0h + k = 1 , soit k = 1 - ln ^2 h .
1 + ex m
+ 1.
La primitive cherchée est x
ln c
2
7
6 a. Une primitive sur R de f est x
72
b. Une primitive sur @ 0 ; + 3 6 de g est x 7
x2 + 1 .
1
^ln ^ x hh2 .
2
7 a. La dérivée de u u est :
ul
3
= ul u .
2
2 u
2
Donc une primitive de ul u est u u .
3
b. Une primitive sur @ 1 ; + 3 6 de x
x x2 - 1 est
1^ 2
x
x - 1h x2 - 1 .
3
ul # u + u #
Savoir faire Déterminer une
intégrale à partir de calculs d’aires
1
a.
#-02 f ^ x hdx = #--2 1 f ^ x hdx + #-01 f ^ x hdx
7
par la
relation de Chasles.
En utilisant l’aire d’un triangle et d’un carré, on obtient :
#-02 f ^ x hdx = 1 #2 1 + 12 = 23 .
t
b. Pour t ! 60 ; 1 @, on a # f ^ x hdx = 1 # t = t ;
0
Pour t ! 61 ; 2 @, on a :
2
1
#0 t f ^ x hdx = 1 + 1 +2 t # ^t - 1h = t +
.
2
2 a. y =
4x - x2
+*
y2 = 4x - x2
yH0
- 2+ 2 =
+ *^ x 2h y 4 .
yH0
On reconnaît l’équation du demi-cercle supérieur de
centre ^2 ; 0h et de rayon 2.
b. On a :
y
1
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
0
Donc
#0 4
3 a.
x
1
4x - x2 dx =
#01
4
#01 ^3x2 + 1hdx = 3 #01 x2 dx + #01 1dx
1
+ 1 # 1 = 2.
3
1
2
x dx = 1 - # x 2 dx = .
3
0
Livre du professeur - Chapitre 6
Savoir faire Calculer et utiliser
une intégrale
8 a.
#-33 ^ x - 1h2 dx = 9 13 ^ x - 1h3 C-3
3
1
1
^3 - 1h3 - ^- 3 - 1h3 = 24 .
3
3
b. La valeur moyenne est :
2
1
^ x 3 + x 2 - x + 1 h dx
#
n=
2 ^ 1h 1
=
2
=
1 ; x4
x3
x2
11
+
+ xE =
.
3 4
3
2
4
-1
9 x
7 x2 - 1 s’annule en 1 et en - 1, et est négative
sur 6- 1 ; 1 @.
Par la relation de Chasles :
#-22
x 2 - 1 dx =
=;
x3
x3 E
x3
- xE + ;x +;
- xE = 4.
3
3 -1
3
-2
1
-1
#--2 1 ^ x2 - 1hdx + #-11 ^1 - x2hdx + #1 2 ^ x2 - 1hdx
1
2
10 a. Soit la fonction F définie sur 60 ; 3 @ par :
1
# 22 r = 2r .
2
= 3#
b.
7
Calcul intégral
F^ x h = ^ax + bhe-x .
Pour tout réel x de 60 ; 3 @, F l^ x h = ^- ax + a - bhe-x .
-a = 1
, c’est-à-dire
Donc F est une primitive de f si )
a-b = 0
a =- 1
)
.
b =- 1
Ainsi F^ x h = ^- x - 1he-x .
b. En unités d’aire, l’aire du domaine jaune est :
#0
3
-3
f ^ x hdx = F^3 h - F^0 h = 1 - 4e .
Savoir faire Utiliser les propriétés
de l’intégrale
+
11 Pour tout réel x, cos2 x = 1 cos ^2x h .
cos ^2x h - 1
Donc cos x - 1 =
.
2
2
2
Donc
#0
r
4
2
^cos x - 1hdx =
r
#0
r
4
cos ^2x h - 1
dx
2
sin ^2x h
1
r
x 4
- .
=;
- E =
8
4
2 0
4
12 a. Pour le dénominateur, D =- 3 . Donc pour tout
réel x, x2 - x + 1 ! 0 .
1 - 2x
Donc la fonction x
est définie et
x2 - x + 1
continue sur 60 ; 1 @.
1
1
1 - 2x
On a : # 2
dx = 6- ln ^ x2 - x + [email protected] = 0 .
0 x -x+1
0
b. La fonction x
tan ^ x h est définie et continue sur
r
90 ; C . On a :
4
r
r
r
sin ^ x h
4
#0 tan ^ x hdx = #0 4 cos
dx = 6- ln ^cos ^ x [email protected]
^xh
2
m + ln ^1 h = 1 ln ^2 h .
=- ln c
2
2
7
7
13 Sur 60 ; 1 @ , on pose d^ x h =
x
1 + x - a1 + k .
2
1
1
1
1
#
=
- 1 m G 0 , car
d l^ x h =
2
2 c 1+x
2 1+x
0 G x G 1.
La fonction d est donc décroissante sur 60 ; 1 @.
Comme d^0 h = 0 , pour tout réel x de 60 ; 1 @, d^ x h G 0 .
On peut aussi remarquer que :
- x2 /4
d^ x h =
G 0.
x
1 + x + a1 + k
2
x
Donc 1 + x G 1 + . On en déduit que A G B .
2
Travaux pratiques
14 Étude de la série harmonique
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 Lire l’énoncé et fixer les notations
1 et 2 On obtient :
Il semble que la différence des deux suites devienne
presque constante.
2 Élaborer une démarche
1 Soit un entier n H 1 . Pour tout entier k entre 1 et
n - 1, la fonction inverse est décroissante sur l’intervalle 6k ; k + 1 @. Donc pour tout réel x de 6k ; k + 1 @ :
1
1
1
G
G .
x
k
k+1
En intégrant chaque membre des inégalités entre k et
k+1 1
1
1
k + 1 , on a :
dx G .
G #
x
k
k
k+1
2 Pour tout entier n H 1 ,
dn + 1 - dn = ^hn + 1 - ln ^n + 1hh - ^hn - ln ^nhh
1
=
- ln ^n + 1h + ln ^nh .
n+1
Or d’après la question 1 ,
1
1
G ln ^n + 1h - ln ^nh G .
n
n+1
1
1
Soit - G ln ^nh - ln ^n + 1h G .
n
n+1
1
1
1
1
Donc
.
G dn + 1 - dn G
n
n+1
n+1
n+1
On en déduit que dn + 1 - dn G 0 .
Donc la suite d est décroissante.
3 Pour tout entier n H 1 , par la relation de Chasles, on a :
#1 n 1x dx = #1 2 1x dx + #2 3 1x dx + f + #n n- 1 1x dx .
2 1
1
Or par la question 1 ,
dx G 1 ,
G #
2
1 x
3 1
1
1
G #
dx G ,
3
2
2 x
…,
n
1
1
1
.
G #
dx G
n
n-1 x
n-1
En sommant membres à membres ces inégalités, on
obtient :
n 1
1
1
1
1
1
+ +f+
dx G 1 + + f +
.
G #
2
3
2
n
1 x
n-1
Donc :
n 1
n 1
1
1
1
1
+#
dx G 1 + + + f +
G 1+ #
dx.
n
n
2
3
1 x
1 x
1
+ 6ln ^ x [email protected] G hn G 1 + 6ln ^ x [email protected] .
Donc :
n
1
Donc en soustrayant ln ^nh , on a :
G dn G 1 .
n
4 La suite d est décroissante, et minorée par 0 (d’après
la question 3 ). Donc la suite d converge.
15 Mouvement d’un solide en chute libre
1 ◗ La fonction v est la primitive de a telle que v^0 h = 3 .
Comme v l^ t h =- 10 , v^ t h =- 10 # t + k , où k est un
réel.
Comme v^0 h = 3 , on a k = 3 .
Donc v^ t h =- 10t + 3 .
◗ La fonction z est la primitive de v telle que z^0 h = 1 .
t2
+ 3t + k , où k
Comme z l^ t h = v^ t h , z^ t h =- 10 #
2
est un réel.
Comme z^0 h = 1 , on a k = 1 .
Donc z^ t h =- 5t2 + 3t + 1 .
Livre du professeur - CHAPITRE 6
Calcul intégral
5
2 On résout z^ t h = 0 , avec t H 0 .
3 a. En B4, on entre =(1-EXP(-A3))/A3-B3.
- 3 - 29
3 + 29
=
D = 29 ; t1 =
. 0,839
10
- 10
3 - 29
et t2 =
. - 0,239 .
10
Donc la bille atteint le sol au bout de t0 . 0,839 s.
b. On conjecture que la suite u converge vers 0.
16 Étude d’une suite définie par une intégrale
1 a. En utilisant la relation de Chasles :
b. u1 =
#0
n "+3
1-e
c. Par la question 4 a., 0 G un G
n
2
m
1 + e-1
2e
2
m = 1 + ln c
m.
1+e
1+e
2
1+e k
m = ln a
Donc u0 = 1 - u1 =- ln c
.
2
+
1 e
2 a. Pour tout entier n H 1 , en utilisant la relation de
Chasles :
1 e-^n + 1 hx
1
e-nx
un + 1 + un = #
dx + #
dx
x
0 1+e
0 1 + e-x
1 e-^n + 1 hx + e-nx
1 e nx ^e x + 1 h
= #
=
#
dx
d
x
0
0
1 + e-x
1 + e-x
= ln c
-nx 1
#01 e-nx dx = ; e- n
E = 1 e .
n
0
-1
1-e
= 1 - e-1 .
◗ On a : u2 + u1 =
1
2
m - e-1
Donc u2 = 1 - e-1 - u1 =- ln c
1+e
1+e k
= ln a
- e-1 .
2
1 - e-2
◗ On a : u3 + u2 =
. Donc :
2
1 - e-2
e-2
1+e k
1
- u2 =
+ e-1 - ln a
.
u3 =
2
2
2
2
b. La valeur initiale affectée dans u n’est pas correcte, et
il manque le calcul de u1 . Dans la boucle « Tant Que », il
manque le retrait de u, et la variable i doit être remplacée
par i - 1 . Ainsi, on propose :
=
-n
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
FinSi ;
Fin.
6
G
1
.
n
1
Pour avoir un G 0,1 , il suffit donc que
G 0,1 , c’est-àn
dire n H 10 .
Donc pour n H 100 , on est sûr que un G 0,1 .
17 Formule de Simpson et calcul approché
d’intégrale
1-0
1
1 a. IS =
9 f ^0 h + 4f a k + f ^1 hC
6
2
1
4
1
47
=
+
=
1+
. 0,783 .
6>
2H
60
1 2
1 +a k
2
b. Pour tout réel x de 60 ; 1 @, on obtient par un logiciel de
calcul formel :
f ^xh =
1
;
1 + x2
g^ x h = f l^ x h =
- 2x
;
^1 + x2h2
h^ x h = f ll^ x h =
2^3x2 - 1h
;
^1 + x2h3
k^ x h = f ^3 h^ x h =
m^ x h = f ^4h^ x h =
Donc ml^ x h =
ALGO
Variables :
n, i : entiers ; u : réel ;
Début :
Entrer (n) ;
1+e k
u ! ln a
2
Si n H 1 alors u ! ln c
lim n =+ 3 . Donc par
n "+3
-n
1
e-x
dx = 6- ln ^1 + e-x [email protected]
1 + e-x
=- ln ^1 + e-1h + ln ^1 + 1h = ln c
lim 1 - e-n = 1 et
n "+3
Donc par le théorème des gendarmes, lim un = 0 .
-x
1
e
#01 11 +
dx = # 1dx = 1 .
0
+ e-x
1
b. On a
1 - e-n
= 0.
n
n "+3
#01 1 +1e-x dx + #01 1 +e e-x dx
=
1 - e-n
.
Donc par la question 2 a., 0 G un G
n
quotient lim
-x
u0 + u1 =
4 a. Pour tout entier n, un + 1 H 0 .
24x^1 - x2h
;
^1 + x2h4
24^5x 4 - 10x2 + 1h
.
^1 + x2h5
240x^3 - x2h^3x2 - 1h
.
^1 + x2h6
D’où le tableau de variations de la fonction f ^4h , dérivée
d’ordre 4 de f :
x
2
m + 1;
e+1
Pour i allant de 2 à n faire
1 - e-^i - 1h
-u
u!
i-1
FinPour ;
Afficher(u) ;
Livre du professeur - Chapitre 6
1
3
0
ml^ x h 0
24
^4 h
f ^xh
-
0
1
+
-3
- 10,125
On en déduit que le maximum de f ^4h sur 60 ; 1 @ est
24. Donc M4 = 24 .
c. Un majorant de l’erreur commise en approchant I par
1 # M4
1
=
. 0,0084 .
IS est donc
2 880
120
Calcul intégral
2 a. On obtient :
25 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Faux.
Utiliser la définition
26 1 M^ x ; y h ! +
y = f ^xh
2+ 2
+ x y = 1 et y H 0 .
Donc est le demi-cercle supérieur de centre O et de
rayon 1.
#01 f ^ x hdx
est l’aire du demi-disque de centre O et
1
r
de rayon 1, en u.a. Donc # f ^ x hdx = .
2
0
2
27 En utilisant les formules d’aires de triangles,
Une valeur approchée de I est 0,785 381 63 .
b. En utilisant le tableau de variations de f ^4h à la ques1
tion 1 b. et que
. 0,57 , on obtient :
3
Majorant
Intervalle
f ^4h ^ xi h
f ^4h ^ xi + 1h
de f ^4h
6 xi ; xi + [email protected]
24
20,56
24
[0 ; 0,1]
20,564
11,99
20,564
[0,1 ; 0,2]
11,994
2,19
11,994
[0,2 ; 0,3]
2,19
–5,394
5,394
[0,3 ; 0,4]
–5,39
–9,339
9,339
[0,4 ; 0,5]
–9,339
–10,07
10,125
[0,5 ; 0,6]
–10,07
–8,82
10,07
[0,6 ; 0,7]
–8,822
–6,78
8,822
[0,7 ; 0,8]
–6,782
–4,71
6,782
[0,8 ; 0,9]
–4,719
–3
4,719
[0,9 ; 1]
L’écart entre I et la valeur obtenue à la question 1 a. est
^ xi + 1 - xih5
# M46 xi ; xi+1 @ ,
majorée par la somme des
2 880
c’est-à-dire :
^0,1h5 # 24
^0,1h5 # 20,564
^0,1h5 # 4,719
+
+f+
,
2 880
2 880
2 880
qui est majorée par 4 # 10-7 .
Faire le point
21 1 b. et c.
5 b.
22 1 Faux.
2 a. et b.
6 a.
2 Vrai.
3 b.
7 c.
3 Faux.
4 a. et c.
8 b.
4 Faux.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 intégrale d’une fonction continue
et positive
24 1 Vrai.
2 b.
2 Vrai.
#1 3 f ^ x hdx = 2 # 2 = 4 .
Par la relation de Chasles,
# 3 f ^ x hdx = # -1 f ^ x hdx +
-4
28 1
-4
#-22 f ^ x hdx = 4 # 2 -
3 c.
3 Faux.
4 Vrai.
5 Vrai.
#-11 f ^ x hdx + #1 3 f ^ x hdx = 16.
r # 22
= 8 - 2r .
2
#-33 f ^ x hdx = #--3 2 f ^ x hdx + #-22 f ^ x hdx + #2 3 f ^ x hdx
2 a.
=
5
23
+ ^8 - 2rh + 1 =
- 2r .
2
2
y
g
1
0
b.
x
1
#-33 g^ x hdx = #-33 f ^ x hdx + 6 # 2 =
29 1 On a :
Exercices d’application
23 1 a. et c.
rectangle et trapèze, on a :
#--4 1 f ^ x hdx = 3 #2 4 = 6 ;
#-11 f ^ x hdx = 2 +2 4 # 2 = 6 ;
47
- 2r .
2
y
1
0 1
x
2 ◗ Sur 60 ; r @ , la fonction f est affine et croissante.
Comme f ^0 h = 0 , la fonction f est continue et positive
sur 60 ; r @.
◗ De la même façon, la fonction f est continue et positive sur @ r ; 2r 6 .
◗ De plus f ^rh = r et lim f ^ x h =- r + 2r = r .
x "r
x 2r
Donc la fonction f est continue en r , et donc sur
60 ; 2r 6 . Comme elle est périodique de période 2r , elle
est continue sur R.
r
r#r
r2
3 # f ^ x h dx =
=
;
2
2
0
2
2
#0 2r f ^ x hdx = r2 + r2 = r2 .
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
7
4 Par 2r -périodicité,
Donc
#-02r f ^ x hdx = #0 2r f ^ x hdx .
#-22rr f ^ x hdx = 2r2 .
De même :
#-34rr f ^ x hdx = #--4r2r f ^ x hdx + #-22rr f ^ x hdx + #2r3r f ^ x hdx
= r2 + 2r2 +
r2
7r2
=
.
2
2
encadrer une intégrale
le rectangle inférieur de longueur 1 et de largeur 1, et
est contenu dans le rectangle supérieur de longueur 2
et de largeur 1.
On en déduit la comparaison des aires, en u.a. :
soit :
1G
#01 f ^ x hdx G 1 # 2 ,
3 En observant le calcul de n , on constate que :
1
1 # n1 + 5 # n2h .
6^
Donc n est la moyenne pondérée de n1 et n2 , affectés
respectivement des coefficients 1 et 5.
#01 f ^ x hdx G 2 .
n=
2 De même, on obtient :
0G
#--2 1 f ^ x hdx G 3 ;
2G
#-01 f ^ x hdx G 3 ;
0,5 G
#1
2
2 intégration et primitives
f ^ x h dx G 1 ;
34 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Vrai.
3 Par la relation de Chasles,
35 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
#-42 f ^ x hdx = #--2 1 f ^ x hdx + #-01 f ^ x hdx
36 1 b.
2 a.
3 b.
0G
#2 4 f ^ x hdx G 0,5 .
1
+ # f ^ x h dx +
0
#1 2 f ^ x hdx + #2 4 f ^ x hdx .
En sommant membre à membre les inégalités des questions précédentes, on obtient :
3,5 G
4
#-2 f ^ x hdx G 9,5 .
31 En utilisant deux trapèzes de hauteur 5, on a :
1+3
#5 G
2
Donc 10 G
#0 5 f ^ x hdx G
1+4
# 5.
2
#0 5 f ^ x hdx G 12,5 .
32 La fonction f est affine et positive sur 61,5 ; + 3 6 .
◗ La valeur moyenne de f sur 62 ; 5 @ est :
1
# 5 f ^ x h dx .
n1 =
5-2 2
En utilisant l’aire d’un trapèze, on a :
f ^2 h + f ^5 h
1
#
# ^5 - 2h = 4 .
n1 =
3
2
◗ La valeur moyenne de f sur 610 ; 20 @ est :
20
1
#
n2 =
f ^ x h dx .
20 10 10
En utilisant l’aire d’un trapèze, on a :
f ^10h + f ^20h
1
#
# ^20 - 10h = 27 .
n2 =
10
2
8
Livre du professeur - Chapitre 6
Utiliser des représentations graphiques
37 La fonction f est la dérivée de ses primitives.
Comme f est négative sur @ - 3 ; - 1 @ et positive
sur 6- 1 ; + 3 6 , ses primitives sont décroissantes sur
@ - 3 ; - 1 @ , et croissantes sur 6- 1 ; + 3 6 .
Les courbes 1 et 2 ne représentent donc pas des
primitives de f . Par élimination, la courbe 3 représente
une primitive de f .
38 La fonction f est la dérivée de la fonction F.
Valeur moyenne
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1
# 4 f ^ x h dx .
4 - ^- 2h -2
1 1+4
1+3
25
#1+
# 5k =
= a
.
6
2
2
12
La moyenne (arithmétique) de n1 et n2 est :
2,5 + 2
= 2,25 .
2
Donc n n’est pas la moyenne (arithmétique) de n1 et n2 .
2 n=
30 1 Sur 60 ; 1 @ , le domaine sous la courbe contient
1#1 G
-1
1
#
f ^ x h dx
- 1 - ^- 2h 2
1+4
# 1 = 2,5 ;
=
2
4
1
#
f ^ x h dx
n2 =
4 - ^- 1h -1
1
1+3
#
# 5 = 2.
=
5
2
33 1 n =
1
Calcul intégral
Par lecture graphique, on obtient le tableau suivant :
0
x
6
-3
+3
f ^ x h = F l^ x h
+
0
+
0
-
F (x)
a. Faux.
b. Faux.
c. Vrai.
Utiliser la définition
39 a. Pour tout réel x,
3x2
2x
+
- 6 = x2 + x - 6 .
3
2
En développant, f ^ x h = x2 + 3x - 2x - 6 = F l^ x h .
Donc F est une primitive de f sur R.
F l^ x h =
b. Pour tout réel x,
F l^ x h = 1e3x + x^3e3x h = ^1 + 3x he3x = f ^ x h .
Donc F est une primitive de f sur R.
c. Pour tout réel x,
2x
- 2x
F l^ x h = ^2x h # ln ^ x2 + 1h + ^ x2 + 1h # 2
x +1
= 2x ln ^ x2 + 1h + 2x - 2x = f ^ x h .
Donc F est une primitive de f sur R.
40 1 Pour tout réel x 2 0 ,
1
- 1 = ln ^ x h .
x
2 La primitive de ln qui prend la valeur 0 en 1 est définie
sur @ 0 ; + 3 6 par :
F^ x h = x ln ^ x h - x + k avec F^1 h = 0 .
Donc : 1 ln ^1 h - 1 + k = 0 , soit k = 1 .
Donc :
F^ x h = x ln ^ x h - x + 1 .
f l^ x h = 1 # ln ^ x h + x #
41 1 La fonction f est définie par :
x si x H 0
f ^xh = )
.
- x si x 1 0
Donc f n’est pas dérivable en 0.
2x
2 Pour tout réel x H 0 , F l^ x h =
= x = f ^ x h.
2
2x
=- x = f ^ x h .
Pour tout réel x 1 0 , F l^ x h =2
Donc F est une primitive de f sur R.
3 Les primitives de f sur R sont les fonctions
x
F^ x h + k , où k est un réel.
Comme on cherche celle qui s’annule en 1, k vérifie :
1
1
+ k = 0 , soit k =- .
F^1 h + k = 0 , c’est-à-dire
2
2
La primitive cherchée est donc la fonction définie sur R
1
par x
F^ x h - .
2
7
7
42 1 Pour tout réel x ! 60 ; 2 6 , F l^ x h = f ^ x h .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
◗ Ainsi pour tout réel x ! 60 ; 16 , F l^ x h = 0 . La fonction F
est donc constante sur 60 ; 16 .
Comme F^0 h = a , pour tout réel x ! 60 ; 16 , on a :
F^ x h = a .
◗ Pour tout réel x ! 61 ; 2 6 , F l^ x h = 1 .
Donc il existe une constante k telle que pour tout réel
x ! 61 ; 2 6 , F^ x h = x + k .
Or la fonction F est continue sur 60 ; 2 6 , car dérivable sur
60 ; 2 6 .
Donc F^1 h = a = 1 + k . Ainsi k = a - 1 .
Donc pour tout réel x ! 61 ; 2 6 , F^ x h = x + a - 1 .
F^ x h - F^1 h
a - ^1 + a - 1h
2 ◗ Sur 60 ; 16 ,
=
= 0.
x-1
x-1
F^ x h - F^1 h
= 0.
Donc lim
x-1
x "1
x 11
◗ Sur @ 1 ; 2 6 ,
F^ x h - F^1 h
x+a-1-a
=
= 1.
x-1
x-1
F^ x h - F^1 h
= 1.
Donc lim
x-1
x "1
x 21
La fonction F n’est donc pas dérivable en 1.
Il y a donc contradiction avec le fait que F soit une primitive de f . Donc la fonction f n’admet pas de primitive.
Détermination de primitives
43 1 Une primitive sur R de la fonction donnée est
définie par exemple par :
x4
- x2 + 2x .
4
2 Une primitive sur @ - 3 ; 0 6 ou @ 0 ; + 3 6 de la fonction donnée est définie par exemple par :
x2
1
+ 2x - 2 .
F^ x h =
2
2x
F^ x h =
44 1 Une primitive sur R de la fonction donnée est
définie par exemple par :
3 2
x - x.
2
2 Une primitive sur @ - 3 ; 0 6 ou @ 0 ; + 3 6 de la fonction donnée est définie par exemple par :
4
F ^ x h = e 3x - x .
3
F^ x h = 3e x +
45 1 Pour tout réel x ! 0 ,
4
2
3x2 + 4x - 2
3
= 2 + 3 - 4 .
x4
x
x
x
Une primitive sur @ - 3 ; 0 6 ou sur @ 0 ; + 3 6 est définie
par exemple par :
3
4
2
3
2
2
=- - 2 + 3 .
F^ x h =- +
x
x
- 2x2
- 3x3
3x
x
ul
2 On reconnaît une forme 2 , où u ne s’annule pas .
u
Une primitive sur R est définie par exemple par :
-1
.
F^ x h = 2
x +2
46 1 On reconnaît la forme 1 ul # u3 .
2
Une primitive sur R est définie par exemple par :
1
1
1
# ^2x + 3h4 = ^2x + 3h4 .
F^ x h =
2
4
8
1
2 On reconnaît la forme
ul # u2 .
4
Une primitive sur R est définie par exemple par :
3
3
1
1
1 ^ 4
# ^ x 4 - 1h =
x - 1h .
F^ x h =
4
3
12
47 1 On reconnaît la forme ul .
u
Une primitive sur @ 0,5 ; + 3 6 est définie par exemple
par :
F^ x h = 2 2x - 1 .
1
ul
2 On reconnaît la forme
# 2 , où u ne s’annule pas
2
u
sur R.
Une primitive sur R est définie par exemple par :
-1
1
# 2
.
F^ x h =
2
x + 2x + 2
48 1 On reconnaît la forme ul , où u est strictement
u
positive sur R .
Une primitive sur R est définie par exemple par :
F^ x h = ln ^ x2 + 2h .
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
9
ul
, sur un intervalle où u ne
u
s’annule pas.
r
r
+ kr ;
+ kr 9 , où k ! Z , est
Une primitive sur C 2
2
définie par :
F^ x h =- ln cos ^ x h .
2 On reconnaît la forme -
49 1 On reconnait la forme 3 ul # eu .
2
Une primitive sur R est définie par exemple par :
3 2
F^ x h = e x .
2
7 ul
2 On reconnaît la forme
.
3 u
1
◗ Sur C ; + 3 9 , une primitive est définie par exemple
3
7
par :
F^ x h = ln ^3x + 1h .
3
-7
7
1
=
. Une primitive
◗ Sur C - 3 ; - 9 ,
- 3x - 1
3
3x + 1
est définie par exemple par :
7
F^ x h = ln ^- 3x - 1h .
3
50 1 On reconnaît la forme ul # u .
Une primitive sur @ 0 ; + 3 6 est par exemple définie par :
1
2
F^ x h = ^ln ^ x hh .
2
ul
2 On reconnaît la forme
.
u
Une primitive sur @ 0 ; 16 ou sur @ 1 ; + 3 6 est définie par
exemple par :
F^ x h = ln ^ ln ^ x h h .
51 a. On reconnaît la forme 1 # ul .
4
2
u
Les primitives sur @ 0 ; + 3 6 de f sont définies par :
-1
1
1
1
#
# 2
+k =
F^ x h =
3 + k,
2+
-3
2
^ x + 2x h3
^
6 x
2x h
où k est un réel.
1
ul
#
.
b. On reconnaît la forme
2
u
Les primitives sur R de g sont définies par :
1
G^ x h = ln ^ x2 - 1h + k , où k est un réel.
2
52 1 Les primitives de f sur R sont les fonctions
7
54 1 En développant,
f ^ x h = cos ^ x h # ^sin ^ x hh2 + cos ^ x h # sin ^ x h .
En utilisant la forme ul # u n , les primitives de f sur R
1
1
sont les fonctions x
^sin ^ x hh3 + 2 ^sin ^ x hh2 + k ,
3
où k est un réel.
r
1
1
1
+ + k = 1 , soit k = .
Comme F a k = 1 , on a :
2
3
2
6
1
1
1
Donc :
F^ x h = ^sin ^ x hh3 + ^sin ^ x hh2 + .
3
2
6
l
u
2 En utilisant la forme
, où u ne s’annule pas
u
sur R, les primitives de f sur R sont les fonctions
- x + ln ^2 + cos ^ x hh + k , où k est un réel.
x
Comme F^0 h = 1 + ln ^3 h , on a :
ln ^2 + 1h + k = 1 + ln ^3 h , soit k = 1 .
Donc :
F^ x h =- x + ln ^2 + cos ^ x hh + 1 .
7
7
55 1 En utilisant la dérivée d’un produit, on obtient :
u
ul
= ul # c u +
m
2 u
2 u
1
3
= ul # a u +
u k = ul u .
2
2
l
2
2 Par la question précédente : c u u m = ul u .
3
2
Donc une primitive sur I de ul u est la fonction u u .
3
Donc les primitives sur I de ul u sont les fonctions
2
u u + k , où k est un réel.
3
3 a. f = ul u , où u^ x h = 2x + 3 .
Donc les primitives sur I de f sont les fonctions
2
^2x + 3h 2x + 3 + k, où k est un réel.
x
3
1
b. f = ul u , où u^ x h = x2 + 3 .
2
Donc les primitives sur I de f sont les fonctions
1
2
# ^ x2 + 3h x2 + 3 + k
x
2
3
1
= ^ x2 + 3h x2 + 3 + k , où k est un réel.
3
c. f = ul u .
Donc les primitives sur I de f sont les fonctions
2^
x
1 + e x h 1 + e x + k , où k est un réel.
3
^u u hl = ul # u + u #
7
7
x
x2 - 5x + k , où k est un réel.
Comme F^0 h = 1 , on a : 02 - 5 # 0 + k = 1 , soit k = 1 .
Donc F^ x h = x2 - 5x + 1 .
2 Les primitives de f sur R sont les fonctions
x
e x + k , où k est un réel.
Comme F^2 h = 0 , on a : e2 + k = 0 , soit k =- e2 .
Donc :
F^ x h = e x - e2 .
avec transformation d’écriture
53 1 Les primitives de f sur R sont les fonctions
56 1 Pour tout réel x ! 1 ,
7
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
3
Comme F^- 1h = 3 , on a : ^- 1h + 2^- 1h + k = 3 , soit
k = 6.
Donc :
F^ x h = x3 + 2x + 6 .
x2
- sin ^ x h + k , où k est un réel.
x
8
r2
r
- 1 + k = 0,
Comme F a k = 0 , on a :
32
2
r2
.
soit k = 1 32
r2
x2
- sin ^ x h + 1 .
Donc :
F^ x h =
8
32
2 Les primitives de f sur R sont les fonctions
x
x3 + 2x + k , où k est un réel.
7
7
10
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
7
a^ x - 1h + b
ax + ^- a + bh
a
b
=
.
2 +
3 =
3
^ x - 1h
^ x - 1h
^ x - 1h
^ x - 1h3
Par identification des coefficients avec f ^ x h , on a :
a = 2 et b = 5 .
2 Une primitive de f sur @ - 3 ; 16 est par exemple
définie par :
-2
-5
+
F^ x h =
2 .
x 1
2^ x - 1h
57 1 Pour tout réel x ! 1 ,
2
x^ x + 1h - 3
x^ x2 + 2x + 1h - 3
3
=
2 =
2
^ x + 1h
^ x - 1h
^ x + 1h2
x3 + 2x2 + x - 3
=
= f ^ x h.
^ x + 1h2
2 Les primitives de f sur @ - 1 ; + 3 6 sont les fonctions
x2
3
+
+ k , où k est un réel.
x
2
x+1
Comme F^0 h =- 1 , on a : 0 + 3 + k =- 1 , soit k =- 4 .
x2
3
+
- 4.
Donc :
F^ x h =
2
x+1
x-
7
2
2
et
b. Par la question précédente, #
dt H # 1dt .
0 t+1
0
Donc f ^2 h H 2 .
0
et
3 f ^0 h = #
dt = 0 . Ainsi 0 G 1 G f ^2 h .
+
0 t
1
La fonction f est continue (car dérivable), strictement
croissante sur 60 ; 2 @, et d’intervalle-image 60 ; f ^2 [email protected],
contenant 1.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f ^ x h = 1 admet une unique solution c dans 60 ; 2 @.
primitives et intégrales
62 a. I =
58 1 Pour tout réel x,
e x - ^1 + e x h
-1
ex
-1 =
=
= f ^ x h.
x
1+e
1 + ex
1 + ex
ul
2 On reconnaît la forme
, où u ne s’annule pas sur R .
u
Les primitives de f sur R sont les fonctions
x
ln ^1 + e x h - x + k , où k est un réel.
Comme F^0 h = 0 , on a : ln ^1 + 1h - 0 + k = 0 , soit
k =- ln ^2 h .
1 + ex m
- x.
Donc : F^ x h = ln ^1 + e x h - x - ln ^2 h = ln c
2
b. I =
=
#01 2e x dx = 62e x @10 = 2e1 - 2e0 = 2e - 2 .
#2 5 t^t2 - 4hdt = 9 14 ^t2 - 4h2 C2
5
2
2
1^ 2
1
441
.
5 - 4h - ^22 - 4h =
4
4
4
7
Fonction x
7 #a
x
f ^ t hdt ,
où f est continue positive
59 1 La fonction t
7
1
t2 + 1
est continue sur
7
60 a. La fonction f est dérivable sur 60 ; + 3 6 et pour
2
tout réel x H 0 , f l^ x h = e-x 2 0 .
Donc la fonction f est strictement croissante sur
60 ; + 3 6 .
b. La fonction f est dérivable sur 6- 4 ; 4 @, et pour tout
réel x ! 6- 4 ; 4 @, f l^ x h = 16 - x2 H 0 .
Donc la fonction f est croissante sur 6- 4 ; 4 @.
ex
2 0 . Donc
x+1
la fonction f est strictement croissante sur 60 ; + 3 6 .
2 a. Pour tout réel t H 0 ,on pose d^ t h = et - ^t + 1h .
On a : d l^ t h = et - 1 H 0 sur 60 ; + 3 6 .
Donc la fonction d est croissante sur 60 ; + 3 6 . Comme
d^0 h = 0 , pour tout réel t H 0 , d^ t h H 0 .
et
- 1 H 0,
Alors en divisant par 1 + t 2 0 , on a :
t+1
et
soit
H 1.
t+1
61 1 Pour tout réel x H 0 , f l^ x h =
#0 2
2
1
1
4x + 1 C
dx = 9
2
0
4x + 1
1
4#2+1 4 # 0 + 1 = 1.
2
1
2
3
3
2
b. I = #
dx = 62 ln ^ x + [email protected]
-1 x + 2
-1
= 2 ln ^5 h - 2 ln ^1 h = 2 ln ^5 h .
=
6- 1; + 3 6 .
Donc la fonction f est dérivable sur 6- 1; + 3 6 , et pour
1
tout réel x H - 1 , f l^ x h = 2
.
x +1
Plus précisément, f est la primitive sur 6- 1; + 3 6 de la
1
fonction t
qui s’annule en - 1 .
t2 + 1
2 Pour tout réel x , f l^ x h 2 0 . Donc la fonction f est
strictement croissante sur 6- 1; + 3 6 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
63 a. I =
64 a. I =
#2 4 x^ x2 - 1hdx = 9 14 ^ x2 - 1h2 C2
4
2
2
1^ 2
1
4 - 1h - ^22 - 1h = 54 .
4
4
5
-2 5
4
E
b. I = #
dx = ;
2
1 ^2x + 1 h
2x + 1 1
-2
2
16
=
+
=
.
11
3
33
=
65 1 Pour tout réel x ! 60 ; 1 @ ,
^ x - 2h^ x + 2h + 4
4
=
+
x 2
x+2
2- +
x
4 4
x2
=
=
.
x+2
x+2
1
4
2 I = # cx - 2 +
m dx
0
x+2
x-2+
=;
1
x2
- 2x + 4 ln ^ x + 2hE
2
0
1
= a - 2 + 4 ln ^3 hk - ^0 - 0 + 4 ln ^2 hh
2
-3
3
=
+ 4 ln a k .
2
2
66 1 F l = f . Par lecture graphique, la fonction F est
croissante sur 60 ; 2 @, décroissante sur 62 ; 4 @, et croissante sur 6 4 ; + 3 6 .
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
11
Donc la fonction f est positive sur 60 ; 2 @ et 6 4 ; + 3 6 , et
négative sur 62 ; 4 @.
2
#0 2 f ^ x hdx = F^2h - F^0h = 5 - 0 = 5 .
3 On a :
#0 2 f ^ x hdx = G^2h - G^0h.
Donc G^2 h - 1 = 5. Donc G^2 h = 6 .
3
1
k dx = 6 x2 + ln ^ x [email protected]
x
= 8 + ln ^3 h .
0
1 ^ 2
1
b. I = 9 ln t - 1 hC- =- ln ^0,75h
0,5
2
2
1
4
= ln a k .
2
3
76 a. I =
#1 3 a2x +
Calculs d’aires
3 intégrale d’une fonction continue
de signe quelconque
67 1 Faux.
2 Vrai.
3 Faux.
68 1 Faux.
2 Faux.
3 Vrai.
#a b ^- f ^ x hhdx
est égal à l’aire du domaine sous la
courbe de - f sur 6a ; b @.
Or la courbe représentative de - f est la symétrique de
par rapport à l’axe des abscisses.
#a b ^- f ^ x hhdx est égal à l’aire du domaine compris
69 a. Vrai.
b. Vrai.
c. Vrai.
d. Faux, il s’agit d’un minimum local en x = 1 .
Donc
Calculs d’intégrales
Donc I =- # ^- f ^ x hdx h est égal à l’opposé de l’aire du
70 ◗
◗
◗
#2
4
#0
r
2
a
#-31 x^ x2 - 1hdx = 9 14 ^ x2 - 1h2 C-1
3
2
2
1^ 2
1
2
3 - 1h - ^^- 1h - 1h = 16 .
4
4
-1 4
x
1
#
=
x
d
E
;
2
2
2
x -1 2
^ x2 - 1h
-1
1
2
=
+
=
.
15
2 # 15
2#3
1
^sin ^ x hh2 C02
2
1
1
=
-0 = .
2
2
8
= .
2
3
-1
1 x2 -1
1
1 25
b. I = 9 e C- = e - e .
5
2
2
2
3
#-81 f ^ x hdx = #-21 f ^ x hdx + #2 5 f ^ x hdx + #5 8 f ^ x hdx
=
-1
-1
-1
5
=
.
E = - -24
4
24
4^ x - 2h -4
sin ^3x h
E = 0.
3
0
r
-1
0
Une primitive sur R de f étant définie par
x4
+ 2x3 + 4x2 , on obtient que :
F^ x h =2
19
3
+ + 64 = 75 .
=
2
2
79 L’aire de la surface colorée, en unité d’aire, est :
2
0
1
1
b. I = 9 ln ^2x + 1hC =- ln ^5 h .
2
2
2
1
=
#-21 ^^2 - x2h - ^- x hhdx = #-21 ^- x2 + x + 2hdx
= ;-
2
x3
x2
+
+ 2x E
3
2
-1
-1
8
4
1
9
= c- +
+ 4 m - a+ - 2k = .
3
2
3
2
2
2
74 a. I = 6 x2 + 1 @1=
5 - 2.
3
1
1
1
b. I = 9 e3x + 3 C- = e12 - .
3
3
3
1
80 On trace les courbes
5
75 a. I = 9 1 ^2x + 1h4 C = 1830 .
-1
8
3
t
b. I = 6ln ^e + [email protected] = ln ^e3 + 1h - ln ^2 h
e3 + 1 m
= ln c
.
2
Livre du professeur - Chapitre 6
3#2
3#2
3#3
9
+
= .
2
2
2
2
-2
1
2
73 a. I = 9 1 ^ln ^ t hh2 C = 1 ^ln ^2 hh2 .
12
c
- 2x3 + 6x2 + 8x =- 2x^ x + 1h^ x - 4h .
La fonction f représentée par la courbe est donc
positive sur @ - 3 ; - 1 @ , 60 ; 4 @, et négative sur
6- 1 ; 0 @ , 6 4 ; + 3 6 .
Donc, en unité d’aire, l’aire de la surface colorée est :
0
4
-1
= # f ^ x h dx - # f ^ x h dx + # f ^ x h d x .
1
2
a
3 Par la relation de Chasles,
78 Pour tout réel x,
3
71 a. I = ; x + 3 x2 + x E
b. I = ;
domaine compris entre la courbe , l’axe des abscisses,
et les droites verticales d’équation x = a et x = b .
2 Par la relation de Chasles,
b
c
I = # f ^ x hdx + # f ^ x hdx = 1 - 2.
r
cos ^ x h sin ^ x hdx = 9
72 a. I = ;
entre la courbe , l’axe des abscisses, et les droites verticales d’équation x = a et x = b .
b
=
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
77 1 La fonction - f est positive sur 6a ; b @ . Donc
1 et 2 d’équations
respectives
1
2x
y = 2 et y =
x
1 + x2
à la calculatrice :
Calcul intégral
Pour tout réel x ! 0 , on pose d^ x h =
1
2x
.
1 + x2
x2
^1 - x h^2x2 + x + 1h
. D’où le tableau de
x2 ^1 + x2h
signes de d^ x h sur R) :
Alors f ^ x h =
x
0
-3
1-x
2x 2 + x + 1
+
+
x2
+
1 + x2
d^ x h
1
+3
+ 0 +
+
0
+
+
+
+
+
+
+ 0 -
Donc 1 est en-dessous de 2 sur 61 ; + 3 6 , donc sur
61 ; 2 @.
L’aire de la surface délimitée par les courbes 1 et 2,
et la droite d’équation x = 2 , en unités d’aire, est donc
égale à :
2
#1 2 c 1 +2xx2 - x12 m dx = 9ln ^1 + x2h + 1x C1
= aln ^5 h +
1
5
1
k - ^ln ^2 h + 1h = ln a k - .
2
2
2
81 1 Pour tout réel x 2 0 , on pose d^ x h = f ^ x h - g^ x h .
-4
4
d^ x h = x
cx
m = 2 1 0 . Donc la courbe f
x2
x
est en-dessous de la courbe gsur @ 0 ; + 3 6 .
2 Soit t H 1 . On a :
t
t 4
A^ t h = # ^g^ x h - f ^ x hhdx = # 2 dx
1
1 x
4 t
4
= 9- C = 4 - .
x 1
t
4
3 lim A^ t h = lim a 4 k = 4.
t
t "+3
t "+3
2-
Fonction x
82
2+
7 #a x f ^ t hdt , où f est continue
Démonstration de cours
1 La fonction F est une primitive de f sur I.
Donc pour tout réel x de I,
#a
x
f ^ t h dt = F ^ x h - F ^a h .
Donc :
Fa ^ x h = F^ x h - F^ah .
2 La fonction Fa est dérivable sur I et pour tout réel x
de I, ^Fahl^ x h = F l^ x h - 0 = f ^ x h .
Donc Fa est une primitive de f sur I.
a
De plus, Fa ^ah = # f ^ t hdt = 0 .
a
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Donc Fa est la primitive de f sur I qui s’annule en a.
83 a. Faux, car f l^ x h =
2
. Donc f l^0 h = 2 .
1 - x2
2
, qui est positif sur @ - 1 ; 16 .
1 - x2
0
2
c. Faux, car f ^0 h = #
dt = 0 .
0 1 - t2
d. Vrai. Pour tout réel x ! @ - 1 ; 16 , on pose :
1+x
m = ln ^1 + x h - ln ^1 - x h .
g^ x h = ln c
1-x
b. Vrai, car f l^ x h =
1
k = 0 , et pour tout réel x ! @ - 1 ; 16,
1
-1
1
1-x+x+1
2
=
=
.
gl^ x h =
x+1
1-x
1 - x2
1 - x2
Donc g est la primitive de f l sur @ - 1 ; 16 qui s’annule
en 0. Donc g = f .
On a g^0 h = ln a
84 1 Pour tout réel x,
1
e-3x
e-3x
=
= 3x
.
e +1
1 + e-3x
e-3x ^e3x + 1h
◗ Comme lim e3x = 0 , on a : lim f ^ x h = 1 .
f ^xh =
x "-3
x "-3
3x
◗ Comme lim e =+ 3 , on a : lim f ^ x h = 0 .
x "+3
x "+3
- 3e3x
◗ Pour tout réel x, f l^ x h = 3x
1 0 . Donc la fonc^e + 1h2
tion f est strictement décroissante sur R.
2 a. La fonction f est positive sur R.
#ab f ^ x hdx H 0 .
#0 a f ^ x hdx =- #a0 f ^ x hdx .
#a0 f ^ x hdx H 0 .
Donc pour tous a 1 b ,
◗ Si a 1 0 ,
On a :
Donc I^ah G 0 .
◗ Si a H 0 , I^ah H 0 .
b. I^ah =
#0 a 1 +e e-3x dx = 9 -31 ln ^1 + e-3x hC
-3x
a
0
-1
1
1
2
=
ln ^1 + e-3ah + ln ^2 h = ln c
m.
3
3
3
1 + e-3a
1
c. lim 1 + e-3a = 1 . Donc lim I^ah = ln ^2 h .
3
+
+
a" 3
a" 3
85 1 On pose F^ x h = ^ax + bh e x .
Pour tout réel x,
F l^ x h = ae x + ^ax + bhe x = ^ax + ^a + bhhe x .
La fonction F est une primitive de f + pour tout réel x,
F l^ x h = f ^ x h
a=1
+ ) + = + a = 1 et b =- 1 .
a b 0
2
#-11 xe x dx = 6^ x - 1he x @1-1 = 0 + 2e-1 = 2e-1 .
86 1 a. On a : f =- ul # eu , où u^ x h = 1 .
x
Donc les primitives de f sur @ - 3 ; 0 6 sont les fonctions
1
- exp a k + k , où k est un réel.
x
x
Comme F^- 1h = 0 , on a : - exp ^- 1h + k = 0 , soit
k = e-1 .
1
Donc :
F^ x h =- exp a k + e-1 .
x
b. Pour tout réel x 1 0 , F l^ x h = f ^ x h 2 0 . Donc la fonction F est croissante sur @ - 3 ; 0 6 .
1
2 lim
=- 3 .
x "0 x
7
x 10
Donc par composition : lim exp a
x "0
x 10
1
k = 0.
x
On en déduit que lim F^ x h = e-1 .
x"0
x 10
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
13
Graphiquement, l’aire du domaine délimité par la
courbe de f , l’axe des abscisses, et les droites verticales
d’équation x =- 1 et x = 0 est égale à e-1 , en u.a.
1
3 lim
= 0.
x "-3 x
1
Donc par composition, lim exp a k = 1 .
x
x "-3
-1
On en déduit que lim F^ x h = e - 1 .
car la courbe représentative de f est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées.
0
a
Donc # f ^ x hdx = # f ^ x hdx .
propriétés de l’intégrale
90 1 I =
x "-3
conservation de l’ordre
1 Pour tout réel x ! 6a ; b @ , g^ x h - f ^ x h H 0 .
Donc en utilisant la propriété de positivité,
#ab 6g^ x h - f ^ x [email protected] H 0 .
2 Or par linéarité,
#ab 6g^ x h - f ^ x [email protected] = #ab g^ x hdx - #ab f ^ x hdx .
#ab g^ x hdx - #ab f ^ x hdx H 0 ,
#ab g^ x hdx H #ab f ^ x hdx .
soit :
3
3
x2 E
= 63 , car la
◗ I2 = 2 # ^3x2 + x hdx = 2 ; x3 +
2 0
0
fonction x
3x2 + x est paire.
7
I+J =
#ab f ^ x hdx H 0 .
#a
f ^ x h dx G 0 .
Or
#ab f ^ x hdx =- #ab - f ^ x hdx .
#ab - f ^ x hdx H 0 . Donc #ab f ^ x hdx G 0 .
◗ Si a H b , comme
3 ◗ Sur
#ab f ^ x hdx =- #ba f ^ x hdx , on a :
#ab f ^ x hdx H 0 .
6- 1 ; 2 @,
1
1 0 . Comme - 11 2 , alors
x-3
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
I1 G 0 .
2
◗ Sur 6- 3 ; 2 @, ^2x + 1h H 0 . Comme 2 2 - 3 , alors
I2 G 0 .
1
◗ Sur 61 - e ; e @, 2
2 0 . Comme e 21 - e , alors
x +1
I3 G 0 .
1
1
◗ Sur 9 ; 1 C , ln ^ x h G 0 . Comme
1 1 , alors I4 G 0 .
e
e
89 1 a. Par la relation de Chasles,
#-aa f ^ x hdx = #-0a f ^ x hdx + #0 a f ^ x hdx = 0 ,
car la courbe représentative de f est symétrique par
rapport à l’origine O. Donc
#0 a f ^ x hdx =- #-0a f ^ x hdx .
b. Par la relation de Chasles,
# a f ^ x h dx = # 0 f ^ x h dx +
-a
-a
= 2 # f ^ x h dx ,
#0 a f ^ x hdx
a
0
14
Livre du professeur - Chapitre 6
x3
m dx =
1 + x2
#01
x^1 + x2h
dx
1 + x2
2 1
#01 x dx = ; x2
=;
4
1
1
ln ^2x - 3h +
E
2
2^2x - 3h 2
1
1
1
1
1
2
k - a ln ^1 h + k =
ln ^5 h +
ln ^5 h - .
2
10
2
2
2
5
92 1 Pour tout réel x H 1 , on a :
◗ x2 + 1 H x2 .
Donc x2 + 1 H
2 On suppose que f est négative sur I.
◗ Si a G b , on a
+
1
1
2x - 3 - 1
=
= f ^ x h.
2x - 3
^2x - 3h2
^2x - 3h2
4
1
1
2 I= # c
m dx .
2
2x - 3
^2x - 3h2
=a
#ab f ^ x hdx =- #ba f ^ x hdx , on a :
#01 c 1 +x x2
1
ln ^2 h .
2
91 1 Pour tout réel x ! 62 ; 4 @ ,
◗ Si a G b , alors par la propriété de positivité :
b
1
E = 1 .
2
0
1
1
1
-I =
- ln ^2 h .
Donc J =
2
2
2
=
88 1 On suppose que f est positive sur I.
◗ Si a H b , comme
#01 1 +x x2 dx = 9 12 ln ^1 + x2hC0 =
2 Par linéarité,
87 Démonstration de cours :
Donc :
-a
0
2 ◗ I1 = 0 , car la fonction sinus est impaire sur 6- r ; r @ .
Calcul intégral
x2 , c’est-à-dire f ^ x h H x .
1 2 1
1 2
◗ x2 + 1 G x2 + x G a x + k G ax + k .
2
4
2
2
1
Donc x2 + 1 G a x + k ,
2
1
c’est-à-dire f ^ x h G x + .
2
2 En intégrant les inégalités précédentes sur 61 ; 3 @ , on
#1 3 x dx G #1 3 f ^ x hdx G #1 3 a x + 12 k dx ,
obtient :
soit :
Donc :
3
2
;x E G
2 1
#1 3 f ^ x hdx G ; x2
4G
2
#1 3 f ^ x hdx G 5 .
3
+
xE
.
2 1
93 1 a. Pour tout réel x ! 90 ; 1 C , f ^ x h =
2
1
et
1 + x2
- 2x
.
^1 + x2h2
1
16
1
4
et f la k =.
Donc f a k =
2
25
2
5
Donc la tangente C à la courbe au point B a pour
équation :
1
1
1
16
1
4
ax - k + .
y = f la ka x - k + f a k =2
2
2
25
2
5
Donc la droite C admet pour équation :
16
28
.
y =x+
25
25
f l^ x h =
b. Le coefficient directeur de la droite ^ ABh est :
1
f a k - f ^0 h
2
2
=- .
5
1
-0
2
La droite ^ ABh admet pour équation :
2
2
y =- ^ x - xAh + yA =- ^ x - 0h + 1 .
5
5
2
Donc la droite ^ ABh admet pour équation : y =- x + 1.
5
1
2 ◗ Pour tout réel x ! 90 ;
C,
2
^2x - 1h2 ^4x - 3h
16
28
m=
G 0.
f ^ x h - cx+
25
25
25^ x2 + 1h
Donc la courbe est en dessous de la droite C sur l’in1
tervalle 90 ; C .
2
1
◗ Pour tout réel x ! 90 ; C ,
2
x^ x - 2h^2x - 1h
2
f ^ x h - c- x + 1 m =
H 0.
5
5^ x2 + 1h
Donc la courbe est au-dessus de la droite ^ ABh sur
1
l’intervalle 90 ; C .
2
1
3 Pour tout réel x ! 90 ;
C , on a :
2
2
16
28
- x + 1 G f ^xh G .
x+
5
25
25
Donc :
#0
1
2
2
c- x + 1 m dx G
5
1
#0
2
x2
+ xE G
Donc : ;5
0
#0
9
G
20
Donc :
1
2
f ^ x h dx G
16
28
cm dx.
x+
25
25
1
1
2
#0
#0
1
2
1
2
8x2
28 E 2
+
f ^ x hdx G ;x .
25
25 0
f ^ x h dx G
12
.
25
Valeur moyenne
94 1 Pour tout réel x,
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f ^ x + 2h = cos ^rx + 2rh = cos ^rx h = f ^ x h .
Donc la fonction f est 2-périodique sur R.
2 Une primitive de f sur R est par exemple définie par :
1
F^ x h =
sin ^rx h .
r
3 La valeur moyenne de f sur 6- 1 ; 1 @ est :
1
1
1
#
f ^ x hdx = ^F^1 h - F^- 1hh
n=
2
1
1 ^ 1h
1 1
1
= a sin ^rh + sin ^rhk = 0 .
2 r
r
95 a. Approximativement, il faut situer le terrain nivelé
à une hauteur de 110 m.
400
1
#
b. h =
h ^ x h dx
400 0
2
x
#0 400 c 1600
96 La valeur moyenne de la capacité pulmonaire est :
70
1
#
f ^ x h dx
70 - 20 20
1
m dx
# 70 c 110 lnx ^ x h - 220
50 20
x
70
1 6
55^ln ^ x hh2 - 220 ln ^ x [email protected]
50
1 6^
55^ln 70h2 - 220 ln 70h - ^55^ln 20h2 - 220 ln [email protected]
50
11 ^
22
7
^ln 70h2 - ^ln 20h2h - 5 ln a 2 k . 4,5 .
10
n=
=
=
=
=
Prépa Bac
exercices guidés
97 1 ◗ Pour tout réel x ! 60 ; 3 @ , f ^ x h H 0 .
Donc
#0 3 f ^ x hdx H 0 , soit I H 0 .
Donc
#--5 2 f ^ x hdx G 0 , soit J G 0 .
◗ Pour tout réel x ! 6- 5 ; - 2 @, f ^ x h G 0 .
◗ La fonction f n’est pas de signe constant sur 6- 1 ; 1 @,
donc on ne connaît pas le signe de K =
2 ◗ Pour tout réel x ! 60 ; 1 @ , 0 G f ^ x h G 2 .
Donc
#01 0 dx G #01 f ^ x hdx G #01 2dx . Donc 0 G A G 2 .
Donc
#1 2 1dx G #1 2 f ^ x hdx G #1 2 2dx . Donc 1 G B G 2 .
◗ Pour tout réel x ! 61 ; 2 @, 1 G f ^ x h G 2 .
98 1 ◗ Pour tout réel x ! 60 ; 2 @ ,
x2 - 2x = x^ x - 2h G 0 .
Donc x2 - 2x =- x2 + 2x .
2
2
x-1
◗ # f ^ x h dx = #
dx .
0
0 - x2 + 2x + 1
Pour le dénominateur, D = 8 ; x1 = 2 + 1 . 2,4 et
x2 =- 2 + 1 . - 0,4 .
Donc pour tout réel x ! 60 ; 2 @, - x2 + 2x + 12 0 .
2
2
1
# ln ^- x2 + 2x + 1hE = 0 .
Alors # f ^ x hdx = ;
-2
0
0
2 Soit m 2 2 .
La valeur moyenne de f sur 60 ; m @ est :
1 m
# f ^ x h dx .
n=
m 0
Par la relation de Chasles,
#0 m f ^ x hdx = #0 2 f ^ x hdx + #2 m f ^ x hdx .
Donc
x
+ 125 m dx
4
1
400
=
1 ; x3
x2
+ 125x E
400 4 800
8
0
-
400
=
325
. 108,3 .
3
x-1
dx
2x + 1
x
m
x-1
1
dx
2 dx = #2
x
1
^ x - 1h
#0 m f ^ x hdx = 0 + #2 m
=
=
#-11 f ^ x hdx .
#2 m
2-
= 6ln ^ x - [email protected] = ln ^m - 1h .
Donc la valeur moyenne de f sur 60 ; m @ est :
ln ^m - 1h
.
n=
m
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
15
99 1 Pour tout réel x, on pose :
5
5
x = ^ x2 + 1he-x + 2 - x .
2
2
5
2
On a : d l^ x h =-^ x - 1h e-x + 2 - 1 0 .
2
Donc la fonction d est décroissante sur R.
Comme d^2 h = 0 , la fonction d est positive sur @ - 3 ; 2 @ ,
et négative sur 62 ; + 3 6 .
On en déduit que la courbe est au-dessus de la
droite D sur @ - 3 ; 2 @ , et en dessous de la droite D sur
62 ; + 3 6 .
2
5
Donc en unités d’aire, = # 9 f ^ x h - x Cdx .
2
0
1 2
# 9 f ^ x h - 25 x Cdx .
Donc en cm², =
2 0
2 a. Pour tout réel x,
Gl^ x h = ^- 2x - 2he-x + 2 + ^- x2 - 2x - 3h^- e-x + 2h
d^ x h = f ^ x h -
= e-x + 2 # ^- 2x - 2 + x2 + 2x + 3h = ^ x2 + 1he-x + 2
Donc Gl^ x h = f ^ x h .
Donc la fonction G est une primitive de f sur R.
b. Donc :
2
1
5 x2 E
3
= a e2 - 8 k cm2 . 3,08 cm2.
= # ;G ^ x h 2
2 2 0
2
100
1 I0 =
#01 e-x dx = 6- e-x @0 = 1 - e-1 = 1 - 1e .
1
2 a. Pour tout entier naturel n,
In + 1 - In =
=
#0
1
x n + 1 e-x dx -
#0
1
x n e-x dx
Comme pour tout réel x ! 60 ; 1 @, x n H 0 , x - 1 G 0 et
e-x 2 0 .
Donc x n ^ x - 1he-x G 0 .
Par la relation d’ordre, on en déduit que In + 1 - In G 0 .
Donc la suite ^ Inh est décroissante.
b. Pour tout réel x ! 60 ; 1 @, x n e-x H 0 . Donc par la relation de positivité, In H 0 .
La suite ^ Inh est donc décroissante et minorée par 0.
Donc la suite ^ Inh est convergente.
3 a. Pour tout réel x ! 60 ; 1 @ , e-x G 1 . Donc x n e-x G x n .
#01 xn e-x dx G #01 xn dx .
1
b. D’après la question précédente, In G ;
xn + 1 E
.
n+1 0
1
.
Donc pour tout entier naturel n, 0 G In G
n+1
1
= 0.
Or lim
n "+3 n + 1
D’après la théorème des gendarmes, lim In = 0 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 Pour tout réel x,
0
Ainsi : F^ x h H x 2e
2.
Comme e-x H 0 , on a pour tout réel x H 0 , F^ x h H x - 2.
c. Comme lim x - 2 =+ 3 , d’après le théorème de
x "+3
minoration, lim F^ x h =+ 3 .
x "+3
4 Pour tout réel x,
2e-x
2e x
=
en multipliant
1
e 2x + 1
e-2x + 1
par e2x le numérateur et le dénominateur du quotient.
La fonction f est paire, donc :
F^- x h =
#0-x f ^ t hdt =- #0 x f ^ t hdt =- F^ x h.
On a donc lim F^ x h =- lim F^ x h =- 3 .
x "-3
x "+3
exercices d’entraînement
102
1 Pour tout réel x ! @ - 3 ; 3 6 :
3-x
3+x
m =- ln c
m =- f ^ x h .
3+x
3-x
Donc la fonction f est impaire sur @ - 3 ; 3 6 .
Donc la courbe admet l’origine O comme centre de
symétrie.
2 lim ^3 + x h = 6 et lim ^3 - x h = 0+ .
f ^- x h = ln c
x "3
x 13
x "3
x 13
3+x
=+ 3 .
3-x
Donc par composition avec la fonction ln,
lim f ^ x h =+ 3 .
2
2
Comme e2x 2 0 , e2x + 12 0 et ^e x - 1h H 0 .
Donc pour tout réel x, f ^ x h H 0 .
2 La fonction f est continue sur R.
Donc la fonction F est dérivable sur R, et pour tout
réel x, F l^ x h = f ^ x h .
Livre du professeur - Chapitre 6
Donc : F^ x h H
6t + 2e-t @0x .
+ -x -
Donc par quotient lim
^e x - 1h
2e x
e2x - 2e x + 1
=
= 2x
.
f ^ x h = 1 - 2x
2
x
e +1
e +1
e +1
16
0 H-
0
x "3
x 13
n "+3
101
2e-t
H - 2e-t .
1 + e-2t
En ajoutant 1, on a : 1 H f ^ t h H 1 - 2e-t .
b. Soit un réel x H 0 .
D’après la question précédente, en utilisant la relation
d’ordre, on a :
# x f ^ t hdt H # x ^1 - 2e-thdt .
d’où :
f ^- x h = 1 -
#01 ^ xn + 1 - xnhe-x dx = #01 xn ^ x - 1he-x dx .
Donc par la relation d’ordre,
Comme f ^ x h H 0 , la fonction F est croissante sur R.
3 a. Pour tout réel t,
2et
2et
= 1 - 2t
f ^ t h = 1 - 2t
e +1
e ^1 + e-2t h
-t
2e
= 1.
1 + e-2t
1
Comme 1 + e-2t H 1 , on a : 0 G
G 1.
1 + e-2t
2e-t
Donc :
0G
G 2e-t ,
1 + e-2t
Calcul intégral
x "3
x 13
Donc la courbe admet une asymptote verticale
d’équation x = 3 .
Par symétrie par rapport à O, la courbe admet aussi
une asymptote verticale d’équation x =- 3 .
3 Pour tout réel x ! 60 ; 3 6 , 0 1 3 - x G 3 + x .
3+x
En divisant par 3 - x 2 0 , on a : 1 G
.
3-x
Comme la fonction ln est croissante sur @ 0 ; + 3 6 ,
3+x
m , soit 0 G f ^ x h .
ln ^1 h G ln c
3-x
Donc la fonction f est positive sur 60 ; 3 6 .
4 a. Pour tout réel x ! @ - 3 ; 3 6 ,
f ^ x h 
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