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Cours d'algèbre linéaire

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Chapitre 7
Algèbre linéaire 1 : Espaces vectoriels et bases
I Introduction
~~
On se place
!
!
! repère orthonormé (O; i; j).
! dans un
αu1
u1 + v1
v1
u1
et pour tout α ∈ R, α · u~
deux vecteurs du plan. Alors u~ + ~v
et ~v
Soient u~
αu2
u2 + v2
v2
u2
Idée : Généraliser les propriétés sur les additions de vecteurs et multiplication par un scalaire à un contexte
plus général (par exemple aux polynômes)
Définition 1.
Un ensemble V est un espace vectoriel sur R s’il est muni de deux opérations :
1. L’addition :
V ×V →V
~ ) 7→
(~v, w
...
2. la multiplication par un scalaire (ou loi de composition externe) :
R×V →V
(α, ~v ) 7→
...
Cet ensemble doit de plus vérifier les propriétés suivantes :
~ =
E1 : commutativité de l’addition : ~v + w
...
~ ∈V
pour tous ~v , w
E2 : associativité :
~ = u~ + (~v + w
~ ), pour tous u~, ~v , w
~ ∈V
1. (~u + ~v ) + w
2. α( β)~v = (α β)~v pour tous α, β ∈ R, pour tout ~v ∈ V
E3 : existence d’un élément neutre pour l’addition : Il existe un élément ~0 ∈ V tel que ~v +~0 =
pour tout ~v ∈ V
~ ∈ V tel que
E4 : existence d’inverse additif : Pour tout ~v ∈ V , il existe w
~.
On note −~v l’élément w
E5 : normalisation : 1 · ~v =
...
...
pour tout ~v ∈ V
E6 : distributivité :
1. α(~u + ~v ) =
...
, pour tous u~, ~v ∈ V , pour tout α ∈ R
2. (α + β)~v =
...
pour tous α, β ∈ R, pour tout ~v ∈ V
Remarque 1.
Par convention, si u~ et ~v appartient à un espace vectoriel V , alors u~ − ~v signifie u~ + (−~v ).
1
...
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Exemple 1.
L’ensemble V = R2 est un espace vectoriel (sur R) en le munissant des loi suivantes :
Exemple 2.
L’ensemble V = Rn est un espace vectoriel (sur R) en le munissant des loi suivantes :
Exemple 3.
L’ensemble des nombres complexes est un espace vectoriel en le munissant des loi suivantes :
Exemple 4.
L’espace des matrices carrés, noté M n est un espace vectoriel sur R en le munissant des lois suivantes :
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Non-exemple I.1. L’ensemble V = {(x, y)|x, y ∈ N} n’est pas un espace vectoriel si on le munit des même
lois que l’espace R2 ci-dessus.
Proposition 1.
Soit V un espace vectoriel sur R.
1. Soient ~z ∈ V . S’il existe ~v ∈ V tel que ~v + ~z = ~v , alors
~ 0 ∈ V . Si ~v + w
~, w
~ = ~v + w
~ 0, alors w
~ =w
~0
2. Soient ~v , w
...
3. 0 · ~v = ~0, pour tout ~v ∈ V
4. α · ~0 = ~0 pour tout α ∈ R.
5. (−1) · ~v est l’inverse additif de ~v , pour tout ~v ∈ V
Démonstration.
(exigé à l’examen oral)
II Sous-espace vectoriel
Exemple 1.
On se place dans l’espace vectoriel V = R3 . On considère le plan W = {(x, y, z)|z = 0, x, y ∈ R}. Ce plan
est ce qu’on appelle un sous-espace vectoriel de V .
Définition 1.
Soit V un espace vectoriel (sur R). On appelle W un sous-espace vectoriel de V (sur R) si les conditions
suivantes sont satisfaites :
1. W est un sous ensemble de V : W ⊂ V ;
2. W est un espace vectoriel sur R
Exemple 2.
W = {(x, y, z)|z = 0, x, y ∈ R} ⊂ R3 est un sous-espace vectoriel de R3 sur R. Soient u~ = (u1, u2, 0) ∈ W et
~v = (v1, v2, 0) ∈ W , alors u~ + ~v = ...
Soit α ∈ R, alors ...
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Il faudrait ensuite vérifier les axiomes : on verra d’après la proposition suivante que cela n’est pas
nécessaire.
Non-exemple II.1. U = {(x, 1, 0)| x ∈ R} (muni des opérations usuelles) n’est pas un sous-espace vectoriel
de R3 (sur R).
Proposition 1.
Soit V un espace vectoriel sur R et W un sous ensemble de V . Alors W est un sous-espace vectoriel de V si
et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
1. W , ∅
2. u~ + ~v ∈ W pour tous u, v ∈ W
3. α~u ∈ W pour tout α ∈ R, pour tout u~ ∈ W
Démonstration.
(exigé à l’examen oral)
Exemple 3.
Montrer que W = {(x, y, z) ∈ R3 |x + y + z = 0} est un sous-espace vectoriel de R3 .
Exemple 4.
L’espace des fonctions continues, noté CI , sur un intervalle I ⊂ R, est un sous-espace vectoriel de l’ensemble
des fonctions définies sur I. De même pour l’ensemble des fonctions dérivables sur I.
Exemple 5.
a11 0
+ | a11, a22 ∈ R} est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des matrices carrés
L’ensemble D = {*
0 a22
,
d’ordre 2, M2 .
Exemple 6.
Soit V un espace vectoriel. W = {~0} est un sous-espace vectoriel de V de même que l’ensemble V .
III Combinaisons linéaires
Définition 1.
Soient V un espace vectoriel, soient λ 1 , λ 2 , λ 3, · · · , λ n ∈ R et v~1 , v~2, · · · , vn ∈ V . L’expression λ 1 v~1 + λ 2 v~2 +
· · · + λ n v~n est appelé combinaison linéaire des vecteurs v~1 , v~2, · · · , v~n
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Exemple 1.
~ est une combinaison linéaire des vecteurs ~i et ~j.
Le vecteur w
Exemple 2.
~ = (4; 3) est une combinaison linéaire de v~1 et v~2 ?
Soient v~1 = (1; 2) et v~2 = (−1; 3). Est-ce-que w
Exemple 3.
Considèrons l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 3, P3 . Le vecteur −2x 3 + 10x − 1 est
une combinaison linéaire des vecteurs
...
. En effet ...
Exemple 4.
On considère l’ensemble M ∈ .
5 −1
+ est une combinaison linéaire des vecteurs ...
Le vecteur M = *
0 10
,
-
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Définition 2.
Soit V un espace vectoriel sur R. Soient (v~1, v~2, · · · , v~n ) une liste de vecteurs dans V . Le sous espace
vectoriel engendré par cette liste de vecteur est l’espace suivant :
span(v~1, · · · , v~n ) = {λ 1 v~1 + λ 2 v~2 + · · · + λ n v~n |λ i ∈ R, i = 1, 2, · · · , n}
Proposition 1.
Soit V un espace vectoriel sur R. Soient (v~1, v~2, · · · , v~n ) une liste de vecteurs dans V . Alors span(v~1, · · · , v~n )
est un sous-espace vectoriel de V .
Démonstration.
(exigé à l’examen oral)
Exemple 5.
Soient v~1 = (1; 2; 0) et v~2 = (1; 0; 1).
span(v~1 ; v~2 ) =
...
est un sous espace vectoriel de R3
Définition 3.
Une liste de vecteurs (v1, · ~· · , v~n ) est dite linéairement indépendante ou non-liée ou libre si,
λ 1 v~1 + λ 2 v~2 + · · · + λ n v~n = 0 ⇒ λ i = ~0∀i = 1, 2, · · · , n
Si la liste ne vérifie pas cette condition, elle est dite linéairement dépendante ou liée c’est à dire si
λ 1 v~1 + λ 2 v~2 + · · · + λ n v~n = 0 alors il existe au moins un λ i , 0
Exemple 6.
Soit V = R2 et soient v~1 = (3; 5) et v~2 = (9; 15). La famille (v~1 ; v~2 ) est-elle libre ?
Proposition 2.
(admise) Soit V un espace vectoriel et une liste de veteurs (v~1, · · · , v~n ) dans V . (v~1, · · · , v~n ) est liée si et
seulement si l’un des vecteurs v~i peut-être exprimé comme une combinaison des autres.
Exemple 7.
Soient v~1 = (1; 0), v~2 = (0; 2) et v~3 = (3; 10).
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IV Familles génératrices et bases d’un espace vectoriel
Définition 1.
Soient V un espace vectoriel et (v~1 .v~2, · · · , v~n ) une famille de vecteurs dans V . La famille (v~1 .v~2, · · · , v~n ) est
dite génératrice de l’espace V si tout élément de V peut s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de
cette famille, c’est-à-dire, pour tout ~v ∈ V , il existe λ 1, λ 2, · · · , λ n ∈ R tels que v = λ 1 v~1 + λ 2 v~2 + · · · + λ n v~n
Exemple 1.
Dans R3 ,...
Exemple 2.
Dans R2 , la famille (v~1, v~2 ) où v~1 = (1; 1) et v~2 = (2; 2) n’est pas génératrice. En effet supposons que
~v = (3; 4) puisse s’exprimer comme une combinaison linéaire de v~1 et v~2 . Alors ...
Définition 2.
Soient V un espace vectoriel et v~1, v~2, · · · v~n ∈ V . La famille (v~1, v~2, · · · , v~n ) est une base de V , si et seulement
si elle vérifie les deux conditions suivantes :
1. Elle est génératrice
2. Elle est libre
Exemple 3.
Soient e~1 = (1; 0) et e~2 = (0; 1) est une base de R2 .
Ce n’est pas la seule base de R2 !
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Exemple 4.
La famille (v~1, v~2 ) où v~1 = (1; 1) et v~2 = (−1; 1) est une base de R2 .
Théorème 1.
Soit (v~1, v~2, · · · , v~n ) une base d’un espace vectoriel V . Tout ~v ∈ V se décompose d’une façon unique avec
les v~i . C’est-à-dire : Pour tout ~v ∈ V , il existe un unique (λ 1, · · · , λ n ) ∈ Rn tels que ~v = λ 1 v~1 + · · · + λ n v~n .
Démonstration.
(exigé à l’examen oral)
Définition 3.
Si (v~1, · · · , v~n ) est une base d’un espace vectoriel V et u~ = λ 1 v~1 + · · · + λ n v~n ∈ V , alors les λ i sont appellées
coordonnées (ou composantes) de u~ dans la base B = (v~1, · · · , v~n ).
λ1
*. +/
.λ2/
On note u~B = .. . // le vecteur u~ exprimé dans la base B
.. .. //
,λ n Proposition 1.
(admise) Une famille (v~1, · · · , v~n ) est une base d’un espace vectoriel si et seulement si det(v~1, · · · , v~n ) , 0
IV Dimension d’un espace vectoriel
Proposition 2.
(admise) Soit (v~1, v~2, · · · , v~n ) une base d’un espace vectoriel V et (u~1, u~2, · · · , u~m ) une famille de vecteurs
dans V . Si m > n, alors la famille (u~1, u~2, · · · , u~m ) est liée.
Corollaire 1. (admis) Deux base différentes d’un espace vectoriel possèdent le même nombre d’éléments.
Définition 4.
La dimension d’un espace vectoriel, notée dim(V ), est le nombre de vecteur d’une de ses bases.
Exemple 5.
dim(R2 )=...
Corollaire 2. (admis) Soit V un espace vectoriel de dimension n. Si n vecteurs sont linéairement indépendants, alors ils forment une base de V
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