Cours d'algèbre linéaire

Chapitre 7
Algèbre linéaire 1 : Espaces vectoriels et bases
I Introduction
On se place dans un repère orthonormé (O;~ i;~ j).
Soient ~ u u1
u2!et ~
v v1
v2!deux vecteurs du plan. Alors ~
u+~ v u1+v1
u2+v2!et pour tout α∈R,α·~
u αu1
αu2!
Idée : Généraliser les propriétés sur les additions de vecteurs et multiplication par un scalaire à un contexte
plus général (par exemple aux polynômes)
Définition 1.
Un ensemble Vest un espace vectoriel sur Rs’il est muni de deux opérations :
1. L’addition :
V×V→V
(~ v,~ w)7→ ...
2. la multiplication par un scalaire (ou loi de composition externe) :
R×V→V
(α, ~ v)7→ ...
Cet ensemble doit de plus vérifier les propriétés suivantes :
E1 : commutativité de l’addition :~ v+~ w=... pour tous ~ v,~ w∈V
E2 : associativité :
1. (~ u+~ v)+~ w=~ u+(~ v+~ w), pour tous ~ u,~ v,~ w∈V
2. α(β)~ v=(α β)~ vpour tous α,β∈R, pour tout ~ v∈V
E3 : existence d’un élément neutre pour l’addition : Il existe un élément ~ 0∈Vtel que ~ v+~ 0=...
pour tout ~ v∈V
E4 : existence d’inverse additif : Pour tout ~ v∈V, il existe ~ w∈Vtel que ...
On note −~ vl’élément ~ w.
E5 : normalisation : 1 ·~ v=... pour tout ~ v∈V
E6 : distributivité :
1. α(~ u+~ v)=... , pour tous ~ u,~ v∈V, pour tout α∈R
2. (α+β)~ v=... pour tous α,β∈R, pour tout ~ v∈V
Remarque 1.
Par convention, si ~ uet ~ vappartient à un espace vectoriel V, alors ~ u−~ vsignifie ~ u+(−~ v).
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Exemple 1.
L’ensemble V=R2est un espace vectoriel (sur R) en le munissant des loi suivantes :
Exemple 2.
L’ensemble V=Rnest un espace vectoriel (sur R) en le munissant des loi suivantes :
Exemple 3.
L’ensemble des nombres complexes est un espace vectoriel en le munissant des loi suivantes :
Exemple 4.
L’espace des matrices carrés, noté Mnest un espace vectoriel sur Ren le munissant des lois suivantes :
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Non-exemple I.1. L’ensemble V={(x,y)|x,y∈N}n’est pas un espace vectoriel si on le munit des même
lois que l’espace R2ci-dessus.
Proposition 1.
Soit Vun espace vectoriel sur R.
1. Soient ~ z∈V. S’il existe ~ v∈Vtel que ~ v+~ z=~ v, alors ...
2. Soient ~ v,~ w,~ w0∈V. Si ~ v+~ w=~ v+~ w0, alors ~ w=~ w0
3. 0·~ v=~ 0, pour tout ~ v∈V
4. α·~ 0=~ 0pour tout α∈R.
5. (−1)·~ vest l’inverse additif de ~ v, pour tout ~ v∈V
Démonstration.
(exigé à l’examen oral) 
II Sous-espace vectoriel
Exemple 1.
On se place dans l’espace vectoriel V=R3. On considère le plan W={(x,y,z)|z=0,x,y∈R}. Ce plan
est ce qu’on appelle un sous-espace vectoriel de V.
Définition 1.
Soit Vun espace vectoriel (sur R). On appelle Wun sous-espace vectoriel de V(sur R) si les conditions
suivantes sont satisfaites :
1. West un sous ensemble de V:W⊂V;
2. West un espace vectoriel sur R
Exemple 2.
W={(x,y,z)|z=0,x,y∈R} ⊂ R3est un sous-espace vectoriel de R3sur R. Soient ~ u=(u1,u2,0)∈Wet
~
v=(v1,v2,0)∈W, alors ~ u+~ v=...
Soit α∈R, alors ...
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Il faudrait ensuite vérifier les axiomes : on verra d’après la proposition suivante que cela n’est pas
nécessaire.
Non-exemple II.1. U={(x,1,0)|x∈R}(muni des opérations usuelles) n’est pas un sous-espace vectoriel
de R3(sur R).
Proposition 1.
Soit Vun espace vectoriel sur Ret Wun sous ensemble de V. Alors West un sous-espace vectoriel de Vsi
et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
1. W,∅
2. ~ u+~ v∈Wpour tous u,v∈W
3. α~ u∈Wpour tout α∈R, pour tout ~ u∈W
Démonstration.
(exigé à l’examen oral) 
Exemple 3.
Montrer que W={(x,y,z)∈R3|x+y+z=0}est un sous-espace vectoriel de R3.
Exemple 4.
L’espace des fonctions continues, noté CI, sur un intervalle I⊂R, est un sous-espace vectoriel de l’ensemble
des fonctions définies sur I. De même pour l’ensemble des fonctions dérivables sur I.
Exemple 5.
L’ensemble D={*
,
a11 0
0a22
+
-|a11,a22 ∈R}est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des matrices carrés
d’ordre 2, M2.
Exemple 6.
Soit Vun espace vectoriel. W={~ 0}est un sous-espace vectoriel de Vde même que l’ensemble V.
III Combinaisons linéaires
Définition 1.
Soient Vun espace vectoriel, soient λ1,λ2,λ3,· · · ,λn∈Ret ~ v1,~ v2,· · · ,vn∈V. L’expression λ1~ v1+λ2~ v2+
· · · +λn~ vnest appelé combinaison linéaire des vecteurs ~ v1,~ v2,· · · ,~ vn
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Exemple 1.
Le vecteur ~ west une combinaison linéaire des vecteurs ~ iet ~ j.
Exemple 2.
Soient ~ v1=(1; 2)et ~ v2=(−1; 3). Est-ce-que ~ w=(4; 3)est une combinaison linéaire de ~ v1et ~ v2?
Exemple 3.
Considèrons l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 3, P3. Le vecteur −2x3+10x−1 est
une combinaison linéaire des vecteurs ... . En effet ...
Exemple 4.
On considère l’ensemble M∈.
Le vecteur M=*
,
5−1
0 10
+
-est une combinaison linéaire des vecteurs ...
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