Algèbre linéaire pour GM Prof. A. Abdulle Automne 2013 EPFL Résumé 8 de la semaine du 4 novembre 4 Les espaces vectoriels 4.1 Espaces et sous-espaces vectoriels (cf. Section 4.1 de [1]) Définition d’un espace vectoriel, premières conséquences. Soit V un espace vectoriel et soit u ∈ V . Alors, (a) le vecteur 0 est unique, (b) l’opposé de u est unique, (c) 0u = 0, (d) r0 = 0, où r est un scalaire, (e) (−1)u = −u. Exemples d’espace vectoriels (Rn , fonctions, polynômes, matrices, signaux discrets). Sous-espaces vectoriels, sous-espace engendré par un ensemble. Théorème 4.1. Soient v1 , v2 , . . . , vp des éléments d’un espace vectoriel V . Alors span{v1 , v2 , . . . , vp } est un sous-espace vectoriel de V . 4.2 Espaces vectoriels et transformations linéaires (cf. Section 4.2 de [1]) Transformation linéaires de V → W où V et W sont des espaces vectoriels, définition de KerT et ImT . Théorème 4.2. KerT est un sous espace vectoriel de V . Théorème 4.3. ImT est un sous-espace vectoriel de W . Application des théorèmes 4.2 et 4.3. Théorème 4.4. Soit A une matrice de taille m × n. Alors l’ensemble des solutions homogènes Ax = 0 est un sous-espace vectoriel de Rn . ImA est un sous-espace vectoriel de Rm . L’espace des colonnes d’une matrice A, noté ColA, est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des colonnes de A. 1 4.3 Bases d’un espace vectoriel (cf. Section 4.3 de [1]) Définition de vecteurs linéairement indépendants de V , un espace vectoriel. Théorème 4.5. Un ensemble {v1 , v2 , . . . , vp } de deux vecteurs ou plus est linéairement indépendant si et seulement si au moins l’un des vecteurs {v1 , v2 , . . . , vp } est combinaison linéaire des autres. Définition 4.6. Soit V un espace vectoriel et S = {v1 , v2 , . . . , vp } un sous-ensemble de V . Alors S est une base de V si et seulement si (i) l’ensemble S est linéairement indépendant, (ii) l’ensemble S engendre V , c.-à.-d. span{v1 , v2 , . . . , vp } = V . Théorème 4.7. Soit V un espace vectoriel et S = {v1 , v2 , . . . , vp } un ensemble d’éléments de V et soit W = span{v1 , v2 , . . . , vp }. Alors, (i) si l’un des vecteurs de S, disons vk , est une combinaison linéaire des autres vecteurs de S, alors l’ensemble {v1 , v2 , . . . , vk−1 , vk+1 , . . . , vp } est encore un ensemble générateur de W , (ii) si W 6= 0 alors un sous-ensemble extrait de S constitue une base de W . Base de KerA et ColA pour une matrice A m × n (mise sous forme échelonnée en une matrice B, alors KerA = KerB mais ColA 6= ColB en général). Théorème 4.8. Les colonnes d’une matrice A ayant une position pivot forment une base de ColA. Références [1] David C. Lay. Algèbre linéaire : théorie, exercices et applications, volume 3. De Boeck, Bruxelles, 2005. Informations générales, séries et corrigés: cf. http://anmc.epfl.ch/Algebre.html. 2