Résumé 8 de la semaine du 4 novembre - ANMC

Algèbre linéaire pour GM
Prof. A. Abdulle
Automne 2013
EPFL
Résumé 8 de la semaine du 4 novembre
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Les espaces vectoriels
4.1
Espaces et sous-espaces vectoriels
(cf. Section 4.1 de [1])
Définition d’un espace vectoriel, premières conséquences. Soit V un espace vectoriel et
soit u ∈ V . Alors,
(a) le vecteur 0 est unique,
(b) l’opposé de u est unique,
(c) 0u = 0,
(d) r0 = 0, où r est un scalaire,
(e) (−1)u = −u.
Exemples d’espace vectoriels (Rn , fonctions, polynômes, matrices, signaux discrets).
Sous-espaces vectoriels, sous-espace engendré par un ensemble.
Théorème 4.1. Soient v1 , v2 , . . . , vp des éléments d’un espace vectoriel V . Alors
span{v1 , v2 , . . . , vp } est un sous-espace vectoriel de V .
4.2
Espaces vectoriels et transformations linéaires
(cf. Section 4.2 de [1])
Transformation linéaires de V → W où V et W sont des espaces vectoriels, définition
de KerT et ImT .
Théorème 4.2. KerT est un sous espace vectoriel de V .
Théorème 4.3. ImT est un sous-espace vectoriel de W .
Application des théorèmes 4.2 et 4.3.
Théorème 4.4. Soit A une matrice de taille m × n. Alors l’ensemble des solutions
homogènes Ax = 0 est un sous-espace vectoriel de Rn . ImA est un sous-espace vectoriel
de Rm .
L’espace des colonnes d’une matrice A, noté ColA, est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des colonnes de A.
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4.3
Bases d’un espace vectoriel
(cf. Section 4.3 de [1])
Définition de vecteurs linéairement indépendants de V , un espace vectoriel.
Théorème 4.5. Un ensemble {v1 , v2 , . . . , vp } de deux vecteurs ou plus est linéairement
indépendant si et seulement si au moins l’un des vecteurs {v1 , v2 , . . . , vp } est combinaison linéaire des autres.
Définition 4.6. Soit V un espace vectoriel et S = {v1 , v2 , . . . , vp } un sous-ensemble
de V . Alors S est une base de V si et seulement si
(i) l’ensemble S est linéairement indépendant,
(ii) l’ensemble S engendre V , c.-à.-d. span{v1 , v2 , . . . , vp } = V .
Théorème 4.7. Soit V un espace vectoriel et S = {v1 , v2 , . . . , vp } un ensemble d’éléments
de V et soit W = span{v1 , v2 , . . . , vp }. Alors,
(i) si l’un des vecteurs de S, disons vk , est une combinaison linéaire des autres
vecteurs de S, alors l’ensemble {v1 , v2 , . . . , vk−1 , vk+1 , . . . , vp } est encore un ensemble générateur de W ,
(ii) si W 6= 0 alors un sous-ensemble extrait de S constitue une base de W .
Base de KerA et ColA pour une matrice A m × n (mise sous forme échelonnée en une
matrice B, alors KerA = KerB mais ColA 6= ColB en général).
Théorème 4.8. Les colonnes d’une matrice A ayant une position pivot forment une
base de ColA.
Références
[1] David C. Lay. Algèbre linéaire : théorie, exercices et applications, volume 3. De
Boeck, Bruxelles, 2005.
Informations générales, séries et corrigés: cf. http://anmc.epfl.ch/Algebre.html.
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