Résumé 8 de la semaine du 4 novembre - ANMC

Algèbre linéaire pour GM
Prof. A. Abdulle
Automne 2013
EPFL
Résumé 8 de la semaine du 4 novembre
4 Les espaces vectoriels
4.1 Espaces et sous-espaces vectoriels (cf. Section 4.1 de [1])
Définition d’un espace vectoriel, premières conséquences. Soit Vun espace vectoriel et
soit u∈V. Alors,
(a) le vecteur 0est unique,
(b) l’opposé de uest unique,
(c) 0u= 0,
(d) r0=0, où rest un scalaire,
(e) (−1)u=−u.
Exemples d’espace vectoriels (Rn, fonctions, polynômes, matrices, signaux discrets).
Sous-espaces vectoriels, sous-espace engendré par un ensemble.
Théorème 4.1. Soient v1, v2, . . . , vpdes éléments d’un espace vectoriel V. Alors
span{v1, v2, . . . , vp}est un sous-espace vectoriel de V.
4.2 Espaces vectoriels et transformations linéaires (cf. Section 4.2 de [1])
Transformation linéaires de V→Woù Vet Wsont des espaces vectoriels, définition
de KerTet ImT.
Théorème 4.2. KerTest un sous espace vectoriel de V.
Théorème 4.3. ImTest un sous-espace vectoriel de W.
Application des théorèmes 4.2 et 4.3.
Théorème 4.4. Soit Aune matrice de taille m×n. Alors l’ensemble des solutions
homogènes Ax = 0 est un sous-espace vectoriel de Rn.ImAest un sous-espace vectoriel
de Rm.
L’espace des colonnes d’une matrice A, noté ColA, est l’ensemble de toutes les combi-
naisons linéaires des colonnes de A.
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4.3 Bases d’un espace vectoriel (cf. Section 4.3 de [1])
Définition de vecteurs linéairement indépendants de V, un espace vectoriel.
Théorème 4.5. Un ensemble {v1, v2, . . . , vp}de deux vecteurs ou plus est linéairement
indépendant si et seulement si au moins l’un des vecteurs {v1, v2, . . . , vp}est combinai-
son linéaire des autres.
Définition 4.6. Soit Vun espace vectoriel et S={v1, v2, . . . , vp}un sous-ensemble
de V. Alors Sest une base de Vsi et seulement si
(i) l’ensemble Sest linéairement indépendant,
(ii) l’ensemble Sengendre V, c.-à.-d. span{v1, v2, . . . , vp}=V.
Théorème 4.7. Soit Vun espace vectoriel et S={v1, v2, . . . , vp}un ensemble d’éléments
de Vet soit W=span{v1, v2, . . . , vp}. Alors,
(i) si l’un des vecteurs de S, disons vk, est une combinaison linéaire des autres
vecteurs de S, alors l’ensemble {v1, v2, . . . , vk−1, vk+1, . . . , vp}est encore un en-
semble générateur de W,
(ii) si W6= 0 alors un sous-ensemble extrait de Sconstitue une base de W.
Base de KerAet ColApour une matrice A m ×n(mise sous forme échelonnée en une
matrice B, alors KerA=KerBmais ColA6=ColBen général).
Théorème 4.8. Les colonnes d’une matrice Aayant une position pivot forment une
base de ColA.
Références
[1] David C. Lay. Algèbre linéaire : théorie, exercices et applications, volume 3. De
Boeck, Bruxelles, 2005.
Informations générales, séries et corrigés: cf. http://anmc.epfl.ch/Algebre.html.
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