1ère S Cours équations et inéquations trigonométriques

1ère S
Chapitre 30
II. Exemples de résolutions d’équations trigonométriques
Equations et inéquations trigonométriques
avec des cosinus et des sinus
1°) Exemple 1
Résoudre dans  l’équation cos x 
I. Règles fondamentales
1
(1).
2
1°) Egalité de deux cosinus
Astuce de départ :
a et b sont deux réels.
1

 cos
2
3
B
Réécriture de l’équation
b
(1) s’écrit cos x  cos
A'
(1)  cos x  cos
A
O
x
–b
 ou

3
(« on équilibre l’équation »)

 2k   k   
3
(on « enlève » les cos avec la règle 1)

x    2k '   k '   
3
B'
cos a  cos b si et seulement si

3

  

S1    2k , k        2k ' , k '   
3
  3

a  b  2k   k   
ou
a  b  2k '   k '   
2°) Exemple 2
2°) Egalité de deux sinus

2

Résoudre dans  l’équation sin  x   
3 2


a et b sont deux réels.
(2).
ne pas développer
B
Astuce de départ :
–b
b
2

 sin
2
4
Réécriture de l’équation
A'
A
O



(2) s’écrit sin  x    sin
3
4




(2)  sin  x    sin
3
4

 
x    2k   k   
3 4
 ou


x      2k '   k '   
3
4
B'
sin a  sin b si et seulement si
a  b  2k   k   
ou
a    b  2k '   k '   
1
2
x
 ou
 
  2k 
4 3
 k  
x
 ou
 
x      2k '   k '   
4 3
x
 ou
x

 2k 
12


k
8
2
 k  

x    k '   k '  
4
k  


  

S3    k , k        k ' , k '   
2
8
  4

5
 2k '   k '   
12
 
  5

S 2     2k , k       2k ' , k '   
 12
  12

 3 
M'1  
 4 
 5 
M1  
 8 B
 
M0  
8
3°) Exemple 3
Résoudre dans  l’équation cos 3x  sin x (3).
A'
Astuce de départ :
 9 
M2  
 8 


sin x  cos   x 
2

B'
Réécriture de l’équation


(3) s’écrit cos 3 x  cos   x 
2



(3)  cos 3 x  cos   x 
2


3x   x  2k   k   
2
 ou

3 x    x  2k '   k '   
2
4x 
 ou

 2k 
2
2x  
A
O
1ère famille (points rouges)

8
  5
k 1 :  
8 2 8
k 0 :
 
M'0   
 4
 13 
M3 

 8 
2e famille (points verts)

4

3
k ' 1 :    
4
4
k'0 : 

9

8
8
 3 13
k 3 : 

8 2
8
k 2 :
 k  

 2k '   k '   
2

 2k 
x 2
 k  
4
 ou

  2k ' 
x 2
k '  
2
3
4
III. Equations trigonométriques particulières
 Equation cos x  1
1°) Règles
Les solutions ont pour point image A’.
Par lecture du cercle trigonométrique, on obtient dans chaque cas une seule famille de solutions.
B
 k  
x    2k   k   
cos x  1  x  2k 
cos x  1 

 k  k  
2

sin x  1  x   2k   k   
2

sin x  1  x    2k   k   
2
sin x  0  x  k   k   
cos x  0  x 
A'
A
O
B'
2°) Justification
Les solutions sont les nombres , 3, –, –3
Il s’agit des nombres de la forme kavec k   .
Donner 6 cercles trigonométriques
 Equation cos x  1
 Equation cos x  0
Les solutions ont pour point image A.
Les solutions ont pour points images B et B’.
B
B
A'
A'
A
A
O
O
B'
B'
Les solutions sont les nombres 0, 2, 4, –2, –4
Il s’agit des nombres de la forme 2kavec k   .
 3

3
,
,  , 

2 2
2
2

Il s’agit des nombres de la forme x   k  avec k   .
2
Les solutions sont les nombres
5
6
 Equation sin x  1
 Equation sin x  0
Les solutions ont pour point image B.
Les solutions ont pour points images A et A’.
B
B
A'
A'
A
O
A
O
B'
B'
Les solutions sont les nombres 0, , 2, 3, 4, – , – 2, – 3, – 4
Il s’agit des nombres de la forme x  k  avec k   .
 



,  2 ,  4 ,  2  ,  4  
2 2
2
2
2

Il s’agit des nombres de la forme  2k  avec k   .
2
Les solutions sont les nombres
IV. Résolution d’une équation trigonométrique dans un intervalle donné (exemple)
Résoudre dans [0 ; 4] l’équation cos 2 x 
 Equation sin x  1
1
(1).
2
1ère étape :
Les solutions ont pour point image B’.
On résout l’équation dans .
B
Astuce de départ :
cos
A'
A
 1

3 2
(1)  cos 2 x  cos
O
2x 
 ou

3

 2k 
3
 k  

2 x    2k'   k '   
3
B'
x





Les solutions sont les nombres  ,   2 ,   4 ,   2  ,   4  
2
2
2
2
2

Il s’agit des nombres de la forme   2k  avec k   .
2
 ou

 k
6
x
7
 k  

 k '   k '  
6
8
2e étape :
V. Inéquations trigonométriques
On cherche les solutions dans [0 ; 4]
1°) Remarques préliminaires
1ère famille
On cherche k   tel que :

0   k   4
6
1
0  k  4
6

1
23
k 
6
6
 Il n’y a pas de règle.
2e famille
:  (
 1
 
 6
On cherche k '   tel que :

0    k '   4
6
1
0   k ' 4
6
1
25
k'
6
6
2°) Exemples
 Exemple 1
:  (

1
6
Résoudre dans l’intervalle [– ; ] l’inéquation cos x 
2
.
2
B
1
  0,166...
6
23
 3,833...
6
1
 0,166...
6
25
 4,1666...
6
k 
k '
Donc
Donc
k 0
ou
k 1
ou
k 2
ou
k 3
 On utilise le cercle trigonométrique.

4
2
2
A'
k' 1
ou
k'  2
ou
k'  3
ou
k'  4
A
O


4
B'
  
D’après le cercle trigonométrique : S    ;  .
 4 4
 Exemple 2
On donne l’ensemble des solutions dans [0 ; 4].
1
  
Résoudre dans l’intervalle   ;  l’inéquation sin 2 x  .
2
 2 2
  5 7  11 13 17 19 23 
S 0 ; 4    ;
;
;
;
;
;
;

6
6
6
6
6 
6 6 6
1ère étape
On pose : X  2 x .



x
2
2
  2x  
 2 (2
  X  
1

sin X 
Donc 
2
 X    ; 

9
10
VI. Utilisation de la calculatrice
B
1°) Pour les cosinus
1
2
5
6
A'
cos x 

6
O
1
2

3
B
A

B'
1
2
0
A'
A
O
D’après le cercle trigonométrique :

5
X
6
6
B'
e
2 étape
Calculatrice
Or X  2 x
Mode radians :
2nd

5
Donc  2 x 
6
6

5
x
12
12
: 2 (2
cos 0,5 = 1,04719…

3
La calculatrice donne une valeur dans l’intervalle [0 ; ].
2°) Pour les sinus
  5 
S  ; 
12 12 
B
A'

2
A
O


2
B'
  
La calculatrice donne une valeur dans l’intervalle   ;  .
 2 2
11
12
1ère S
Exercices sur les équations et inéquations trigonométriques

3

1 Résoudre dans  l’équation cos  2 x   
.
3
2


1
2 Résoudre dans  l’équation sin 3x  .
2

 

1 S    k , k       k' , k'  
4

 12

  2k 
  5 2k' 

, k     
, k'   
2 S  
3
3
18
  18

3 Astuce : l’équation est équivalente sin 5x  sin x soit sin 5x  sin   x  .
3 Résoudre dans  l’équation sin 5x  sin x  0 .

 k
 

S   , k       k' , k'   
2
 3
 4

4 Astuce : on effectue le changement d’inconnue X  cos x .
4 Résoudre dans  l’équation 2cos 2 x  7cos x  3  0 .
5 Résoudre dans  l’équation
Réponses
3 cos x  sin 2x  0 .
 2
  2

S    2k , k      2k' , k '   
3

  3

5 Astuce : utiliser la formule de duplication sin 2 x  2sin x  cos x puis factoriser le 1 er membre.

  
  4

S    k , k        2k' , k'       2k '' , k"   
2
  3
 3

6 Astuce : réduire le 1er membre en utilisant une formule d’addition.
 

S     2k , k   
 3

7 Méthode : utiliser le cercle trigonométrique.
  11 
S  ;
6 
6
1
3
cos x 
sin x  1 .
2
2
3
7 Résoudre dans  0 ; 2 l’inéquation cos x 
.
2
2
8 Résoudre dans   ;  l’inéquation sin x  
.
2
1
9 Résoudre dans   ;  l’inéquation cos 2 x  .
4
6 Résoudre dans  l’équation
8 Méthode : utiliser le cercle trigonométrique.
3   


S    ;      ;  
4  4



  2   2
9 S  ;
 
; 
3   3
3
3
13
14