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Prof: QALLOUQ ABDELLAH
L’espace est rapporte à un repère orthonormé direct (O,~i, ~j, ~k)
#Qallouq Maths
−−→
l’ensemble des points tel que AM · ~u = k
Notation des coordonnées d’un vecteur
 
x
~
~
~

~u = xi+y j +z k ⇐⇒ ~u(x, y, z) ⇐⇒ ~u y 
z
Norme, Distance et Milieu
Définition
Cours-résumé
2ème BAC PC/SVT
Géométrie dans l’espace
Soit A un point de l’espace et ~u(a, b, c) un
vecteur non nul et k un nombre réel
L’ensemble des points M de l’espace tel
−−→
que AM · ~u = k est un plan ayant une
équation de la forme : ax + by + cz + d = 0
avec d ∈ R
Soient le vecteur ~u(x, y, z) et les points
A (xA , yA , zA ) , B (xB , yB , zB ) et I milieu du
segment [AB] alors:
p
•k~uk = x2 + y 2 + z 2


x B − xA
−→
•AB  yB − yA 
zB − zA
−→
•AB = ||AB||
q
= (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2
xA + xB yA + yB zA + zB
•I
,
,
2
2
2
Plan déterminé par: point et vecteur normal
Définition
Tout vecteur ~n de support perpendiculaire
à un plan (P) est appelé vecteur normal
à (P)
Expression analytique du produit scalaire
−−→
(P) = P(A, ~n) = {M ∈ (P)/AM ·~n = 0}
Si (P) est plan d’équation
 cartésienne

a
ax + by + cz + d = 0 Alors ~n  b  est un
c
vecteur normal à (P)
Définition
Soient les vecteurs ~u(x, y, z) et ~v (x, y, z)
On a: ~u · ~v = xx0 + yy 0 + zz 0
Distance d’un point à un plan
Propriété
Définition
Orthogonalité de deux vecteurs
Si ~u et ~v sont deux vecteurs non nuls alors:
~u ⊥ ~v ⇔ ~u · ~v = 0
Soit (P) un plan et Ω un point de l’espace
La distance du point Ω au plan (P),
notée d(Ω, (P)) est la distance AH ou H
est le projeté orthogonal de A sur (P) :
d(Ω, (P)) = AH
droite dans l’espace
Propriété
Soit A un point de l’espace et ~u un vecteur
non nul.
L’ensemble des points M de l’espace tels
−−→
que AM = k~u ou k ∈ R , est la droite
passant par A et de vecteur directeur ~u ,
cette droite est notée D(A; ~u) .
Propriété
La distance du point Ω (xΩ , yΩ0 zΩ )R au
plan (P) d’équation: ax + by + cz + d = 0
est : d(Ω, (P)) =
1
|axΩ + byΩ + czΩ + d|
√
a2 + b 2 + c 2
Équation cartésienne d’une sphère S(Ω, R)
Définition
On considère (S) = S(Ω, R) tels que
Ω(a, b, c) et R > 0 et soit M (x, y, z) un
point de l’espace.
M ∈ (s) ⇔ ΩM = R
⇔ (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (E)
Définition
Soit (xA ; yA ; zA ) un point de l’espace et
~u(a; b; c) un 
vecteur non nul
 x = xA + at
y = yA + bt ; (t ∈ R)
Le système

z = zA + ct
(E) est appelée équation sous forme
canonique de (S) et on a:
(E) ⇔ x2 +y 2 +z 2 −2ax−2by −2cz +d = 0
(E’) Avec d = a2 + b2 + c2 − R2
(E’) est appelé équation cartésienne de la
sphère (S).
est appelé représentation paramétrique de
la droite D(A; ~u) passant par A et de
vecteur directeur ~u
Remarque
Forme canonique:
a 2 a 2
x2 ± ax = x ±
−
2
2
Équation cartésienne d’une sphère S([AB])
#Qallouq Maths
Définition
On note S([AB]) la sphère dont l’un des diamètres est [AB].
Soient A , B deux points distincts de l’espace et M (x, y, z) un point de l’espace.
−−→ −−→
S([AB]) = {M ∈ (E )/M A · M B = 0}
−−→ −−→
M ∈ S([AB]) ⇔ M A · M B = 0
⇔ (x − xA ) (x − xB ) + (y − yA )(y − yB ) + (z − zA )(z − zB ) = 0 (E)
(E) est une équation cartésienne de S([AB])
Intersection d’une sphère et d’un plan:
Pour déterminer l’intersection d’une sphère (S) = S(Ω, R) et un plan (P) on calcule d = d(Ω, (P))
Trois cas se présentent:
1er cas:
Si d > R alors (S) ∩ (P ) = ∅
2éme cas: si d = R alors (S) ∩ (P ) = {H} Où H est l’intersection du plan (P ) et la droite (∆)
passant par Ω et de vecteur directeur ~n (~n est un vecteur normal à (P ))
3éme cas: Si d < R alors√(S) ∩ (P ) = C(H, r) Où H est le point défini dans le 2éme cas et r le rayon
du cercle défini par r = R2 − d2
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Cours-résumé
2ème BAC PC/SVT
Prof: QALLOUQ ABDELLAH
Représentation paramétrique d’une droite
d=R
(S)
Ω
(S)
(S)
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P
Ω
d
(C) H
Ω R
r
H
P
H
P
Définition
Soient (S) = S(Ω, R) une sphère de centre Ω(a, b, c) et de rayon R, et A (xA , yA , zA ) un point
de (S) et soit (P) le plan tangent à (S) au point A.
Soit M (x, y, z) ∈ (E )
−−→ −→
M ∈ (P) ⇔ AM · AΩ = 0 ⇔ (x − xA ) (a − xA ) + (y − yA ) (b − yA ) + (z − zA ) (c − zA ) = 0
Propriété
(P) est tangent à la sphère S(Ω, R) ⇔ d(Ω, (P)) = R
Intersection d’une Sphère (S) et d’une droite (D):
Soient (S) une sphère de centre Ω et de rayon R et (D) une droite et soit H le projeté orthogonale
de Ω sur la droite (D). on pose d = d(Ω, (D)) = ΩH
Si d > R alors (S) ∩ (D) = ∅.
#Qallouq Maths
Si d = R alors (D) est tangent à (S) en un pointH.
Si d < R alors (D) perce la sphère (S) en deux points.
d=R
d<R
Ω
H
d>R
Ω
Ω
H
H
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Cours-résumé
2ème BAC PC/SVT
d>R
d<R
Définition
Soient ~u(a, b, c) et ~v (a0 , b0 , c0 ) deux vecteurs
alors ~u ∧ ~v =
b b0 ~
a a0 ~
a a0 ~
i
−
j
+
k
c c0
c c0
b b0
= (bc0 − cb0 )~i − (ac0 − ca0 ) ~j + (ab0 − ba0 ) ~k
Opérations sur le produit vectoriel
Remarque
• Si (P) est un plan de vecteur normal ~n
et (P 0 ) un plan de vecteur normal n~0
et si (P) et (P 0 ) sont sécants alors
(P) ∩ (P 0 ) est dirigée par ~n ∧ ~n0
Propriété
Prof: QALLOUQ ABDELLAH
#Qallouq Maths
Cours-résumé
2ème BAC PC/SVT
Expression analytique du produit vectoriel
→
−
~u ∧ ~v = 0 ⇔ ~u et ~v sont colinéaires
• (P) et (P 0 ) sont sécants ⇔ ~n et ~n0
sont non colinéaires
~u ∧ ~v = −~v ∧ ~u
k~u ∧ ~v = k(~u ∧ ~v )/k ∈ R
Parallélisme et Orthogonalité
~u ∧ k~v = k(~u ∧ ~v )/k ∈ R
(~u + ~v ) ∧ w
~ = (~u ∧ w)
~ + (~v ∧ w)
~
Propriété
soient (P), (P 0 ) deux plans et (D), (D 0 )
deux droites.
Propriété
−→ −→
• AB ∧ AC est un vecteur normal au plan
(ABC) (A; B et C non alignés)
soient ~n, ~n0 deux vecteurs normaux
respectivement à (P), (P 0 ) et ~u un
vecteur directeur de la droite (D)
• A,B et C étant trois points non alignés
−−→ −→ −→
on a: M ∈ (ABC) ⇔ AM ·(AB ∧ AC) = 0
−→ −→
kAB ∧ ACk
est égal à
• Le nombre S =
2
la surface du triangle ABC.
•(P)//(P 0 ) ⇔ (~n et ~n0 sont colinéaires)
→
−
⇔ ~n ∧ ~n0 = 0
• (P) ⊥ (P 0 ) ⇔ ~n ⊥ ~n0 ⇔ ~n · ~n0 = 0
•(D)//(P) ⇔ ~n ⊥ ~u
• L’aire d’un parallélogramme ABCD est
−→ −→
kAB ∧ ACk
⇔ ~n · ~u = 0
•(D) ⊥ (P) ⇔ (~n et ~u sont colinéaires)
→
−
⇔ ~u ∧ ~n0 = 0
• Soient (D) = D(A, ~u) une droite passant
par A et de vecteur directeur ~u et Ω un
point de l’espace.
”L’algèbre n’est qu’une
géométrie écrite, la géométrie
n’est qu’une algèbre figurée.”
On note d(Ω, (D)) la distance du point Ω
à la droite (D) et on a:
−→
||AΩ ∧ ~u||
d(Ω, (D)) =
||~u||
Sophie Germain
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