Cours-r´esum´e
2`eme BAC PC/SVT
Prof: QALLOUQ ABDELLAH
#Qallouq Maths
G´eom´etrie dans l’espace
L’espace est rapporte `a un rep`ere orthonorm´e direct (O,~
i,~
j,~
k)
Notation des coordonn´ees d’un vecteur
~u =x
~
i+y~
j+z~
k⇐⇒ ~u(x, y, z)⇐⇒ ~u
x
y
z
Norme, Distance et Milieu
Soient le vecteur ~u(x, y, z) et les points
A(xA, yA, zA) , B(xB, yB, zB) et I milieu du
segment [AB] alors:
•k~uk=px2+y2+z2
•−→
AB
xB−xA
yB−yA
zB−zA
•AB =||−→
AB||
=q(xB−xA)2+ (yB−yA)2+ (zB−zA)2
•IxA+xB
2,yA+yB
2,zA+zB
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Expression analytique du produit scalaire
Soient les vecteurs ~u(x, y, z) et ~v(x, y, z)
On a: ~u ·~v =xx0+yy0+zz0
D´efinition
Orthogonalit´e de deux vecteurs
Si ~u et ~v sont deux vecteurs non nuls alors:
~u ⊥~v ⇔~u ·~v = 0
Propri´et´e
droite dans l’espace
Soit A un point de l’espace et ~u un vecteur
non nul.
L’ensemble des points M de l’espace tels
que −−→
AM =k~u ou k ∈R, est la droite
passant par A et de vecteur directeur ~u ,
cette droite est not´ee D(A;~u) .
Propri´et´e
l’ensemble des points tel que −−→
AM ·~u =k
Soit A un point de l’espace et ~u(a, b, c) un
vecteur non nul et k un nombre r´eel
L’ensemble des points M de l’espace tel
que −−→
AM ·~u =kest un plan ayant une
´equation de la forme : ax+by +cz +d= 0
avec d∈R
D´efinition
Plan d´etermin´e par: point et vecteur normal
Tout vecteur ~n de support perpendiculaire
`a un plan (P) est appel´e vecteur normal
`a (P)
(P) = P(A, ~n) = {M∈(P)/−−→
AM·~n = 0}
Si (P) est plan d’´equation cart´esienne
ax +by +cz +d= 0 Alors ~n
a
b
c
est un
vecteur normal `a (P)
D´efinition
Distance d’un point `a un plan
Soit (P) un plan et Ω un point de l’espace
La distance du point Ω au plan (P),
not´ee d(Ω,(P)) est la distance AH ou H
est le projet´e orthogonal de A sur (P) :
d(Ω,(P)) = AH
D´efinition
La distance du point Ω (xΩ, yΩ0zΩ)Rau
plan (P) d’´equation: ax +by +cz +d= 0
est :d(Ω,(P)) = |axΩ+byΩ+czΩ+d|
√a2+b2+c2
Propri´et´e
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