1.2 Param´etrage des droites et des plans de l’espace
Proposition 6 Soient A(xA, yA, zA)un point et −→
u(a, b, c)un vecteur. Alors la droite Dde l’espace passant
par Aet de vecteur directeur −→
ua pour ´equations param´etriques :
x=xA+λa
y=yA+λb o`u λ∈R.
z=zA+λc
(1)
L’ensemble des points de la droite Dest l’ensemble des points Mtels qu’il existe λ∈Rtel que −−→
AM =λ−→
uce
qui explique les ´equations param´etriques de D.
Remarque. ´
Etant donn´ees les ´equations param´etriques d’une droite D(formule (1)), on a imm´ediatement
un point de D(le point de coordonn´ees (xA, yA, zA)) et un vecteur directeur de D(le vecteur de coordonn´ees
(a, b, c)).
Proposition 7 Soient un point A(xA, yA, zA)et deux vecteurs non colin´eaire −→
u1(a1, b1, c1)et −→
u2(a2, b2, c2).
Alors le plan Pde l’espace passant par Aet de vecteurs directeurs −→
u1et −→
u2a pour ´equations param´etriques :
x=xA+λa1+µa2
y=yA+λb1+µb2o`u (λ, µ)∈R2.
z=zA+λc1+µc2
(2)
L’ensemble des points de Pest l’ensemble des points Mtels qu’il existe (λ, µ)∈R2tel que −−→
AM =λ−→
u1+µ−→
u2
ce qui explique les ´equations param´etriques de P.
Remarque. ´
Etant donn´ees les ´equations param´etriques d’un plan P(formule (2)), on a imm´ediatement un
point de P(le point de coordonn´ees (xA, yA, zA)) et deux vecteurs directeurs de P(les vecteurs de coordonn´ees
(a1, b1, c1) et (a2, b2, c2)).
1.3 ´
Equations cart´esiennes
Proposition 8 •Tout plan Pde l’espace admet une ´equation cart´esienne du type ax +by +cz +d= 0, o`u
(a, b, c, d)∈R4v´erifie (a, b, c)6= (0,0,0).
•R´eciproquement, toute ´equation du type ax +by +cz +d= 0, o`u (a, b, c, d)∈R4v´erifie (a, b, c)6= (0,0,0),
est l’´equation d’un plan dont le vecteur normal est −→
n= (a, b, c).
Remarques. Soit Ple plan d´efini par un point Aet deux vecteurs −→
u1et −→
u2non colin´eaires.
•Les points de Psont les points Mtels que −−→
AM,−→
u1et −→
u2soient coplanaires. On obtient donc une ´equation
cart´esienne de Pen d´eveloppant l’´equation Det(−→
u1,−→
u2,−−→
AM) = 0.
•−→
u1∧−→
u2est un vecteur normal au plan P. Alors Det(−→
u1,−→
u2,−−→
AM)=0⇔D−→
u1∧−→
u2,−−→
AME= 0. Ainsi Pest
aussi d´efini comme le plan passant par Aet de vecteur normal −→
u1∧−→
u2.
Proposition 9 Soient deux plans non parall`eles P1et P2de vecteurs normaux −→
n1et −→
n2et soit Dla droite
intersection de ces plans. Alors le vecteur −→
n1∧−→
n2est un vecteur directeur de D.
Lorsqu’une droite Dest d´efinie comme intersection de deux plans, le syst`eme form´e par les ´equations de ces
plans d´efinit alors la droite D.
Proposition 10 •Toute droite Dde l’espace admet un syst`eme d’´equations du type :
a1x+b1y+c1z+d1= 0
a2x+b2y+c2z+d2= 0
o`u (a1, b1, c1, d1)∈R4et (a2, b2, c2, d2)∈R4sont tels que (a1, b1, c1)et (a2, b2, c2)ne soient pas propor-
tionnels.
•R´eciproquement tout syst`eme d’´equations du type pr´ec´edent d´efinit une droite Dde l’espace.
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