Universit´e de Reims Champagne Ardenne
UFR Sciences Exactes et Naturelles
Ann´ee universitaire 2012-2013
MA 0831 - Master 1
Espaces affines euclidiens:
Param´etrages et ´equations dans l’espace
CM
L’espace Eest muni d’un rep`ere orthonorm´e R= (O,
i ,
j ,
k). L’espace est ainsi identifi´e `a R3. On note E
l’espace vectoriel associ´e `a E.
1´
Equations des droites et plans de l’espace
1.1 D´efinitions et rappels
D´efinition 1 La droite affine Dpassant par le point Adirig´ee par le vecteur non nul
uest l’ensemble des
points Mde l’espace tels que
AM est colin´eaire `a
u, soit :
D={M| ∃λR,
AM =λ
u}.
On la note aussi D=A+V ect(
u)et la droite vectorielle D=V ect(
u)est la direction de D.
Proposition 2 Soient D1et D2deux droites de l’espace. Alors il y a trois possibilit´es :
1. D1∩ D2contient au moins deux points distincts, alors D1et D2sont confondues.
2. D1∩ D2={A}, alors D1et D2sont s´ecantes en un A. Elles sont alors aussi coplanaires.
3. D1∩ D2=, alors il y a deux cas possibles :
(a) D1et D2sont parall`eles et donc aussi coplanaires.
(b) D1et D2ne sont pas parall`eles. Elles ne sont alors pas coplanaires.
D´efinition 3 Le plan affine Ppassant par le point Adirig´e par les vecteurs non colin´eaires
u1et
u2est
l’ensemble des points Mdu plan tels que
AM est coplanaire avec
u1et
u2, soit :
P={M| ∃λ, µ R,
AM =λ
u1+µ
u2}.
On le note aussi P=A+V ect(
u1,
u2)et le plan vectoriel P=V ect(
u1,
u2)est la direction de P.
Proposition 4 Soient P1et P2deux plans de l’espace. Il y a alors trois possibilit´es :
1. P1et P2sont confondus.
2. P1∩ P2est une droite.
3. P1∩ P2=, alors P1et P2sont parall`eles.
Proposition 5 Soient Dune droite et Pun plan de l’espace. Il y a trois cas possibles :
1. D ∩ P contient au moins deux points distincts, et alors Dest incluse dans P.
2. D ∩ P ={A}, alors Det Psont s´ecants en A.
3. D ∩ P =, alors Det Psont parall`eles.
1
1.2 Param´etrage des droites et des plans de l’espace
Proposition 6 Soient A(xA, yA, zA)un point et
u(a, b, c)un vecteur. Alors la droite Dde l’espace passant
par Aet de vecteur directeur
ua pour ´equations param´etriques :
x=xA+λa
y=yA+λb o`u λR.
z=zA+λc
(1)
L’ensemble des points de la droite Dest l’ensemble des points Mtels qu’il existe λRtel que
AM =λ
uce
qui explique les ´equations param´etriques de D.
Remarque. ´
Etant donn´ees les ´equations param´etriques d’une droite D(formule (1)), on a imm´ediatement
un point de D(le point de coordonn´ees (xA, yA, zA)) et un vecteur directeur de D(le vecteur de coordonn´ees
(a, b, c)).
Proposition 7 Soient un point A(xA, yA, zA)et deux vecteurs non colin´eaire
u1(a1, b1, c1)et
u2(a2, b2, c2).
Alors le plan Pde l’espace passant par Aet de vecteurs directeurs
u1et
u2a pour ´equations param´etriques :
x=xA+λa1+µa2
y=yA+λb1+µb2o`u (λ, µ)R2.
z=zA+λc1+µc2
(2)
L’ensemble des points de Pest l’ensemble des points Mtels qu’il existe (λ, µ)R2tel que
AM =λ
u1+µ
u2
ce qui explique les ´equations param´etriques de P.
Remarque. ´
Etant donn´ees les ´equations param´etriques d’un plan P(formule (2)), on a imm´ediatement un
point de P(le point de coordonn´ees (xA, yA, zA)) et deux vecteurs directeurs de P(les vecteurs de coordonn´ees
(a1, b1, c1) et (a2, b2, c2)).
1.3 ´
Equations cart´esiennes
Proposition 8 Tout plan Pde l’espace admet une ´equation cart´esienne du type ax +by +cz +d= 0, o`u
(a, b, c, d)R4v´erifie (a, b, c)6= (0,0,0).
R´eciproquement, toute ´equation du type ax +by +cz +d= 0, o`u (a, b, c, d)R4v´erifie (a, b, c)6= (0,0,0),
est l’´equation d’un plan dont le vecteur normal est
n= (a, b, c).
Remarques. Soit Ple plan d´efini par un point Aet deux vecteurs
u1et
u2non colin´eaires.
Les points de Psont les points Mtels que
AM,
u1et
u2soient coplanaires. On obtient donc une ´equation
cart´esienne de Pen d´eveloppant l’´equation Det(
u1,
u2,
AM) = 0.
u1
u2est un vecteur normal au plan P. Alors Det(
u1,
u2,
AM)=0D
u1
u2,
AME= 0. Ainsi Pest
aussi d´efini comme le plan passant par Aet de vecteur normal
u1
u2.
Proposition 9 Soient deux plans non parall`eles P1et P2de vecteurs normaux
n1et
n2et soit Dla droite
intersection de ces plans. Alors le vecteur
n1
n2est un vecteur directeur de D.
Lorsqu’une droite Dest d´efinie comme intersection de deux plans, le syst`eme form´e par les ´equations de ces
plans d´efinit alors la droite D.
Proposition 10 Toute droite Dde l’espace admet un syst`eme d’´equations du type :
a1x+b1y+c1z+d1= 0
a2x+b2y+c2z+d2= 0
o`u (a1, b1, c1, d1)R4et (a2, b2, c2, d2)R4sont tels que (a1, b1, c1)et (a2, b2, c2)ne soient pas propor-
tionnels.
R´eciproquement tout syst`eme d’´equations du type pr´ec´edent d´efinit une droite Dde l’espace.
2
2 Distances
Proposition 11 Soit une droite Dde l’espace, et soient Aun point de Det
uun vecteur directeur de D.
Alors pour tout point Mde l’espace, la distance de M`a Dest
d(M, D) = k
AM
uk
k
uk.
Preuve. Notons Hla projection orthogonale du point Msur la droite D. La distance de M`a la droite Dest
´egale `a k
HM k, et on a compte tenu de la colin´earit´e de
AH et
u:
k
AM
uk=k
AH
u+
HM
uk=k
HM
uk=k
HM k·k
uk.
Proposition 12 Soient deux droites D1=A1+V ect(
u1)et D2=A2+V ect(
u2)de l’espace. Si les droites D1et
D2ne sont pas parall`eles, il existe une perpendiculaire commune et une seule aux droites D1et D2, c’est-`a-dire
une droite et une seule telle que :
est perpendiculaire `a D1et D2et est donc dirig´ee par le produit vectoriel
u1
u2.
rencontre les droites D1et D2en deux points H1et H2.
Enfin, la distance de D1`a D2est ´egale `a H1H2et on a :
d(D1,D2) = H1H2=k[
u1,
u2,
A1A2]k
k
u1
u2k.
Preuve.
Existence et unicit´e de la perpendiculaire commune
Si une perpendiculaire commune ∆ existe, elle appartient n´ecessairement :
au plan d´etermin´e par D1et ∆, c’est-`a-dire au plan P1=A1+V ect(
u1,
u1
u2),
au plan d´etermin´e par D2et ∆, c’est-`a-dire au plan P2=A2+V ect(
u2,
u1
u2).
C’est donc n´ecessairement l’intersection de ces deux plans P1et P2, d’o`u son unicit´e.
R´eciproquement, consid´erons les deux plans P1et P2ainsi d´efinis. Ils ne sont pas parall`eles, car sinon
leurs directions V ect(
u1,
u1
u2) et V ect(
u2,
u1
u2) seraient identiques et les vecteurs
u1,
u2,
u1
u2
coplanaires, ce qui est impossible car
u1et
u2´etant non colin´eaires, (
u1,
u2,
u1
u2) forme une base de E.
Ces deux plans se coupent donc suivant une droite ∆ et on v´erifie que :
la direction de ∆ = P1∩ P2est l’intersection des directions de P1et P2, c’est-`a-dire:
V ect(
u1,
u1
u2)\V ect(
u2,
u1
u2) = V ect(
u1
u2).
La direction de ∆ est donc orthogonale `a celles de D1et D2.
la droite ∆ coupe D1en un point H1car ∆ est dans le plan P1et est orthogonale `a D1.
la droite ∆ coupe D2en un point H2car ∆ est dans le plan P2et est orthogonale `a D2.
Distance des deux droites
Consid´erons un point M1sur D1et un point M2sur D2. Projetons orthogonalement M2en Msur le
plan parall`ele `a D2contenant D1, qui est orthogonal `a la perpendiculaire commune H1H2. Le th´eor`eme
de Pythagore donne :
M1M2
2=M1M2+MM2
2MM2
2=H1H2
2.
Ainsi, H1H2r´ealise une plus courte distance entre un point de D1et de D2, et on a :
h
u1,
u2,
A1A2i=D
u1
u2,
A1A2E=D
u1
u2,
A1H1+
H1H2+
H2A2E.
Compte tenu de l’orthogonalit´e de
u1
u2`a
A1H1et
H2A2, on obtient enfin :
h
u1,
u2,
A1A2i
=
D
u1
u2,
H1H2E
=k
u1
u2k · H1H2.
3
Remarque. On d´eduit de ce r´esultat que les deux droites D1=A1+V ect(
u1) et D2=A2+V ect(
u2), qu’elles
soient parall`eles ou non, sont coplanaires si et seulement si h
A1A2,
u1,
u2i= 0.
Proposition 13 La distance d’un point M(xM, yM, zM)au plan Pd’´equation ux +vy +wz +h= 0 est ´egale
`a :
d(M, P) = |uxM+vyM+wzM+h|
u2+v2+w2.
Preuve. La distance de M`a P=A+V ect(
n), avec
n(u, v, w), est HM o`u Hest la projection orthogonale
du point Msur le plan Pet on a :
D
n ,
HM E
=k
nk·k
HM kcar ces vecteurs sont orthogonaux `a P, donc colin´eaires.
D
n ,
HM E
=|u(xMxH) + v(yMyH) + w(zMzH)|=|uxM+vyM+wzM+h|, en utilisant le fait
que H∈ P et donc uxH+vyH+wzH+h= 0.
Alors
d(M, P) = k
HM k=
D
n ,
HM E
k
nk=|uxM+vyM+wzM+h|
u2+v2+w2.
3 Sph`eres
3.1 ´
Equation d’une sph`ere
La sph`ere de centre Aet de rayon R0 est l’ensemble des points Mtels qu’on ait AM =Ret on la note
S(A;R)
Proposition 14 Les sph`eres Ssont les ensembles dont une ´equation est
x2+y2+z22xAx2yAy2zAz+c= 0 avec x2
A+y2
A+z2
Ac.
Et dans ce cas, le point A(xA, yA, zA)est le centre de la sph`ere Set px2
A+y2
A+z2
Acson rayon.
Preuve. D’apr`es la d´efinition de la sph`ere de centre Aet de rayon R > 0, on a :
M∈ S(A;R)AM =R(xxA)2+ (yyA)2+ (zzA)2=R2.
La sph`ere S(A;R) a ainsi pour ´equation cart´esienne :
x2+y2+z22xAx2yAy2zAz+ (x2
A+y2
A+z2
AR2) = 0.
On constate que c=x2
A+y2
A+z2
AR2, ce qui implique x2
A+y2
A+z2
Ac.
Inversement, montrons que x2+y2+z22xAx2yAy2zAz+c= 0, avec x2
A+y2
A+z2
Ac, est l’´equation
d’une sph`ere de centre A(xA, yA, zA). L’´equation s’´ecrit aussi
(xxA)2+ (yyA)2+ (zzA)2=x2
A+y2
A+z2
Ac.
Donc
si x2
A+y2
A+z2
Ac > 0, on a la sph`ere de centre Aet de rayon px2
A+y2
A+z2
Ac
si x2
A+y2
A+z2
Ac= 0, on a l’ensemble r´eduit au seul point A.
si x2
A+y2
A+z2
Ac < 0, on a l’ensemble vide.
4
Proposition 15 Si Aet Bsont deux points distincts de l’espace, l’ensemble des points Mtels que l’angle \
AMB
soit droit, ou tels que D
MA,
MBE= 0, est la sph`ere de diam`etre AB.
Preuve. Notons Ile milieu du segment AB et consid´erons un rep`ere orthonorm´e dont l’axe Ix est port´e par
(AB) de sorte que Aet Bont pour coordonn´ees (±a, 0,0).
L’ensemble des points Mtels que l’angle \
AMB est droit a pour ´equation :
D
MA,
MBE= (x+a)(xa) + y2+z2=x2+y2+z2a2= 0.
C’est la sph`ere de centre Iet de rayon a, c’est-`a-dire la sph`ere de diam`etre AB.
3.2 Plan tangent
D´efinition 16 On appelle plan tangent en P`a la sph`ere S(A;R)le plan passant par Pet perpendiculaire
au rayon AP . Son ´equation est donn´e par la relation D
P A,
P ME= 0.
On appelle tangente en P`a la sph`ere S(A;R)toute droite passant par Pet perpendiculaire au rayon AP .
Les tangentes en P`a la sph`ere sont ainsi les droites qui passent par Pet qui sont incluses dans le plan
tangent en P.
Remarques.
Un plan est tangent `a la sph`ere si et seulement s’il est `a la distance Rdu centre A.
Une droite est tangente `a la sph`ere si et seulement si elle est `a la distance Rdu centre A.
3.3 Intersections
Proposition 17 Soit Sla sph`ere de centre Aet de rayon R, et soit Pun plan. On note Hle projet´e orthogonal
de Asur P. L’intersection de Savec Pest alors donn´ee par :
1. si d(A, P)> R,S ∩ P =.
2. si d(A, P) = R,S ∩ P ={H}.
3. si d(A, P)< R,S ∩ P =C, o`u Cest le cercle inclus dans P, de centre Het de rayon pR2(d(A, P))2.
Proposition 18 Soit Sla sph`ere de centre Aet de rayon R, et soit Dune droite. On note Hle projet´e
orthogonal de Asur D. L’intersection de Set de Dest alors donn´ee par :
1. si d(A, D)> R,S ∩ D =.
2. si d(A, D) = R,S ∩ D ={H}.
3. si d(A, D)< R,S ∩ D ={H1, H2}, o`u H1et H2sont les points de Dsitu´es `a une distance ´egale
pR2(d(A, D))2de H.
Proposition 19 L’intersection de deux sph`eres non concentriques est soit vide, soit r´eduite `a un point, soit
´egale `a un cercle.
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