Moment cinétique, mouvement dans un potentiel central

M´ecanique Quantique le 1 mars 2006
Gilles Montambaux
Petite Classe 4
Mouvement dans un potentiel central
A - Harmoniques sph´eriques
Les harmoniques sph´eriques Yl,m(θ, ϕ) sont les fonctions propres communes aux observables
ˆ
Lzet ˆ L2. On rappelle que, en coordonn´ees sph´eriques, les op´erateurs ˆ Lz,ˆ L±=ˆ Lx±iˆ Lyet
ˆ
L2=ˆ L2
x+ˆ
L2
y+ˆ
L2
ys’´ecrivent:
ˆ
Lz=¯h
i
∂
∂ϕ
ˆ
L±= ¯he±iϕ µ±∂
∂θ +icot θ∂ ∂ϕ¶
ˆ
L2=−¯h2µ1
sin θ
∂
∂θ sin θ∂ ∂θ +1
sin2θ
∂2
∂ϕ2¶
1. Montrer que les Yl,m sont de la forme
Yl,m(θ, ϕ) = Fl,m(θ)eimϕ
o`u mest un entier. En d´eduire que lest aussi entier.
2. Montrer que Yl,l est de la forme
Yl,l(θ, ϕ)∝sinlθ eilϕ
3. Comment construire les harmoniques sph´eriques Yl,m(θ, ϕ) ?
4. Calculer Y0,0,Y1,1,Y1,0et Y1,−1
B - Particule dans un potentiel central
1. On consid`ere le probl`eme d’une particule dans un potentiel central. L’hamiltonien ˆ H
est donc de la forme ˆ H=ˆp2
2m+V(ˆr) o`u r=|r|.´
Ecrire l’hamiltonien en coordonn´ees
sph´eriques. On montre pour cela que
∆ = 1
r
∂2
∂r2r−ˆ
L2
¯h2r2
2. Montrer que
[ˆ H, ˆ L] = 0 [ ˆ H, L2] = 0
1

3. On cherche les solutions de l’´equation de Schr¨odinger sous la forme
ψl,m(r) = Rl(r)Yl,m(θ, ϕ)
Montrer que la fonction d’onde r´eduite ul(r) = rRl(r) est solution d’une ´equation de
Schr¨odinger unidimensionnelle avec un potentiel effectif que l’on d´eterminera.
4. Pour ldonn´e, on num´erote les ´energies propres croissantes par le nombre quantique not´e
n0∈ N . On a aussi l’habitude de num´eroter ces niveaux par le nombre quantique principal
n∈ N ∗, d´efini par la relation
n=n0+l+ 1
C - Potentiel sph´erique
On consid`ere une particule dans un potentiel `a sym´etrie sph´erique, constitu´e d’un puits
infini tel que V(r) = 0 si r0−a/2< r < r0+a/2 et V(r) = ∞autrement. On suppose par
ailleurs que a¿r0.
En faisant l’hypoth`ese a¿r0, d´eterminer les solutions Rn,l(r) et donner leurs ´energies.
D - Potentiel en 1/r, atome d’hydrog`ene
On consid`ere maintenant une particule dans un potentiel central V(r) = −e2/r.
1. On introduit les variables r´eduites ρ=r/a1et ²=−E/EI, o`u a1= ¯h2/(me2) est le rayon
de Bohr et EI=me4/(2¯h2). Montrer que l’´equation de Schr¨odinger radiale se r´eduit `a
l’´equation diff´erentielle :
µ∂2
∂ρ2−l(l+ 1) ρ2+2 ρ−²¶ul(r) = 0
2. On cherche des solutions sous la forme :
ul(ρ) = e−ρ√²yl(ρ) avec yl(ρ) =
qmax
X
qmin
cl,qρq
Montrer que qmin =l+ 1 et que qmax est fini. On note qmax =n0+l+ 1 o`u n0est le
nombre de z´eros de la fonction d’onde.
3. Montrer que les ´energies propres sont donn´ees par
En0,l =−E0/(n0+l+ 1)2=−E0/n2
4. D´ecrire le spectre de l’atome d’hydrog`ene. Quelle est la d´eg´en´erescence d’un niveau
d’´energie En?
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Pour visualiser les fonctions d’onde de l’atome d’hydrog`ene, on pourra consulter :
http://webphysics.davidson.edu/faculty/dmb/hydrogen/
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On donne : ∆ = 1
r
∂2
∂r2r+1 r2µ1 sin θ
∂
∂θ sin θ∂ ∂θ +1
sin2θ
∂2
∂ϕ2¶
2