Moment cinétique, mouvement dans un potentiel central

Mécanique Quantique
Gilles Montambaux
le 1 mars 2006
Petite Classe 4
Mouvement dans un potentiel central
A - Harmoniques sphériques
Les harmoniques sphériques Yl,m (θ, ϕ) sont les fonctions propres communes aux observables
L̂z et L̂2 . On rappelle que, en coordonnées sphériques, les opérateurs L̂z , L̂± = L̂x ± iL̂y et
L̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2y s’écrivent:
h̄ ∂
L̂z =
i ∂ϕ
µ
¶
∂
∂
±iϕ
L̂± = h̄e
± + i cot θ
∂θ
∂ϕ
µ
¶
1 ∂
∂
1 ∂2
2
2
L̂ = −h̄
sin θ
+
sin θ ∂θ
∂θ sin2 θ ∂ϕ2
1. Montrer que les Yl,m sont de la forme
Yl,m (θ, ϕ) = Fl,m (θ)eimϕ
où m est un entier. En déduire que l est aussi entier.
2. Montrer que Yl,l est de la forme
Yl,l (θ, ϕ) ∝ sinl θ eilϕ
3. Comment construire les harmoniques sphériques Yl,m (θ, ϕ) ?
4. Calculer Y0,0 , Y1,1 , Y1,0 et Y1,−1
B - Particule dans un potentiel central
1. On considère le problème d’une particule dans un potentiel central. L’hamiltonien Ĥ
p̂2
est donc de la forme Ĥ = 2m
+ V (r̂) où r = |r|. Écrire l’hamiltonien en coordonnées
sphériques. On montre pour cela que
L̂2
1 ∂2
r − 2 2
∆=
r ∂r2
h̄ r
2. Montrer que
[Ĥ, L̂] = 0
1
[Ĥ, L2 ] = 0
3. On cherche les solutions de l’équation de Schrödinger sous la forme
ψl,m (r) = Rl (r)Yl,m (θ, ϕ)
Montrer que la fonction d’onde réduite ul (r) = rRl (r) est solution d’une équation de
Schrödinger unidimensionnelle avec un potentiel effectif que l’on déterminera.
4. Pour l donné, on numérote les énergies propres croissantes par le nombre quantique noté
n0 ∈ N . On a aussi l’habitude de numéroter ces niveaux par le nombre quantique principal
n ∈ N ∗ , défini par la relation
n = n0 + l + 1
C - Potentiel sphérique
On considère une particule dans un potentiel à symétrie sphérique, constitué d’un puits
infini tel que V (r) = 0 si r0 − a/2 < r < r0 + a/2 et V (r) = ∞ autrement. On suppose par
ailleurs que a ¿ r0 .
En faisant l’hypothèse a ¿ r0 , déterminer les solutions Rn,l (r) et donner leurs énergies.
D - Potentiel en 1/r, atome d’hydrogène
On considère maintenant une particule dans un potentiel central V (r) = −e2 /r.
1. On introduit les variables réduites ρ = r/a1 et ² = −E/EI , où a1 = h̄2 /(me2 ) est le rayon
de Bohr et EI = me4 /(2h̄2 ). Montrer que l’équation de Schrödinger radiale se réduit à
l’équation différentielle :
µ 2
¶
∂
l(l + 1) 2
−
+ − ² ul (r) = 0
∂ρ2
ρ2
ρ
2. On cherche des solutions sous la forme :
√
−ρ ²
ul (ρ) = e
qmax
yl (ρ)
avec
yl (ρ) =
X
cl,q ρq
qmin
Montrer que qmin = l + 1 et que qmax est fini. On note qmax = n0 + l + 1 où n0 est le
nombre de zéros de la fonction d’onde.
3. Montrer que les énergies propres sont données par
En0 ,l = −E0 /(n0 + l + 1)2 = −E0 /n2
4. Décrire le spectre de l’atome d’hydrogène. Quelle est la dégénérescence d’un niveau
d’énergie En ?
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Pour visualiser les fonctions d’onde de l’atome d’hydrogène, on pourra consulter :
http://webphysics.davidson.edu/faculty/dmb/hydrogen/
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On donne :
1
1 ∂2
r + 2
∆=
2
r ∂r
r
2
µ
1 ∂
∂
1 ∂2
sin θ
+
sin θ ∂θ
∂θ sin2 θ ∂ϕ2
¶