Solution TD chapitre II

Université Sultan Moulay Slimane
Faculté des Sciences et Techniques de Beni-Mellal
Département de Mathématiques
A. ABBASSI
Exercices Analyse II
Travaux Dirigés N2
Première version:
Décembre, 2017
FST Beni-Mellal.
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Université Sultan Moulay Slimane Année universitaire 2017/2018
Faculté des Sciences et Techniques de Beni Mellal Filières : MIPC/GE-GM
Travaux Dirigés N2
Module Analyse II
Exercice 1 : Les intégrales suivantes sont-elles convergentes? si oui, les calculer:
Z+1
0
Arc tan x
1 + x2dx; Z+1
0
dx
(x+px2+ 1)n(n2N):
Exercice 2 : Pour quelles valeurs de les intégrales suivantes sont-elles convergentes?
Z+1
0
(px2+ 2x+ 2 x1)dx; Z+1
0
1thx
xdx; Z+1
0
pxsin(1=x2)
ln(1 + x)dx
Exercice 3 :
1- Pour quelles valeurs de l’intégrale suivante est-elle convergente?
() = Z+1
0
xexdx
2- Calculer (n)pour n2N.
Exercice 4 : Montrer la convergence des intégrales suivantes et trouver leurs valeurs:
Z+1
1
(1
xarctan 1 x)dx; Z1
0
ln(1 x2)
x2dx
Exercice 5 : Considérons les fonctions suivantes dé…nies pour tout x2Rpar:
F(x) = (Zx
0
et2dt)2; G(x) = Z1
0
ex2(1+t2)
1 + t2dt
1- Calculer F0(x) + G0(x), que peut-on en déduire?
2- Calculer lim
x!+1G(x), en déduire la valeur de R+1
0et2dt puis celle de R+1 1 et2dt.
Exercice 6 :
1- Montrer que l’intégrale I=R+1
0
1
ex+exdx est convergente
2- Soit aun réel strictement positif. On pose:
I(a) = Za
0
1
ex+exdx et J(a) = Z0
a
1
ex+exdx
a- Montrer que I(a) = J(a).
b- Montrer que I(a) = Arctg(ea)
4.
3- Calculer alors la valeur de I.
4- En déduire que R+1
1
1
ex+exdx est convergente et donner sa valeur.
5- Montrer que R+1
0
t
et2+et2dt est convergente et calculer sa valeur.

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Solutions:
Exercice 1 :
a) Posons I1=Z+1
0
Arc tan x
1 + x2dx. Avant tout calcul de primitive, véri…ant en premier que
cette intégrale est convergente.
La fonction x!Arc tan x
1 + x2est continue sur [0;+1[, donc elle est localement intégrable sur
[0;+1[:
Soit x > 0,
I1(x) =
x
Z0
Arc tan t
1 + t2dt
2
x
Z0
1
1 + t2dt;
donc
I1(x)
2arctan x
(
2)2;
donc I1est convergente. (Le lemme d’Abel peut être appliqué pour montrer la cv de cette
intégrale: x!1
1 + x2est décroissante vers 0en +1et Arc tan xest bornée par 
2)
Calculons sa valeur::
I1(x) =
arctan x
Z0
udu;
où 8
<
:
u=Arc tan t
du =1
1 + t2dt;
donc
I1(x) = 1
2ar tan2x:
D’où
I1= lim
x!+1I1(x) = 2
8:
b) Soit n2N, la fonction f:x!dx
(x+px2+ 1)nest continue sur [0;+1[, donc fest
localement intégrable sur [0;+1[.
Posons I2=R+1
0f(t)dt, on a
I2=Z2
0
f(t)dt
| {z }
integrale simple
+Z+1
2
f(t)dt
| {z }
integrale generalisee
;
étudions la convergence Zb
2
f(t)dt au voisinage de +1(c-à-d quand b!+1).

4 A. ABBASSI
Au voisinage de +1:
f(x)1
2nxn;
de plus R+1
0
1
2nxndx est convergente pour n > 1, donc I2converge pour n > 1, et diverge pour
n= 0 et n= 1.
Soit n > 1, calculons I2, par le changement de variable: x=sh(t); dx =ch(t)dt:
…gure 2
I2(b) =
b
Z0
f(t)dt
=
arg sh(b)
Z0
ch(t)dt
(sht +psh2t+ 1)n(car ch2xsh2x= 1)
=
arg sh(b)
Z0
ch(t)dt
(sht +cht
| {z }
et
)n(pour b > 0;
=
arg sh(b)
Z0
ent+t+entt
2dt
=1
2[1 n+ 1e(n+1)t]arg sh(b)
0+1
2[1 n1e(n1)t]arg sh(b)
0;
…nalement,
I2= lim
b!+1I2(b)
=1
21 n+ 1 +1 21 n1(car lim
b!+1arg shb = +1)
=n
n21:
Exercice 2 :
a) Soit I1=R+1
0(px2+ 2x+ 2 x1)dx;
I1=Z1
0
(px2+ 2x+ 2 x1)dx
| {z }
I: simple
+Z+1
1
(px2+ 2x+ 2 x1)dx
| {z }
I: generalisee
;

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en multipliant par l’expression conjuguée, on a
px2+ 2x+ 2 x1 = 1
px2+ 2x+2+x+ 1;
donc, au voisinage de +1
(px2+ 2x+ 2 x1)+1
1
(2x):
Or R+1
1
1
(2x)dx converge si et seulement si  > 1, donc I1converge ssi  > 1.
b) Posons I2=R+1
0
1thx
xdx. La fonction f:x!1thx xest localement intégrable sur
]0;+1[, étudions la convergence de Rf(t)dt aux voisinages de 0et +1.
Remarquons que
f(x) = 1thx
x
=2ex
x(ex+ex):
Au voisinage de 0:
f(x)0
1
x;
or R1
0
1
xdx converge ssi  < 1:
Au voisinage de +1:Z+1
1
f(x)dx =Z+1
1
2
x(e2x+ 1)dx;
or
2
x(e2x+ 1) +12e2x x;
pour conclure, soit on pose x= ln t; l’expression R+1
1
e2x
xdx s’écrit alors sous la forme du
terme général de la série de Bertrand convergente: R+1
e
1
t3ln(t)dt.
Soit, on décompose pour x > 1
2e2x
x= 2ex xex;
soit k2R+, comme
lim
x!+1
ex
x= 0 =) 9A > 1;8xA; ex xk;
donc
8xA; 2e2x
xkex;
de plus, R+1
1kexdx converge =)R+1 1
1thx
xdx converge et ceci pour toute valeur de :
c/c L’intégrale I2est convergente ssi  < 1.