Université Sultan Moulay Slimane Faculté des Sciences et Techniques de Beni-Mellal Département de Mathématiques A. ABBASSI Exercices Analyse II Travaux Dirigés N 2 Première version: Décembre, 2017 FST Beni-Mellal. 2 Université Sultan Moulay Slimane Faculté des Sciences et Techniques de Beni Mellal Année universitaire 2017/2018 Filières : MIPC/GE-GM Travaux Dirigés N 2 Module Analyse II Exercice 1 : Les intégrales suivantes sont-elles convergentes? si oui, les calculer: Z +1 0 Arc tan x dx; 1 + x2 Z +1 0 dx p (n 2 N): (x + x2 + 1)n Exercice 2 : Pour quelles valeurs de les intégrales suivantes sont-elles convergentes? Z +1 Z +1 p Z +1 p 1 thx x sin(1=x2 ) ( x2 + 2x + 2 x 1) dx; dx; dx x ln(1 + x) 0 0 0 Exercice 3 : 1- Pour quelles valeurs de l’intégrale suivante est-elle convergente? Z +1 ( )= x e x dx 0 2- Calculer (n) pour n 2 N. Exercice 4 : Montrer la convergence des intégrales suivantes et trouver leurs valeurs: Z +1 Z 1 1 1 ln(1 x2 ) ( arctan )dx; dx x x x2 1 0 Exercice 5 : Considérons les fonctions suivantes dé…nies pour tout x 2 R par: Z x Z 1 x2 (1+t2 ) e t2 2 F (x) = ( e dt) ; G(x) = dt 1 + t2 0 0 1- Calculer F 0 (x) + G0 (x), que peut-on en déduire? R +1 2- Calculer lim G(x), en déduire la valeur de 0 e x!+1 Exercice 6 : R +1 t2 dt puis celle de 1 dx est convergente +e x 2- Soit a un réel strictement positif. On pose: Z a Z 0 1 1 I(a) = dx et J(a) = x x x 0 e +e a e +e 1- Montrer que l’intégrale I = 0 ex x dx a- Montrer que I(a) = J(a). b- Montrer que I(a) = Arctg(ea ) . 4 3- Calculer alors la valeur de I. R +1 1 4- En déduire que 1 x dx est convergente et donner sa valeur. e +e x R +1 t 5- Montrer que 0 dt est convergente et calculer sa valeur. 2 t e + e t2 R +1 1 e t2 dt. — — — — — — — — TRAVAUX DIRIGÉS N 2— — — — — — — — — — — 3 Solutions: Exercice 1 : Z +1 Arc tan x dx. Avant tout calcul de primitive, véri…ant en premier que 1 + x2 0 cette intégrale est convergente. Arc tan x La fonction x ! est continue sur [0; +1[, donc elle est localement intégrable sur 1 + x2 [0; +1[: Soit x > 0, Zx Arc tan t I1 (x) = dt 1 + t2 a) Posons I1 = 0 2 Zx 1 dt; 1 + t2 0 donc I1 (x) 2 arctan x ( )2 ; 2 donc I1 est convergente. (Le lemme d’Abel peut être appliqué pour montrer la cv de cette 1 intégrale: x ! est décroissante vers 0 en +1 et Arc tan x est bornée par 2 ) 1 + x2 Calculons sa valeur:: arctan Z x I1 (x) = udu; 0 où 8 < u = Arc tan t 1 : du = dt; 1 + t2 donc 1 I1 (x) = ar tan2 x: 2 D’où 2 I1 = lim I1 (x) = x!+1 b) Soit n 2 N, la fonction f : x ! localement intégrable sur [0; +1[. R +1 Posons I2 = 0 f (t)dt, on a I2 = Z | 0 étudions la convergence b 2 : dx p est continue sur [0; +1[, donc f est (x + x2 + 1)n 2 f (t)dt + {z } integrale simple Z 8 Z | 2 +1 f (t)dt ; {z } integrale generalisee f (t)dt au voisinage de +1 (c-à-d quand b ! +1). 4 A. ABBASSI Au voisinage de +1: 1 f (x) 2n xn ; R +1 de plus 0 2n1xn dx est convergente pour n > 1, donc I2 converge pour n > 1, et diverge pour n = 0 et n = 1. Soit n > 1, calculons I2 , par le changement de variable: x = sh(t); dx = ch(t)dt: …gure 2 Zb I2 (b) = f (t)dt 0 argZsh(b) = 0 argZsh(b) = 0 argZsh(b) = ch(t)dt p (car ch2 x (sht + sh2 t + 1)n sh2 x = 1) ch(t)dt ( pour b > 0; n (sht + cht ) | {z } et e nt+t +e 2 nt t dt 0 1 1 [ e( 2 n+1 = n+1)t arg sh(b) ]0 1 1 + [ e( 2 n 1 n 1)t arg sh(b) ]0 ; …nalement, I2 = = = lim I2 (b) b!+1 1 2 1 1 + n+1 2 n n2 1 1 n 1 (car lim arg shb = +1) b!+1 : Exercice 2 : R +1 p a) Soit I1 = 0 ( x2 + 2x + 2 x 1) dx; Z +1 p Z 1 p 2 ( x2 + 2x + 2 I1 = ( x + 2x + 2 x 1) dx + {z |0 {z } |1 I: simple I: generalisee x 1) dx; } — — — — — — — — TRAVAUX DIRIGÉS N 2— — — — — — — — — — — en multipliant par l’expression conjuguée, on a p x2 + 2x + 2 x 1 = p 5 1 ; + 2x + 2 + x + 1 x2 donc, au voisinage de +1 p ( x2 + 2x + 2 x 1) +1 1 : (2x) R +1 1 dx converge si et seulement si > 1, donc I1 converge ssi > 1. (2x) R +1 1 thx 1 thx b) Posons I2 = 0 dx. La fonction f : x ! est localement intégrable sur x x R ]0; +1[, étudions la convergence de f (t)dt aux voisinages de 0 et +1. Remarquons que Or 1 1 f (x) = thx x 2e x : x (ex + e x ) = Au voisinage de 0: f (x) R1 1 or 0 dx converge ssi x Au voisinage de +1: 0 1 ; x < 1: Z +1 f (x)dx = 1 or Z +1 2 x 1 2 x (e2x + 1) +1 (e2x 2 + 1) dx; e 2x ; x R +1 e 2x dx s’écrit alors sous la forme du 1 x R +1 1 terme général de la série de Bertrand convergente: e dt. t3 ln (t) Soit, on décompose pour x > 1 e 2x e x 2 =2 e x; x x + soit k 2 R , comme pour conclure, soit on pose x = ln t; l’expression e x = 0 =) 9A > 1; 8x x!+1 x lim A; e x x k; donc e 2x 8x A; 2 k e x; x R +1 R thx +1 1 de plus, 1 ke x dx converge =) 1 dx converge et ceci pour toute valeur de : x c/c L’intégrale I2 est convergente ssi < 1. 6 R +1 A. ABBASSI p 2 x sin(1=x ) dx; 0 ln(1 + x) Z 1p Z 2p Z +1 p x sin(1=x2 ) x sin(1=x2 ) x sin(1=x2 ) I3 = dx + dx + dx : ln(1 + x) ln(1 + x) ln(1 + x) 0 1 2 | {z } | {z } | {z } c) Soit I3 = I: G: I: S: Au voisinage de 0: I: G: p p x sin(1=x2 ) j j ln(1 + x) et p x ln(1 + x) L’intégrale R1 p1 dx 0 x 0 x ; ln(1 + x) 1 p ; car ln(1 + x) x 0 x: converge, donc d’après les critères de comparaison et d’équivalence, est absolument convergente, donc convergente. Au voisinage de +1: sin(1=x2 ) donc 0 L’intégrale R +1 2 1 3 x 2 ln x +1 p 0 x sin(1=x2 ) dx ln(1 + x) 1 ; x2 p x sin(1=x2 ) ln(1 + x) R1 1 +1 3 2 x ln x : dx est de Bertrand convergente, donc d’après le critère d’équivalence Z +1 p x sin(1=x2 ) dx est convergente. ln(1 + x) 2 Conclusion: I3 est convergente. Exercice 3 : 1- La fonction x !x e x est localement contibue sur ]0; +1[, Z 1 Z +1 x ( )= x e dx + x e x dx: 0 1 Au voisinage de 0: x e l’intégrale de Riemann ssi > 1. Au voisinage de +1: R1 0 x dx converge ssi lim x e x!+1 1 x 2 x > x ; 0 1, donc par équivalence = 0 =) 9A > 1; 8x 1 A; x e 1 x 2 R1 0 x e x dx converge k; =) x e x ke 2 x ; 8x A: R +1 R +1 1 D’après le théorème de comparaison, 1 x e x dx est convergente car 0 e 2 x dx converge. (Autre méthode: toujours au v(+1), on peut e¤ectuer le changement de variable x = ln t, on aura par la suite une integrale de Bertrand convergente pour toute de la valeur de ) On en conclut que ( ) converge si et seulement si > 1. — — — — — — — — TRAVAUX DIRIGÉS N 2— — — — — — — — — — — 2- Pour n 2 N, (n + 1) = Z +1 xn+1 e x dx 0 = 7 IP P lim [ x n+1 b!+1 e x b ]0 + (n + 1) Z +1 xn e x dx 0 = (n + 1) (n); par récurrence, on montre que (n + 1) = (n + 1)! (0); et comme (0) = 1, donc: (n) = n!; n 2 N: R +1 1 1 ( arctan )dx doit-être étudiée seulement au 1 x x 1 1 arctan est localement intégrable. voisinage de +1 car sur [1; +1[; la fonction x ! x x Au voisinage de +1: Le D.L4 (0). de la fonction u ! arctan u assure que: Exercice 4 : a) La convergence de J1 = u arctan u 0 1 3 u; 3 c-à-d 1 1 1 1 arctan ; +1 x x 3 x3 par équivalence à une intégrale de Riemann convergente, en déduit que J1 est convergente. Calculons J1 : Ulilisant le fait que 1 arctan x + arctan = ; x 2 composé au résultat de l’exercice 3 de la première série: Z 1 arctan xdx = x arctan x ln(1 + x2 ) + c; x 2 R et c 2 R 2 Z 1 1 =) arctan dx = x x arctan x + ln(1 + x2 ) + c: x 2 2 soit b > 1; Z b 1 1 J1 (b) = ( arctan )dx x 1 x 1 = [ln x x + x arctan x ln(1 + x2 )]b1 2 2 x ) x( ar tan x)]b1 ; = [ln( p 2 2 1+x | {z } ar tan comme x arctan 1 x +1 1 3 donc J1 = 1+ 4 + 1 x 1 + 1; x2 1 ln 2: 2 8 A. ABBASSI b)Posons: J2 = Z p1 2 0 1 ln(1 x2 ) dx; x2 0 Z 1 ln(1 x2 ) ln(1 x2 ) dx + dx; x2 x2 p1 J2 = on a Z 2 au v(0); ln(1 x2 ) x2 0 Z 1 et donc ln(1 x2 ) dx converge. x2 0 Au voisinage de 1 : sur l’intervalle [ p12 ; 1[ on 1 p1 2 ln(1 x2 ) x2 2 x ; donc x2 1 x2 ) ln(1 x2 ) ln(1 ln x2 ; la fonction x ! ln x2 est continue sur [ p12 ; 1]; donc Z 1 Z 1 ln(1 x2 ) 2 ln(1 x )dx 2 R =) dx converge. 1 1 x2 p p 2 2 On en conclut que J2 est convergente. R 1 ln(1 x2 ) Calcul de J2 = 0 dx x2 Z 1 ln(1 x2 ) 1 dx = [ ln(1 2 x x 0 1 = [ ln(1 x x 2 Z )]10 1 1 x 0 Z 2x dx 1 x2 1 (x + 1) (x 1) dx (1 x)(1 + x) 0 Z 1 1 1 1 1 = [ (ln(1 x) + ln(1 + x))]0 ( )dx x x 1+x 0 1 1 1 = [( + 1)(ln(1 x) + ( 1) ln(1 + x)]10 x x = 2 2 ln 2 x2 )]10 Exercice 5 : (Intégrale de Gauss) 1) Soit x 2 R, calculons les dérivées: 0 F (x) = 2e x2 Z +1 e t2 dt; 0 et 0 G (x) = = Z 2 1 2 d e x (1+t ) ( )dt 1 + t2 0 dx Z 1 2 x2 2xe e (xt) dt; 0 on pose: s = xt; ds = xdt; on a alors: 0 G (x) = 2e x2 Z 0 x e s2 ds: — — — — — — — — TRAVAUX DIRIGÉS N 2— — — — — — — — — — — 9 D’où F 0 (x) + G0 (x) = 0 sur R; donc F (x) + G(x) = cste = F (0) + G(0) 8x 2 R: 2) Z lim G(x) = x!+1 1 lim ( x2 (1+t2 ) e 0 x!+1 1 + t2 )dt = 0; =) lim F (x) = G(0) (car F (0) = 0): x!+1 Puisque Z 1 1 dt 2 0 1+t = [arctan x]10 G(0) = = 4 Donc, Z lim F (x) = x!+1 : 2 +1 e t2 dt 0 La valeur de l’intégrale de Gauss est: Z +1 t2 e 0 dt = p 2 = 4 : Exercice 6 : 1 1- La fonction f : x ! ex +e Donc l’étude de la x est localement intégrable sur [0; +1[. R +1 convergence de I = 0 f (t)dt revient à étudier le comportement de f au voisinage de +1. Au v(+1): 1 x +1 e ; ex + e x R +1 R +1 1 or 1 e x dx est convergente, donc 1 ex +e x dx est convergente. R +1 1 C/C 0 ex +e x dx est convergente. 2- Soit a > 0 a) Par le changement de variable t = x, l’intégrale I(a) s’écrit: Z 0 1 I(a) = dt t + et a e = J(a): b) On a: I(a) = Z 0 on pose a ex dx; e2x + 1 u = ex ; du = ex dx: 10 A. ABBASSI =) I(a) = Z ea = 1 a [arctan x]e1 = arctan ea u2 4 1 du +1 : 3- Calculons la valeur de I: I = lim I(a) a!+1 = 2 = 4- D’après ce qui précédent: Z +1 1 ex 4 1 +e x 4 : dx = 2I = 2 : x 5- La fonction g : x ! x2 est localement intégrable sur [0; +1[. Donc l’étude de la x2 R +1 e + e convergence de k = 0 g(t)dt revient à étudier le comportement de g au voisinage de +1. Au v(+1): x x2 ; +1 xe 2 2 x x e +e au voisinage de +1, 9A > 1= 8x A =) xe x 1 c-à-d 2 xe x e x ; 8x A R +1 x R +1 or 1 e dx est convergente, donc 1 g(t)dt est convergente. R +1 x C/C 0 ex2 +e 2 dx est convergente. R x+1 x Calculons k = 0 ex2 +e dx; x2 2 on pose u = x ; du = 2xdx, donc Z 1 +1 du k = u 2 0 e +e u 1 = I 2 = 8 :