Quelques corrections sur les séries numériques

Quelques corrections sur les séries numériques
Exo9
.1.
La série
P
1
2n+1
diverge puiqu’elle est à termes positifs vérifiant
général de la série harmonique divergente.
.2.
1
1
1 1
≥
=
, qui est le terme
2n + 1 2n + 2 2 n + 1
On revient aux sommes partielles :
S 2n
2n
X
2n 1
n
X
X
1
1 − (1/2)n+1
1
=
uk =
=
=
−→
=2
m
1 − (1/2)
1 − (1/2)
m=0 2
k=0
k=0 k
k=2m
Attention ! : on ne peut en déduire immédiatement la convergence. (S 2n ) étant une sous-suite de (S n ), tout au
plus peut-on en déduire que, si la série converge, elle est de somme 2. Rappelons-nous que pour des séries à
termes positifs, la suite des sommes partielles (S n ) est croissante, et donc converge ssi elle est majorée. En se
rappelant, en plus, que toute suite croissante convergente est majorée par sa limite (et que d’ailleurs c’est son
« meilleur » majorant), La convergence de la série résulte de la majoration : S n ≤ S 2n ≤ 2.
.3.
Soit n un entier naturel et p n le nième nombre premier. On a clairement p n ≥ n. De plus, en utilisant la
m
m
m
décomposition en nombres premiers, tout entier k ≤ n peut s’écrire sous la forme k = p 1 1 p 2 2 . . . p n n , où les m i
sont des entiers naturels positifs ou nuls. Il est immédiat aussi que l’on peut supposer m i ≤ n. On obtient donc
les majorations « très grossières » suivantes :
(1)
n 1
X
X
z}|{
1
≤
Hn =
mn =
m1 m2
0≤m 1 ,...,m n ≤n p 1 p 2 . . . p n
k=1 k
Ã
n
X
m 1 =0
!
1
m1
p1
[email protected]
Par sommation, il vient ∀ p ≥ n ≥ N0 ,
Pp
k=n+1
uk < ε
Pp
v
k=n+1 k
Par passage à la limite conservant l’inégalité, lorsque p −→ +∞, pour n ≥ N0 ,
+∞
X
k=n+1
On suppose un = o(vn ) et
P
un divergente (donc
P
v n ).
Montrons Sn (u) =
n
X
vk
k=n+1
Ã
uk = o
k=1
+∞
X
uk < ε
n
X
!
³
´
vk = o Sn (v)
k=1
Soit ε > 0.
u n = o(v n ), donc il existe N0 ∈ N tel que pour n ≥ N0 , |u n | = u n < ε/2|v n | = ε/2v n .
P
P
La série v n est divergente, donc nk=0 v k −→ +∞ (car la série est à termes positifs) , en particulier on a
PN0
P
PN0
P
u / nk=0 v k −→ 0. Il existe donc N1 ∈ N tel que pour n ≥ N1 , k=0
u k < ε/2 nk=0 v k
k=0 k
Par sommation, pour n ≥ max(N0 , N1 ), il vient
n
X
uk =
k=0
N0
X
k=0
uk +
n
X
k=N0 +1
uk <
n
n
n
n
n
X
X
εX
ε
ε X
εX
vk +
vk =
vk +
vk < ε
vk
2 k=0
2 k=0
2 k=N0 +1
k=N0 +1 2
k=0
| {z } |
|{z}
{z
}
car n≥N1
On suppose un ∼ vn et
P
vn convergente (donc
P
v k ≥0
car k≥N0
u n ).
Montrons Rn+1 (u) =
1
+∞
X
k=n+1
uk ∼
+∞
X
k=n+1
vk = Rn+1 (v)
u n ∼ v n , donc u n − v n = o(v n ). Par application du premier résultat, il vient
¡P
¢
P+∞
v = o +∞
v , d’où le résultat.
k=n+1 n
k=n+1 n
P+∞
k=n+1
(u n − v n ) =
P+∞
k=n+1
un −
Applications
• Comme première application, on peut donner une troisième méthode pour valider le résultat classique
¡
¢
¡
¢
P
= ln 1 + n1 ∼ n1 = v n . Ces séries étant diverHn = nk=1 k1 ∼ ln n. En effet u n = ln(n + 1) − ln(n) = ln n+1
n
gentes, on utilise le résultat précédent et, par sommation :
Hn =
´
n 1
n ³
X
X
ln(k + 1) − ln(k) = ln(n + 1) − ln 1 = ln(n + 1) ∼ ln n
∼
k=1 k
k=1
Rappel : On a plus précisément
n 1
X
= ln(n)+γ+o(1) où γ ' 0.577 est la constante d’Euler 1 -Mascheroni 2
k=1 k
Pn
3
• Autre démonstration de la moyenne de Cesaro , cad si u n −→ ` ∈ R, alors la moyenne
Pour ` 6= 0, u n ∼ ` et (donc) la série
k=0
uk
n +1
−→ `.
P
u n diverge. Par sommation, on obtient le résultat puisque :
Pn
n
n
X
X
u
k=0 k
l = (n + 1)` =⇒
uk ∼
∼`
n +1
k=0
k=0
Pour ` = 0 (rappel, dans ce cas, on n’a pas u n −→ ` ⇐⇒ u n ∼ `), on introduit v n = u n + 1 −→ 1 d’où
Pn
Pn
Pn
v
k=u k
k=u k
k=0 k
=
+ 1 −→ 1 =⇒
−→ 0
n +1
n +1
n +1
Pour ` = +∞, laissé au lecteur (Il faut utiliser la sommation de c st e = o(u n ))
Exo 6 Transformation d'ABEL
Comme c’est certainement encore « tout frais » dans vos têtes, j’en profite pour terminer l’exo sur la convergence
X sin n
de la série
. En fait, c’était tout simple . . .On était arrivé, par la transformation d’Abel 4 à :
n
µ
¶
n sin k
n
X
X
X
A n n−1
1
1
1
avec A n =
Sn =
=
+
−
sin k et |A n | ≤
Ak
k
n
k k +1
| sin(1/2)|
k=1
k=1
k=1
{z
}
|
Tn
Pour que la série converge, il faut et il suffit de prouver que la suite des sommes partielles (S n ) a une limite finie.
A n étant bornée, on a immédiatement que Ann −→ 0. D’autre part la suite des sommes partielles (Tn ) converge
X ³1
1 ´
ssi la série
An
−
converge. On démontre qu’elle converge abolument en lui appliquant le critère de
n n +1
majoration et d’équivalent au terme d’une série de Riemann 5 convergente :
¯ ³
´¯¯
¯
1
n +1−n
1
1
¯ An 1 − 1 ¯ ≤
∼
¯
¯
n n +1
| sin(1/2)| n(n + 1) | sin(1/2)| n 2
1.
2.
3.
4.
5.
Leonhard Euler : suisse (1707-1783). Le plus grand mathématicien du XVIIIesiècle.
Lorenzo Mascheroni : italien (1750-1800). Connu pour la construction à la règle et au compas.
Ernesto Cesaro : mathématicien italien (1859-1906)
Niels Henrik Abel : norvégien (1802-1829). Travaux sur équations algébriques, fonctions elliptiques et intégrales.
Bernhard Riemann : mathématicien allemand de génie (1826-1866). Travaux fondamentaux sur les fonctions analytiques, la théo-
rie de l’intégration, la géométrie différentielle. Sa fonction ζ donne des indications sur la répartition des nombres premiers.
2