Quelques corrections sur les séries numériques Exo9 .1. La série P 1 2n+1 diverge puiqu’elle est à termes positifs vérifiant général de la série harmonique divergente. .2. 1 1 1 1 ≥ = , qui est le terme 2n + 1 2n + 2 2 n + 1 On revient aux sommes partielles : S 2n 2n X 2n 1 n X X 1 1 − (1/2)n+1 1 = uk = = = −→ =2 m 1 − (1/2) 1 − (1/2) m=0 2 k=0 k=0 k k=2m Attention ! : on ne peut en déduire immédiatement la convergence. (S 2n ) étant une sous-suite de (S n ), tout au plus peut-on en déduire que, si la série converge, elle est de somme 2. Rappelons-nous que pour des séries à termes positifs, la suite des sommes partielles (S n ) est croissante, et donc converge ssi elle est majorée. En se rappelant, en plus, que toute suite croissante convergente est majorée par sa limite (et que d’ailleurs c’est son « meilleur » majorant), La convergence de la série résulte de la majoration : S n ≤ S 2n ≤ 2. .3. Soit n un entier naturel et p n le nième nombre premier. On a clairement p n ≥ n. De plus, en utilisant la m m m décomposition en nombres premiers, tout entier k ≤ n peut s’écrire sous la forme k = p 1 1 p 2 2 . . . p n n , où les m i sont des entiers naturels positifs ou nuls. Il est immédiat aussi que l’on peut supposer m i ≤ n. On obtient donc les majorations « très grossières » suivantes : (1) n 1 X X z}|{ 1 ≤ Hn = mn = m1 m2 0≤m 1 ,...,m n ≤n p 1 p 2 . . . p n k=1 k à n X m 1 =0 ! 1 m1 p1 [email protected] Par sommation, il vient ∀ p ≥ n ≥ N0 , Pp k=n+1 uk < ε Pp v k=n+1 k Par passage à la limite conservant l’inégalité, lorsque p −→ +∞, pour n ≥ N0 , +∞ X k=n+1 On suppose un = o(vn ) et P un divergente (donc P v n ). Montrons Sn (u) = n X vk k=n+1 à uk = o k=1 +∞ X uk < ε n X ! ³ ´ vk = o Sn (v) k=1 Soit ε > 0. u n = o(v n ), donc il existe N0 ∈ N tel que pour n ≥ N0 , |u n | = u n < ε/2|v n | = ε/2v n . P P La série v n est divergente, donc nk=0 v k −→ +∞ (car la série est à termes positifs) , en particulier on a PN0 P PN0 P u / nk=0 v k −→ 0. Il existe donc N1 ∈ N tel que pour n ≥ N1 , k=0 u k < ε/2 nk=0 v k k=0 k Par sommation, pour n ≥ max(N0 , N1 ), il vient n X uk = k=0 N0 X k=0 uk + n X k=N0 +1 uk < n n n n n X X εX ε ε X εX vk + vk = vk + vk < ε vk 2 k=0 2 k=0 2 k=N0 +1 k=N0 +1 2 k=0 | {z } | |{z} {z } car n≥N1 On suppose un ∼ vn et P vn convergente (donc P v k ≥0 car k≥N0 u n ). Montrons Rn+1 (u) = 1 +∞ X k=n+1 uk ∼ +∞ X k=n+1 vk = Rn+1 (v) u n ∼ v n , donc u n − v n = o(v n ). Par application du premier résultat, il vient ¡P ¢ P+∞ v = o +∞ v , d’où le résultat. k=n+1 n k=n+1 n P+∞ k=n+1 (u n − v n ) = P+∞ k=n+1 un − Applications • Comme première application, on peut donner une troisième méthode pour valider le résultat classique ¡ ¢ ¡ ¢ P = ln 1 + n1 ∼ n1 = v n . Ces séries étant diverHn = nk=1 k1 ∼ ln n. En effet u n = ln(n + 1) − ln(n) = ln n+1 n gentes, on utilise le résultat précédent et, par sommation : Hn = ´ n 1 n ³ X X ln(k + 1) − ln(k) = ln(n + 1) − ln 1 = ln(n + 1) ∼ ln n ∼ k=1 k k=1 Rappel : On a plus précisément n 1 X = ln(n)+γ+o(1) où γ ' 0.577 est la constante d’Euler 1 -Mascheroni 2 k=1 k Pn 3 • Autre démonstration de la moyenne de Cesaro , cad si u n −→ ` ∈ R, alors la moyenne Pour ` 6= 0, u n ∼ ` et (donc) la série k=0 uk n +1 −→ `. P u n diverge. Par sommation, on obtient le résultat puisque : Pn n n X X u k=0 k l = (n + 1)` =⇒ uk ∼ ∼` n +1 k=0 k=0 Pour ` = 0 (rappel, dans ce cas, on n’a pas u n −→ ` ⇐⇒ u n ∼ `), on introduit v n = u n + 1 −→ 1 d’où Pn Pn Pn v k=u k k=u k k=0 k = + 1 −→ 1 =⇒ −→ 0 n +1 n +1 n +1 Pour ` = +∞, laissé au lecteur (Il faut utiliser la sommation de c st e = o(u n )) Exo 6 Transformation d'ABEL Comme c’est certainement encore « tout frais » dans vos têtes, j’en profite pour terminer l’exo sur la convergence X sin n de la série . En fait, c’était tout simple . . .On était arrivé, par la transformation d’Abel 4 à : n µ ¶ n sin k n X X X A n n−1 1 1 1 avec A n = Sn = = + − sin k et |A n | ≤ Ak k n k k +1 | sin(1/2)| k=1 k=1 k=1 {z } | Tn Pour que la série converge, il faut et il suffit de prouver que la suite des sommes partielles (S n ) a une limite finie. A n étant bornée, on a immédiatement que Ann −→ 0. D’autre part la suite des sommes partielles (Tn ) converge X ³1 1 ´ ssi la série An − converge. On démontre qu’elle converge abolument en lui appliquant le critère de n n +1 majoration et d’équivalent au terme d’une série de Riemann 5 convergente : ¯ ³ ´¯¯ ¯ 1 n +1−n 1 1 ¯ An 1 − 1 ¯ ≤ ∼ ¯ ¯ n n +1 | sin(1/2)| n(n + 1) | sin(1/2)| n 2 1. 2. 3. 4. 5. Leonhard Euler : suisse (1707-1783). Le plus grand mathématicien du XVIIIesiècle. Lorenzo Mascheroni : italien (1750-1800). Connu pour la construction à la règle et au compas. Ernesto Cesaro : mathématicien italien (1859-1906) Niels Henrik Abel : norvégien (1802-1829). Travaux sur équations algébriques, fonctions elliptiques et intégrales. Bernhard Riemann : mathématicien allemand de génie (1826-1866). Travaux fondamentaux sur les fonctions analytiques, la théo- rie de l’intégration, la géométrie différentielle. Sa fonction ζ donne des indications sur la répartition des nombres premiers. 2