Quelques corrections sur les séries numériques

La série P1
2n+1diverge puiqu’elle est à termes positifs vérifiant 1
2n+1≥1 2n+2=1 2
1
n+1, qui est le terme
général de la série harmonique divergente.
On revient aux sommes partielles :
S2n=
2n
X
k=0
uk=
2n
X
k=0
k=2m
1
k=
n
X
m=0
1
2m=1−(1/2)n+1 1−(1/2) −→ 1 1−(1/2) =2
Attention ! : on ne peut en déduire immédiatement la convergence. (S2n) étant une sous-suite de (Sn), tout au
plus peut-on en déduire que, si la série converge, elle est de somme 2. Rappelons-nous que pour des séries à
termes positifs, la suite des sommes partielles (Sn) est croissante, et donc converge ssi elle est majorée. En se
rappelant, en plus, que toute suite croissante convergente est majorée par sa limite (et que d’ailleurs c’est son
« meilleur » majorant), La convergence de la série résulte de la majoration : Sn≤S2n≤2.
Soit nun entier naturel et pnle nième nombre premier. On a clairement pn≥n. De plus, en utilisant la
décomposition en nombres premiers, tout entier k≤npeut s’écrire sous la forme k=pm1
1pm2 2. .. pmn
n, où les mi
sont des entiers naturels positifs ou nuls. Il est immédiat aussi que l’on peut supposer mi≤n. On obtient donc
les majorations « très grossières » suivantes :
Hn=
n
X
k=1
1
k≤X
0≤m1,...,mn≤n
1
pm1
1pm2 2. .. pmn
n
(1)
z}|{
=Ãn
X
m1=0
1
pm1
1!(2)
z}|{
≤Ã+∞
X
m1=0
1
pm1
1!Notons xnle nième nombre non nul ne possédant pas le chiffre 9. On a immédiatement, pour n≥9, xn≥10. Il vient alors, en désignant par [x] la partie entière de x: Sn=Pn
k=1
1
xk=P8
k=1
1
xk+1 10 Pn
k=9
1
xk/10 ≤P8
k=1
1
xk+1 10 Pn
k=9
1
£xk/10¤
(1)
z}|{
≤P8
k=1
1
xk+1 10 SnLe (1) résulte du fait que £xk/10¤est un entier ne possédant pas le chiffre 9 et nécessairement inférieur à xn. Cette somme est donc plus petite que Snpuisque « possédant moins » de nombres positifs. Il vient alors la majoration des sommes partielles Snet donc la convergence de la série puisque 9
10Sn≤
8
X
k=1
1
xk
(constante !) Soient Pun,Pvndeux séries à termes positifs. On suppose un=o(vn) et Pvnconvergente (donc Pun). Montrons Rn+1(u)=
+∞
X
k=n+1
uk=oÃ+∞
X
k=n+1
vk!=o³Rn+1(v)´Soit ε>0.
program@epstopdf
Par sommation, il vient ∀p≥n≥N0,Pp
k=n+1uk<εPp k=n+1vk
Par passage à la limite conservant l’inégalité, lorsque p−→ +∞, pour n≥N0,
+∞
X
k=n+1
uk<ε
+∞
X
k=n+1
vk
On suppose un=o(vn) et Pundivergente (donc Pvn). Montrons Sn(u)=
n
X
k=1
uk=oÃn
X
k=1
vk!=o³Sn(v)´
Soit ε>0.
un=o(vn), donc il existe N0∈Ntel que pour n≥N0,|un| = un<ε/2|vn| = ε/2vn.
La série Pvnest divergente, donc Pn
k=0vk−→ +∞ (car la série est à termes positifs) , en particulier on a
PN0
k=0uk/Pn
k=0vk−→ 0. Il existe donc N1∈Ntel que pour n≥N1,PN0
k=0uk<ε/2 Pn
k=0vk
Par sommation, pour n≥max(N0,N1), il vient
n
X
k=0
uk=
N0
X
k=0
uk+
n
X
k=N0+1
uk<ε
2
n
X
k=0
vk
| {z }
car n≥N1
+
n
X
k=N0+1
ε
2vk
| {z }
car k≥N0
=ε
2
n
X
k=0
vk+ε
2
n
X
k=N0+1
vk<
|{z}
vk≥0
ε
n
X
k=0
vk
On suppose un∼vnet Pvnconvergente (donc Pun). Montrons Rn+1(u)=
+∞
X
k=n+1
uk∼
+∞
X
k=n+1
vk=Rn+1(v)
1

un∼vn, donc un−vn=o(vn). Par application du premier résultat, il vient P+∞
k=n+1(un−vn)=P+∞ k=n+1un−
P+∞
k=n+1vn=o¡P+∞ k=n+1vn¢, d’où le résultat.
• Comme première application, on peut donner une troisième méthode pour valider le résultat classique
Hn=Pn
k=1
1
k∼lnn. En effet un=ln(n+1) −ln(n)=ln ¡n+1 n¢=ln¡1+1 n¢∼1 n=vn. Ces séries étant diver-
gentes, on utilise le résultat précédent et, par sommation :
Hn=
n
X
k=1
1
k∼
n
X
k=1³ln(k+1) −ln(k)´=ln(n+1) −ln1 =ln(n+1) ∼ln n
Rappel : On a plus précisément
n
X
k=1
1
k=ln(n)+γ+o(1) où γ'0.577 est la constante d’Euler 1-Mascheroni 2
• Autre démonstration de la moyenne de Cesaro 3, cad si un−→ `∈R, alors la moyenne Pn
k=0uk
n+1−→ `.
Pour `6= 0, un∼`et (donc) la série Pundiverge. Par sommation, on obtient le résultat puisque :
n
X
k=0
uk∼
n
X
k=0
l=(n+1)`=⇒ Pn
k=0uk
n+1∼`
Pour `=0 (rappel, dans ce cas, on n’a pas un−→ `⇐⇒ un∼`), on introduit vn=un+1−→ 1 d’où
Pn
k=0vk
n+1=Pn
k=uk
n+1+1−→ 1=⇒ Pn
k=uk
n+1−→ 0
Pour `= +∞, laissé au lecteur (Il faut utiliser la sommation de cst e =o(un))
Comme c’est certainement encore « tout frais » dans vos têtes, j’en profite pour terminer l’exo sur la convergence
de la série Xsinn
n. En fait, c’était tout simple . . .On était arrivé, par la transformation d’Abel 4à :
Sn=
n
X
k=1
sink
k=An n+
n−1
X
k=1
Akµ1
k−1 k+1¶
| {z }
Tn
avec An=
n
X
k=1
sinket |An| ≤ 1
|sin(1/2)|
Pour que la série converge, il faut et il suffit de prouver que la suite des sommes partielles (Sn) a une limite finie.
Anétant bornée, on a immédiatement que An
n−→ 0. D’autre part la suite des sommes partielles (Tn) converge
ssi la série XAn³1
n−1 n+1´converge. On démontre qu’elle converge abolument en lui appliquant le critère de
majoration et d’équivalent au terme d’une série de Riemann 5convergente :
¯¯¯¯An³1
n−1 n+1´¯¯¯¯≤1 |sin(1/2)|
n+1−n
n(n+1) ∼1 |sin(1/2)|
1
n2
1. Leonhard Euler : suisse (1707-1783). Le plus grand mathématicien du XVIIIesiècle.
2. Lorenzo Mascheroni : italien (1750-1800). Connu pour la construction à la règle et au compas.
3. Ernesto Cesaro : mathématicien italien (1859-1906)
4. Niels Henrik Abel : norvégien (1802-1829). Travaux sur équations algébriques, fonctions elliptiques et intégrales.
5. Bernhard Riemann : mathématicien allemand de génie (1826-1866). Travaux fondamentaux sur les fonctions analytiques, la théo-
rie de l’intégration, la géométrie différentielle. Sa fonction ζdonne des indications sur la répartition des nombres premiers.
2