Corrigé 7

Cours d’Alg` ebre I Bachelor Semestre 3
Prof. E. Bayer Fluckiger 07 novembre 2011
Corrig´e 7
Exercice 1.
Soit Hun sous-groupe normal d’un groupe Gtel que G'G/H.` A-t-on
forc´ement H={1G}? Que se passe-t-il lorsque Gest fini ?
Solution.
Il faut faire attention `a l’isomorphisme entre G/H et G. La surjection canonique
est un isomorphisme si et seulement si H={1G}.Seulement ici l’´enonc´e ne
suppose pas que la surjection canonique est un isomorphisme, mais seulement
que Get G/H sont isomorphes.
Lorsque Gest fini, l’indice [G:H] est ´egal au quotient |G|/|H|des cardinaux
de Get H. Si G'G/H, alors on a |G|= [G:H] et donc Hest de cardinal 1.
Dans ce cas, on a bien H={1G}.
Par contre, dans le cas o`u Gn’est pas de cardinal fini, on peut construire des
homomorphismes surjectifs G−→ Gqui ne sont pas des isomorphismes (c’est-`a-
dire dont le noyau est non trivial). Un exemple est
C∗−→ C∗
x7−→ x2
qui est un homomorphisme de groupe surjectif de noyau {−1,1}. En particulier
C∗est isomorphe au quotient C∗/{−1,1}.
Exercice 2.
Soient G1et G2deux groupes. On consid`ere deux sous-groupes normaux H1G1
et H2 G2. Montrer que H1×H2est un sous-groupe normal de G1×G2et que
(G1×G2)/(H1×H2) est isomorphe `a (G1/H1)×(G2/H2).
Solution.
On note πi:Gi−→ Gi/Hila surjection canonique. L’homomorphisme
f:G1×G2−→ (G1/H1)×(G2/H2)
(g1, g2)7−→ (π1(g1), π2(g2))
est surjectif de noyau H1×H2. Par cons´equent, H1×H2est normal dans G1×G2,
et le premier th´eor`eme d’isomorphisme montre que (G1×G2)/(H1×H2) est
isomorphe `a (G1/H1)×(G2/H2). 
Exercice 3. Soit Hun sous-groupe d’indice nd’un groupe G.
(1) On suppose Hnormal dans G. Montrer que pour tout x∈Gon a xn∈H.

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(2) Donner un exemple o`u il existe x∈Gavec xn/∈H.
(3) Montrer que C∗est le seul sous-groupe d’indice fini de C∗.(*)
Indication : tout polynˆome `a coefficient dans Ca une racine dans C.
(4) Soient x, y, z ∈G. On suppose Hnormal dans Get que
x8∈H, y15 ∈H, y−1zxz−1∈H.
Montrer que x∈Het y∈H.
Solution.
(1) Par d´efinition de l’indice d’un sous-groupe, le quotient G/H est de cardinal
n. Le sous-groupe Hest normal. L’ensemble G/H est donc muni d’une
loi de groupe .telle que (xH).(yH) = (xy)Hpour tous x, y ∈G. D’apr`es
le th´eor`eme de Lagrange, l’ordre de la classe de xmodulo Hdivise n. En
particulier xnH= (xH)n=H. Par suite, on a bien xn∈H.
(2) La premi`ere question montre que Hne doit pas ˆetre normal dans G. En
particulier Gne doit pas ˆetre commutatif et on doit avoir n≥3 (tout
sous-groupe d’indice 2 est normal).
Consid´erons le cas o`u G=S4. Soit Hle sous-groupe engendr´e par
le 3-cycle (1 2 3). Le sous-groupe Hn’est pas normal dans S4puisque
(1 4)(1 2 3)(1 4)−1= (4 2 3). L’indice de Hdans Gest 4!/3 = 8.
On veut trouver x∈S4tel que x86∈ H. L’ordre d’un tel ´el´ement xne
doit pas diviser 8. Consid´erons le cycle x:= (1 2 4). Comme xest d’ordre
3, on a x8=x2. L’´el´ement x8=x2= (1 4 2) n’est pas dans H.
(3) Soit Hun sous-groupe d’incice fini dans C∗. on note n:= [C∗:H]. Soit
x∈C∗. Il existe y∈Ctel que x=yn(pour le voir utilisez les coordonn´ees
polaires). Comme Cest commutatif, Hest normal dans C∗. D’apr`es la
premi`ere question, x=ynappartient `a H. Ainsi C∗⊂Het donc H=C∗.
(4) Le groupe Hest normal dans G. On peut donc utiliser la structure de
groupe quotient sur G/H. Soit π:G−→ G/H la surjection canonique.
D’apr`es l’´enonc´e, π(x) est d’ordre divisant 8 et on a π(z)π(x)π(z)−1=
π(y). En particulier on a
π(y)8=π(z)π(x)π(z)−18=π(z)π(x)8π(z)−1=π(z)π(z)−1= 1G/H .
L’ordre de π(y) divise donc 8. Or, d’apr`es l’´enonc´e, l’ordre de π(y) divise
aussi 15, donc l’ordre de π(y) divise pgcd(8,15) = 1. Ainsi on a bien
π(y) = 1G/H i.e. y∈H. Comme π(x) = π(z)−1π(y)π(z) l’ordre de π(x)
est aussi ´egal `a 1. On a donc aussi x∈H.
Exercice 4.
Soient Het Kdeux sous-groupes d’un groupe G.
(1) On suppose que Het Ksont normaux et d’indice fini dans G. On note
p:= [G:H] et q:= [G:K]. Montrer que, si pgcd(p, q) = 1, alors
G=HK.

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(2) On suppose que Hest normal et d’indice fini dans G. On note p:= [G:H].
On suppose de plus que Kest de cardinal fini r:= |K|. Montrer que, si
pgcd(p, r) = 1, alors K⊂H.
Solution.
(1) Comme Hest normal, HK est un sous-groupe de Gcontenant Het K.
Comme Het Ksont normaux, le sous-groupe HK est normal (si h∈H
et k∈Ket g∈G, alors g(hk)g−1= (ghg−1)(gkg−1)∈HK).
D’apr`es le troisi`eme th´eor`eme d’isomorphisme, G/HK est isomorphe
aux quotients (G/H)/(HK/H) et (G/K)/(HK/K). En particulier,
d’apr`es le th´eor`eme de Lagrange, [G:HK] divise [G:H] et [G:K].
Comme [G:H] et [G:K] sont premiers entre eux, on a forc´ement
[G:HK] = 1 i.e. G=HK.
(2) On veut montrer que K= (H∩K) i.e. que [K:H∩K] = 1. D’apr`es le
second th´eor`eme d’isomorphisme, [K:H∩K] = [HK :H]. Le cardinal
de G/H est p. D’apr`es le th´eor`eme de lagrange, le cardinal [K:H∩K] =
[HK :H] de HK/H est donc un diviseur de p. D’apr`es le th´eor`eme de
Lagrange, [K:H∩K] est aussi un diviseur de |K|.
On vient ainsi de montrer que [K:H∩K] est un diviseur commun
`a pet r. Si pgcd(p, r) = 1, on en d´eduit que [K:H∩K] = 1 i.e. que
K=H∩K⊂H.
Exercice 5 (Centre et sous-groupe des commutateurs : quelques exemples).
Soit Gun groupe. On appelle centre de G, et on note C(G), l’ensemble
C(G) := {g∈G:∀x∈G, xgx−1g−1= 1G}.
(1) V´erifier que C(G) est un sous-groupe normal de G.
(2) Soit n≥2 un entier. Calculer le centre et le sous-groupe des commutateurs
de Z/nZ.
(3) Calculer le centre et le sous-groupe des commutateurs de S3.
(4) Calculer le centre et le sous-groupe des commutateurs de H8.
(5) Soit n≥2 un entier. Calculer le centre et le sous-groupe des commutateurs
de D2n(distinguer le cas npair et le cas nimpair). Interprˆeter le r´esultat
en termes d’isom´etries du polygˆone r´egulier `a ncot´es.
Solution.
(1) L’ensemble C(G) est non vide : il contient 1G. Soit g1, g2∈G. Soit x∈G.
Alors on a
x(g1g2)x−1= (xg1x−1)(xg2x−1) = g1g2
xg−1
1x−1= (xg1x−1)−1=g−1 1.
En particulier g1g2et g−1
1appartiennent `a C(G). L’ensemble C(G) est
bien un sous-groupe de G.

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(2) Le groupe Z/nZest commutatif. Par cons´equent le centre de Z/nZest
Z/nZ, et le sous-groupe des commutateurs de Z/nZest {0Z/nZ}.
(3) Le groupe S3est de cardinal 3! = 6. Ses ´el´ements sont
Id,(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2).
Le centre d’un groupe Gest l’ensemble des g∈Gtels que les commuta-
teurs [x, g] et [g, x] soient triviaux quelque soit x∈G. On calcule quelques
commutateurs.
[(1 2),(1 3)] = (1 2)(1 3)(1 2)(1 3) = (1 2 3)
On en d´eduit que :
•le centre C(S3) ne contient ni (1 2) ni (1 3) ;
•le groupe des commutateurs D(S3) contient (1 2 3) ; en particulier
D(S3) contient A3: le groupe A3est engendr´e par (1 2 3) puisque
A3est de cardinal 3!/2 = 3 et contient (1 2 3) qui est d’ordre 3.
Soit :S3−→ Z/2Zl’homomorphisme de groupe qui associe `a une
permutation σla signature (σ) de σ. L’homomorphisme est surjectif
de noyau A3. Comme Z/2Zest commutatif, l’image de tout commutateur
dans S3par est forc´ement Id. En particulier D(S3) est contenu dans
A3. Ainsi, on a D(S3) = A3. En calculant
[(2 3),(1 2 3)] = (2 3)(1 2 3)(2 3)(1 3 2) = (1 2 3)
on s’aper¸coit que (2 3) et (1 2 3) et (1 3 2) ne sont pas dans le centre de
S3. Ainsi le centre de de S3est {Id}.
(4) Le groupe H8est engendr´e par 4 ´el´ements −1, I, J, K tels que (−1)2= 1H8
et
I2=J2=K2=IJK =−1.
Le centre de H8contient {−1,1}. Comme
[I, J] = IJI−1J−1=IJ(−I)(−J) = (IJ)2=−16= 1,
ni Ini Jne sont dans le centre de H8. Par sym´etrie des rˆoles de I,Jet K,
on voit que le centre de H8ne contient pas non plus K. Le centre de H8
´etant un groupe, il ne contient pas non plus I−1,J−1ou K−1. Le centre
de H8est donc est donc {−1,1}.
Ces calculs montrent aussi que 1 et −1 sont les seuls commutateurs
dans H8(on a seulement calcul´e un commutateur, mais les autres s’en
d´eduisent directement en invoquant la sym´etrie des rˆoles de I,Jet K).
Le groupe des commutateurs de H8est donc {−1,1}.
(5) Comme D4est commutatif il est ´egal `a son centre et son groupe des
commutateurs est {1D4}. On suppose n > 2.
On rappelle que D2nest engendr´e par un ´el´ement rd’ordre exactement n
et un ´el´ement sd’ordre exactement 2 tels que srs−1=r−1. En particulier,

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sn’est pas dans le centre de D2n. De plus, pour tout entier i∈[1, n −1],
on a
[s, ri] = sris−1r−i=srs−1ir−i=r−2i.
Par suite, riest dans le centre de D2nsi et seulement si nest pair et
i=n/2 (remarquez que ricommute avec rjquelque soient iet j). Enfin,
comme
[sri, r] = srirr−is−1r−1=srs−1r−1=r−2,
l’´el´ement srin’est pas dans le centre de D2n.
Le centre de D2nest donc
•D4si n= 2 ;
• {1D2n, rn/2}si n > 2 est pair.
• {1D2n}si n > 2 est impair.
On vient aussi de montrer que le groupe des commutateurs de D2ncontient
le sous-groupe Hengendr´e par r2. On va montrer qu’en fait le sous-groupe
des commutateurs de D2nest ´egal `a H. Ceci peut ˆetre fait par un cal-
cul direct des commutateurs [s, ri]=[ri, s]−1et [s, sri]=[sri, s]−1et
[ri, srj]=[srj, ri]−1comme ci-dessus.
Une alternative est de remarquer que dans le groupe quotient D2n/H
les classes de ret scommutent puisque srs−1=r−1=rr−2. En particu-
lier, les commutateurs dans D2n/H sont tous triviaux. Par cons´equent les
commutateurs dans D2nappartiennent tous `a H.
Exercice 6 (Groupes quotients et commutativit´e).
Soit Hun sous-groupe normal d’un groupe G.
(1) ` A quelle condition sur Hle groupe G/H est il ab´elien ?
(2) On suppose Het G/H ab´eliens. Le groupe Gest il ab´elien ?
Solution.
(1) Le groupe G/H est ab´elien si et seulement tous les commutateurs dans
G/H sont triviaux i.e. si et seulement si le groupe des commutateurs de
Gest contenu dans H.
(2) Le groupe des commutateurs de H8est D(H8) = {−1,1}. En particu-
lier H8/D(H8) est ab´elien. Le groupe D(H8) = {−1,1}est aussi ab´elien.
Pourtant H8n’est pas ab´elien.