Corrigé

Cours d’Alg` ebre II Bachelor Semestre 4
Prof. E. Bayer Fluckiger 24 avril 2013
S´erie 20
Exercice 1.
Donner la liste des id´eaux de Zcontenant 8Zet la liste des id´eaux de Z/8Z.
Que remarque-t-on ?
Solution.
(1) Notons premi`erement que tout id´eal de Zest en particulier un sous-groupe
de (Z,+), donc sous la forme nZpour un entier n≥1. Comme tous
ces sous-groupes sont des id´eaux, on conclut que les id´eaux de Zsont
pr´ecis´ement les ensembles nZpour n≥1.
Ainsi, les id´eaux de Zcontenant 8Zsont les sous-groupes nZpour n≥1
tel que 8Z⊂nZ, i.e. 8|n. Explicitement, il s’agit de
2Z,4Z,8Z,Z.
(2) De mˆeme, on note que les id´eaux de Z/8Zsont en particulier des sous-
groupes de (Z/8Z,+), donc des images des groupes ab´eliens de Zconte-
nant 8Zpar la projection
π:Z→Z/8Z,
par le th´eor`eme de correspondance vu en cours. Explicitement, il s’agit de
{0},2Z/8Z,4Z/8Z,Z/8Z.
Comme ce sont tous des id´eaux de Z/8Z, on conclut que ce sont les id´eaux
de Z/8Z.
On remarque que les id´eaux de Zcontenant 8Zsont en correspondance bijective
avec les id´eaux de Z/8Z, `a travers la projection π.
Exercice 2.
Montrer que les anneaux (Z+ 5Z[i])/5Z[i] et Z/5Zsont isomorphes.
Solution. Comme 5Z∩5Z[i] = 5Z, il s’agit d’une application imm´ediate du
second th´eor`eme d’isomorphisme pour les anneaux. 

2
Exercice 3.
Soit Gun groupe. On rappelle que le commutateur [g, h] de g, h ∈Gest d´efini
par la formule [g, h] := g−1h−1gh. On note
[G, G] := h[x, y]|x, y ∈Gi
le sous-groupe de Gengendr´e par les commutateurs de G.
(1) Montrer que [G, G] est normal dans G.
(2) Montrer que G/[G, G] est ab´elien.
(3) Soit π:G−→ G/[G, G] la surjection canonique. Montrer que si
f:G−→ Aest un homomorphisme de groupes avec Aab´elien, alors
il existe un unique homomorphisme de groupe g:G/[G, G]−→ Atel que
f=g◦π.
(4) Calculer [Z/nZ,Z/nZ] puis [D2n,D2n].
(5) Montrer que [Sn, Sn] est un sous-groupe de An.
Solution.
(1) Pour tous [g, h]∈[G, G] et x∈G, on a
x[g, h]x−1=xghg−1h−1x−1
= (xg−1x−1)(xh−1x−1)(xg−1x−1)(xh−1x−1)
= [xgx−1, xhx−1]∈[G, G].
Comme tout ´el´ement de [G, G] s’´ecrit comme un produit de commutateurs,
on en d´eduit que [G, G] est normal dans G.
(2) Notons qu’un groupe est ab´elien si et seulement si son sous-groupe des
commutateurs est trivial. Pour π:G→G/[G, G] la projection canonique
et g, h ∈G, notons que
[π(g), π(h)] = π([g, h]) = 1,
d’o`u [G/[G, G], G/[G, G]] = [π(G), π(G)] = {1}, c’est-`a-dire que G/[G, G]
est ab´elien.
(3) Sous les conditions de l’´enonc´e, remarquons que pour tous g, h ∈G, on a
f([g, h]) = [f(g), f(h)] = 0
puisque Aest ab´elien. Par la propri´et´e universelle du groupe quotient
vue en cours, il existe alors un unique homomorphisme de groupes g:
G/[G, G]−→ Atel que f=g◦π.

3
(4) Comme Z/nZest ab´elien, on a que [Z/nZ,Z/nZ] = 0. D’autre part,
rappelons que D2n=hr, s :rn= 1, s2= 1, s−1rs =r−1i. Or
[ra, rbs] = rarbsr−as−1r−b=rarbrar−b=r2a,
[ras, rbs] = rasrbss−1r−as−1r−b=rar−brar−b=r2(a−b),
[ra, rb] = 1.
Par cons´equent, il vient que [D2n, D2n] = hr2i, qui est isomorphe `a Z/n
2Z
si nest pair et `a Z/nZsi nest impair.
(5) Par d´efinition, [Sn, Sn] est un sous-groupe de Sn. Soit sig : Sn→ {±1}
l’homomorphisme signature. Pour tous σ, τ ∈Sn, on a que
sig([σ, τ]) = [sig(σ),sig(τ)] = 1 ∈ {±1},
car le groupe `a deux ´el´ements {±1}est ab´elien. Ainsi, tous les commu-
tateurs de Snsont contenus dans An, ce qui montre que le sous-groupe
engendr´e par ceux-ci est un sous-groupe de An.
Exercice 4.
Soient Kun corps et P(X)∈K[X]. Montrer que P(X)−Xdivise P(P(X)) −X.
Solution.
Consid´erons l’anneau R=K[X]/(P(X)−X). Pour tout f∈R, on note fsa
classe dans R. Notons que Ks’injecte dans Rpar l’application K∋a→a∈R,
donc on peut voir Pcomme un polynˆome `a coefficients dans R, que nous noterons
P∈R[T]. Remarquons que pour tout f∈K[X], l’´evaluation de Pen f∈Rest
donn´ee par
P(f) = P(f)∈R.
Par cons´equent, il vient que
P(P(X)) −X=P(P(X)) −X
=P(P(X)) −X
=P(X)−X
=P(X)−X= 0.
Ainsi, P(P(X))−X∈(P(X)−X), c’est-`a-dire que P(X)−Xdivise P(P(X)) −X
comme on souhaitait le montrer. 