classiq-with-corrige-1

Table des mati`eres
1 Enonc´es 2
2 Corrections 6
2.1 D´ecomposition de Dunford ..................... 6
2.2 Endomorphismes cycliques ...................... 11
2.3 Matrices circulantes ......................... 18
2.4 Endomorphismes semi-simples .................... 20
1

1 Enonc´es
2

CLASSIQUES DE R ´ EDUCTION
MP3, Agadir
I. Commutant et d´ ecomposition de Dunford d’un endomorphisme
E d
´
esigne un K -ev de dim n≥2 et u un endomorphisme de E dont on suppose le polyn
ˆ
ome caract
´
eristique χu scind
´
e sur K , on pose :
χu=
p
∏
i=1
(λi−X)mi
E(λi) = ker(u−λiI),E0(λi) = ker(u−λiI)mi
1Montrer que E0(λi)est un sous espace vectoriel stable par u, et que E=p ⊕
i=1
E0(λi).
22.a.on pose vi=u/E0(λi).
Monter que : χvi= (λi−X)dim E0(λi).
2.b.En d´ eduire que dimE0(λi) = mi.
Dans la suite on consid` ere Γu:(L(E)→L(E)
v7→ vou −uov
3Montrer que Γu∈L(L(E)).
On note alors C(u) = ker(Γu)
44.a. Montrer que vect(id,u,u2,..., un−l) ; le sous espace vectoriel de L(E) engendr
´
e par les vecteurs uk,k∈{0,1,2,...,n−1} ,
est inclus dans C(u)et que dim(C(u)) ≥2.
4.b.Montrer que si v∈C(u), alors ∀i∈ {1,2,..., p},v(E(λi)) ⊂E(λi).
5Dans cette question on suppose udiagonalisable.
5.a.Montrer que mi=dimE(λi),∀i∈|[1,p]|.
5.b.Montrer que C(u) = {v∈L(E)/∀i∈ {1,2,..., p}},v(E(λi)) ⊂E(λi)}.
5.c.En d´ eduire que C(u)est isomorphe ` aL(E(λ1)) ×L(E(λ2)) ×... ×L(E(λp)), et donner la dimension de C(u).
6Dans cette question, on Suppose que : ∀i∈[|1,p|],mi=1. Montrer que C(u) = Vect(id,u,u2, ..., un−l).
7Soit k∈N* et v∈L(E).
7.a.Calculer (Γu)k(v).
7.b.En d´ eduire que si uest nilpotent, alors Γuest nilpotent.
88.a.Montrer que si v∈C(u)alors ∀i∈ {1,2,..., p},v(E0(λi)) ⊂E0(λi).
Dans la suite de la question on utilisera le fait que : E =p ⊕
i=1
E0(λi).
8.b.Montrer qu’ il existe δ∈L(E)diagonalisable et ω∈L(E) nilpotent tels que :
u=δ+ω,δ◦ω=ω◦δ
et
C(u) = C(δ)∩C(ω)
8.c.Exemple
Donner la d´ ecomposition δ+ω(matricielle) de l’endomorphisme ucanoniquement associ´ e` a la matrice .
A=
2 1 −1
2 1 −2
3 1 −2
calculer alors An, pour tout n∈N
II. Endomorphismes cycliques
Dans tout le probl` eme Eun espace vectoriel sur Kde dimension n, et u∈L(E)
Partie I
1Pour x∈E, on pose Zx=K[u](x) = vect{uk(x),k∈N}, et Ix={P∈K[X],P(u)(x) = 0}
1.a.Montrer qu’il existe un unique polynome unitaire not´ eΠxtel que Ix={QΠx;Q∈K[X]}.
Πxs’apelle le polynome minimal de x.
1.b.Montrer que degP
x=dimZx
LYC ´ EE R´ EDA SLAOUI 1

2Soit (e1,...,en)une base de E, montrer Πu=ppcm(Πei,i=1,..n)
3Soient x,y∈Etels que Πxet Πysoit premiers entre eux, montrer que Πx+y=ppcm(Πx,Πy) = ΠxΠy.
4Soit Πu=
p
Π
i=1Qαi
isa d´
ecomposition primaire, montrer que pour tout i∈ |[1,p]|,∃xi∈E,Qαi=Πxi
5En d´ eduire qu’il existe x∈Etel que Πu=Πx
Partie II
dimE =n,u∈L(E)est dit cyclique s’il existe x∈Etel que (x,u(x),..., un−1(x)) soit une base de E.
1Montrer que si u∈L(E)anvaleurs propres distinctes il est cyclique. ( consid´ erer une somme de vecteurs propres)
2 Montrer que u est cyclique ssi sa matrice dans une base est de la forme :
0 0 0 a0
1....
.
.a1
...0an−2
0 1 an−1
et donner dans ce cas
l’expression de χu.
3Montrer que uest cyclique ssi Πu= (−1)nχu.
4On suppose que uest nilpotent, Montrer que les psse :
4.a.uest cyclique
4.b.L’indice de nilpotence est n.
4.c.rg(u) = n−1
5 Soit u un endomorphisme cyclique de E=Cn . Quelles valeurs peut prendre le rang de u . Donner un exemple pour chacune de
ces valeurs.
6u´ etant cyclique, donner une CNS pour que usoit diagonalisable
7Soit Mla matrice canoniquement associ´ ee ` aucyclique.
Montrer qu’il existe un polynome Ptel que tcom(M) = P(M).
III. Matrices circulantes
1P∈C[X],A∈Mn(C)diagonalisable, montrer que P(A)est diagonalisable.
2J=
0 1 O
0......
......1
1 0 0
(matrice de Frobenius), calculer Jk,k=1...n ,
´
etudier la diagonalisabilt
´
e et d
´
eterminer les
´
el
´
ements
propres de J.
3a0,...,an−1 des complexes et M=
a0a1... an−1
an−1
...a1
......
a1an−1a0
,
´
ecrire M sous forme d’un polynome en J et en d
´
eduire la
diagonalisabilit´ e et les ´ el´ ements propres de M.
4Application :
4.a. Soit (x,y,z)∈C3 . A l’aide de ce qui pr
´
ec
`
ede, expliciter une m
´
ethode simple permettant de calculer un d
´
eveloppement du
produit (x+y+z)(x+jy +j2z)(x+j2y+jz) dans lequel n’intervient plus le nombre complexe j=−1
2+√3 2i
(il ne
reste finalement que 4 monˆ omes).
4.b.Soit ∆=
2−1 0 0 . .. 0−1
−1 2 −1 0 . .. 0 0
0−1 2 −1... 0 0
.
.
.................
.
.
.
.
.................
.
.
0.........−1 2 −1
−1 0 . . . ... 0−1 2
.
V´ erifier que la matrice ∆est diagonalisable et identifier ses valeurs propres.
LYC ´ EE R´ EDA SLAOUI 2

Partie I : Exemple
R
R C
R
R
R
Partie II
A : Cas o`u est scind´e
K C
B : Cas o`u est irr´eductible
K N
K
Z
K
K
C : CNS pour que soit semi-simple
Partie III
D´ecomposition de Dunford-Schwartz
R
N