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Table des matières
1 Enoncés
2
2 Corrections
2.1 Décomposition de Dunford . .
2.2 Endomorphismes cycliques . . .
2.3 Matrices circulantes . . . . . .
2.4 Endomorphismes semi-simples .
1
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6
6
11
18
20
1
Enoncés
2
C LASSIQUES DE R ÉDUCTION
MP3, Agadir
I.
Commutant et décomposition de Dunford d’un endomorphisme
E désigne un K-ev de dim n ≥ 2 et u un endomorphisme de E dont on suppose le polynôme caractéristique χu scindé sur K, on pose :
p
χu = ∏(λi − X)mi
i=1
E(λi ) = ker(u − λi I), E 0 (λi ) = ker(u − λi I)mi
p
1
Montrer que E 0 (λi ) est un sous espace vectoriel stable par u, et que E = ⊕ E 0 (λi ).
2
2.a. on pose vi = u/E0 (λi ) .
i=1
0
Monter que : χvi = (λi − X)dim E (λi ) .
2.b. En déduire que dim E 0 (λi ) = mi .
(
L(E) → L(E)
Dans la suite on considère Γu :
v 7→ vou − uov
3
Montrer que Γu ∈ L(L(E)).
On note alors C (u) = ker(Γu )
4
4.a. Montrer que vect(id, u, u2 , ..., un−l ) ; le sous espace vectoriel de L(E) engendré par les vecteurs uk , k ∈ {0, 1, 2, ..., n − 1},
est inclus dans C (u) et que dim (C (u)) ≥ 2.
4.b. Montrer que si v ∈ C (u), alors ∀i ∈ {1, 2, ..., p}, v(E(λi )) ⊂ E(λi ).
5
Dans cette question on suppose u diagonalisable.
5.a. Montrer que mi = dim E(λi ), ∀i ∈ |[1, p]|.
5.b. Montrer que C (u) = {v ∈ L(E)/∀i ∈ {1, 2, ..., p}}, v(E(λi )) ⊂ E(λi )}.
5.c. En déduire que C (u) est isomorphe à L(E(λ1 )) × L(E(λ2 )) × ... × L(E(λ p )), et donner la dimension de C (u).
6
Dans cette question, on Suppose que : ∀i ∈ [|1, p|], mi = 1. Montrer que C (u) = Vect(id, u, u2 , ..., un−l ).
7
Soit k ∈ N* et v ∈ L(E).
7.a. Calculer (Γu)k (v).
7.b. En déduire que si u est nilpotent, alors Γu est nilpotent.
8
8.a. Montrer que si v ∈ C (u) alors ∀i ∈ {1, 2, ..., p}, v(E 0 (λi )) ⊂ E 0 (λi ).
p
Dans la suite de la question on utilisera le fait que : E = ⊕ E 0 (λi ).
i=1
8.b. Montrer qu’ il existe δ ∈ L(E) diagonalisable et ω ∈ L(E) nilpotent tels que :
u = δ + ω, δ ◦ ω = ω ◦ δ
et
C (u) = C (δ ) ∩ C (ω)
8.c. Exemple
Donner
δ + ω (matricielle) de l’endomorphisme u canoniquement associé à la matrice .
 la décomposition

2 1 −1
A =  2 1 −2  calculer alors An , pour tout n ∈ N
3 1 −2
II.
Endomorphismes cycliques
Dans tout le problème E un espace vectoriel sur K de dimension n, et u ∈ L(E)
Partie I
1
Pour x ∈ E, on pose Zx = K[u](x) = vect{uk (x), k ∈ N}, et Ix = {P ∈ K[X], P(u)(x) = 0}
1.a. Montrer qu’il existe un unique polynome unitaire noté Πx tel que Ix = {QΠx ; Q ∈ K[X]}.
Πx s’apelle le polynome minimal de x.
1.b. Montrer que deg Px = dim Zx
LYC ÉE R ÉDA S LAOUI
1
2
Soit (e1 , ..., en ) une base de E, montrer Πu = ppcm(Πei , i = 1, ..n)
3
Soient x, y ∈ E tels que Πx et Πy soit premiers entre eux, montrer que Πx+y = ppcm(Πx , Πy ) = Πx Πy .
4
Soit Πu = Π Qαi i sa décomposition primaire, montrer que pour tout i ∈ |[1, p]|, ∃xi ∈ E, Qαi = Πxi
5
En déduire qu’il existe x ∈ E tel que Πu = Πx
p
i=1
Partie II
dimE = n, u ∈ L(E) est dit cyclique s’il existe x ∈ E tel que (x, u(x), ..., un−1 (x)) soit une base de E.
1
2
Montrer que si u ∈ L(E) a n valeurs propres distinctes il est cyclique. ( considérer une somme de vecteurs propres)

0

1
Montrer que u est cyclique ssi sa matrice dans une base est de la forme : 


0
l’expression de χu .
3
Montrer que u est cyclique ssi Πu = (−1)n χu .
4
On suppose que u est nilpotent, Montrer que les psse :
0
..
.
..
.
0
..
.
0
1
a0


a1 
 et donner dans ce cas

an−2 
an−1
4.a. u est cyclique
4.b. L’indice de nilpotence est n.
4.c. rg(u) = n − 1
5
Soit u un endomorphisme cyclique de E = Cn . Quelles valeurs peut prendre le rang de u. Donner un exemple pour chacune de
ces valeurs.
6
u étant cyclique, donner une CNS pour que u soit diagonalisable
7
Soit M la matrice canoniquement associée à u cyclique.
Montrer qu’il existe un polynome P tel que t com(M) = P(M).
III.
1
2
3
4
Matrices circulantes
P ∈ C[X], A ∈ Mn (C) diagonalisable, montrer que P(A) est diagonalisable.

0 1

0 . . .
J=

..

.
1
propres de J.
..
..
O
.
.
0



 (matrice de Frobenius), calculer J k , k = 1...n, étudier la diagonalisabilté et déterminer les éléments

1
0

a0
a1
..
.

 an−1
a0 , ..., an−1 des complexes et M = 

..

.
a1
diagonalisabilité et les éléments propres de M.
...
an−1
a1
..
.
an−1
a0



, écrire M sous forme d’un polynome en J et en déduire la


Application :
4.a. Soit (x, y, z) ∈ C3 . A l’aide de ce qui précède, expliciter une méthode simple permettant de calculer un développement
du
√
1
3
2
2
produit (x + y + z)(x + jy + j z)(x + j y + jz) dans lequel n’intervient plus le nombre complexe j = − +
i (il ne
2
2
reste finalement que 4 monômes).


2 −1 0
0
. . . 0 −1
−1 2 −1 0
... 0
0


 0 −1 2 −1 . . . 0
0


 ..
.
..
..
..
..
..
.. 
 .

.
.
.
.
.
4.b. Soit ∆ = 
.
 ..
.. 
..
..
..
..
..
 .

.
.
.
.
.
.




.
.
.
..
..
. . −1 2 −1
0
−1 0 . . . . . . 0 −1 2
Vérifier que la matrice ∆ est diagonalisable et identifier ses valeurs propres.
LYC ÉE R ÉDA S LAOUI
2
Notations et de nitions
a) Montrer qu'il existe un unique polyn^ome unitaire x tel que :
Ix = fQx =Q 2 K[X ]g
b) Montrer que deg x = dim Z [x].
Dans la suite de cette partie (B), on suppose que u est irreductible.
Soit F un sous espace strict de E stable par u.
2. Soit x1 2 E nF .
a) Veri er que x1 = u .
b) On se propose de montrer que F et Z[x1 ] sont en somme directe.
Par l'absurde, on suppose qu'il existe y 2 (Z [x1 ] \ F )nf0g.
Soit P 2 K[X ]; y = P (u)(x1 ).
i. Veri er que P et x1 sont premiers entre eux.
ii. En deduire qu'il existe U 2 K[X ] tel que : x1 = U (u)(y ).
iii. Aboutir a la contradiction.
3. Montrer alors et par recurrence descendante que tout sous espace stable
admet un supplementaire stable.
u est donc semi-simple.
{ Dans tout le probleme E un espace vectoriel de dimension nie.
{ Un endomorphisme u de E est dit semi-simple si tout sous espace vectoriel
de E stable par u admet un supplementaire stable.
{ Le theme central du probleme est la stabilite en passant par les endomorphismes cycliques, la decomposition de Dunford ..
Eh ben il ne maque plus que les matrices circulantes ou le dernier devoir libre, c'est dommage pour les gens qui ont passe la nuit a faire ce
dernier !.
Partie I : Exemple
Soit u 2 L(R4 ) canoniquement associe a
01
B 1
A=B
@
2
1
2
2
6
1
1
0
1
1
1
0
1C
C
2A
0
C : CNS pour que u soit semi-simple
Le but de cette partie est de montrer que u est semi simple si et seulement si u
1. Determiner les elements propres de A (reels), A est-elle diagonalisable (dans
M4 (R)), est-elle diagonalisable dans M4 (C).
est sans facteur carre irreductible, c'est a dire que u =
2. Determiner A .
(Il n'est pas conseille de faire trop de calcul)
sont irreductibles et deux a deux distincts.
1. On suppose que u =
3. Soit F un sous espace vectoriel de R4 stable par u, on pose v = u=F .
a) Quelles sont les valeurs possibles de v .
(Par convention si F = f0g, v = 1)
b) Montrer que E =
Id ).
d) Montrer que F =
Id ).
I).
vi. F = R4
Dans le troisieme et quatrieme cas, expliciter une base de F .
d) Montrer que dans tous les cas F admet un supplementaire stable.
de R4 telle que :
0
1
0
0 0
0
0
0
1
1
0
0C
C
1A
0
On suppose que u =
Soit u 2 L(E ). On suppose dans cette partie (A) que K = C (ou u scinde). On
i=1
k=1
(F
\ Ek ).
0
Yr
(k
k=1
X )mk est scinde, et on pose u =
Yr
(X
k=1
k )
k
0
X )mi
0
0
1. On suppose que u est diagonalisable, soit F un sous espace vectoriel de E .
Montrer que F est stable par u si et seulement si F s'ecrit
F=
r
M
i=1
0
0
Fi
avec Fi un sous espace vectoriel de Ei (u).
2. On suppose que u est semi-simple, montrer que u est diagonalisable.
01
B0
A=B
@
0
1
0 0
0 0
3. En deduire que u est semi-simple si et seulement si u est diagonalisable.
Donner l'expression du polyn^ome minimal dans ce cas.
B : Cas où u est irréductible
Soit u 2 L(E ).
1. Pour tout x 2 E , on pose :
Ix = fP
r
M
et Ek = Ker((u k I)mk ).
1. Montrer que :
a) 1 k mk .
b) Ek est stable par u.
c) k est la seule valeur propre de u=Ek .
d) dim(Ek ) = mk .
e) Ek = Ker((u k I) k ).
f) (u k I )=Ek est nilpotent d'indice k
2. Montrer qu'il existe un unique couple (; ! ) d'endomorphismes de E tel que :
est diagonalisable, ! est nilpotent, ! = ! et que u = + ! , et
montrer que et ! sont des polyn^omes en u, et que les valeurs propres de u
sont celles de .
3. Soit u 2 L(R4 ) canoniquement associe a :
A : Cas où u est scindé
(i
0
Décomposition de Dunford-Schwartz
0
pose u =
Ek .
Partie III
Partie II
Yr
k=1
e) En utilisant la partie B, montrer alors que F admet un supplementaire
stable.
u est donc semi-simple.
2. On suppose que u est semi-simple et que par l'absurde u admet au moins un
facteur carre irreductible, soit u = P 2 Q, avec P un polyn^ome irreductible,
posons F = KerP(u). et soit S un supplementaire de F stable par u.
a) Montrer (P Q)(u) s'annulle sur F et S .
b) Aboutir a une contradiction.
iv. F = Ker(u2 + Id )
v. F = Ker(u2 + Id ) D, ou D est une droite incluse dans Ker(u
r
M
c) Soit uk = u=Ek , montrer que uk = Pk .
0
01
B0
Mat (u) = B
@0
Pk , avec les Pk qui sont irreductibles et deux a
0
i. F = f0g.
4. Montrer qu'il existe une base
Pk , avec les Pk qui
0
2
c) En discutant sur v et son degre, montrer que F est de l'un des cas
suivants :
iii. F = Ker(u
k=1
k=1
deux distincts .
Soit F un sous espace vectoriel de E stable par u, on pose Ek = Ker(Pk (u)).
a) Montrer que les Ek sont des sous espaces vectoriels non nuls de E et
stables par u.
b) Montrer que si F contient un vecteur non nul de Ker(u + I), alors F
contient tout le sous sous espace Ker(u2 + I).
ii. Une droite incluse dans Ker(u
Yr
Yr
2 K[X ]; P (u)(x) = 0g;
Z [X ] = Vect(uk (x); k 2 N):
1
1
1
1
1
1
1
0C
C
0A
0
a) Ecrire la decomposition de Dunford-Schwartz de u.
b) En deduire un calcul de ur , pour tout r 2 N.
4. On ne suppose plus que u est scinde montrer qu'il existe un unique couple
(s; v ) d'endomorphismes de E tel que :
s soit semi-simple, v nilpotent, v s = s v , et u = s + v .
2
2.1
Corrections
Décomposition de Dunford
6
2.2
Endomorphismes cycliques
11
2.3
Matrices circulantes
18
2.4
Endomorphismes semi-simples
20
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