MS chap 7

Chapitre 7
Dynamique et énergétique des systèmes
de solides indéformables
Définition 68 (Dynamique).
La dynamique est la partie de la mécanique qui a pour objet l’étude des systèmes matériels
en mouvement sous l’influence des forces qui leur sont appliquées.
La dynamique vise donc à prédire ou expliquer les mouvements à partir de leurs causes.
Dans ce chapitre, nous allons voir les lois générales qui permettent de résoudre les problèmes de
dynamique.
I
I.1
Principe Fondamental de la Dynamique
Énoncé
Considérons un système matériel (S).
Théorème 11 (Principe Fondamental de la Dynamique).
Il existe au moins un repère galiléen Rg tel que, pour tout système matériel (S) et à chaque
instant t :
F(S → S) = {D(S/Rg )}
(7.1)
Le Principe Fondamental de la Dynamique résulte d’une observation, raison pour laquelle il s’agit
d’un principe. Par conséquent, il ne faut pas tirer de conclusions hâtives d’une étude analytique du fait
que le Principe Fondamental de la Dynamique n’est qu’un modèle permettant de mettre en relation
des causes (les actions mécaniques) et leurs effets (les mouvements). En revanche, en pratique, le
135
Principe Fondamental de la Dynamique est vérifié, sous réserve que les hypothèses « classiques » de
la dynamique soient vérifiées.
Le Principe Fondamental de la Dynamique fut prononcé pour la première fois par Isaac Newton vers
la fin du XVIIe siècle. Ses conséquences sont nombreuses, et s’énoncent sous forme de théorèmes.
I.2
Théorème des actions réciproques
Considérons un système matériel (Σ) constitué de deux solides disjoints (1) et (2) en mouvement
par rapport à un repère galiléen Rg .
Appliquons le Principe Fondamental de la Dynamique à (1), à (2), puis à (Σ) :
  F(1 → 1) = {D(1/Rg )}
F(2 → 2) = {D(2/Rg )}
 F(Σ → Σ) = {D(Σ/Rg )}
Or :
F(1 → 1) = F(Σ → 1) + {F(2 → 1)} = {D(1/Rg )}
F(2 → 2) = F(Σ → 2) + {F(1 → 2)} = {D(2/Rg )}
En ajoutant ces deux relations, on obtient :
F(Σ → 1) + F(Σ → 2) + {F(2 → 1)} + {F(1 → 2)} = {D(1/Rg )} + {D(2/Rg )}
|
{z
}
|
{z
}
{D(Σ/R
)}
g
F(Σ → Σ)
L’utilisation de la relation issue de l’application du Principe Fondamental de la Dynamique à (Σ)
nous permet donc de conclure que :
{F(2 → 1)} = − {F(1 → 2)}
On retrouve donc bien l’énoncé du théorème des actions réciproques vu à la section I.3 du chapitre
4 dans le cas où (Σ) était en équilibre par rapport à un repère galiléen.
I.3
Théorèmes généraux de la dynamique
Énoncé
L’application du Principe Fondamental de la Dynamique (7.1) au système matériel (Σ) en mouvement
par rapport au repère galiléen Rg permet d’écrire :
F(Σ → Σ) = {D(Σ/Rg )}
D’une part, le torseur associé au système d’actions mécaniques extérieures à (Σ) peut s’écrire, en un
point A :
#»
R(Σ → Σ)
F(Σ → Σ) =
#»
M(A, Σ → Σ) A
136
D’autre part, le torseur dynamique de (Σ) dans son mouvement par rapport à Rg peut s’écrire, au
point A :


m #»
aZ(G, Σ/Rg )




#»
#
»
#»
{D(Σ/Rg )} =
δ (A, Σ/Rg ) =
AP ∧ a (P, Σ/Rg )dm 



P ∈Σ
On a donc :

a (G, Σ/Rg )
 Z m #»
#»

R(Σ → Σ)
#
»
=
#»
AP ∧ #»
a (P, Σ/Rg )dm
M(A, Σ → Σ) A 

P ∈Σ
A





A
Cette relation torsorielle peut se décliner en deux théorèmes vectoriels.
Théorème 12 (Théorème de la résultante dynamique).
Pour tout système matériel (Σ) en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg :
#»
R(Σ → Σ) = m #»
a (G, Σ/Rg )
(7.2)
Théorème 13 (Théorème du moment dynamique).
Pour tout système matériel (Σ) en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg :
Z
# »
#»
AP ∧ #»
a (P, Σ/Rg )dm
(7.3)
∀A ∈ E, M(A, Σ → Σ) =
P ∈Σ
Application en projection selon une direction
Les relations issues de l’application des deux théorèmes généraux de la dynamique à un solide (S)
peuvent être projetées selon les 3 directions d’une base pour obtenir 6 équations scalaires. Considérons un vecteur #»
u . La projection de la relation issue de l’application du théorème de la résultante
dynamique (7.2) à (S) selon la direction #»
u peut être déterminée comme :
" #»
#
dV (G, S/Rg )
#»
#»
#»
#»
R(S → S) · u = m a (G, S/Rg ) · u = m
· #»
u
dt
bg
#» !
#»
#»
d(V (G, S/Rg ) · u ) #»
du
= m
− V (G, S/Rg ) ·
dt
dt bg
Si le vecteur #»
u est un vecteur de la base bg associée au repère Rg , on a alors :
#»
d(V (G, S/Rg ) · #»
u)
#»
#»
R(S → S) · u = m
dt
137
Si le point A d’expression du théorème du momentdynamique (7.3)
appliqué à (S) est un point fixe
d #»
σ (A, S/Rg )
#»
ou le centre d’inertie de (S), alors δ (A, S/Rg ) =
, et la projection de la relation
dt
bg
issue de l’application du théorème du moment dynamique (7.3) à (S) au point A selon la direction
#»
u peut être déterminée comme :
#»
d σ (A, S/Rg )
#»
#»
#»
#»
M(A, S → S) · u = δ (A, S/Rg ) · u =
· #»
u
dt
bg
#» !
d( #»
σ (A, S/Rg ) · #»
u ) #»
du
=
− σ (A, S/Rg ) ·
dt
dt bg
Si le vecteur #»
u est un vecteur de la base bg associée au repère Rg , on a alors :
d( #»
σ (A, S/Rg ) · #»
u)
#»
M(A, S → S) · #»
u =
dt
I.4
Équation de mouvement
Considérons un système matériel (S) dont la position par rapport à un repère galiléen Rg dépend des
paramètres qi (t) (i ∈ [[1, n]]). La projection d’une relation issue de l’application de l’un des théorèmes
généraux de la dynamique à (S) selon une direction fournit une équation scalaire qui est généralement
une équation différentielle du second ordre non linéaire. Cette équation peut contenir :
• certains des paramètres qi (t),
• certaines des dérivées premières et secondes de ces paramètres, q˙i (t) et q¨i (t),
• le temps t,
• certaines données du problème (géométriques, inertielles, des actions mécaniques connues, etc.),
• des actions mécaniques inconnues.
Définition 69 (Équation de mouvement).
Une équation de mouvement est une équation différentielle du second ordre qui représente l’un des théorèmes généraux de la dynamique, et qui ne contient pas d’action
mécanique inconnue.
I.5
Cas particuliers
Solide en translation (linéaire, circulaire ou curviligne)
Considérons un solide indéformable (S) de masse m et de centre d’inertie G animé d’un mouvement
de translation par rapport à un repère galiléen Rg . Comme nous l’avons vu au chapitre 2, cela
#»
#»
implique que Ω(S/Rg ) = 0 , et le torseur cinématique de ce mouvement s’écrit :
#»
0
{V(S/Rg )} =
, ∀P ∈ E
#»
V (P, S/Rg ) P
138
Par conséquent, le torseur dynamique de (S) dans son mouvement par rapport à Rg s’écrit :
m #»
a (G, S/Rg )
{D(S/Rg )} =
#»
0
G
L’application du Principe Fondamental de la Dynamique à (S) permet d’écrire :
#»
R(S → S) = m #»
a (G, S/Rg )
#»
#»
M(G, S → S) = 0
En considérant une base ( #»
x , #»
y , #»
z ) associée à Rg et en notant #»
a (G, S/Rg ) = ẍ(t) #»
x + ÿ(t) #»
y + z̈(t) #»
z,
l’application du théorème de la résultante dynamique à (S) permet d’écrire :

#»
#»
 mẍ(t) = R(S → S) · x
#»
mÿ(t) = R(S → S) · #»
y

#»
#»
mz̈(t) = R(S → S) · z
Solide en rotation autour d’un axe fixe
Considérons un solide indéformable (S) animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe (∆) =
(A, #»
u ) fixe par rapport à un repère galiléen Rg , à une vitesse angulaire θ̇(t). Comme nous l’avons vu
#»
#»
au chapitre 2, cela implique que V (P, S/Rg ) = 0 en n’importe quel point P de l’axe de rotation, et
le torseur cinématique de ce mouvement s’écrit :
θ̇(t) #»
u
{V(S/Rg )} =
, ∀P ∈ (∆)
#»
0
P
L’application du théorème du moment dynamique à (S) au point fixe A en projection selon la
direction #»
u permet d’écrire :
#»
M(A, S → S) · #»
u =
=
#»
d( #»
σ (A, S/Rg ) · #»
u)
d( #»
u · I(A, S) Ω(S/Rg ))
#»
#»
δ (A, S/Rg ) · u =
=
dt
dt
d( #»
u · I(A, S)θ̇(t) #»
u)
= #»
u · I(A, S) #»
u θ̈(t)
dt
soit :
#»
u = I(∆) (S)θ̈(t)
M(A, S → S) · #»
où I(∆) (S) est le moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe de rotation (∆), qui peut être calculé
comme I(∆) (S) = #»
u ·I(A, S) #»
u , comme nous l’avons vu à la section I.5. Les autres équations scalaires
obtenues en projection selon les autres directions ne présentent pas d’intérêt du fait qu’elles feraient
intervenir des actions mécaniques liées aux liaisons autorisant la rotation de (S) par rapport à Rg .
139
II
Première application du PFD : Équilibrage d’un solide en rotation autour d’un axe fixe
II.1
Présentation de la problématique
De nombreux systèmes techniques présentent un élément en rotation à grande vitesse (parfois
quelques centaines de tours par seconde) autour d’un axe fixe ou se déplaçant à vitesse constante ou
faiblement variable : parmi ces systèmes, citons les pompes à vide turbomoléculaires (à gauche sur
la Figure 7.1), les turbines à gaz (au milieu sur la Figure 7.1) et les roues de véhicules motorisés (à
droite sur la Figure 7.1).
Figure 7.1 – Quelques systèmes techniques possédant un élément en rotation autour d’un axe fixe
ou se déplaçant à vitesse constante ou faiblement variable
On comprend aisément que le moindre défaut dans la répartition de la masse autour de l’axe de
rotation va créer de fortes oscillations (ou vibrations) pouvant conduire à la rupture des paliers de
guidage. Si, sur une automobile, ce point peut créer un inconfort ou une perte de maniabilité, sur
un véhicule à deux roues, cela rend le pilotage proprement impossible.
II.2
Paramétrage du problème
La Figure 7.2 propose une modélisation du problème. Le solide (S) est guidé en rotation par rapport
au bâti (0) par la mise en parallèle de deux liaisons supposées énergétiquement parfaites aux points
# »
A et B tels que AB = L z#»0 :
• une liaison rotule de centre A : les actions mécaniques transmissibles par cette liaison peuvent
être modélisées par le glisseur
#»
XA x#»0 + YA y#»0 + ZA z#»0
A(0 → S)
{FLA (0 → S)} =
=
,
#»
#»
0
0
A
A
140
• une liaison sphère-cylindre de centre B et de direction z#»0 : les actions mécaniques transmissibles
par cette liaison peuvent être modélisées par le glisseur
#»
XB x#»0 + YB y#»0
B(0 → S)
{FLB (0 → S)} =
=
.
#»
#»
0
0
B
B
x#»0
#»
x
θ
(S)
B
G
H
A
y#»0
#»
y
z#»0
#»
x
θ
z#»0 = #»
z
x#»0
(0)
Figure 7.2 – Un modèle du problème
# » # » # »
Le solide (S) est de masse M , son centre d’inertie G est tel que AG = AH + HG = d z#»0 + r #»
x et sa
#»
#»
#»
matrice d’inertie, dans la base b = ( x , y , z ) associée au solide (S), est


AG −FG −EG
I(G, S) =  −FG BG −DG 
−EG −DG CG
b
On néglige les actions mécaniques de pesanteur dans tout le problème car les effets dynamiques sont
très largement prépondérants dans ce problème. Un système d’entraînement (non représenté sur la
Figure 7.2) entraîne le solide (S) en rotation à vitesse constante en exerçant un couple Cm z#»0 . On
pose θ = (x#»0 , #»
x ) = (y#»0 , #»
y ) et θ̇ = ω, vitesse angulaire supposée constante : on aura donc, dans tous
les calculs, θ̈ = 0 et l’on pourrait même poser θ = ωt en prenant des conditions initiales nulles.
II.3
Détermination des efforts au niveau des paliers de guidage
On isole le solide (S) soumis aux actions mécaniques suivantes :
• les actions mécaniques dans la liaison rotule de centre A et dans la liaison sphère-cylindre de
centre B et de direction z#»0 ,
• le couple moteur permettant l’entraînementen rotation
de (S) à vitesse constante, modélisable
#» 0
par le torseur couple {F(moteur → S)} =
, ∀P ∈ E,
Cm z#»0 P
• l’action de la pesanteur sur le solide (S), négligée par hypothèse.
141
L’application du Principe Fondamental de la Dynamique à (S) dans son mouvement par rapport à
(0) (supposé galiléen) donne les deux relations suivantes :
#»
#»
1. Théorème de la résultante dynamique : A(0 → S) + B(0 → S) = M #»
a (G, S/0),
#»
# » #»
#»
2. Théorème du moment dynamique en A : AB ∧ B(0 → S) + Cm z0 = δ (A, S/0),
avec :
 # » #»
AB ∧ B(0 → "S) = L#z#»0 ∧ (XB x#»0 + YB y#»0 ) = −LYB x#»0 + LXB y#»0


#» 
# »

 #»
dx
dAG
#»


=r
= r Ω(S/0) ∧ #»
x = rω #»
z ∧ #»
x = rω #»
y
V (G, S/0) =


dt
dt 0


0

#
"

#» #»
dy
dV (G, S/0)
#»
#»
= rω
a (G, S/0) =
= rω Ω(S/0) ∧ #»
y = rω 2 #»
z ∧ #»
y = −rω 2 #»
x


dt
dt

0

0

#»
#»


σ (A, S/0) = I(A,
S) Ω(S/0)
= I(A, S)ω #»
z = [−(EG + M rd) #»
x − DG #»
y + (CG + M r2 ) #»
z ]ω


#»


d
σ
(A,
S/0)
#»

 δ (A, S/0) =
= [DG #»
x − (EG + M rd) #»
y ]ω 2
dt
0
du fait que A est un point fixe, les termes (EG + M rd) et (CG + M r2 ) étant dus à l’utilisation
du théorème d’Huygens, la matrice d’inertie étant connue au centre d’inertie G de (S) et non au
# »
point A. En effet, du fait que AG = r #»
x + d #»
z , d’après le théorème d’Huygens appliqué aux matrices
d’inertie :


 2

d
0
−rd
AG −FG −EG
I(A, S) =  −FG BG −DG 
+M 0
r2 + d2
0 
−EG −DG CG
−rd
0
r2
( #»
x , #»
y , #»
z)
( #»
x , #»
y , #»
z)


2
AG + M d
−FG
−(EG + M rd)
2
2


=
−FG
BG + M (r + d )
−DG
2
−(EG + M rd)
−DG
CG + M r
( #»
x , #»
y , #»
z)
On trouve alors les six équations suivantes :
/x#»0
/y#»0
/z#»
0
II.4
Théorème de la résultante dynamique
Théorème du moment dynamique en A
2
XA + XB = −M rω cos θ
−LYB = [DG cos θ + (EG + M rd) sin θ] ω 2
2
YA + YB = −M rω sin θ
LXB = [DG sin θ − (EG + M rd) cos θ] ω 2
ZA = 0
Cm = 0
Conditions d’équilibre
Le système est dit équilibré si les composantes des efforts en A (XA , YA et ZA ) et en B (XB et YB )
#»
#»
ne dépendent pas de l’angle θ, c’est-à-dire si A(0 → S) et B(0 → S) conservent une direction
constante. Un solide équilibré vérifiera donc les deux conditions suivantes :
Équilibre statique si le centre d’inertie G est sur l’axe de rotation.
Équilibre dynamique si l’axe de rotation est principal d’inertie.
Ce qui correspond à :
• équilibre statique : r = 0 dans les équations précédentes,
• équilibre dynamique : DG = EG = 0 dans les équations précédentes.
142
II.5
Méthode d’équilibrage par ajout/suppression ponctuelle de masse
Paramétrage
Pour annuler les composantes variables des efforts précédents, plusieurs méthodes sont possibles :
pour des raisons de prix comme d’efficacité du réglage, on rajoute traditionnellement deux petites
masselottes (on peut aussi enlever de la masse par perçage : dans ce cas, le calcul est identique avec
des « masses négatives »). Les deux petites masselottes (S1 ) et (S2 ), supposées ponctuelles, sont de
# »
masses respectives m1 et m2 et sont placées aux points P1 et P2 tels que AP1 = r1 x#»1 + z1 #»
z et
# »
#
»
#»
#»
#
»
#»
#»
#»
#
»
AP2 = r2 x2 + z2 z et positionnées angulairement selon α1 = ( x , x1 ) = ( y , y1 ) et α2 = ( x , x2 ) =
( #»
y , y#»2 ).
Les quatre longueurs r1 , r2 , z1 et z2 et les deux angles α1 et α2 sont constants. Sur une roue de
voiture, on aurait donc un positionnement comme sur le dessin de la Figure 7.3.
Figure 7.3 – Exemple de positionnement des deux masselottes dans le cas d’une roue de voiture
Notons (Σ) = (S) ∪ (S1 ) ∪ (S2 ). L’application du Principe Fondamental de la Dynamique à (Σ) dans
son mouvement par rapport à (0) (supposé galiléen) donne les deux relations suivantes :
1. Théorème de la résultante dynamique :
#»
#»
A(0 → S) + B(0 → S) = M #»
a (G, S/0) + m1 #»
a (P1 /0) + m2 #»
a (P2 /0)
2. Théorème du moment dynamique en A :
#»
# » #»
# »
# »
AB ∧ B(0 → S) + Cm z#»0 = δ (A, S/0) + AP1 ∧ m1 #»
a (P1 /0) + AP2 ∧ m2 #»
a (P2 /0)
143
avec :
 #»
a (P1 /0) = −r1 ω 2 x#»1


 #»
a (P2 /0) = −r2 ω 2 x#»2
# »
AP ∧ m1 #»
a (P1 /0) = (r1 x#»1 + z1


 # »1
AP2 ∧ m2 #»
a (P2 /0) = (r2 x#»2 + z2
#»
z ) ∧ m1 (−r1 ω 2 x#»1 ) = −m1 r1 z1 ω 2 y#»1
#»
z ) ∧ m (−r ω 2 x#») = −m r z ω 2 y#»
2
2
2
2 2 2
2
les deux premiers termes pouvant être déterminés directement par analogie avec l’expression de
#»
a (G, S/0). On trouve alors les équations suivantes :
1. Théorème de la résultante statique :
/x#»0 : XA + XB = −[M r cos θ + m1 r1 cos(θ + α1 ) + m2 r2 cos(θ + α2 )]ω 2
/y#»0 : YA + YB = −[M r sin θ + m1 r1 sin(θ + α1 ) + m2 r2 sin(θ + α2 )]ω 2
/z#»0 : ZA = 0
2. Théorème du moment dynamique en A :
/x#»0 : −LYB = [DG cos θ + (EG + M rd) sin θ + m1 r1 z1 sin(θ + α1 ) + m2 r2 z2 sin(θ + α2 )] ω 2
/y#»0 : LXB = [DG sin θ − (EG + M rd) cos θ − m1 r1 z1 cos(θ + α1 ) − m2 r2 z2 cos(θ + α2 )] ω 2
/z#»0 : Cm = 0
On en déduit donc les expressions des inconnues de liaison :

XA = −[M r cos θ + m1 r1 cos(θ + α1 ) + m2 r2 cos(θ + α2 )]ω 2 − XB




YA = −[M r sin θ + m1 r1 sin(θ + α1 ) + m2 r2 sin(θ + α2 )]ω 2 − YB



 ZA = 0
ω2

[DG sin θ − (EG + M rd) cos θ − m1 r1 z1 cos(θ + α1 ) − m2 r2 z2 cos(θ + α2 )]
X
=

B


L2



 Y = − ω [D cos θ + (E + M rd) sin θ + m r z sin(θ + α ) + m r z sin(θ + α )]
1 1 1
1
2 2 2
2
B
G
G
L
(Σ) sera équilibré si XA , YA , ZA , XB et YB ne dépendent pas de θ. Pour retrouver les conditions
d’équilibre, supposons que XB est constant. XA le sera également si
M r cos θ + m1 r1 cos(θ + α1 ) + m2 r2 cos(θ + α2 )
ne dépend pas de θ. En développant, on obtient :
M r cos θ + m1 r1 cos(θ + α1 ) + m2 r2 cos(θ + α2 ) = M r cos θ + m1 r1 cos θ cos α1 − m1 r1 sin θ sin α1
+m2 r2 cos θ cos α2 − m2 r2 sin θ sin α2
= (M r + m1 r1 cos α1 + m2 r2 cos α2 ) cos θ
−(m1 r1 sin α1 + m2 r2 sin α2 ) sin θ
On en déduit donc les deux conditions suivantes pour que XA ne dépende pas de θ (on trouve bien
entendu les mêmes conditions en supposant YB constant et en faisant en sorte que YA ne dépende
pas de θ) :
M r + m1 r1 cos α1 + m2 r2 cos α2 = 0
144
m1 r1 sin α1 + m2 r2 sin α2 = 0
Or on peut remarquer que :
# »
# »
# »
x + (m1 r1 sin α1 + m2 r2 sin α2 ) #»
y
M AG + m1 AP1 + m2 AP2 = (M r + m1 r1 cos α1 + m2 r2 cos α2 ) #»
#»
+(M d + m z + m z ) z
1 1
2 2
# »
# »
et les deux conditions précédentes impliquent que les composantes du vecteur M AG + m1 AP1 +
# »
x et #»
y sont nulles. Or par définition, le centre d’inertie G0 de (Σ) vérifie :
m2 AP2 selon #»
# »
# »
# »
# »
G0 = bar{(G, M ), (P1 , m1 ), (P2 , m2 )} ⇔ (M + m1 + m2 )AG0 = M AG + m1 AP1 + m2 AP2
# »
Les deux conditions précédentes impliquent donc que les composantes du vecteur AG0 selon #»
x et
#»
y sont nulles, et que G0 appartient donc à l’axe de rotation (A, #»
z ). On retrouve là la condition
d’équilibre statique : après équilibrage, le centre d’inertie global est situé sur l’axe de rotation.
Nous avons supposé précédemment que XB était constant. Cherchons maintenant les conditions pour
que ce soit effectivement le cas. L’expression de XB est :
XB =
ω2
[DG sin θ − (EG + M rd) cos θ − m1 r1 z1 cos(θ + α1 ) − m2 r2 z2 cos(θ + α2 )] ,
L
et XB ne dépendra pas de θ si
DG sin θ − (EG + M rd) cos θ − m1 r1 z1 cos(θ + α1 ) − m2 r2 z2 cos(θ + α2 )
ne dépend pas de θ. En développant, on obtient :
L
XB = DG sin θ − (EG + M rd) cos θ − m1 r1 z1 cos θ cos α1 + m1 r1 z1 sin θ sin α1
ω2
−m2 r2 z2 cos θ cos α2 + m2 r2 z2 sin θ sin α2
= −(EG + M rd + m1 r1 z1 cos α1 + m2 r2 z2 cos α2 ) cos θ
+(DG + m1 r1 z1 sin α1 + m2 r2 z2 sin α2 ) sin θ
On en déduit donc les deux conditions suivantes pour que XB ne dépende pas de θ (on trouve bien
entendu les mêmes conditions en faisant en sorte que YB ne dépende pas de θ) :
DG + m1 r1 z1 sin α1 + m2 r2 z2 sin α2 = 0
EG + M rd + m1 r1 z1 cos α1 + m2 r2 z2 cos α2 = 0
Or on peut remarquer que :
I(A, Σ) = I(A, S) + I(A, S1 ) + I(A, S2 ),
sous réserve que les trois matrices d’inertie du membre de droite soient exprimées dans la même base.
Les masselottes (S1 ) et (S2 ) sont supposées ponctuelles, donc :


0 0 0
I(P1 , S1 ) = I(P2 , S2 ) =  0 0 0 
0 0 0 ( #»
x , #»
y , #»
z)
145
# »
# »
Du fait que AP1 = r1 cos α1 #»
x +r1 sin α1 #»
y +z1 #»
z et AP2 = r2 cos α2 #»
x +r2 sin α2 #»
y +z2 #»
z , le théorème
d’Huygens appliqué aux matrices d’inertie permet de déterminer :

 2 2
r1 sin α1 + z12 −r12 cos α1 sin α1 −r1 z1 cos α1
I(A, S1 ) = m1  −r12 cos α1 sin α1 r12 cos2 α1 + z12 −r1 z1 sin α1 
−r1 z1 cos α1
−r1 z1 sin α1
r12
#» #» #»
( x , y , z )
 2 2
2
2
r2 sin α2 + z2 −r2 cos α2 sin α2 −r2 z2 cos α2
I(A, S2 ) = m2  −r22 cos α2 sin α2 r22 cos2 α2 + z22 −r2 z2 sin α2 
−r2 z2 cos α2
−r2 z2 sin α2
r22
( #»
x , #»
y , #»
z)

AΣ −FΣ −EΣ
, on constate que :
En notant I(A, Σ) =  −FΣ BΣ −DΣ 
−EΣ −DΣ CΣ
( #»
x , #»
y , #»
z)

DΣ = DG + m1 r1 z1 sin α1 + m2 r2 z2 sin α2
EΣ = EG + M rd + m1 r1 z1 cos α1 + m2 r2 z2 cos α2
Les deux conditions précédentes sont donc équivalentes à DΣ = EΣ = 0 et impliquent donc que l’axe
de rotation (A, #»
z ) est principal d’inertie. On retrouve là la condition d’équilibre dynamique :
après équilibrage, l’axe de rotation est principal d’inertie.
On a donc globalement les quatre équations suivantes :
M r + m1 r1 cos α1 + m2 r2 cos α2 = 0
DG + m1 r1 z1 sin α1 + m2 r2 z2 sin α2 = 0
m1 r1 sin α1 + m2 r2 sin α2 = 0
EG + M rd + m1 r1 z1 cos α1 + m2 r2 z2 cos α2 = 0
Bilan et proposition de solutions
L’analyse des conditions précédentes met en évidence le fait qu’on a quatre équations (deux issues de
l’écriture de la condition d’équilibre statique et deux issues de la condition d’équilibre dynamique)
pour huit inconnues (les masses m1 et m2 , les longueurs r1 , r2 , z1 et z2 et les angles α1 et α2 ).
On a donc une infinité de solutions pour réaliser l’équilibrage de ce solide en rotation : pour résoudre
ce problème, on doit donc s’imposer le choix de quatre variables. En pratique, le choix est finalement
limité car on est contraint par la géométrie et seules les masses m1 et m2 ainsi que les angles α1 et
α2 sont à déterminer car les rayons de positionnement r1 et r2 ainsi que les distances z1 et z2 sont
imposés par la géométrie (comme dans le cas d’une roue de voiture).
En pratique, l’équilibrage se fait sur une machine spéciale (appelée « équilibreuse ») et le positionnement des masses est déterminé par la mesure des efforts sur les paliers qui guident l’arbre sur lequel
est fixée la roue en rotation.
L’équilibrage peut se faire par apport de masse (à gauche sur la Figure 7.4) ou par enlèvement de
masse (à droite sur la Figure 7.4).
146
Figure 7.4 – Différentes solutions pour réaliser l’équilibrage
Remarque relative au nombre de masselottes
Au vu des résultats précédents, l’ajout de deux masselottes permet de réaliser l’équilibrage statique
et dynamique d’un solide (S). On peut dès lors se demander s’il serait possible d’en faire autant avec
une seule masselotte. En raisonnant de la même manière que dans le cas de deux masselottes, on
obtient les quatre équations suivantes :
M r + m1 r1 cos α1 = 0
DG + m1 r1 z1 sin α1 = 0
m1 r1 sin α1 = 0
EG + M rd + m1 r1 z1 cos α1 = 0
d’inconnues m1 , r1 , z1 et α1 . D’après l’équation m1 r1 sin α1 = 0, on a soit r1 = 0, soit α1 = 0. Si
r1 = 0, cela implique M r = 0, ce qui est impossible, on a donc nécessairement α1 = 0, et la première
équation se réécrit M r + m1 r1 = 0. r1 étant imposé par la géométrie, on peut donc en déduire m1 .
En revanche, α1 = 0 implique également DG = 0, ce qui est impossible vu que (S) est quelconque.
En conclusion, il est possible de réaliser l’équilibrage statique d’un solide avec une seule masselotte,
mais deux masselottes sont nécessaires pour réaliser l’équilibrage dynamique de ce même solide.
147
III
Deuxième application du PFD : Gyroscope tournant
III.1
Présentation du système
Figure 7.5 – Principe de fonctionnement d’un gyroscope tournant et paramétrage associé
148
Un gyroscope tournant est un système purement mécanique composé :
• d’un bâti (0) supposé fixe pendant l’étude,
• d’une armature extérieure (1) en liaison pivot d’axe (O, z#»0 ) avec le bâti (0),
• d’une armature intérieure (2) en liaison pivot d’axe (O, x#»1 ) avec l’armature extérieure (1),
• d’une masse tournante (3), appelée gyrostat, en liaison pivot d’axe (O, z#») avec l’armature
2
intérieure (2) et entraînée en rotation à très grande vitesse par un moteur placé entre (2) et
#»
(3) délivrant un couple moteur tel que M(O, 2 → 3) · z#»2 = Cm ,
comme illustré sur la Figure 7.5. Ce type de système est utilisé pour créer l’horizon artificiel sur les
avions de tourisme. Sur les avions de chasse et de croisière actuels, un système purement électronique
(gyromètre capacitif et traitement en temps réel) est utilisé.
III.2
Paramétrage du problème
On associe aux solides les repères suivants :
# »
• R0 (O0 ; x#»0 , y#»0 , z#»0 ) au solide (0) : on pose O0 O = h z#»0 ,
• R (O; x#», y#», z#») au solide (1) de masse et inerties négligeables,
1
1
1
1
• R2 (O; x#»2 , y#»2 , z#»2 ) au solide (2) de masse et inerties négligeables,
• R3 (O; x#»3 , y#»3 , z#»3 ) au solide (3) de masse
 M , de centre d’inertie G3 ≡ O et de matrice d’inertie en
A3 0
0
O notée I(O, 3) =  0 A3 0  du fait que l’axe (O, z#»3 ) représente un axe de symétrie
0
0 C3 b
3
matérielle pour le solide (3).
On associe aux différentes liaisons les paramètres suivants (angles d’Euler) :
• liaison pivot L
: on pose ψ = (x#», x#») = (y#», y#») avec z#» = z#» (précession),
1/0
• liaison pivot L2/1
• liaison pivot L3/2
0
1
0
1
0
1
: on pose θ = (y#»1 , y#»2 ) = (z#»1 , z#»2 ) avec x#»1 = x#»2 (nutation),
: on pose ϕ = (x#»2 , x#»3 ) = (y#»2 , y#»3 ) avec z#»2 = z#»3 (rotation propre),
définis sur les figures de changement de base de la Figure 7.6.
y#»1
y#»0
z#»1
z#»2
ψ
y#»3
θ
z#»0 = z#»1
x#»0
ϕ
y#»2
x#»1
ψ
y#»2
θ #»
y1
x#»1 = x#»2
x#»3
ϕ
z#»2 = z#»3
x#»2
Figure 7.6 – Figures de changement de base permettant de définir les angles d’Euler du gyroscope
149
III.3
Approximation gyroscopique
#»
#»
#»
#»
Si l’on note
q Ω(3/0) = ωx x2 + ωy y2 + ωz z2 , l’approximation gyroscopique consiste à supposer que
|ωz | ωx2 + ωy2 . On a :
#»
Ω(3/0) = ψ̇ z#»1 + θ̇x#»2 + ϕ̇z#»2
= ψ̇(sin θy#» + cos θz#») + θ̇x#» + ϕ̇z#»
2
2
2
2
= θ̇x#»2 + ψ̇ sin θy#»2 + (ϕ̇ + ψ̇ cos θ)z#»2
On a donc :

 ωx = θ̇
ω = ψ̇ sin θ
 y
ωz = ϕ̇ + ψ̇ cos θ
Par approximation gyroscopique :
q
q
2
2
|ωz | ωx + ωy ⇔ |ϕ̇ + ψ̇ cos θ| θ̇2 + ψ̇ 2 sin2 θ
Du fait que ∀θ ∈ R, −1 6 cos θ 6 1, on a :
ϕ̇ − ψ̇ 6 ϕ̇ + ψ̇ cos θ 6 ϕ̇ + ψ̇,
et l’on doit donc avoir

q
 |ϕ̇ + ψ̇| θ̇2 + ψ̇ 2 sin2 θ
q

|ϕ̇ − ψ̇| θ̇2 + ψ̇ 2 sin2 θ
pour garantir que la plus petite des deux quantités |ϕ̇ + ψ̇| et |ϕ̇ − ψ̇| est bien prépondérante devant
le membre de droite, et donc pour que l’approximation gyroscopique soit vérifiée. De plus, pour
que ces deux quantités soient prépondérantes devant le membre de droite, il suffit qu’elles soient
prépondérantes devant la valeur maximale que peut prendre le membre de droite, et l’on a donc :

q
 |ϕ̇ + ψ̇| θ̇2 + ψ̇ 2
q
=⇒ |(ϕ̇ + ψ̇)(ϕ̇ − ψ̇)| θ̇2 + ψ̇ 2 ⇔ |ϕ̇2 − ψ̇ 2 | θ̇2 + ψ̇ 2

2
2
|ϕ̇ − ψ̇| θ̇ + ψ̇
En supposant ϕ̇2 > ψ̇ 2 (ce qui se justifie par le fait que (3) est entraîné en rotation par rapport à (2) à
très grande vitesse grâce à un moteur), l’inégalité précédente devient ϕ̇2 θ̇2 + ψ̇ 2 . L’approximation
gyroscopique signifie donc que la vitesse de rotation propre ϕ̇ est prépondérante devant les deux
autres vitesses de rotation (vitesse de précession ψ̇ et vitesse de nutation θ̇). Ceci est vérifié en
pratique : dans un avion, on utilise un gyroscope pour créer « l’horizon artificiel » et la rotation ϕ̇
est de l’ordre de 10000 tr.min−1 alors que les deux autres rotations ne dépassent jamais, même dans
les cas les plus critiques, quelques dizaines de tr.min−1 de manière ponctuelle.
#»
#»
#»
#»
#»
On a donc la conséquence suivante : Ω(3/0) = Ω(3/2) + Ω(2/1) + Ω(1/0) ≈ Ω(3/2) = ϕ̇z#»2 . Sup#»
posons que ϕ̇ = ω0 = cste. On a donc Ω(3/0) ≈ ϕ̇z#»2 = ω0 z#»2 .
150
III.4
Couplage gyroscopique
On applique sur le gyroscope les deux actions mécaniques suivantes :
• sur l’armature extérieure (1), une action mécanique modélisable par un glisseur en A tel que
# »
#»
OA = L x#»1 de résultante A(Ext → 1) = F1 y#»1 ,
• sur l’armature intérieure (2), une action mécanique modélisable par un glisseur en B tel que
# »
#»
OB = L z#»2 de résultante B(Ext → 2) = F2 y#»2 .
Le moment cinétique au point fixe O de (3) dans son mouvement par rapport à (0) peut être déterminé
comme suit :
#»
#»
σ (O, 3/0) = I(O, 3) Ω(3/0) = I(O, 3)ω0 z#»2 = C3 ω0 z#»2 ,
ce qui signifie que #»
σ (O, 3/0) est colinéaire à l’axe de rotation propre (O, z#») du gyroscope : il va
2
donc évoluer avec ce dernier (tant que la vitesse de rotation propre ϕ̇ sera suffisante pour que
l’approximation gyroscopique reste valable). On a donc :
#»
#» d σ (O, 3/0)
dz2
#»
#»
δ (O, 3/0) =
= C3 ω0
= C3 ω0 Ω(2/0) ∧ z#»2 = C3 ω0 (θ̇x#»2 + ψ̇ z#»1 ) ∧ z#»2
dt
dt 0
0
#
»
#»
= C ω (θ̇x + ψ̇(sin θy + cos θz#»)) ∧ z#» = C ω (ψ̇ sin θx#» − θ̇y#»)
3 0
2
2
2
2
3 0
2
2
Traçons le graphe des liaisons et des efforts du gyroscope afin de déterminer quels théorèmes appliquer
pour prévoir le comportement du gyroscope. Ce graphe est représenté sur la Figure 7.7.
effort extérieur en A
effort extérieur en B
couple moteur
0
pivot
pivot
pivot
1
2
3
axe (O, z#»0 )
axe (O, x#»1 )
axe (O, z#»2 )
action de la pesanteur
Figure 7.7 – Graphe des liaisons et des efforts du gyroscope
Par la suite, l’application du Principe Fondamental de la Dynamique à un sous-ensemble (Σ) de
(1) ∪ (2) ∪ (3) dans son mouvement par rapport à (0) (supposé galiléen) va nous donner les deux
relations suivantes :
#»
1. Théorème de la résultante dynamique : R(Σ → Σ) = mΣ #»
a (GΣ , Σ/0),
#»
#»
2. Théorème du moment dynamique en un point P : M(P, Σ → Σ) = δ (P, Σ/0).
On peut constater que les liaisons du gyroscope sont toutes les trois des liaisons pivot. Ces liaisons
possèdent un degré de liberté en rotation, ce qui implique que le torseur des actions mécaniques
transmissibles par ces liaisons possède 5 composantes non nulles : ces liaisons peuvent donc transmettre des efforts dans toutes les directions, mais elles ne peuvent transmettre des moments que
dans des directions orthogonales à leur axe.
L’application du théorème de la résultante dynamique à (Σ) fera donc nécessairement apparaître des
inconnues de liaison (en effort), ce qui n’est pas souhaitable. La meilleure stratégie consiste donc à
151
appliquer le théorème du moment dynamique à (Σ) en projection sur l’axe de la liaison pivot reliant
(Σ) à (Σ) en un point de cet axe (par exemple, O, qui appartient aux trois axes et auquel le moment
#»
dynamique δ (O, 3/0) a déjà été calculé), afin qu’aucune inconnue de liaison n’apparaisse dans la
relation. De plus, si l’on souhaite que la relation obtenue lie les efforts aux vitesses de rotation, les
inerties des solides (1) et (2) étant négligées par hypothèse, (Σ) doit nécessairement inclure le solide
(3). Or nous avons déterminé précédemment que
#»
δ (O, 3/0) = C3 ω0 (ψ̇ sin θx#»2 − θ̇y#»2 )
Par conséquent :
• il est possible d’obtenir une relation faisant intervenir θ̇ sans ψ̇ en projetant la relation issue
de l’application du théorème du moment dynamique à un sous-ensemble contenant (3) selon
une direction orthogonale à x#»2 mais non orthogonale à y#»2 . Parmi les trois directions z#»0 , x#»1 et
z#»2 des axes des trois liaisons pivot, z#»2 est à exclure du fait qu’elle est également orthogonale
à y#»2 , et x#»1 n’est pas orthogonale à x#»2 du fait que x#»1 = x#»2 , donc seule z#»0 convient, z#»0 = z#»1
étant orthogonale à x#»1 = x#»2 . Or (O, z#»0 ) est l’axe de la liaison pivot L1/0 : on isole donc
(Σ) = (1) ∪ (2) ∪ (3). La projection selon z#»1 de la relation obtenue par application du théorème
du moment dynamique à (Σ) au point O donne :
#»
#»
#»
#»
δ (O, Σ/0) · z#»1 = δ (O, 3/0) · z#»1 = M(O, 0 → 1) · z#»1 +M(O, Ext → 1) · z#»1
|
{z
}
0
#»
#»
+M(O, Ext → 2) · z#»1 + M(O, pes → 3) ·z#»1
|
{z
}
#»
0
du fait que les inerties de (1) et (2) sont négligées et que O ≡ G3 . On a donc :
# »
# »
C3 ω0 (ψ̇ sin θx#»2 − θ̇y#»2 ) · z#»1 = (OA ∧ F1 y#»1 ) · z#»1 + (OB ∧ F2 y#»2 ) · z#»1
⇔ −C3 ω0 θ̇y#»2 · z#»1 = (Lx#»1 ∧ F1 y#»1 ) · z#»1 + (Lz#»2 ∧ F2 y#»2 ) · z#»1
π
− θ = F1 Lz#»1 · z#»1 − F2 Lx#»2 · z#»1 ⇔ −C3 ω0 θ̇ sin θ = F1 L
⇔ −C3 ω0 θ̇ cos
2
ce qui permet de conclure :
θ̇ sin θ = −
F1 L
C3 ω0
• il est possible d’obtenir une relation faisant intervenir ψ̇ sans θ̇ en projetant la relation issue
de l’application du théorème du moment dynamique à un sous-ensemble contenant (3) selon
une direction orthogonale à y#»2 mais non orthogonale à x#»2 . Parmi les trois directions z#»0 , x#»1 et
z#»2 des axes des trois liaisons pivot, z#»2 est à exclure du fait qu’elle est également orthogonale à
x#»2 , et z#»0 = z#»1 est orthogonale à x#»1 = x#»2 , donc seule x#»1 convient, x#»1 = x#»2 étant orthogonale à
y#»2 . Or (O, x#»1 ) est l’axe de la liaison pivot L2/1 : on isole donc (Σ) = (2) ∪ (3). La projection
selon x#»1 de la relation obtenue par application du théorème du moment dynamique à (Σ) au
152
point O donne :
#»
#»
#»
#»
δ (O, Σ/0) · x#»1 = δ (O, 3/0) · x#»1 = M(O, 1 → 2) · x#»1 +M(O, Ext → 2) · x#»1
|
{z
}
0
#»
+ M(O, pes → 3) ·x#»1
{z
}
|
#»
0
du fait que les inerties de (2) sont négligées et que O ≡ G3 . On a donc :
# »
C3 ω0 (ψ̇ sin θx#»2 − θ̇y#»2 ) · x#»1 = (OB ∧ F2 y#»2 ) · x#»1
⇔ C ω ψ̇ sin θx#» · x#» = (Lz#» ∧ F y#») · x#»
3 0
2
1
2
2 2
1
⇔ C3 ω0 ψ̇ sin θ = −F2 Lx#»2 · x#»1 ⇔ C3 ω0 ψ̇ sin θ = −F2 L
ce qui permet de conclure :
ψ̇ sin θ = −
F2 L
C 3 ω0
On peut ensuite analyser le comportement du gyroscope en fonction des valeurs de F1 et F2 :
• 1er cas : F1 6= 0 et F2 = 0. On a :

F1 L

cos θ = A0 t + cos θ0
θ̇ sin θ = −
= −A0
θ = Arccos(A0 t + cos θ0 )
⇒
⇔
C ω
ψ = ψ0
 ψ̇ sin θ = 0 3 0
ψ̇ = 0
L’action mécanique exercée sur (1) devrait normalement faire tourner (1) autour de l’axe
(O, z#»1 ), mais ψ reste constant : c’est θ qui varie, donc l’action mécanique exercée sur (1) fait
tourner (2) autour de l’axe (O, x#»1 ).
• 2e cas : F1 = 0 et F2 6= 0. On a :



 θ̇ sin θ = 0
 θ̇ = 0
 θ = θ0
B0
F2 L
⇒
B0 ⇔
t + ψ0
 ψ̇ sin θ = −
 ψ̇ =
 ψ=
= B0
sin
θ0
C3 ω0
sin θ
L’action mécanique exercée sur (2) devrait normalement faire tourner (2) autour de l’axe
(O, x#»1 ), mais θ reste constant : c’est ψ qui varie, donc l’action mécanique exercée sur (2) fait
tourner (1) autour de l’axe (O, z#»1 ).
• 3e cas : F1 = F2 6= 0. On a :

F L

 θ̇ sin θ = − 1 = −A0
θ̇
A0
C 3 ω0
⇒ =−
F
L

B0
ψ̇
 ψ̇ sin θ = − 2 = B0
C 3 ω0
Comme F1 = F2 , −A0 = B0 et θ̇ = ψ̇ : les deux angles θ et ψ varient à la même vitesse jusqu’à
ce que l’on ait sin θ = 0, cas qui correspond à un gyroscope vertical (z#»0 = z#»1 = ±z#»2 = ±z#»3 ).
Ensuite, ψ = θ, et le gyroscope tourne comme une toupie.
153
• 4e cas : F1 = F2 = 0. On a :
θ̇ sin θ = 0
⇒
ψ̇ sin θ = 0
θ = θ0
ψ = ψ0
Le gyroscope ne tourne donc pas : seul le solide (3) tourne autour de son axe.
Ce comportement paradoxal du gyroscope s’appelle le couplage gyroscopique.
On peut remarquer que :
• lorsque le gyroscope est utilisé comme instrument de mesure (comme c’est le cas pour le système
d’horizon artificiel d’un avion), il est le plus souvent remplacé par des gyroscopes vibrants ou
à fibre optique, bien plus modernes, fiables, et avec un temps de réponse extrêmement faible
par rapport aux gyroscopes tournants : dans ce cas, on l’appelle le plus souvent gyromètre,
• lorsque le gyroscope est utilisé comme moyen de stabilisation d’un système mécanique, le
gyroscope tournant est encore d’actualité : c’est ainsi qu’on rencontre des « roues tournantes »
jouant le rôle de gyroscope de stabilisation dans les satellites, le téléscope Hubble, certains
appareils de musculation, des appareils de mesure optique, etc.
IV
Énergie
IV.1
Énergie cinétique galiléenne
Définition
L’énergie cinétique galiléenne élémentaire d’une masse dm placée en un point P et en mouvement
par rapport à un repère galiléen Rg est définie comme :
dT (P/Rg ) =
i2
1 h #»
V (P/Rg ) dm
2
Nous allons étendre cette notion à un solide (S) en sommant les énergies cinétiques galiléennes
élémentaires des points qui le constituent.
Définition 70 (Énergie cinétique galiléenne d’un solide).
On appelle énergie cinétique galiléenne d’un solide (S) en mouvement par rapport à
un repère galiléen Rg la quantité scalaire définie comme :
Z
Z h
i2
1
#»
T (S/Rg ) =
dT (P/Rg ) =
V (P, S/Rg ) dm
2
P ∈S
P ∈S
#»
On peut remarquer que T (S/Rg ) dépend du repère Rg du fait que V (P, S/Rg ) en dépend.
154
Expression de l’énergie cinétique galiléenne dans le cas d’un solide indéformable
Dans le cas d’un solide indéformable (S), le champ des vecteurs vitesse est un champ de vecteurs
équiprojectif. Par définition de l’énergie cinétique galiléenne, on a :
Z h
i2
1
#»
T (S/Rg ) =
V (P, S/Rg ) dm
2
P ∈S
D’après la formule de Varignon, on a :
#»
#»
#»
# »
V (P, S/Rg ) = V (O, S/Rg ) + Ω(S/Rg ) ∧ OP ,
avec O un point de (S). On a donc :
Z
#»
1
#»
#»
# »
T (S/Rg ) =
V (P, S/Rg ) · V (O, S/Rg ) + Ω(S/Rg ) ∧ OP dm
2
P ∈S
Z
Z
#»
1
1
#»
#»
#»
# »
V (P, S/Rg ) · V (O, S/Rg ) dm +
V (P, S/Rg ) · Ω(S/Rg ) ∧ OP dm
=
2
2
P ∈S
P ∈S
Z
Z
# » #»
1
1
#»
#»
#»
=
V (P, S/Rg ) · V (O, S/Rg ) dm +
Ω(S/Rg ) · OP ∧ V (P, S/Rg ) dm
2
2
P ∈S
P ∈S


Z
Z
1
1 #»
#»
#»
# » #»

=
V (P, S/Rg ) dm · V (O, S/Rg ) + Ω(S/Rg ) ·
OP ∧ V (P, S/Rg ) dm
2
2
P ∈S
=
=
P ∈S
1 #»
1 #»
#»
R c (S/Rg ) · V (O, S/Rg ) + Ω(S/Rg ) · #»
σ (O, S/Rg )
2
2
1
{C(S/Rg )} ⊗ {V(S/Rg )}
2
Propriété 22 (Énergie cinétique galiléenne d’un solide indéformable).
L’énergie cinétique galiléenne d’un solide indéformable (S) en mouvement par rapport à
un repère galiléen Rg est définie comme :
T (S/Rg ) =
1
{C(S/Rg )} ⊗ {V(S/Rg )} ,
2
où T (S/Rg ) est un scalaire ne dépendant pas du point de réduction des torseurs.
155
Expression de l’énergie cinétique galiléenne dans certains cas particuliers
• solide indéformable en translation selon une direction fixe
Considérons un solide indéformable (S) de masse m et de centre d’inertie G animé d’un mouvement de translation le long d’une direction fixe #»
u (|| #»
u || = 1) par rapport à un repère galiléen
#»
#»
Rg , à une vitesse λ̇(t). Comme nous l’avons vu au chapitre 2, cela implique que Ω(S/Rg ) = 0 ,
et le torseur cinématique de ce mouvement s’écrit :
#» #»
0
0
{V(S/Rg )} =
=
#»
λ̇(t) #»
u G
V (G, S/Rg ) G
Par conséquent, le torseur cinétique de (S) dans son mouvement par rapport à Rg s’écrit :
#»
mλ̇(t) #»
u
m V (G, S/Rg )
{C(S/Rg )} =
=
#»
#»
0
0
G
G
L’énergie cinétique galiléenne de (S) dans son mouvement par rapport à Rg s’écrit donc :
#» 1 mλ̇(t) #»
1
0
u
⊗
T (S/Rg ) = {C(S/Rg )} ⊗ {V(S/Rg )} =
#»
#»
0
λ̇(t)
u G
2
2
G
Par conséquent :
1
T (S/Rg ) = mλ̇2 (t)
2
• solide indéformable en rotation autour d’un axe fixe
Considérons un solide indéformable (S) de masse m et de centre d’inertie G animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe (∆) = (A, #»
u ) fixe par rapport à un repère galiléen Rg , à
une vitesse angulaire θ̇(t), et notons J le moment d’inertie de (S) par rapport à (∆). Comme
#»
#»
nous l’avons vu au chapitre 2, cela implique que V (P, S/Rg ) = 0 en n’importe quel point P
de l’axe de rotation, et le torseur cinématique de ce mouvement s’écrit :
θ̇(t) #»
u
{V(S/Rg )} =
, ∀P ∈ (∆)
#»
0
P
Du fait que le point P est fixe, le torseur cinétique de (S) dans son mouvement par rapport à
Rg s’écrit :
#»
#»
mV (G, S/Rg )
mV (G, S/Rg )
{C(S/Rg )} =
=
#»
θ̇(t)I(P, S) #»
u
I(P, S) Ω(S/Rg ) P
P
L’énergie cinétique galiléenne de (S) dans son mouvement par rapport à Rg s’écrit donc :
#»
1
1 mV (G, S/Rg )
θ̇(t) #»
u
⊗
T (S/Rg ) = {C(S/Rg )} ⊗ {V(S/Rg )} =
#»
0
2
2
θ̇(t)I(P, S) #»
u
P
P
Par conséquent :
1
1
T (S/Rg ) = θ̇2 (t) #»
u · I(P, S) #»
u = J θ̇2 (t)
2
2
156
Masse équivalente et inertie équivalente
Considérons un système (Σ) composé de n solides indéformables (i) en mouvement par rapport à un
repère galiléen Rg . On a donc :
n
X
T (Σ/Rg ) =
T (i/Rg )
i=1
Considérons que les mouvements des solides indéformables (i) sont :
1
• soit des mouvements de translation selon des directions fixes : T (j/Rg ) = mj λ̇2j (t),
2
1
• soit des mouvements de rotation autour d’axes fixes : T (k/Rg ) = Jk θ̇k2 (t).
2
L’expression de T (Σ/Rg ) devient alors :
T (Σ/Rg ) =
X1
j
2
mj λ̇2j (t) +
X1
k
2
Jk θ̇k2 (t)
Définition 71 (Masse équivalente).
La masse équivalente par rapport au paramètre cinématique λ̇i (t) est le nombre
réel positif meq tel que :
T (Σ/Rg ) =
X1
j
2
mj λ̇2j (t) +
X1
k
2
1
Jk θ̇k2 (t) = meq λ̇2i (t)
2
Définition 72 (Inertie équivalente).
L’inertie équivalente par rapport au paramètre cinématique θ̇i (t) est le nombre
réel positif Jeq tel que :
T (Σ/Rg ) =
X1
j
IV.2
2
mj λ̇2j (t) +
1
Jk θ̇k2 (t) = Jeq θ̇i2 (t)
2
2
X1
k
Puissance galiléenne d’une action mécanique
Définition
#»
La puissance galiléenne élémentaire d’une action mécanique d R(E → P ) exercée par une source E
sur un point P en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg est définie comme :
#»
#»
dP(E → P/Rg ) = V (P/Rg ) · d R(E → P )
157
Si ce point P appartient à un solide (S), on peut déterminer la puissance de l’action mécanique
exercée par E sur l’ensemble du solide.
Définition 73 (Puissance galiléenne d’une action mécanique).
La puissance galiléenne d’une action mécanique exercée par une source E sur un solide
(S) en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg est définie comme :
Z
Z
#»
#»
V (P, S/Rg ) · d R(E → P )
(7.4)
P(E → S/Rg ) =
dP(E → P/Rg ) =
P ∈S
P ∈S
Expression de la puissance galiléenne d’une action mécanique dans le cas d’un solide
indéformable
Dans le cas d’un solide indéformable (S), le champ des vecteurs vitesse est un champ de vecteurs
équiprojectif. Par définition de la puissance d’une action mécanique, on a :
Z
#»
#»
P(E → S/Rg ) =
V (P, S/Rg ) · d R(E → P )
P ∈S
D’après la formule de Varignon, on a :
#»
#»
#»
# »
V (P, S/Rg ) = V (O, S/Rg ) + Ω(S/Rg ) ∧ OP ,
avec O un point de (S). On a donc :
Z #»
#»
# » #»
P(E → S/Rg ) =
V (O, S/Rg ) + Ω(S/Rg ) ∧ OP · d R(E → P )
P ∈S
Z
=
#»
#»
V (O, S/Rg ) · d R(E → P ) +
Z #»
# » #»
Ω(S/Rg ) ∧ OP · d R(E → P )
P ∈S
P ∈S

#»
= V (O, S/Rg ) · 

Z
#»
d R(E → P ) +
P ∈S
# »
#»
#»
Ω(S/Rg ) · OP ∧ d R(E → P )
Z
P ∈S
#»
#»
#»
= R(E → S) · V (O, S/Rg ) + Ω(S/Rg ) ·
Z
P ∈S
#»
dM(O, E → P )
#»
#»
#»
#»
= R(E → S) · V (O, S/Rg ) + Ω(S/Rg ) · M(O, E → S)
= {F(E → S)} ⊗ {V(S/Rg )}
158
Propriété 23 (Puissance galiléenne d’une action mécanique (solide indéformable)).
La puissance galiléenne d’une action mécanique exercée par une source E sur un solide
indéformable (S) en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg est définie comme :
P(E → S/Rg ) = {F(E → S)} ⊗ {V(S/Rg )} ,
(7.5)
où P(E → S/Rg ) est un scalaire ne dépendant pas du point de réduction des torseurs.
On peut remarquer que :
• la relation (7.5) ne peut être appliquée que dans le cas d’une action mécanique agissant sur
un solide indéformable ou sur un système de solides rigidement liés entre eux. Si
le solide est déformable, il faut alors utiliser la relation (7.4).
• la valeur de la puissance galiléenne calculée dépend du repère galiléen par rapport auquel le
solide se déplace : ainsi, la puissance galiléenne développée par l’action mécanique exercée par
E sur (S) est nulle dans tout repère lié à (S).
Puissance des inter-efforts
Considérons deux solides indéformables (1) et (2) en contact et en mouvement relatif. Si nous appliquons la relation (7.5) au solide (2) en mouvement par rapport à (1), on obtient :
P(E → 2/1) = {F(E → 2)} ⊗ {V(2/1)}
Si l’on considère comme action mécanique particulière celle exercée par le solide (1), l’expression de
la puissance prend alors une forme particulière dans laquelle les solides peuvent échanger leurs rôles
respectifs :
{F(1 → 2)} ⊗ {V(2/1)} = {F(2 → 1)} ⊗ {V(1/2)} ,
pour la bonne raison que {V(2/1)} = − {V(1/2)} d’après la formule de composition des torseurs
cinématiques, et que {F(1 → 2)} = − {F(2 → 1)} d’après le théorème des actions réciproques.
La puissance obtenue est appelée puissance des inter-efforts entre les solides (1) et (2).
Définition 74 (Puissance des inter-efforts).
On appelle puissance des inter-efforts la puissance de l’action mécanique exercée par
un solide indéformable (1) sur un autre solide indéformable (2) lors de leur mouvement
relatif 2/1. Comme les solides peuvent échanger leurs rôles, on adopte pour la puissance
des inter-efforts la notation P(1 ↔ 2) qui exprime cette propriété :
P(1 ↔ 2) = {F(1 → 2)} ⊗ {V(2/1)} = {F(2 → 1)} ⊗ {V(1/2)} ,
où P(1 ↔ 2) est un scalaire ne dépendant pas du point de réduction des torseurs.
159
On peut remarquer que cette puissance ne dépend pas du repère par rapport auquel elle est calculée.
IV.3
Théorème de l’énergie cinétique
Cas d’un seul solide indéformable
Considérons un solide indéformable (S) en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg . Par
application du Principe Fondamental de la Dynamique à (S), on a :
F(S → S) = {D(S/Rg )}
Effectuons le comoment de cette relation avec le torseur cinématique {V(S/Rg )} de (S) dans son
mouvement par rapport à Rg . On obtient :
F(S → S) ⊗ {V(S/Rg )} = {D(S/Rg )} ⊗ {V(S/Rg )}
D’après la relation (7.5), le membre de gauche représente la puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures à (S), P(S → S/Rg ). Le membre de droite vaut, lui :
Z




#»


a
(P,
S/R
)
dm
g




#»


Ω(S/Rg )
P
∈S
Z
{D(S/Rg )} ⊗ {V(S/Rg )} =
⊗
#»
# » #»


V (A, S/Rg ) A


AP
∧
a
(P,
S/R
)
dm


g




P ∈S
A
Z
#»
#»
= V (A, S/Rg ) ·
a (P, S/Rg ) dm
P ∈S
#»
+ Ω(S/Rg ) ·
Z
# »
AP ∧ #»
a (P, S/Rg ) dm
P ∈S
#»
V (A, S/Rg ) · #»
a (P, S/Rg ) dm
Z
=
P ∈S
Z
+
#»
# »
Ω(S/Rg ) · (AP ∧ #»
a (P, S/Rg )) dm
P ∈S
#»
V (A, S/Rg ) · #»
a (P, S/Rg ) dm
Z
=
P ∈S
Z
+
#»
# »
( Ω(S/Rg ) ∧ AP ) · #»
a (P, S/Rg ) dm
P ∈S
=
Z #»
#»
# »
V (A, S/Rg ) + Ω(S/Rg ) ∧ AP · #»
a (P, S/Rg ) dm
P ∈S
Z
=
#»
V (P, S/Rg ) · #»
a (P, S/Rg ) dm
P ∈S
160
#
" #»
dV (P, S/Rg )
#»
dm
V (P, S/Rg ) ·
{D(S/Rg )} ⊗ {V(S/Rg )} =
dt
bg
P ∈S
h
Z
i
2
d 1 #»
=
V (P, S/Rg )
dm
dt 2
P ∈S


Z h
i2
d 1
#»
=
V (P, S/Rg ) dm
dt 2
Z
P ∈S
=
dT (S/Rg )
dt
Théorème 14 (Théorème de l’énergie cinétique (cas d’un seul solide indéformable)).
La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique galiléenne d’un solide indéformable
(S) en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg est égale à la puissance galiléenne
des actions mécaniques extérieures exercées sur ce solide :
dT (S/Rg )
= P(S → S/Rg )
dt
Ce théorème est également appelé théorème de l’énergie-puissance.
Cas d’un ensemble de deux solides indéformables
Considérons un système matériel (Σ) constitué de deux solides indéformables (1) et (2) disjoints et
en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg . Le théorème de l’énergie cinétique appliqué aux
solides indéformables (1) et (2) donne :
dT (1/Rg )
= P(1 → 1/Rg ) = P(Σ → 1/Rg ) + P(2 → 1/Rg )
dt
dT (2/Rg )
= P(2 → 2/Rg ) = P(Σ → 2/Rg ) + P(1 → 2/Rg )
dt
On a donc :
dT (Σ/Rg )
dt
dT (1/Rg ) dT (2/Rg )
+
dt
dt
= P(Σ → 1/Rg ) + P(Σ → 2/Rg ) +P(2 → 1/Rg ) + P(1 → 2/Rg )
|
{z
}
P(Σ → Σ/Rg )
=
= P(Σ → Σ/Rg ) + {F(2 → 1)} ⊗ {V(1/Rg )} + {F(1 → 2)} ⊗ {V(2/Rg )}
= P(Σ → Σ/Rg ) + {F(2 → 1)} ⊗ ({V(1/Rg )} − {V(2/Rg )})
= P(Σ → Σ/Rg ) + {F(2 → 1)} ⊗ ({V(1/Rg )} + {V(Rg /2)})
= P(Σ → Σ/Rg ) + {F(2 → 1)} ⊗ {V(1/2)}
= P(Σ → Σ/Rg ) + P(1 ↔ 2)
161
Théorème 15 (Théorème de l’énergie cinétique (cas de 2 solides indéformables)).
La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique galiléenne d’un système matériel
(Σ) constitué de deux solides indéformables (1) et (2) en mouvement par rapport à un
repère galiléen Rg est égale à la somme de la puissance galiléenne des actions mécaniques
extérieures à (Σ) et de la puissance des inter-efforts entre (1) et (2) :
dT (Σ/Rg )
= P(Σ → Σ/Rg ) + P(1 ↔ 2)
dt
Généralisation à un ensemble de n solides indéformables
Il est possible de généraliser le théorème de l’énergie cinétique dans le cas de 2 solides indéformables
à un système (Σ) composé de n solides indéformables (i) en mouvement par rapport à un repère
galiléen Rg . Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à chacun des n solides donne :
dT (i/Rg )
= P(ī → i/Rg )
dt
On a donc :
dT (Σ/Rg )
dt
=
n
X
dT (i/Rg )
dt
i=1
=
n
X
P(ī → i/Rg ) =
i=1
n
X
{F(ī → i)} ⊗ {V(i/Rg )}
i=1


n
n
X
X



 ⊗ {V(i/Rg )}
=
F(Σ
→
i)
+
{F(j
→
i)}


i=1
j=1
j6=i
n X
n
n
X
X
{F(j → i)} ⊗ {V(i/Rg )}
=
F(Σ → i) ⊗ {V(i/Rg )} +
i=1
n
X
=
F(Σ → i) ⊗ {V(i/Rg )} +
i=1
+
n X
n
X
i=1 j=1
j6=i
n
n
XX
i=1 j=1
j<i
{F(j → i)} ⊗ {V(i/Rg )}
i=1 j=1
j>i
162
{F(j → i)} ⊗ {V(i/Rg )}
En effectuant le changement de variable
dT (Σ/Rg )
dt
=
n
X
i←j
dans la seconde somme double, on obtient :
j←i
F(Σ → i) ⊗ {V(i/Rg )} +
{F(j → i)} ⊗ {V(i/Rg )}
i=1 j=1
j<i
i=1
+
n X
n
X
n X
n
X
{F(i → j)} ⊗ {V(j/Rg )}
j=1 i=1
j<i
Or d’après le théorème des actions réciproques, {F(i → j)} = − {F(j → i)}. On a donc :
dT (Σ/Rg )
dt
=
n
X
F(Σ → i) ⊗ {V(i/Rg )}
i=1
+
n X
n
X
{F(j → i)} ⊗ ({V(i/Rg )} − {V(j/Rg )})
i=1 j=1
j<i
=
n
X
F(Σ → i) ⊗ {V(i/Rg )} +
n X
n
X
{F(j → i)} ⊗ {V(i/j)}
i=1 j=1
j<i
i=1
= P(Σ → Σ/Rg ) +
n X
n
X
P(i ↔ j)
i=1 j=1
j<i
Théorème 16 (Théorème de l’énergie cinétique (cas de n solides indéformables)).
La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique galiléenne d’un système matériel
(Σ) constitué de n solides indéformables (i) en mouvement par rapport à un repère galiléen
Rg est égale à la somme de la puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures à
(Σ) et des puissances des inter-efforts entre chaque paire de solides indéformables de (Σ) :
dT (Σ/Rg )
=
dt
P(Σ → Σ/Rg ) +
|
{z
}
puissance extérieure
n X
n
X
P(i ↔ j)
i=1 j=1
j<i
|
{z
}
puissance intérieure
163
IV.4
Notion de rendement
Au sein d’un mécanisme, la puissance est transmise de l’actionneur au récepteur en passant par les
différentes liaisons du mécanisme. Cette puissance Pe fournie par l’actionneur se répartit à chaque
instant en :
• une puissance (négative) Ps transmise au récepteur,
• une puissance (négative) Pcal dissipée par échauffement,
• une puissance interne Pi qui peut être stockée (auquel cas elle est positive) ou restituée (auquel
cas elle est négative).
On a donc :
Pe + Ps + Pcal + Pi = 0
Définition 75 (Rendement).
Lorsque la puissance interne Pi est nulle, on peut définir le rendement η du mécanisme
comme :
Ps
η=
Pe
Le rendement peut être déterminé :
• en se plaçant en régime permanent : en effet, en régime transitoire, certains phénomènes dissipatifs et conservatifs ont des effets énergétiques difficilement perceptibles, ou
1
• en définissant un facteur de perte instantané adimensionnel, défini comme Cs = η(t) × × Ce
k
ωs
pour un transmetteur de puissance de rapport de réduction k =
< 1, où Ce et Cs sont les
ωe
couples d’entrée et de sortie du système.
164