mécanique des solides

Chapitre 7
Dynamique et énergétique des systèmes
de solides indéformables
La dynamique est la partie de la mécanique qui a pour objet l’étude des systèmes matériels
en mouvement sous l’influence des forces qui leur sont appliquées.
Définition 68 (Dynamique).
La dynamique vise donc à prédire ou expliquer les mouvements à partir de leurs causes.
Dans ce chapitre, nous allons voir les lois générales qui permettent de résoudre les problèmes de
dynamique.
I Principe Fondamental de la Dynamique
I.1 Énoncé
Considérons un système matériel (S).
Il existe au moins un repère galiléen Rgtel que, pour tout système matériel (S)et à chaque
instant t:F(S→S)={D(S/Rg)}(7.1)
Théorème 11 (Principe Fondamental de la Dynamique).
Le Principe Fondamental de la Dynamique résulte d’une observation, raison pour laquelle il s’agit
d’un principe. Par conséquent, il ne faut pas tirer de conclusions hâtives d’une étude analytique du fait
que le Principe Fondamental de la Dynamique n’est qu’un modèle permettant de mettre en relation
des causes (les actions mécaniques) et leurs effets (les mouvements). En revanche, en pratique, le
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Principe Fondamental de la Dynamique est vérifié, sous réserve que les hypothèses « classiques » de
la dynamique soient vérifiées.
Le Principe Fondamental de la Dynamique fut prononcé pour la première fois par Isaac Newton vers
la fin du XVIIesiècle. Ses conséquences sont nombreuses, et s’énoncent sous forme de théorèmes.
I.2 Théorème des actions réciproques
Considérons un système matériel (Σ) constitué de deux solides disjoints (1) et (2) en mouvement
par rapport à un repère galiléen Rg.
Appliquons le Principe Fondamental de la Dynamique à (1), à (2), puis à (Σ) :
F(1 →1)={D(1/Rg)}
F(2 →2)={D(2/Rg)}
F(Σ →Σ)={D(Σ/Rg)}
Or : F(1 →1)=F(Σ →1)+{F(2 →1)}={D(1/Rg)}
F(2 →2)=F(Σ →2)+{F(1 →2)}={D(2/Rg)}
En ajoutant ces deux relations, on obtient :
F(Σ →1)+F(Σ →2)
| {z }
F(Σ →Σ)
+{F(2 →1)}+{F(1 →2)}={D(1/Rg)}+{D(2/Rg)}
| {z }
{D(Σ/Rg)}
L’utilisation de la relation issue de l’application du Principe Fondamental de la Dynamique à (Σ)
nous permet donc de conclure que :
{F(2 →1)}=− {F(1 →2)}
On retrouve donc bien l’énoncé du théorème des actions réciproques vu à la section I.3 du chapitre
4 dans le cas où (Σ) était en équilibre par rapport à un repère galiléen.
I.3 Théorèmes généraux de la dynamique
Énoncé
L’application du Principe Fondamental de la Dynamique (7.1) au système matériel (Σ) en mouvement
par rapport au repère galiléen Rgpermet d’écrire :
F(Σ →Σ)={D(Σ/Rg)}
D’une part, le torseur associé au système d’actions mécaniques extérieures à (Σ) peut s’écrire, en un
point A:
F(Σ →Σ)=#»
R(Σ →Σ)
# »
M(A, Σ→Σ) A
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D’autre part, le torseur dynamique de (Σ) dans son mouvement par rapport à Rgpeut s’écrire, au
point A:
{D(Σ/Rg)}=
m#» a(G, Σ/Rg)
#»
δ(A, Σ/Rg) = Z
P∈Σ
# »
AP ∧#» a(P, Σ/Rg)dm 
A
On a donc :
#»
R(Σ→Σ)
# »
M(A, Σ→Σ) A
=
m#»
a(G, Σ/Rg)
Z
P∈Σ
# »
AP ∧#» a(P, Σ/Rg)dm 
A
Cette relation torsorielle peut se décliner en deux théorèmes vectoriels.
Pour tout système matériel (Σ) en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg:
#»
R(Σ →Σ) = m#» a(G, Σ/Rg)(7.2)
Théorème 12 (Théorème de la résultante dynamique).
Pour tout système matériel (Σ) en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg:
∀A∈ E,
# »
M(A, Σ→Σ) = Z
P∈Σ
# »
AP ∧#» a(P, Σ/Rg)dm (7.3)
Théorème 13 (Théorème du moment dynamique).
Application en projection selon une direction
Les relations issues de l’application des deux théorèmes généraux de la dynamique à un solide (S)
peuvent être projetées selon les 3directions d’une base pour obtenir 6équations scalaires. Considé-
rons un vecteur #» u. La projection de la relation issue de l’application du théorème de la résultante
dynamique (7.2) à (S)selon la direction #» upeut être déterminée comme :
#»
R(S→S)·#» u=m#» a(G, S/Rg)·#» u=m"d
#»
V(G, S/Rg)
dt #bg
·#» u
=m d(
#»
V(G, S/Rg)·#» u)
dt −
#»
V(G, S/Rg)·d#»
u
dt bg!
Si le vecteur #» uest un vecteur de la base bgassociée au repère Rg, on a alors :
#»
R(S→S)·#» u=md(
#»
V(G, S/Rg)·#» u)
dt
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Si le point Ad’expression du théorème du moment dynamique (7.3) appliqué à (S)est un point fixe
ou le centre d’inertie de (S), alors #» δ(A, S/Rg) = d#»
σ(A, S/Rg)
dt bg
, et la projection de la relation
issue de l’application du théorème du moment dynamique (7.3) à (S)au point Aselon la direction
#»
upeut être déterminée comme :
# »
M(A, S →S)·#» u=
#»
δ(A, S/Rg)·#» u=d#»
σ(A, S/Rg)
dt bg
·#» u
= d(#»
σ(A, S/Rg)·#» u)
dt −#»
σ(A, S/Rg)·d#»
u
dt bg!
Si le vecteur #» uest un vecteur de la base bgassociée au repère Rg, on a alors :
# »
M(A, S →S)·#» u=d(#»
σ(A, S/Rg)·#» u)
dt
I.4 Équation de mouvement
Considérons un système matériel (S)dont la position par rapport à un repère galiléen Rgdépend des
paramètres qi(t)(i∈[[1, n]]). La projection d’une relation issue de l’application de l’un des théorèmes
généraux de la dynamique à (S)selon une direction fournit une équation scalaire qui est généralement
une équation différentielle du second ordre non linéaire. Cette équation peut contenir :
•certains des paramètres qi(t),
•certaines des dérivées premières et secondes de ces paramètres, ˙qi(t)et ¨qi(t),
•le temps t,
•certaines données du problème (géométriques, inertielles, des actions mécaniques connues, etc.),
•des actions mécaniques inconnues.
Une équation de mouvement est une équation différentielle du second ordre qui re-
présente l’un des théorèmes généraux de la dynamique, et qui ne contient pas d’action
mécanique inconnue.
Définition 69 (Équation de mouvement).
I.5 Cas particuliers
Solide en translation (linéaire, circulaire ou curviligne)
Considérons un solide indéformable (S)de masse met de centre d’inertie Ganimé d’un mouvement
de translation par rapport à un repère galiléen Rg. Comme nous l’avons vu au chapitre 2, cela
implique que #» Ω(S/Rg) = #» 0, et le torseur cinématique de ce mouvement s’écrit :
{V(S/Rg)}=#»
0
#»
V(P, S/Rg)P
,∀P∈ E
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Par conséquent, le torseur dynamique de (S)dans son mouvement par rapport à Rgs’écrit :
{D(S/Rg)}=m#»
a(G, S/Rg)
#»
0G
L’application du Principe Fondamental de la Dynamique à (S)permet d’écrire :
#»
R(S→S) = m#» a(G, S/Rg)
# »
M(G, S →S) = #» 0
En considérant une base (#» x , #» y , #» z)associée à Rget en notant #» a(G, S/Rg) = ¨x(t)#» x+ ¨y(t)#» y+ ¨z(t)#» z,
l’application du théorème de la résultante dynamique à (S)permet d’écrire :
m¨x(t) =
#»
R(S→S)·#» x
m¨y(t) =
#»
R(S→S)·#» y
m¨z(t) =
#»
R(S→S)·#» z
Solide en rotation autour d’un axe fixe
Considérons un solide indéformable (S)animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe (∆) =
(A, #» u)fixe par rapport à un repère galiléen Rg, à une vitesse angulaire ˙ θ(t). Comme nous l’avons vu
au chapitre 2, cela implique que #» V(P, S/Rg) = #» 0en n’importe quel point Pde l’axe de rotation, et
le torseur cinématique de ce mouvement s’écrit :
{V(S/Rg)}=˙
θ(t)#» u
#»
0P
,∀P∈(∆)
L’application du théorème du moment dynamique à (S)au point fixe Aen projection selon la
direction #» upermet d’écrire :
# »
M(A, S →S)·#» u=
#»
δ(A, S/Rg)·#» u=d(#»
σ(A, S/Rg)·#» u)
dt =d(#»
u· I(A, S)
#»
Ω(S/Rg))
dt
=d(#»
u· I(A, S)˙ θ(t)#» u)
dt =#»
u· I(A, S)#» u¨ θ(t)
soit :
# »
M(A, S →S)·#» u=I(∆)(S)¨ θ(t)
où I(∆)(S)est le moment d’inertie de (S)par rapport à l’axe de rotation (∆), qui peut être calculé
comme I(∆)(S) = #» u·I(A, S)#» u, comme nous l’avons vu à la section I.5. Les autres équations scalaires
obtenues en projection selon les autres directions ne présentent pas d’intérêt du fait qu’elles feraient
intervenir des actions mécaniques liées aux liaisons autorisant la rotation de (S)par rapport à Rg.
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