problemes-d-analyse-tome1

PROBLÈMES D’ANALYSE I
Nombres réels, suites et séries
Wieslawa J. Kaczor, Maria T. Nowak
Traduction : Eric Kouris
Collection dirigée par Daniel Guin
17, avenue du Hoggar
Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112
91944 Les Ulis Cedex A, France

This work was originally published in Polish, as Zadania z Analizy Matematycznej.Część
Pierwsza. Liczby Rzeczywiste, Ciźgi i Szeregi Liczbowe, © 1996 Wydawnictwo Uniwer-
sytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin. Published in English by the American Mathe-
matical Society under the title “Problems in Mathematical Analysis I: Real Numbers,
Sequences and Series”, © 2000 American Mathematical Society. The present translation
was created for EDP Sciences under authority of the American Mathematical Society
and is published by permission.
Imprimé en France
ISBN : 978-2-7598-0058-2
Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous
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©2008, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A

TABLE DES MATIÈRES
Préface du traducteur v
Préface à l’édition anglaise vii
Notations et terminologie ix
I Nombres réels 1
Én
oncés................................... 1
I.1 Borne supérieure et borne inférieure, fractions continues . . . . 1
I.2 Quelquesinégalitésélémentaires ................. 6
So
lutions .................................. 15
I.1 Borne supérieure et borne inférieure, fractions continues . . . . 15
I.2 Quelquesinégalitésélémentaires ................. 25
II Suites de nombres réels 41
Én
oncés................................... 41
II.1 Suitesmonotones ......................... 41
II.2 Limites. Propriétés des suites convergentes . . . . . . . . . . . 48
II.3 La transformation de Toeplitz, le théorème de Stolz et leurs
ap
plications ............................ 56
II.4 Valeurs d’adhérence, limite supérieure et limite inférieure . . . 61
II.5 Problèmesdivers.......................... 68
So
lutions .................................. 82
II.1 Suitesmonotones ......................... 82
II.2 Limites. Propriétés des suites convergentes . . . . . . . . . . . 93
II.3 La transformation de Toeplitz, le théorème de Stolz
et
leursapplications........................111
II.4 Valeurs d’adhérence, limite supérieure et limite inférieure . . . 119
II.5 Problèmesdivers..........................137

Problèmes d’Analyse I – Nombres réels, suites et séries
III Séries de nombres réels 173
Énoncés...................................173
III.1 Sommationdeséries........................173
III.2 Sériesàtermespositifs ......................182
III.3 Letestintégral...........................198
III.4 Convergence absolue. Théorème de Leibniz . . . . . . . . . . . 202
III.5 LestestsdeDirichletetAbel...................209
III.6 ProduitdeCauchydeséries ...................212
III.7 Réarrangementdeséries.Sériesdoubles.............215
III.8 Produitsinfinis ..........................223
So
lutions ..................................231
III.1 Sommationdeséries........................231
III.2 Sériesàtermespositifs ......................253
III.3 Letestintégral...........................287
III.4 Convergence absolue. Théorème de Leibniz . . . . . . . . . . . 294
III.5 LestestsdeDirichletetAbel...................309
III.6 ProduitdeCauchydeséries ...................318
III.7 Réarrangementdeséries.Sériesdoubles.............326
III.8 Produitsinfinis ..........................344
Bibliographie 363
Table des r envois 365
Index 369
iv