Ministère de l’Education Nationale
rrrurrr
Inspection d’académie de Sain-Louis
Compilé par : M. DJITTE
Lycée Dioudé Diabé
Février 2020
Durée : 4 heures
Série : S2 -Coef.5
Pour bien préparer le probléme au bac...
MATHEMATIQUES
Les Problèmes BAC : de 1999 à 2017
b. En procédant à une intégration par parties,
calculer I(λ).
2.
Calculer
lim I(λ).
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
λ→−∞
3. On pose λ = 2.
+Problème 1 (BAC S2 1e groupe 1999)
a. Calculer I(2).
On
considère la fonction f définie par
b. En déduire la valeur en cm2 de l’aire du
f (x) = x + ln x − 1 si x ∈] − ∞; −1[∪] − 1; 0[
domaine plan délimité par la courbe (Cf ), l’axe
x+1
f (x) = x2 e−x
des abscisses et les droites d’équation x = 0 et
si x ∈ [0; +∞[
4
et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère x = 2 .
→
− →
−
e
orthonormé (O, i , j ) (unité 2cm).
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Partie A :
1. Déterminer l’ensemble de définition Df de f . +Problème 2 (BAC S2 Remplacement 1999)
Calculer f (−2) et f (3).
Partie
A : Soit f la fonction définie sur R par
1
2. Calculer les limites aux bornes de Df .
−
3. Montrer que f est continue en 0.
f (x) = e x2
si x ∈] − ∞; 0[
4. a. Etablir que la dérivée de f a pour expression
f (x) = ln x − 1 si x ∈ [0; 1[∪]1; +∞[
2
x
+
1
x+1
f 0 (x) =
si x ∈] − ∞; −1[∪] − 1; 0[
2−1
et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère
x
→
− →
−
f (x) = x2 e−x (2 − x)
si x ∈ [0; +∞[
orthonormé (O, i , j ) (unité 2cm).
b. La fonction f est-elle dérivable en 0 ? Justifier 1. Etudier la continuité de f en 0.
votre réponse.
2. a. Montrer que ∀x ∈]0; 1[,
f (x)
ln(1 − x) ln(1 + x)
c. Dresser le tableau de variations de f .
=
−
.
5. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une
x
x
x
b. Etudier la dérivabilité de f en 0.
unique solution α comprise entre −1, 6 et −1, 5.
c. En déduire que (Cf ) admet au point d’abs6. a. Justifier que la droite (D) d’équation y = x
cisse
0 deux demi-tangentes dont on donnera les
est asymptote à la courbe (Cf ) en −∞
b. Etudier la position relative de (Cf ) par rapport équations.
3. Etudier les variations de f .
à la droite (D) dans ] − ∞; −1[∪] − 1; 0[.
4. Tracer (Cf ).
7. Construire (Cf ).
Partie B : Soit g la restriction de f à I = [0; 2]. Partie B : Soit g la restriction de f à ]1; +∞[.
1. Montrer que g définit une bijection de I vers 1. Montrer que g est une bijection de ]1; +∞[ vers
un intervalle J à préciser.
un intervalle J à préciser.
On notera g −1 la bijection réciproque de g.
2. On note g −1 la bijection réciproque de g.
2. Montrer que l’équation g(x) = −e admet une
a. Résoudre l’équation g −1 (x) = 1.
unique solution α sur l’intervalle ]1; +∞[.(On ne
1
= e.
b. Montrer que (g −1 )0
demande pas de calculer α)
e
2ex
−1
c. Construire (Cg −1 ) la courbe de g −1 .
3. Montrer que ∀x ∈ J, g (x) = 1 − x
.
e −1
Partie C : λZ étant un réel strictement positif, on
−1
λ
4. Construire (Cg ) (On indiquera la nature et
pose I(λ) =
f (x)dx
l’équation de chacune des asymptotes à (Cg) et
0
(Cg −1 ).
1. a. Interpréter graphiquement I(λ).
M.Djitté
Lycée de Dioudé Diabé Terminale S2 2019-2020
0 ≤ x ≤ e − 1
5. Calculer en cm2 l’aire
A de l’ensemble des
par M (x; y) tels que
− ln 7 ≤ x ≤ −1
f (x) ≤ y ≤ f −1 (x)
points M (x; y) défini par
0 ≤ y ≤ g −1 (x)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+Problème 4 (BAC S2 Remplacement 2000)
e
Partie A : Soit g la fonction définie par
+Problème 3 (BAC S2 1 groupe 2000)
g(x) = 1 − xe−x
Soitf la fonction définie de R dans R par
1. Etudier les variations de g.
si x ≥ 0
f (x) = x ln(x + 1)
2. En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs
1
de x.
f (x) = xe x
si x < 0
Partie
A : Soit f la fonction définie par
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,~i, ~j)
f (x) = ln(−x)
si x < −1
(unité graphique 2cm).
f (x) = (x + 1)(1 + ex ) si x ≥ −1
On désigne par (C) la courbe représentative de f
On désigne par (C) sa courbe représentative dans
et (∆) la droite d’équation y = x.
un repère orthonormé (O,~i, ~j) (unité graphique
Partie A
2cm).
1. a. Montrer que f est continue en 0.
1. Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur
b. Etudier la dérivabilité de f en 0.
R.
c. Interpréter les résulats précédents.
2. Etudier les variations de f puis dresser le ta2. a. Montrer que ∀x < 0, f 0 (x) > 0.
0
bleau de variations de f .
b. Etudier les variations de f sur [0; +∞[.
0
3. a. Montrer que la droite (D) : y = x + 1 est
En déduire que ∀x > 0, f (x) > 0.
asymptote à (C) en +∞.
c. Donner le tableau de variations
de f .
1
b. Etudier la position relative de (C) par
rapport à (D) sur [−1; +∞[
x
3. a . Déterminer lim x e − 1 . (On pourra
x→−∞
4. Montrer qu’il existe un unique point de la
courbe (C) dont on précisera les coordonnées, où
1
poser u = ).
la tangente (T ) est parallèle à la droite (D).
x
b. Montrer que la droite (D) : y = x + 1 est
5. Tracer la courbe (C) , l’asymptote (D) et la tanasymptote à (C) au voisinage de −∞.
gente (T ), on précisera la tangente ou les demiOn admettra que (C) est en dessous de (D). tangentes à (C) au point d’abscisse −1.
c. Déterminer la nature de la branche infinie 6. a. Montrer que f est une bijection de [−1; +∞[
de (C) en +∞.
sur un ensemble J que l’on précisera.
4. Construire (C), on précisera les coordonnées de b. Construire (C 0 ) la courbe de f −1 sur le même
I point d’intersection de (C) et (∆) pour x > 0. graphique que la courbe (C).
Partie B
Partie C : Pour λ ≥ −1, on note A(λ)
1. Déterminer les réels a, b et c tels que :
l’aire
en cm2 de la partie du plan définie par
2
c
x
−1 ≤ x ≤ λ
= ax + b +
.
∀x ∈ R+ ,
x+1
x+1
x + 1 ≤ y ≤ f (x)
2. En déduire au moyen d’une intération par par1. Calculer A(λ) à l’aide d’une intégration par
tie que la fonction F telle que :
2
parties.
(x − 1) ln(x + 1) 1 2
F (x) =
− (x −2x) est une 2. Montrer que A(λ) admet une limite finie
2
4
primitive de f sur R+ .
lorsque λ tend vers +∞.
3. En déduire en cm2 l’aire A de la partie du
Interpréter graphiquement cette limite.
plan limitée par (∆), (C) et les droites d’équa−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
tions x = 0 et x = e − 1.
Partie C
e
1. a. Montrer que f admet une bijection réci- +Problème 5 (BAC S2 1 groupe 2001)
On
considère la fonction g définie par
proque notée f −1 .
f (x) = x(1 − ln x)2 si x > 0
b. f −1 est-elle dérivable en 0. Préciser la naf (0) = 0
ture de la tangente en 0 à la courbe de f −1 .
2. Construire (C 0 ) la courbe de f −1 dans le repère On appelle (C) sa courbe représentative dans un
(O,~i, ~j).
repère orthonormé (O,~i, ~j) .
3. Déduire du B.3) l’aire du domaine D définie 1. Etudier la continuité et la dérivabilité de g sur
M.Djitté
Lycée de Dioudé Diabé Terminale S2 2019-2020
son ensemble de définition.
2. Etudier les variations de g puis dresser son tableau de variations.
3. Tracer (C).
4. Soit α un réel appartenant à l’intervalle ]0; e[.
a. Calculer à l’aide de deux intégrales par parties,
l’aire A(α) du domaine plan limité par l’axe des
abscisses, la courbe (C) et les droites d’équations
respectives x = α et x = e.
b. Calculer lim+ A(α).
4. Déterminer l’équation de la tangente (D) à la
courbe (C) au point d’abscisse e2 .
5. Soit M le point de (C) d’abscisse x et N le point
de (D) de même abscisse x. On pose ϕ(x) = N M .
x + e2
a. Montrer que ϕ(x) = f (x) +
4
b. Déduire de la partie A le tableau de variations
de ϕ0 (x) puis le signe de ϕ0 (x) sur]1; +∞[.
c. En déduire le signe de ϕ(x) sur ]1; +∞[ et la
position de C par rapport à (D) pour les points
α→0
d’abscisse x > 1.
5. a. Déterminer les coordonnées des points d’in6. Représenter dans le plan rapporté à un repère
tersection de la courbe (C) et la droite (∆) d’équaorthonormé la courbe (C) et la droite (D) (unité
tion (∆) : y = x.
2cm).
b. Pour quelles valeurs de m la droite (∆m )
d’équation (∆m ) : y = mx, recoupe-t-elle la −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
courbe (C) en deux points M1 et M2 autres que
+Problème 7 (BAC S2 1e groupe 2003)
O?
la fonction u définie sur
c. La droite (∆m ) coupe la droite (D) d’équation Partie A : On considére
x+1
2x
2
[0; +∞[ par u(x) = ln
.
− 2
x = e en P . Montrer que OM1 × OM2 = OP .
x−1
x −1
6. a. Montrer que la restriction h de la fonction 1. a. Déterminer l’ensemble de définition de u .
g à l’intervalle [e; +∞[ admet une réciproque h−1
b. Calculer u(0) et lim u(x)
x→+∞
dont on précisera l’ensemble de définition.
2. Etudier les variations de u.
−1
b. Sur quel ensemble h est-elle dérivable ?
3. Dresser son tableau de variations (il n’est pas
Calculer h(e2 ) ; en déduire (h−1 )0 (e2 )
nécessaire de calculer la limite de u en 1 ).
c. Construire la courbe de h−1 .
4. Déduire des résultats précédents que :
a. ∀x ∈ [0; 1[, u(x) ≥ 0.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
b. ∀x ∈]1; +∞[, u(x) < 0.
Partie B : Soit g la fonction définie sur [0; +∞[
+Problème 6 (BAC S2 1e groupe 2002)
Partie A : On considère la fonction g définie sur par
x+1
−1
g(x)
=
x
ln
R+ \{1}
par
x
−
1
1
1
g(x) =
1. Déterminer Dg (le domaine de définition de g) ;
si x > 0 et x 6= 1
−
2
ln
x
ln
x
puis étudier la limite de g en 1 .
g(0) = 0
x+1
2
2. a. Vérifier
=1+
.
1. Montrer que g est continue à droite 0.
x−1
x − 1
2
x−1
2. Etudier les limites de g aux bornes de son enln 1 +
= 1.
b. Montrer que lim
x→+∞
semble de définition.
2
x−1
c. En déduire que lim g(x) = 1. Interpréter géo3. Dresser le tableau de variation de g.
x→+∞
4. En déduire le signe de g(x) en fonction de x. métriquement ce résultat.
5. Calculer en cm2 l’aire de la partie plane com- 3. Dresser le tableau de variations de g.
prise entre la courbe de g, l’axe des abscisses et les 4. Montrer qu’il existe un réel α unique appartedroites d’équations respectives : x = e et x = e2 . nant à ]0; 1[ tel que g(α) = 0.
Partie B : On considère la fonction f définie sur
Donner un encadrement d’ordre 1 de α.
R+ \{1}
par
5.
Tracer
la courbe (Cg) de g dans le plan rap
x
f (x) = −
porté à un repère orthonormé (unité 2cm)
si x > 0 et x 6= 1
ln x
Partie C : Soit h la
Ê fonction définie par [0; 1[ par
f (0) = 0
x+1
1. Montrer que f est continue à droite et dérivable f (x) = (x2 − 1) ln
1−x
à droite au point 0. En déduire l’existence d’une 1. Montrer que f est déerivable sur [0; 1[ et que :
demi-tangente à la courbe représentative (C) de f 0 (x) = g(x) , ∀x ∈ [0; 1[.
f au point d’abscisse 0.
2. Déterminer l’aire du domaine plan limité par
2. Etudier les limites de f aux bornes de son en- la courbe (Cg) , l’axe des abscisses et la droite
semble de définition.
d’équation x = α
3. Comparer f 0 (x) et g(x). En déduire les variations de f et son tableau de variations.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
M.Djitté
Lycée de Dioudé Diabé Terminale S2 2019-2020
+Problème 8 (BAC S2 1e groupe 2004)
Soit f la fonction définie par
(2x − 1)ex − 2x + 2
f (x) =
ex − 1
On appelle (C) la représentation graphique de la
fonction f dans un plan muni d’un repère ortho→
− →
−
normal (O, i , j ) dont l’unité est 2cm.
1. Déterminer l’ensemble de définition Df de la
fonction f et trouver les trois réels a, b et c tels que
c
pour tout x de Df , on ait f (x) = ax + b + x
e −1
2. Déterminer les limites de f aux bornes de Df .
3. a. Déterminer la fonction dérivée de f .
b. Résoudre dans R, l’équation 2ex − 5ex + 2 = 0.
c. En déduire le sens de variation de f et dresser
le tableau de variation de f .
4. Démontrer que les droites d’équations respectives y = 2x−1 et y = 2x−2 sont des asymptotes
de (C) respectivement en +∞ et en −∞.
Préciser l’autre asymptote.
5. Soit x un réel de Df . On considère les deux
points M et M 0 de (C) d’abscisses respectives x et
−x . Déterminer les coordonnées du milieu Ω du
segment [M M 0 ] . Que peut-on en déduire pour la
courbe (C) ?
6. Tracer la courbe (C) .
7. a. Trouver les réels α et β tels que, pour tout
réel x de l’ensemble Df on ait :
βex
f (x) = 2x + α + x
e −1
b. Soit k un réel supérieur ou égal à 2 .
Déterminer l’aire A(k) en cm2 de l’ensemble des
points du plan dont les coordonnées (x; y) vérifient : ln 2 ≤ x ≤ ln k et 2x − 1 ≤ y ≤ f (x)
c. Calculer lim A(k).
5. a. Déterminer l’aire A(α) en cm2 du domaine
délimité par (Γ), les droites d’éqations x = α,
(α < 0) ; x = ln 2 et l’axe des abscisses.
b. Calculer lim A(α). Interpréter graphiqueα→−∞
ment le résultat.
Partie C : Soit h la restriction de f à l’intervalle
[0; +∞[.
1. Démontrer que h est une bijection de [0; +∞[
sur un intervalle J à préciser.
2. Démontrer que h−1 est dérivable en 3 puis calculer (h−1 )0 (3).
3. Déterminer (h−1 )(x) pour x ∈ J.
4. Tracer (C 0 ) la courbe représentative de h−1 dans
→
− →
−
le repère (O, i , j ).
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+Problème 10 (BAC S2 1e groupe 2005)
Partie A : Soit f la fonction définie sur par
ex
f (x) = x
− ln(1 + ex ).
e +1
On note (Cf ) sa courbe représentative dans un
→
− →
−
repère orthonormal (O, i , j ) (unité : 2 cm )
1. Etudier les variations de f .
2. Montrer que lim [f (x)−1+x] = 0. Que peutx→+∞
on en déduire pour (Cf ) ?
3. Construire (Cf ).
4. Montrer que f réalise une bijection de
] − ∞; +∞[ sur ] − ∞; 0[.
Partie B : Soit g la fonction définie par
f (x) = e−x ln(1 + ex ).
On note (Cg) sa courbe représentative
1. Montrer que g est dérivable sur R.
2. Montrer que, pour tout réel x, g 0 (x) = e−x f (x)
k→+∞
3. Montrer que lim g(x) = 0 et lim g(x) = 1.
x→−∞
x→+∞
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
4. En déduire la nature des branches infinies.
+Problème 9 (BAC S2 Remplacement 2004)
5. Dresser le tableau de variations de g.
Partie A : Soit l’équation différentielle
6. Construire (Cg) dans le repère précédent
1 00 3 0
e−x
1
(E) : − y + y − y = 0
=
.
7.
a.
Montrer
que
2
2
x
−x + 1
1
+
e
e
Déterminer la solution g de (E) dont la courbe
b. A tout
réel λ, on associe le réel
Z λ
représentative (C) passe par le point A(0; −1) et
I(λ) =
g(x)dx. Justifier l’existence de I(λ)
dont la tangente en ce point est parallèle à l’axe
0
.
des abscisses
c. Calculer I(λ) à l’aide d’une intégration par
Partie B : Soit f la fonction définie sur R par
parties.
f (x) = e2x − ex . On note (Γ) sa courbe repré→
− →
−
d. Calculer lim I(λ)
sentative dans un repère orthonormé (O, i , j )
λ→+∞
Partie C : On considère l’équation différentielle
(unité 2cm)
e−x
1. Etudier les variations de f .
(E) : y 0 + y =
.
1 + ex
2. Déterminer l’équation de la tangente à (Γ) au
1. Vérifier que la fonction g étudiée dans la parpoint d’abscisse ln 2 .
tie B est solution de (E).
f (x)
3. Calculer lim
. Interpréter géométrique- 2. Montrer qu’une fonction φ est solution de (E)
x→+∞ x
ment le résultat.
si et seulement si φ − g est solution de l’équation
4. Tracer (Γ).
diffŕentielle (E 0 ) : y 0 + y = 0.
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3. Résoudre (E 0 ) et en déduire les solutions de Partie
B : On considère la fonction f définie par
(E).
x ln x si x > 0
4. Déterminer la solution de (E) qui s’annule en f (x) = 1 + x
0 si x = 0
ln 2.
et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère
− →
−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− orthonormé (O, →
i , j ) (unité 5cm) .
1. Montrer que f est continue en 0 puis sur
+Problème 11 (BAC S2 1e groupe 2006)
[0; +∞[
Partie A : Soit h la fonction sur R définie par
2. Etudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter
h(x) = 1 + (1 − x)e2−x .
graphiquement ce résultat.
1. Etudier les variations de h ( On ne demande
3. Déterminer la limite de f en +∞.
pas de calculer les limites aux bornes de Dh).
g(x)
4. Montrer que ∀x ∈]0; +∞[ , f 0 (x) =
.
2. En déduire le signe de h(x) sur R.
(1 + x)2
Partie B : Soit f la fonction définie sur R par
En déduire le signe de f 0 (x) sur ]0; +∞[.
f (x) = x(1 + e2−x )
5. Montrer que f (α) = −α.
et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère
6. Dresser le tableau de variations de f .
→
− →
−
orthonormé (O, i , j ).(unité 2 cm)
7. Construire Cf . (On prendra α = 0, 3)
1. a. Etudier les limites de f en +∞ et en −∞. Partie C : Soit h la restriction de f à l’intervalle
b. Préciser la nature de la branche infinie en I = [1; +∞[.
−∞.
1. Montrer que h réalise une bijection de I vers
c. Calculer lim [f (x) − x] puis interpréter le un intervalle J à préciser.
x→+∞
résultat obtenu.
2. Soit h−1 la bijection réciproque de h. Etudier
d. Préciser la position de (Cf ) par rapport à la dérivabilité de h−1 sur J.
−1 0 2 ln 2
la droite (∆) : y = x.
.
3. Calculer h(2) et h
3
2. a. Dresser le tableau de variations de f .
4. Construire Ch−1 , la courbe de h−1 dans le reb. Montrer que f admet une bijection
→
− →
−
père (O, i , j ).
réciproque notée f −1 définie sur R
Partie D :
c. f −1 est-elle dérivable en 4 ?
d. Etudier la position de (Cf ) par rapport à 1. A l’aide d’une
Z e intération par parties, calculer
sa tangente au point d’abscisse 2.
x ln xdx
l’intégrale I =
1
e. Construire Cf (On tracera la tangente au 2. Montrer que pour tout x ∈ [1; e],
point d’abscisse 2).
x ln x
x ln x
≤ f (x) ≤
.
e+1
2
−1
−1
f. Construire (Cf ), la courbe de f dans le 3. En déduire que
Z e
repère précédent.
e2 + 1
e2 + 1
≤
f (x)dx ≤
.
Partie C : Soit λ un réel strictement positif. Rλ
4(e + 1)
8
1
la région du plan délimitée par les droites d’équations x = 0 et x = λ et les courbes d’équations −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
respectives y = f (x) et y = x. Soit A(λ) l’aire de
+Problème 14 (BAC S2 1e groupe 2008)
Rλ en cm2 .
Partie A :Soit f la fonction numérique définie
1. Calculer A(λ) en fonction de λ.
2. Déterminer a = lim A(λ). Interpréter raphix + 2 + ln x − 1
si x < 0
λ→+∞
1
+
x
par
f
(x)
=
quement le résultat obtenu.
(2 + x)e−x si x ≥ 0
représentative dans un repère
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− et (Cf ) sa courbe
→
− →
−
orthonormé (O, i , j ) (unité 1cm) .
+Problème 13 (BAC S2 1e groupe 2007)
1. Montrer que f est définie sur R − {−1}.
Partie A : Soit g la fonction définie sur ]0; +∞[ 2. a. Calculer les limites aux bornes du domaine
par g(x) = 1 + x + ln x.
de définition de f . Préciser les asymptotes paral1. Dresser le tableau de variation de g.
lèles aux axes de coordonnées.
2. Montrer qu’il existe un unique réel α solution b. Calculer lim [f (x) − (x + 2)]. Interpréter grax→−∞
de l’équation g(x) = 0. Vérifier que 0, 2 < α <
phiquement le résultat.
0, 3.
3. a. Etudier la continuité de f en 0.
3. En déduire le signe de g sur ]0; +∞[.
e−x − 1
b. Démontrer que lim
= −1 et
4. Etablir la relation ln α = −1 − α.
x→0
x
M.Djitté
Lycée de Dioudé Diabé Terminale S2 2019-2020
ln(1 − x)
lim
= −1.
x→0
x
c. En déduire que f est dérivable à gauche et à
droite en 0. f est-elle dérivable en 0 ?
4. Calculer f 0 (x) pour :
a. x ∈]0; +∞[
b. x ∈] − ∞; −1[∪] − 1; 0[.
5. Etudier le signe de f 0 (x) pour :
a. x ∈]0; +∞[
b. x ∈] − ∞; −1[∪] − 1; 0[.
5. Dresser le tableau de variation de f .
6. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une
unique solution α appartenant à ] − 3; −2[.
7. Tracer (Cf ). On mettra en évidence l’allure de
(Cf ) au point d’abscisse 0 et les droites asymptotes.
Partie B : Soit g la restriction de f à ] − ∞; −1[.
1. Montrer que g définit une bijection de ]−∞; −1[
sur un intervalle J à préciser.
2. On note g −1 sa bijection réciproque.
a. Calculer g(−2). Montrer que g −1 est dérivable en ln 3.
b. Calculer (g −1 )0 (ln 3).
c. Représenter la courbe de g −1 dans le repère
précédent.
Partie C : Soit A l’aire de la région du plan
délimitée par les droites d’équations respectives
x = −2, x = −3,y = x + 2 et la courbe de f .
A l’aide d’une intégration par parties, calculer A
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+Problème 15(BAC S2 1e groupe 2009)
1. a. Etudier les variations de la fonction f définie
sur ] − 1; +∞[ par : f (x) = 2 ln(x + 1).
b. Tracer sa courbe représentative dans le repère
→
− →
−
orthonormal (O, i , j ) , unité : 2cm).
2. Démontrer que sur [2; +∞[, la fonction définie
par l(x) = f (x) − x est bijective et que l’équation
l(x) = 0 admet une solution unique λ.
3.
On considère la suite (un )n∈N définie par
u = 5
0
u
n+1 = 2 ln(un + 1)
a. Sans faire de calcul, représenter les quatre premiers termes de la suite sur le graphique.
b. Démontrer par récurrence que pour tout n,
un ≥ 2.
c. Montrer que, pour tout x de l’intervalle
2
[2; +∞[, |f 0 (x)| ≤ .
3
d. En déduire que pour tout n, on a
n
2
2
|un+1 − λ| ≤ |un − λ|, que |un − λ| ≤ 2
et
3
3
que la suite (un ) converge vers λ
e. Déterminer le plus petit entier naturel p tel que
M.Djitté
|up − λ| ≤ 10−2 . Que représente up pour λ ?
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+Problème 16(BAC S2 Remplacement 2009)
Parite A : Soit g la fonction
définie
sur ]0; +∞[
2
1
par : g(x) = −
+ ln 1 + 2
1 + x2
x
1. Etudier les variations de g et dresser le tableau
de variations de g.
2. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une
unique solution α et que 0, 5 < α < 0, 6.
3. En déduire le signe de g sur ]0; +∞[.
Partie
B : Soit la fonction f définie par :
1
si x > 0
f (x) = x ln 1 + 2
x
1
−
f (x) = −(x + 1)e x si x < 0
f (0) = 0
On désigne par (Cf ) la courbe représentative de
→
− →
−
f dans un repère orthonormal (O, i , j ).
1. Déterminer l’ensemble de définition de f et calculer les limites aux bornes de celui-ci.
2. a. Etudier la continuité puis la dérivabilité de
f en 0 à droite .
b. Interpréter graphiquement les résultats de la
question 2.a).
3. Etudier les branches infinies de (Cf ) .
4. a. Montrer que pour tout x appartenant à
]0; +∞[, f 0 (x) = g(x).
b. Etudier le sens de variation de f et dresser le
tableau de variations de f .
2α
.
c. Montrer que f (α) =
1 + α2
5. Tracer (Cf ). (On prendra α = 0, 5, unité=2
cm)
On précisera l’équation de la tangente au point
d’abscisse −1.
6. Soit I =] − ∞; 0[. Montrer que f est une bijection de ] − ∞; 0[ sur un intervalle J à péciser.
7. Déterminer l’aire A(λ) du domaine compris
entre la courbe (Cf ), l’axe des abscisses et les
droites d’équation x = 1 et x = λ (λ > 1). On
procédera par intégration par parties.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+Problème 17(BAC S2 1e groupe 2010)
Partie A :
1. Etudier sur R le signe de 4e2x − 5ex + 1.
2. Soit ϕ la fonction
√ définie par :
ϕ(x) = ln x − 2 x + 2
a. Déterminer son domaine de définition Dϕ et
calculer ses limites aux bornes de Dϕ .
b. Etudier ses variations et dresser son tableau de
variations.
Lycée de Dioudé Diabé Terminale S2 2019-2020
c. En déduire son signe
Partie
B : Soit la fonction f définie par :
ex
f (x) = x +
si x ≤ 0
2ex −
1
√
f (x) = 1 − x + x ln x si x > 0
On désigne par (Cf ) la courbe représentative de
→
− →
−
f dans un repère orthonormal (O, i , j ). unité
2cm
1. a. Déterminer Df le domaine de définition de
f . b. Calculer les limites aux bornes de Df et étudier les branches infinies de (Cf ).
c. Etudier la position de (Cf ) par rapport à
l’asymptote non parallèle aux axes dans ] − ∞; 0].
2. a. Etudier la continuité de f en 0.
b. Etudier la dérivabilité de f en 0 et Interpréter
graphiquement les résultats .
3. Déterminer la dérivée de f et dresser le tableau
de variations de f .
4. Construire dans le repère les asymptotes, la
courbe (Cf ) et les demi-tangentes. On remarquera
que f (1) = 0 et f 0 (1) = 0.
5. Calculer en cm2 l’aire du domaine délimité par
(Cf ), la droite d’équation y = x et les droites
d’équations x = − ln 8 et x = − ln 4.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+Problème 18 (BAC S2 Remplacement 2010)
Soit f la fonction
numérique à variable réelle dé
f (x) = x − 1 + ex−1 si x ≤ 1
finie par :
1 + x
f (x) = x + ln
si x > 1
2x
On désigne par (Cf ) la courbe représentative de
→
− →
−
f dans un repère orthonormal (O, i , j ). unité
1cm
1. Vérifier que f est définie sur R.
2. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en
1 et Interpréter graphiquement les résultats .
3. a. Calculer les limites aux bornes de son domaine de définition.
b. Démontrer que la droite (D1 ) : y = x − 1 est
une asymptote oblique de (Cf ) au voisinage de
−∞
c. Démontrer que la droite (D2 ) : y = x − ln 2 est
une asymptote oblique de (Cf ) au voisinage de
+∞.
d. Etudier les positions relatives de (D1 ) et (D2 )
respectivement, par rapport à (Cf ) .
4. Etudier les variations de f puis dresser son
tableau de variations.
5. Tracer (Cf ) et les droites remarquables.
6. Etablir que f réalise une bijection de R sur un
intervalle J à préciser .
7. Tracer (Cf −1 ) la courbe de f −1 , réciproque de
f , dans le repère précédent 8. a. Calculer en cm2
M.Djitté
l’aire du domaine délimité par (Cf ), la première
bissectrice et les droites d’équations respectives
x = 1 et x = 3.
b. En déduire l’aire élimité par (Cf ), (Cf −1 ) les
droites d’équations respectives x = 1 et x = 3.
Justifier votre réponse
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+Problème 19 (BAC S2 Remplacement 2011)
Partie
A : Soit f la fonction définie par
1
2
x +x+1 −
e x si x > 0
f (x) =
2
x
x
f (x) =
+ ln(x + 1) si − 1 < x ≤ 0
x+1
et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère
→
− →
−
orthonormé (O, i , j ) (unité 2cm).
1. Montrer que l’ensemble de définition de f
Df =] − 1; +∞[.
2. a. Montrer les égalités suivantes :
lim + f (x) = −∞ et lim f (x) = 1.
x→+∞
x→−1
b. Déduire de la question précédente les droites
asymptotes de (Cf ).
1
1 −
3. a. Montrer que lim+ e x = 0.
x→0 x
b. Etudier la continuité f en 0.
f (x) − f (0)
1
.
c. En posant h = , étudier lim+
x→0
x
x
f (x) − f (0)
d. Etudier lim−
.
x→0
x
e. f est-elle dérivable en 0 ? Interpréter graphiquement les résultats.
4. a. Montrer que :
−1
1
−
x
∀x ∈]0; +∞[, f 0 (x) =
e x.
x4
b. Montrer que :
x+2
.
∀x ∈] − 1; 0[, f 0 (x) =
(x + 1)2
5. Dresser le tableau de variations de f .
→
− →
−
7. Construire Cf dans le repère (O, i , j ).
Partie B : Soit α un nombre réel tel que
−1 < α < 0.
x
1
1. Montrer que ∀x ∈] − 1; 0[,
=1−
.
1+x
1+x
2. En utilisant une intégration par parties, démontrer
que :
Z
0
ln(1 + x) = −α ln(1 + α) + α − ln(1 + α).
α
3. En déduire l’aire A(α) du domaine plan délimité par la courbe (Cf ), l’axe des abscisses et les
droites d’équation x = α et x = 0.
4. Calculer lim + A(α). Interpréter géométriqueα→−1
ment le résulta
Lycée de Dioudé Diabé Terminale S2 2019-2020
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+Problème 20 (BAC S2 1e groupe 2012)
Partie A : On considère la fonction g définie par
g(x) = 1 − x2 − ln x.
1. Calculer g(1).
2. Etudier les variations de g.
3. Déduire de cette étude le signe de g(x) pour
tout x de l’ensemble de définition de Dg de la
fonction g.
Partie B : On considère la fonction f définie par
ln x
f (x) = 2 − x +
.
x
1. Préciser l’ensemble de définition Df de f.
2. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
3. a. Montrer que la courbe représentative (Cf ) de
f admet comme asymptote la droite (∆) d’équation y = −x + 2.
b. Etudier la position de (Cf ) par rapport à (∆)
suivant les valeurs de x.
4. Déterminer les coordonnées du point A de (Cf )
où la tangente est parallèle à (∆).
5. Représenter dans un repère orthonormal
(O,~i, ~j) (unité graphique : 2 cm) la courbe (Cf )
et les droites asymptotes.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+Problème 21 (BAC S2 Remplacement 2012)
Partie A : Soit g la fonction définie sur [0; +∞[
2x2
par g(x) = 2
− ln(x2 + 1).
x +1
1. Déterminer lim g(x)
x→+∞
2. Calculer la dérivée de g et donner le tableau de
variation de g.
3. Montrer que sur [0; +∞[ l’équation g(x) = 0
admet une unique solution α et que 1, 9 < α < 2.
5. Préciser le signe de g sur [0; +∞[.
Partie
B : Soit f la fonction définie sur R par
1
f (x) = xe x si x < 0
ln(x2 + 1)
f (x) =
si x > 0
x
f (0) = 0
et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère
→
− →
−
orthonormé (O, i , j ).(unité 2 cm)
1. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en
0. Interpréter graphiquement les résultats
2. Montrer que la droite d’équation y = x + 1 est
asymptote à(Cf ) en −∞.
3. Calculer la limite de f (x) quand x tend vers
+∞. Interpréter graphiquement le résultat.
M.Djitté
4. Calculer f 0 (x) dans chacun des intervalles où f
est dérivable et donner une relation liant f 0 (x) et
g(x) pour x > 0.
2α
et en déduire un
5. Etablir que f (α) = 2
α +1
encadrement de f (α)
6. Donner le tableau de variations de f et tracer la courbe (Cf ). (On prendra α = 1, 95 et
f (α) = 0, 85).
Partie C : Soit h la restriction de f à l’intervalle
] − ∞; 0[.
1. Montrer que h est une bijection de ] − ∞; 0[
vers un intervalle J à préciser.
2. Construire (Ch−1 ), la courbe de h−1 dans le
→
− →
−
repère (O, i , j ).
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+Problème 22 (BAC S2 1e groupe 2013)
Les résultats de la partie A seront utiles dans la
partie B.
Partie A :
ex − x − 1
= 0.
1. Montrer que lim
x→0
x
2. Soit k la fonction définie sur ]0; +∞[ par
k(x) = x(1 − ln x).
a. k est-elle continue sur ]0; +∞[ ? Justifier la réponse.
b. Soit K la fonction définie sur ]0; +∞[ par
1
3
K(x) = x2 − x2 ln x.
4
2
Vérifier que K est une primitive de k dans
]0; +∞[.
Partie B : Soit f la fonction définie sur R par
Le plan est rapporté à un repère orthonormé
→
− →
−
(O, i , j ).(unité 2 cm).
Soit la fonction
f définie par
ex − x − 1 si x ≤ 0
f (x) =
x ln x si x > 0
1. Déterminer Df puis calculer les limites aux
bornes de Df .
2. a. Etudier la continuité de f en 0.
b. Etudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter
géométriquement les résultats
3. Donner les domaines de continuité et de dérivabilité de f .
4. Calculer la dérivée de sur son domaine d’existence et étudier son signe.
5. Dresser le tableau de variations de f .
6. Montrer que la droite d’équation (∆) : y =
−x − 1 est une asymptote à de la courbe (Cf ) de
f quand x tend vers −∞.
7. Préciser la nature de la branche infinie de (Cf )
quand x tend vers +∞ .
8. Représenter graphiquement la courbe (Cf )
Lycée de Dioudé Diabé Terminale S2 2019-2020
→
− →
−
dans le repère (O, i , j ).
1
9. Soit h la restriction de f à l’intervalle ; +∞ .
e
1
a. Montrer que h est une bijection de ; +∞ sur
e
un intervalle J à préciser.
b. Construire (Ch−1 ), la courbe de h−1 dans le re→
− →
−
père (O, i , j ).
10. Soit A1 l’aire du domaine du plan délimité
1
par x = , x = e la courbe (Cf ) et la droite (D)
e
d’équation y = x.
a. Calculer A1 .
b. En déduire l’aire du domaine du plan délimité
1
par les droites d’équations respectives : x = − ,
e
1
−1
x = , la droite (D) et la courbe (Ch ).
e
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+Problème 23 (BAC S2 Remplacement 2013)
Partie A : Soit g(x) = (2x − 1)ex + 1, x ∈ R.
1. Etudier les variations de g.
2. En déduire le signe de g(x) pour x ∈]0; +∞[.
Partie
B : Soitxf la fonction définie par
f (x) = ln(−x) si x < 0
ex − 1
√
f
(x)
=
si x > 0
x
f (0) = 0
et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère
→
− →
−
orthonormé (O, i , j ).(unité 2 cm)
1. Vérifier que f (x) existe pour tout réel x 6= −1.
2. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en
0. Interpréter graphiquement les résultats
3. a. Trouver limites de f aux bornes de Df .
b. Etudier les branches infinies de (Cf ).
g(x)
4. Montrer que pour tout x > 0, f 0 (x) = √ .
2x x
5. Calculer f 0 (x) pour x < 0 et x 6= −1 et dresser
le tableau de variations de f .
6. Tracer la courbe (Cf ).
Partie C : Soit h la restriction de f à l’intervalle
[0; +∞[.
1. Montrer que h est une bijection de [0; +∞[ vers
un intervalle J à préciser.
2. Construire (Ch−1 ), la courbe de h−1 dans le
→
− →
−
repère (O, i , j ).
b. Calculer les limites aux bornes de Dg. (pour la
limite en 1, on pourra poser h = x − 1).
2. Déterminer g 0 la dérivée de g et dresser le tableau de variations de g.
3. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une
unique solution α telle que 4 < α < 5.
4. Déduire de l’étude précédente le signe de g sur
Dg.
Partie
B : Soit f la fonction définie par
ln |x − 1|
f (x) =
si x > 0
x x
−6e
f (x) =
si x ≤ 0
2x
e + 3ex + 2
et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère
→
− →
−
orthonormé (O, i , j ).(unité 2 cm)
1. Vérifier que f est bien définie sur R\{1} et calculer les limites aux bornes de son ensemble de
définition.
b. Préciser les droites asymptotes à (Cf ) .
2. a. Etudier la continuité de f en 0.
ln(1 − x) + x
1
b. On admet que lim+
=− .
2
x→0
x
2
f (x) − f (0)
1
Montrer que lim−
=− .
x→0
x−0
6
Donner une interprétation graphique de ces résultats
1
.
3. a. Montrer que f (α) =
α−1
b. Calculer f 0 (x) sur les intervalles où f est dérivable puis dresser le tableau de variations de f .
4. Construire (Cf ). On pourra prendre α = 4, 5.
On placera les points d’abscisses −1 ; 0 ; 2 et 5.
5. a. Déterminer les réels a et b tels que pour tout
x ∈ R\{−2; −1}, on ait :
a
b
−6x
=
+
.
2
x + 3x + 2
x+2 x+1
b. En déduire que :
−6ex
−12e−x
6e−x
=
+
.
e2x + 3ex + 2
1 + 2e−x 1 + e−x
c. Calculer l’aire du domaine du plan limité par
(Cf ), l’axe des abscisses et les droites d’équations
respectives x = − ln 2 et x = 0.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+Problème 25 (BAC S2 1e groupe 2015)
Partie A :
1. En utilisant une intégrationZ par parties, calcuα
ler pour tout réel α : I(α) =
et (t + 2)dt.
0
En déduire I(x).
2.
Soit
k une fonction dérivable sur R. Consi−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
dérons la fonction h telle que h(x) = k(x)e−x ,
e
+Problème 24 (BAC S2 1 groupe 2014)
∀x ∈ R.
Partie A : Soit g la fonction définie dans ]0; +∞[ On se propose de déterminer la fonction h de fax
çon à ce
qu’elle vérifie les conditions suivantes,
par g(x) =
− ln |x − 1|.
x−1
h0 (x) + h(x) = x + 2
1. a. Déterminer l’ensemble de définition Dg de ∀x ∈ R :
h(0) = 2
g.
M.Djitté
Lycée de Dioudé Diabé Terminale S2 2019-2020
a. Vérifier que k 0 (x) = (x + 2)e−x .
b. En déduire k puis h.
Partie B :
I. Soit g la fonction définie sur R
par g(x) = x + 1 + e−x .
1. Etudier les variations g .
2. En déduire que g(x) est strictement positif.
II. Soit f la fonction définie par
f (x) = ln(x + 1 + e−x ). (Cf ) sa courbe représentative dans le plan raporté à un repère orthonormé (O,~i, ~j).
1. Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variations.
2. Pour tout x strictement positif, on note M , le
point de la courbe de la fonction logarithme népérien d’abscisse x et N le point de (Cf ) de même
abscisse.
x + 2
.
a. Démontrer que 0 < M N < ln
x
b. Quelle est la limite de M N quand x tend vers
+∞.
3. a. Démontrer que f (x) = −x + ln(xex + ex + 1),
∀x ∈ R.
b. En déduire que (Cf ) admet une asymptote
oblique (∆) au voisinage de ∞ et déterminer la
position de (Cf ) par rapport à (∆) pour x < −1.
4. Construire (Cf ) et (∆) dans le repère (O,~i, ~j)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+Problème 26 (BAC S2 Remplacement 2015)
Partie A : Question de cours.
1. Rappeler les limites usuelles suivantes
lim+ x ln x ; lim xex
x→0
x→−∞
2. Soit g une fonction définie sur un intervalle I
non vide de R vers un intervalle J non vide de R.
a. Quand est-ce dit-on que g réalise une bijection
de I sur J ?
b. Quand est-ce dit-on que g −1 , la réciproque de
g est dérivable J ?
Partie B :Soit f la fonction définie par :
1 − x + x ln(−x) si x < 0
1
f (x) =
− x
(2x + 1)e 2
si x ≥ 0
On désigne par (Cf ) sa courbe représentative
→
− →
−
dans un repère orthonormé (O, i , j ) (unité 2
cm).
1. Déterminer Df le domaine de définition de la
fonction f .
2. Calculer les limites aux bornes de Df .
3. Etudier la nature de chaque branche infinie.
4. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en
0. Interpréter graphiquement les résultats.
5. Calculer f 0 (x) puis dresser le tableau de variations de f .
M.Djitté
6. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une
unique solution α dans l’intervalle ] − ∞; −1] et
que −4 < α < −3.
7. En déduire le nombre de points d’intersection
de (Cf ) avec l’axe des abscisses.
→
− →
−
8. Construire Cf dans le repère (O, i , j ).
Partie C : Soit g la restriction de f à l’intervalle
I =] − ∞; −1]
1. Montrer que g admet une bijection réciproque
g −1 dont on déterminera l’ensemble de définition.
→
− →
−
2. Construire dans le repère (O, i , j ), (Cg −1 ) la
courbe de g −1 .
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+Problème 27 (BAC S2 1e groupe 2016)
Partie A : Soit g la fonction définie définie par
x
− 2 ln(x + 1).
g(x) =
x+1
1. Déterminer Dg, le domaine de définition de g
puis calculer les limites aux bornes de Dg.
2. Calculer g 0 (x), étudier son signe, puis dresser
le tableau de variations de g.
3. Calculer g(0). Montrer que l’équation g(x) = 0
admet exactement deux solutions dont l’une que
l’on désigne α ∈] − 0, 72; −0, 71[ .
3. Déterminer le signe de g(x).
Partie
B : Soit f la fonction définie par
x2
f
(x)
=
si x > −1
ln(x + 1)
f (x) = (1 + x)e−x−1 si x ≤ −1
f (0) = 0
et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère
→
− →
−
orthonormé (O, i , j ).(unité 2 cm)
1. a. Montrer que Df = R et calculer les limites
aux bornes de Df .
b. Etudier la nature des branches infinies.
2. a. Etudier la continuité de f en −1 et en 0.
b. Etudier la dérivabilité de f en −1 et en 0. interpréter graphiquement les réesultats
3. a. Montrer que pour tout x ∈] − 1; +∞[ et
−xg(x)
x 6= 0, f 0 (x) = 2
et calculer f 0 (x) sur
ln (x + 1)
] − ∞; −1[.
b . Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
4. Soit h la restriction de f à [0; +∞[.
a. Montrer que h réealise une bijection de [0; +∞[
sur un intervalle J à préciser.
b. Donner le sens de variation de h−1 .
c. Construire (Cf et (Ch−1 )
Partie C : Soit m la fonction définie sur ]0; +∞[
ln(x + 1)
1
par m(x) =
−
.
2
x
x(x + 1)
1. Déterminer les fonctions u et v telles que
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m(x) = u0 (x)v(x) + v 0 (x)u(x).
2. En déduire la fonction H définie Zsur ]0; +∞[
2
1
dx
telle que H 0 (x) = m(x) puis calculer
1 f (x)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
puis étudier la position relative de (Cf ) et de la
droite (∆).
2. a. Etudier les variations de f .
b. Dresser son tableau de variations.
c. Montrer que l’équation f x) = 0 admet une
unique solution γ située dans l’intervalle ]−3; −2|.
En déduire une valeur approchée de γ à 10−1 près.
3. Tracer les droites asymptotes à (Cf ), puis la
courbe (Cf ).
Partie B : Soit g la restriction de f à l’intervalle
I =]e; +∞[.
1. Montrer que g réalise une bijection e I vers un
intervalle J à préciser .
2. On note g −1 la bijection réciproque de g.
a. Dresser le tableau de variations de g −1 .
b. Comment obtient-on la courbe (Cg −1 ) à partir de la courbe (Cg) ( On ne demande pas de la
construction de (Cg −1 )) .
Partie C : Soit F la fonction définie par
F (x) = ln |1 − ln x|.
1. Déterminer l’ensemble de définition de F .
2. Déterminer la fonction F 0 dérivée de F .
3. En dédire l’aire du domaine délimité par la
courbe (Cf ), l’axe des abscisses et les droites
d’équations respectives x = 3 et x = 5.
+Problème 28 (BAC S2 1e groupe 2017)
Partie A :Soit f la fonction définie par :
−x
2x + 2 + ln(2e − 1) si x ≤ 0
−1
f (x) =
si x > 0
x(1 − ln x)
On désigne par (Cf ) sa courbe représentative
→
− →
−
dans un repère orthonormé (O, i , j ) (unité 2
cm).
1. a. Montrer que Df = R\{e} puis calculer les
limites aux bornes de Df .
b. Montrer que pour tout x ≤ 0, f (x) = x + 2 +
ln(2 − ex ).
c. Etudier le signe de x(1 − ln x).
d. Etudier la continuité de f en 0.
ln(2 − ex )
= −1 . Calculer
e. On admet que lim
x→0
x
f (x) − f (0)
lim−
et interpréter géométriquement
x→0
x−0
le résultat.
f. Montrer la droite (∆) d’équation y = x+2+ln 2
est une asymptote à (Cf ) au voisinage de −∞, −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
M.Djitté
Lycée de Dioudé Diabé Terminale S2 2019-2020
