1reSCours2008JuinByPeault (1)

Cours de mathématiques
Classe de première S
Olivier Péault
26 juin 2008

Table des matières
1 Généralités sur les fonctions 4
1/ Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2/ Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3/ Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Polynômes du second degré 8
1/ Généralités sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2/ Polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Dérivation des fonctions 13
1/ Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2/ Calculs de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3/ Applications de la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Limites 20
1/ Limites d’une fonction en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2/ Limite d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3/ Asymptotes obliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4/ Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Vecteurs de l’espace 25
1/ Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2/ Vecteurs de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3/ Caractérisation vectorielle du parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4/ Repérage dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5/ Repère orthonormal, distance dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6 Barycentres 35
1/ Barycentre de deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2/ Barycentre de trois points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3/ Barycentre d’un nombre quelconque de points . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7 Produit scalaire 42
1/ Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2/ Autres expressions du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3/ Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4/ Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8 Applications du produit scalaire 46
1/ Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2/ Équations de cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3/ Longueurs et angles dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9 Angles orientés 50
1/ Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2/ Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
10 Trigonométrie 52
1/ Lignes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2/ Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3/ Repérage polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
11 Suites numériques 56
1/ Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2/ Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3/ Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4/ Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5/ Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
12 Probabilités 64
1/ Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2/ Vocabulaire des évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3/ Calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4/ Paramètres d’une loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5/ Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
13 Transformations du plan et de l’espace 70
1/ Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2/ Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3/ Images des figures usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
14 Statistiques 75
1/ Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2/ Paramètres de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3/ Paramètres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4/ Influence d’une transformation affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5/ Résumé d’une série statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Chapitre 1
Généralités sur les fonctions
1/ Opérations sur les fonctions
a) Égalité de deux fonctions
Soient uet vdeux fonctions. On dit que uet vsont égales et on note u=vsi :
–uet vont le même ensemble de définition D.
– Pour tout x∈D,u(x) = v(x).
Définition
Exemple : Les fonctions uet vsont-elles égales ?
1/ uet vsont définies par u(x) = 3 −2
x+ 1 et v(x) = 3x+ 1 x+ 1
2/ uet vsont définies par u(x) = xet v(x) = x2
x
1/ uet vont le même ensemble de définition : R\{−1}
Pour tout x∈R\{−1},
u(x) = 3 −2
x+ 1 =3(x+ 1) −2 x+ 1 =3x+ 1 x+ 1 =v(x)
donc u=v.
2/ uest définie sur Ret vest définie sur R∗donc u6=v.
b) Opérations sur les fonctions
Soient uet vdeux fonctions définies sur Det λun réel.
– On définit les fonctions u+v,uv,λu,u+λde la façon suivante :
(u+v)(x) = u(x) + v(x)
(λu)(x) = λ×u(x)
(uv)(x) = u(x)×v(x)
(u+λ)(x) = u(x) + λ
– Si, pour tout x∈D,v(x)6= 0 alors on peut définir la fonction u
vpar :
u
v(x) = u(x) v(x)
Définition
Exemple : Soit uet vles fonctions définies sur Rpar u(x) = x2et v(x) = x+ 3. Déterminer u+v,uv,
2u,u+ 2 et u
v.
– Pour tout réel x, (u+v)(x) = x2+x+ 3 ; (uv)(x) = x2(x+ 3) = x3+ 3x2; (2u)(x) = 2x2et
(u+ 2)(x) = x2+ 2
– Pour tout réel x6=−3, u
v(x) = x2 x+ 3

Généralités sur les fonctions 5
c) Composition de fonctions
Soit uune fonction définie sur Duet vune fonction définie sur Dvet telle que pour tout
x∈Dv,v(x)∈Du.
On appelle fonction composée de vpar ula fonction notée u◦vet définie sur Dvpar :
Pour tout x∈Dv,u◦v(x) = u(v(x))
Définition
Dv//Du//R
xv//
_
u◦v
OO
v(x)u//u(v(x))
Remarque : Il faut faire attention à l’ordre des fonctions. u◦vet v◦usont en général des
fonctions différentes. Il se peut qu’elles aient des ensembles de définition différents voire
que l’une existe mais pas l’autre.
Exemple : Soit fla fonction définie sur [0; +∞[par f(x) = √x−1et gla fonction définie sur Rpar
g(x) = x2+ 3. Définir g◦fet f◦g. Sont-elles égales ?
–g◦fest définie sur [0; +∞[ par g◦f(x) = g(f(x)) = (√x−1)2+ 3 = x−2√x+ 4
–f◦gest définie sur Rpar f◦g(x) = f(g(x)) = √x2+ 3 −1
–g◦fet f◦gne sont pas égales car elles n’ont pas le même ensemble de définition. On peut ausi
remarquer que g◦f(0) 6=f◦g(0)
2/ Sens de variation
a) Sens de variation de la fonction u+λ
Soit uune fonction défine sur un intervalle Iet λun réel.
Si uest monotone sur Ialors uet u+λont même sens de variation sur I.
Propriété
Démonstration
Cas où uest croissante
Soient aet bdeux réels de I.
a6b=⇒u(a)6u(b) car uest croissante sur I.
=⇒u(a) + λ6u(b) + λ
La fonction u+λest croissante sur I.
b) Sens de variation de la fonction λu
Soit uune fonction défine et monotone sur un intervalle Iet λun réel.
– Si λ > 0 alors les fonctions uet λu ont même sens de variation sur I.
– Si λ < 0 alors les fonctions uet λu ont des sens de variation contraires sur I.
Propriété
Démonstration
Cas où uest croissante
Soient aet bdeux réels de I. Si a6balors u(a)6u(b) car uest croissante sur I.
– Si λ > 0 alors λu(a)6λu(b) donc λu est croissante sur I.
– Si λ < 0 alors λu(a)>λu(b) donc λu est décroissante sur I.