Branches infinies

Branches infinies : résumé
Dans toute la suite, a et b sont des nombres réels.
a) Asymptote verticale :
lim f  x     A.V. : x  a
x a
b) Asymptote horizontale :
lim f  x   b  A.H. (à droite) : y  b
x 
lim f  x   b  A.H. (à gauche) : y  b
x 
Lorsque lim f x    , il y a 4 possibilités (en pratique …)
x 
c1) Asymptote oblique :
lim
x 
f x 
x
 a  0 et
lim
x 
 f  x   ax   b  A.O. : y
 ax  b
c2) Branche parabolique de direction asymptotique (Ox )
lim f  x    et lim
x 
x 
f x 
x
 0  B.P. de direction (Ox )
(Lorsque x   , f (x )   , mais f (x ) est négligeable, c.-à-d. petit par
rapport à x.)
c3) Branche parabolique de direction asymptotique (Oy )
lim f  x    et
x 
lim
x 
f x 
x
   B.P. de direction (Oy )
(Lorsque x   , f (x )   , et f (x ) est grand par rapport à x.)
c4) Branche parabolique de direction asymptotique y  ax
lim f  x    et
x 
lim
x 
f x 
x
 a  0 et
lim
x 
 f (x )  ax     B.P. de D.A. y
 ax
f (x )
 a , mais la différence f (x )  ax   ,
x
c.-à-d. le graphe de f s’éloigne de plus en plus de la droite y  ax .)
(Lorsque x   , le rapport
Exercices
Etudier l’existence et la nature des branches infines des graphes des fonctions
suivantes :
1) f : x  3 x
2) f : x  2x x  3
3) f : x 
x 3  2x
x 1
4) f : x  x  1  2x  1
5) f : x 
x2  x x 1
x 1